精品解析：山东省聊城市莘县实验初级中学2024-2025学年九年级10月月考数学试题

初三月考试卷 一、选择题（本大题共12小题，共36分） 1. 下列说法中正确的是（ ） A. 各角分别相等的两个多边形一定是相似多边形 B. 各边成比例的两个多边形是相似多边形 C. 边数相同的两个多边形是相似多边形 D. 边数相同、各角分别相等、各边成比例的两个多边形是相似多边形 2. 如图，在平行四边形中，点E在上，若，则与的周长比为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，点D在的边上，添加下列哪个条件后，仍无法判定（　　） A. B. C. D. 4. 如图，在中，，高，正方形一边在上，点分别在上，交于点，则的长为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，小正方形边长均为1，则下列图形中三角形(阴影部分)与△ABC相似的是 A. B. C. D. 6. 如图，△ABC∽△ADE，则下列比例式正确的是（　　） A. B. C. D. 7. 如图，点A，B，C在正方形网格的格点上，则sin∠BAC=（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在△ABC中，sinB=， tanC=2，AB=3，则AC的长为（ ） A. B. C. D. 2 9. 如图，中， ，点在上，．若，则的长度为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，满足，则下列对弦与弦大小关系表述正确的是（　　） A. B. C. D. 无法确定 11. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠AOB=60°，AB=AC=2，则弦BC的长为（　　） A. B. 3 C. 2 D. 4 12. 如图，垂直于水平面的5G信号塔AB建在垂直于水平面的悬崖边B点处，某测量员从山脚C点出发沿水平方向前行78米到D点（点A，B，C在同一直线上），再沿斜坡DE方向前行78米到E点（点A，B，C，D，E在同一平面内），在点E处测得5G信号塔顶端A的仰角为43°，悬崖BC的高为144.5米，斜坡DE的坡度（或坡比）i=1∶2.4，则信号塔AB的高度约为（　　）（参考数据：sin43°≈0.68，cos43°≈0.73，tan43°≈0.93） A. 23米 B. 24米 C. 24.5米 D. 25米 二、填空题（本大题共5小题，共15分） 13. 如图，点A、B把⊙O分成两条弧，则∠AOB=________． 14. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D是AC边上的一点，DE垂直平分AB，垂足为点E，若AC=8，BC=6，则线段DE的长度为______． 15. 如图，在平面直角坐标系中，正方形与正方形是位似图形，点O为位似中心，位似比为，点B，E在第一象限，若点A的坐标为，则点E的坐标是______． 16. 如图，航模小组用无人机来测量建筑物BC的高度，无人机从A处测得建筑物顶部B的仰角为45°，测得底部C的俯角为60°，若此时无人机与该建筑物的水平距离AD为30m，则该建筑物的高度BC为_____m．（结果保留根号） 17. 如图， 中，ACB=90°, AC=4, BC=3, 则 _______. 三、解答题（本大题共6小题，共69分） 18. 如图，某地有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度为，拱高为．求拱桥的半径． 19. 如图，在矩形中，是的中点，，垂足为． （1）求证：； （2）若，，求的长． 20. 如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E，点F在线段DE上，且△ADF∽△DEC，若DC=4cm，AD=cm，AF=cm． （1）求DE的长； （2）求▱ABCD的面积． 21. 如图，已知，，求证：． 22. 某校九年级数学兴趣小组的同学进行社会实践活动时，想利用所学的解直角三角形的知识测量某塔的高度．他们先在点用高1．5米的测角仪测得塔顶的仰角为30°，然后沿方向前行到达点处，在处测得塔顶的仰角为60°．请根据他们的测量数据求此塔的高．（结果精确，参考数据:，，)． 23. 如图，一艘海轮位于灯塔P的东北方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的B处． （1）求海轮从A处到B处的途中与灯塔P之间的最短距离（结果保留根号）； （2）若海轮以每小时30海里的速度从A处到B处，试判断海轮能否在5小时内到达B处，并说明理由． （参考数据：） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初三月考试卷 一、选择题（本大题共12小题，共36分） 1. 下列说法中正确的是（ ） A. 各角分别相等的两个多边形一定是相似多边形 B. 各边成比例的两个多边形是相似多边形 C. 边数相同的两个多边形是相似多边形 D. 边数相同、各角分别相等、各边成比例的两个多边形是相似多边形 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是相似多边形的判定，熟知相似多边形的判定方法是解答此题的关键．根据相似多边形的定义：对应边成比例，对应角相等的两个多边形相似，进行判定即可． 【详解】解：边数相同，各边成比例，各角分别相等的两个多边形一定是相似多边形，故ABC错误，D正确． 故选：D． 2. 如图，在平行四边形中，点E在上，若，则与的周长比为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，三角形相似的判定和性质．熟练掌握三角形相似的判定定理和性质定理是解题关键．由平行四边形的性质易证，，结合题意即得出，再根据相似三角形周长比等于相似比即得出答案． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴，，， ∴． ∵，即， ∴， ∴与的周长比为． 故选C． 3. 如图，点D在的边上，添加下列哪个条件后，仍无法判定（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形相似的判定方法一一判断即可． 【详解】解：A、根据两角对应相等两三角形相似，可以判定△ABC∽△ADB； B、根据两角对应相等两三角形相似，可以判定△ABC∽△ADB； C、根据两边成比例夹角相等两三角形相似即可判定△ABC∽△ADB； D、无法判断三角形相似． 故选：D． 【点睛】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 4. 如图，在中，，高，正方形一边在上，点分别在上，交于点，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】证明△AEF∽△ABC，根据相似三角形对应边上的高线的比等于相似比即可求得． 【详解】解：∵四边形EFGH是正方形， ∴EF∥BC， ∴△AEF∽△ABC， ∴． 设AN=x，则EF=FG=DN=60-x， ∴ 解得：x=20 所以，AN=20． 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形以及相似三角形的应用，注意数形结合的运用是解题关键． 5. 如图，小正方形边长均为1，则下列图形中三角形(阴影部分)与△ABC相似的是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据网格的特点求出三角形的三边，再根据相似三角形的判定定理即可求解． 【详解】已知给出的三角形的各边AB、CB、AC分别为、2、、 只有选项B的各边为1、、与它的各边对应成比例． 故选B． 【点睛】此题主要考查相似三角形的判定，解题的关键是熟知相似三角形的判定定理． 6. 如图，△ABC∽△ADE，则下列比例式正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据相似三角形的对应边成比例即可得出结果． 【详解】解：∵△ABC∽△ADE， ∴， 故选D． 【点睛】本题考查相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应边成比例这一性质是解答此题的关键． 7. 如图，点A，B，C在正方形网格的格点上，则sin∠BAC=（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作BD⊥AC于D，根据勾股定理求出AB、AC，利用三角形的面积求出BD，最后在直角△ABD中根据三角函数的意义求解． 【详解】解：如图，作BD⊥AC于D， 由勾股定理得，， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理，解直角三角形，三角形的面积，三角函数的意义等知识，根据网格构造直角三角形和利用三角形的面积求出BD是解决问题的关键． 8. 如图，在△ABC中，sinB=， tanC=2，AB=3，则AC的长为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】过A点作AH⊥BC于H点，先由sin∠B及AB=3算出AH的长，再由tan∠C算出CH的长，最后在Rt△ACH中由勾股定理即可算出AC的长． 【详解】解：过A点作AH⊥BC于H点，如下图所示： 由，且可知，， 由，且可知，， ∴在中，由勾股定理有：． 故选：B． 【点睛】本题考查了解直角三角形及勾股定理等知识，如果图形中无直角三角形时，可以通过作垂线构造直角三角形进而求解． 9. 如图，中， ，点在上，．若，则的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据，求出AB=5，再根据勾股定理求出BC=3，然后根据，即可得cos∠DBC=cosA=，即可求出BD． 【详解】∵∠C=90°， ∴， ∵， ∴AB=5， 根据勾股定理可得BC==3， ∵， ∴cos∠DBC=cosA=， ∴cos∠DBC==，即= ∴BD=， 故选：C． 【点睛】本题考查了解直角三角形和勾股定理，求出BC的长是解题关键． 10. 如图，在中，满足，则下列对弦与弦大小关系表述正确的是（　　） A. B. C. D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查圆心角，弧，弦之间的关系，三角形的三边关系等知识，解题的关键是理解题意正确作出辅助线． 如图，取弧的中点E，连接，证明，再利用三角形的三边关系解决问题． 【详解】解：如图，取弧的中点E，连接， ，， ， ， ， ． 故选：B． 11. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠AOB=60°，AB=AC=2，则弦BC的长为（　　） A. B. 3 C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】如图，首先证得OA⊥BC；然后由圆周角定理推知∠C=30°，通过解直角△ACD可以求得CD的长度．则BC=2CD． 【详解】解：设AO与BC交于点D． ∵∠AOB=60°，， ∴∠C=∠AOB=30°， 又∵AB=AC， ∴ ∴AD⊥BC， ∴BD=CD， ∴在直角△ACD中，CD=AC•cos30°=2×=， ∴BC=2CD=2． 故选C． 【点睛】本题考查了圆周角定理，也考查了解直角三角形．题目难度不大． 12. 如图，垂直于水平面的5G信号塔AB建在垂直于水平面的悬崖边B点处，某测量员从山脚C点出发沿水平方向前行78米到D点（点A，B，C在同一直线上），再沿斜坡DE方向前行78米到E点（点A，B，C，D，E在同一平面内），在点E处测得5G信号塔顶端A的仰角为43°，悬崖BC的高为144.5米，斜坡DE的坡度（或坡比）i=1∶2.4，则信号塔AB的高度约为（　　）（参考数据：sin43°≈0.68，cos43°≈0.73，tan43°≈0.93） A. 23米 B. 24米 C. 24.5米 D. 25米 【答案】D 【解析】 【分析】如图，作EF⊥CD于F，EG⊥BC于G．解直角三角形DEF得EF=30米，DF=72米，得EG=150米，解直角三角形AFG得AG=139.5米，求出AB即可． 【详解】解：作EF⊥CD于F，EG⊥BC于G． 在Rt△DEF中，设EF=x米，∵i=1∶2.4 ∴DF=2.4x米， ∴DE= 米 ∴=75， ∴x=30米， ∴DF=2.4x=72米， ∴GE=FC=DF+CD=72+78=150米，CG=EF=30米， 在Rt△AEG中， 米 ∴米． 故选：D． 【点睛】本题考查了解直角三角形应用-测高问题，解题的关键是作EF⊥CD于F，EG⊥BC于G，构造直角三角形，应用已知条件解直角三角形． 二、填空题（本大题共5小题，共15分） 13. 如图，点A、B把⊙O分成两条弧，则∠AOB=________． 【答案】80°##80度 【解析】 【分析】根据圆周角定理得出两弧所对的圆心角的比为2:7，然后求解即可 【详解】解：∵点A、B把⊙O分成两条弧， ∴两弧所对的圆心角的比为2:7， ∴∠AOB=360°×=80°． 故答案为80°． 【点睛】题目主要考查圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题关键． 14. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D是AC边上的一点，DE垂直平分AB，垂足为点E，若AC=8，BC=6，则线段DE的长度为______． 【答案】 【解析】 【分析】先求出AE长，根据相似三角形的判定得出△AED∽△ACB，得出比例式，代入求出DE长即可． 【详解】解：∵∠C=90°，AC=8，BC=6， ∴AB===10， ∵DE垂直平分AB， ∴∠DEA=90°，AE==5， ∴∠DEA=∠C， 又∵∠A=∠A， ∴△AED∽△ACB， ∴， 即 ∴DE=． 故答案为． 【点睛】本题考查了勾股定理，线段的垂直平分线的性质，相似三角形的性质和判定的应用，能推出△AED∽△ACB是解此题的关键． 15. 如图，在平面直角坐标系中，正方形与正方形是位似图形，点O为位似中心，位似比为，点B，E在第一象限，若点A的坐标为，则点E的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是位似变换的概念、相似三角形的性质、正方形的性质，掌握位似变换的两个图形相似是解题的关键． 根据位似变换的概念、相似三角形的性质列式计算即可． 【详解】解：∵正方形与正方形是位似图形，点为位似中心，位似比为，点A的坐标为， ，即， 解得，， 则点的坐标为， 故答案为：． 16. 如图，航模小组用无人机来测量建筑物BC的高度，无人机从A处测得建筑物顶部B的仰角为45°，测得底部C的俯角为60°，若此时无人机与该建筑物的水平距离AD为30m，则该建筑物的高度BC为_____m．（结果保留根号） 【答案】（30+30）． 【解析】 【分析】在Rt△ABD中，根据正切函数求得BD=AD•tan∠BAD，在Rt△ACD中，求得CD=AD•tan∠CAD，再根据BC=BD+CD，代入数据计算即可． 【详解】解：∵在Rt△ABD中，AD＝90，∠BAD＝45°， ∴BD＝AD＝30（m）， ∵在Rt△ACD中，∠CAD＝60°， ∴CD＝AD•tan60°＝30×＝30（m）， ∴BC＝BD+CD＝30+30（m） 答：该建筑物的高度BC约为（30+30）米． 故答案为：（30+30）． 【点睛】此题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题．注意能借助仰角或俯角构造直角三角形并解直角三角形是解题的关键． 17. 如图， 中，ACB=90°, AC=4, BC=3, 则 _______. 【答案】 【解析】 【分析】先求得∠A=∠BCD，然后根据锐角三角函数的概念求解即可． 【详解】在Rt△ABC与Rt△BCD中，∠A+∠B=90°，∠BCD+∠B=90°． ∴∠A=∠BCD． ∴tan∠BCD=tan∠A=． 故答案为． 【点睛】本题考查了解直角三角形，三角函数值只与角的大小有关，因而求一个角的函数值，可以转化为求与它相等的其它角的三角函数值． 三、解答题（本大题共6小题，共69分） 18. 如图，某地有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度为，拱高为．求拱桥的半径． 【答案】拱桥的半径为． 【解析】 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，连接常用辅助线是解题关键．连接，由题意可得出，．设拱桥的半径为，则，利用勾股定理列出关于r的关系式，求解即可． 【详解】解：如图，连接． 由题意可知， ∴． 设拱桥的半径为，则， 在中，，即， 解得：． 故拱桥的半径为． 19. 如图，在矩形中，是的中点，，垂足为． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】 （1）证明：∵四边形是矩形， ∴，． ∴， ∵， ∴． ∴， ∴． （2） 【解析】 【分析】根据矩形的性质可得，，．再根据“两直线平行，内错角相等”可得，再由垂直的定义可得．从而得出，再根据“有两组角对应相等的两个三角形相似”可得出结论； 根据中点的定义可求出BE=2，然后根据勾股定理求出AE= .再根据相似三角形的性质求解即可. 【详解】证明：（1）略． 解：（2）∵， ∴． ∵，是的中点， ∴． ∴在中，． 又∵， ∴， ∴． 【点晴】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定方法和性质是解题的关键. 20. 如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E，点F在线段DE上，且△ADF∽△DEC，若DC=4cm，AD=cm，AF=cm． （1）求DE的长； （2）求▱ABCD的面积． 【答案】（1）DE=6；（2） 【解析】 【分析】（1）根据相似三角形的性质，列出比例式，进而即可求解； （2）根据勾股定理求出AE的长，进而即可求解． 【详解】解：（1）∵△ADF∽△DEC， ∴， ∴， ∴DE=6； （2）∵四边形ABCD为平行四边形，∠EAD=∠AEB=90°， ∴在Rt△EAD中，， ∴AE=3（cm）， ∴S□ABCD=BC·AE． 【点睛】本题主要考查相似三角形的性质，平行四边形的性质以及勾股定理，熟练掌握上述性质和定理，是解题的关键． 21. 如图，已知，，求证：． 【答案】 证明：∵，， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， 又∵， ∴． 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，根据两组对角相等可证，根据相似三角形对应边成比例得出，变形可得，再证，即可证明．掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】略 22. 某校九年级数学兴趣小组的同学进行社会实践活动时，想利用所学的解直角三角形的知识测量某塔的高度．他们先在点用高1．5米的测角仪测得塔顶的仰角为30°，然后沿方向前行到达点处，在处测得塔顶的仰角为60°．请根据他们的测量数据求此塔的高．（结果精确，参考数据:，，)． 【答案】米 【解析】 【分析】首先证明，在中，利用勾股定理求出即可解决问题； 【详解】解：由题意：，，，， ∵，， ， 在中， ∵，， ． ， ， ， ． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，本题的突破点是证明，属于中考常考题型． 23. 如图，一艘海轮位于灯塔P的东北方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的B处． （1）求海轮从A处到B处的途中与灯塔P之间的最短距离（结果保留根号）； （2）若海轮以每小时30海里的速度从A处到B处，试判断海轮能否在5小时内到达B处，并说明理由． （参考数据：） 【答案】（1）；（2）海轮不能在5小时内到达B处. 【解析】 【分析】（1）过点P作，垂足为点C ，根据题意得出， 海里，再利用三角函数即可解答. （2）由题意可得.，再根据特殊角的三角函数求出BC,AC的值，即可解答. 【详解】解（1）过点P作，垂足为点C 由题意得，，海里. 在中，（海里）. 海轮从A处到B的途中与灯塔P之间的最短距离为海里. . （2）由题意得，. 在中，. 在中，. . .. 海轮不能在5小时内到达B处. 【点睛】此题考查解直角三角形的实际应用，解题关键在于三角函数的灵活运用. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $