河北省十县联考2025届高三上学期高考单科模拟综合卷（六）（10月期中）数学试题数学试题

绝密★启用前 2025新高考单科模拟综合卷（六） 数 学 考生注意： 1.本试卷满分150分，考试时间120分钟。 2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。 3.请按照题号顺序在各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题 卷上答题无效。 4.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并上交。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的， 1.已知一组数据为一1,1,4,4,2,6，则该组数据的第50百分位数是 A.1 B.2 C.3 D.4 2.已知双曲线经过点A(2√2，√3)，B(一2√3，一√6)，则其标准方程为 A-芳=1 B看-￥-1 n-￥1或-菁-1 等差数别a与，的前项和分别为S,工且受。=2气则院 A.2 B c易 Di 4.已知正方体ABCD-A:B,CD1的棱长为4，过A、C、D三点的平面截该正方体的内切球，所得 截面的面积为 A.2π B C.3π D.4π 5.如图，在两行三列的网格中放入标有数字1,2,3,4,5,6的六张卡片，每格只放一张卡片，则“只 有中间一列两个数字之和为7”的不同的排法有 A.16种 B.32种 C.64种 D.96种 【单科模拟综合卷（六）·数学第1页（共4页）】 6.“a=2”是“直线l1:2ax十4y+3-0与直线l2:(a-1)2x+y-5=0平行”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 7.已知ae(0,2),且满足tan atan(g牙）=1，则tan(a+B)= A.2 B.3 D.-1 8.已知椭圆C:号+苦-1的左，右焦点分别为R,F,过点FB,作垂直于x轴的直线交椭圆C于 A、B两点，△AFF2、△BFF2、△F1AB的内切圆圆心分别为O1、O2、O,则△OOO的周长是 A.4V10+12 B52+24 9 9 C.510+24 D.4V10+24 9 9 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.已知复数z满足z=2一i,其中i为虚数单位，则下列结论正确的是 A.x=√5 B.=2-i C.之在复平面内对应的点位于第四象限 D.z2+4z-11=0 10.已知函数f(x)=sin wx十√3 cos wx(w∈N·)在(0，π)上仅有两个零点，把函数f(x)的图象向右 平移石个单位长度，得到函数g(x)的图象，则下列有关函数g(x)的描述正确的是 A,是偶函数 B图象关于点（受，0）对称 C在[要，经]上是减函数 D.在[吾，]上的值域为一3,2 11.已知函数f(x)及其导函数f(x)的定义域均为R,对任意的x、y∈R,恒有f(x十y)+f(x一y)= 2f(x)f(y),则下列说法正确的是 A.f(0)=1 B.f(x)是偶函数 22 C.f(x)+f(0)≥0 D,若f)=,则2fw=0 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分， 12.已知集合A={x∈Rax2一3x十2=0，a∈R},若A中元素至多有1个，则实数a的取值范围是 13.如图，在平面四边形ABCD中，O为BD的中点，且OA=2,OC=4.若AB, AD=-5,则BC·DC的值是 14.已知△ABC的三个内角A、B、C的对边依次为a、b、c,外接圆半径为2，且 满足anA-2b一S,则△ABC面积的最大值为 tan C 【单科模拟综合卷（六）·数学第2页（共4页）】 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.(13分) 已知函数fx)=c-x+a. (1)当a=1时，判断f(x)的单调性； (2)若f(x)只有在x=0处取得极小值，且无极大值，求实数Q的取值范围. 16.(15分) 随着我国城镇化建设的不断推进，各种智能终端的普及和互联互通，人工智能在教育、医疗、金 融、出行、物流等领域发挥了巨大的作用.为普及人工智能相关知识，培养青少年对科学技术的 兴趣，某中学组织开展“科技兴国”人工智能知识竞赛.竞赛试题有甲、乙、丙三类（每类题有若 干道)，各类试题的每题分值及选手小李答对概率如下表所示，各小题回答正确得到相应分值， 否则得0分，竞赛分三轮答题依次进行，竞赛结束，各轮得分之和即为选手最终得分 项目 每小题分值 每小题答对概率 题型 甲类题 10 乙类题 20 丙类题 30 其竞赛规则为： 第一轮，先回答一道甲类题，若正确，进人第二轮答题：若错误，继续回答另一道甲类题，该题回 答正确，同样进人第二轮答题；否则，退出比赛， 第二轮，在丙类题中选择一道作答，若正确，进人第三轮答题；否则，退出比赛。 第三轮，在乙类试题中选择一道作答. (1)求小李答题次数恰好为2次的概率； (2)求小李最终得分的数学期望， 【单科模拟综合卷（六）·数学第3页（共4页）】 17.(15分) 如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC,AD⊥CD,四边形CDEF为菱形且∠FCD=60°，对角线 CE和DF相交于点H,平面CDEF⊥平面ABCD,BC=2AD,点G为线段BE的中点. (1)求证：AG∥平面CDEF; (2)若AD=1,CD=2,求二面角E-DG-F的正弦值. 18.(17分) 已知抛物线C:y=2px(p>0),F为其焦点，点G(1,y%)在C上，且三角形OFG的面积S△o%= 1(O为坐标原点). (1)求抛物线C的标准方程： (2)过点F且斜率为1的直线1与C相交于A、B两点，若线段AB的垂直平分线'与C相交于 M、N两点.求证：A、M、B、N四点在同一圆上. 19.(17分) 若正整数N=a:十a2十十an(a∈N”,k=1,2,…,n),则称a1Xa2X…Xam为V的一个“分 解积” (1)当N分别等于5、6、7时，写出N的一个分解积，使其值最大： (2)当正整数N(N≥2)的分解积最大时，求a(k∈N)中2的个数； (3)当正整数N(N≥2)的分解积最大时，求出a(k=1,2,…,n)中的值. 【单科模拟综合卷（六）·数学第4页（共4页）】 2025新高考单科模拟综合卷（六） 数学·参考答案 1.C将数据按照从小到大顺序排序为：-1,1,244,6因为6X50%=3,第50百分位数为2告-3放选C 1 (2√2)m十(5)n=1 2.A设双曲线方程为mx2十y2=1(mn<0),则 ,解得 ,所以双曲线的标 (-23)m+(-6)2n=1 n=- 3 准方程为号-号-1故选A 3.C 因为数列a与6均为等差数列，则S-9,工-%，所以产-器-尝-2X号一品即先-号放 9 选C 4.B如图正方体ABCD-A:BCD中，直线AD,、AC、DC与正方体的内切球分 B 别切于P,F,Q,且P、F,Q分别是AD1、AC、DC的中点.正方体内切球为O,连接 OP,OQ、OF.则OP、OQ、OF互相垂直，且OP=OQ=OF=2,所以FP=FQ= PQ=22.则过A.C、D三点的截面为球内过这三点的截面圆，截面圆的半径为 R得-2其面积为（零）广-祭放选R D 5.D根据题意，分三步进行.第一步，要求“只有中间一列两个数字之和为7”，则中间的数字为三组数1,6或2,5 或3,4中的一组，共有3A=6种排法：第二步，排第一步中剩余的两组数，共有A!A=8种排法：第三步，排剩 下的两个数字，共有A=2种排法.由分步计数原理知，共有不同的排法种数为6×8×2=96.故选D 6.A若4∥k,则2a-4(a-1)2=0,解得Q=2或a=.所以由a=2可以得到4∥hk,反之则不然，故a=2”是 “∥12”的充分不必要条件，故选A 2D因为()1限子利立。器 sin(受-a）】 cos(乏-a） =an(受-a人.又因为a Bc(o,受），则受-a∈(0，受)，g平∈(-平，吾)，所以受-a=B年，整理得a十P-,所以tam(a十) an环=-1.故选D &A如图所示，由椭圆C:号十苦=1，知心=9,6=8，所以C=。-公=1所 以F(1,0),|FF|=2c=2,所以过F2作垂直于x轴的直线为x=1,代入C 中，解出A(L,号)B(1,-号).由题知△AFF、△BF,F:的内切圆的半径 【单科模拟综合卷（六）·数学参考答案第1页（共6页）】 相等，且AF|=BF,|,△AFF:、△BFF的内切圆圆心O、O2的连线垂直于x轴于点P.设△AF,F:内切 圆的半径为r,在△AF,R中，由等面积法得，号(AF十AF十FR)·r=号FF·AF:.由椭圆的 定义可知.AR+1A1=2a=6,由1A51=号，所以1AF=号，所以号6+2)·=号×2×号解得r 号，所以PF:=r=号.因为FR为△FAB的∠AR,B的角平分线，所以O一定在FR上，即x轴上，令圆 O半径为R在△AF,B中.由等面积法得.2(AF+BF+AB)·R=F·B1.所以号×12· R=之×2×号，解得R=号，所以0P=10R-PR:1=R-r=号-号=号，所以1Q01= VOP+P0=√（号）广+（号）-2，，所以△0,00的周长是2×2g①+号-4而+卫.故选 9 3 9 A. 9.ACD由x=2-i,可得|=√5，A正确：=2十i,B错误：在复平面内对应的点(2，一1)位于第四象限，C正 确：2+4-11=4一1-4i+8十4i-11=0,D正确.故选ACD. 10.BC因为(.x)=sinr+V3 cOs=2sin(ar+吾)，由于函数y=f(x)在(0，r)上仅有两个零点，则f(.x)= 2n(ar+)-0，解得=音十 k∈D,所以<所以号<a<骨因为w长N,所以w一2，所以 fx)=2sin(2x+三).将函数y=f(x)的图象沿x轴向右平移个单位长度，得到函数g(x) 2sim[2(x-否）+号]=2sim2x的图象.函数y=g(x)的定义域为R,g(-x)=2sim(-2x)=-2sim2x= 一g(x),函数y=g(x)为奇函数，A错误：g(牙)=2sinπ=0，所以函数y=g(x)的图象关于点（受，0）对称，B 正确：当x∈[于，]时，受<2x<,则函数y=g()在[于，]上是减函数，C正确：当吾<x<时， 吾≤2<号则-1≤m2<1.所以-2<g(x)≤2所以函数y=g)在区间[吾，爱]上的值域为[-2.2]， D错误.故选BC. 11,CD令x=y=0,则由f(x十y)+fx-y)=2f(x)f(y),可得2f(0)=2f(0),解得f(0)或f(0)=1. A错误：当f(0)时，令y=0,则f(x+0)十f(x)=2f(x)f(0)=0,则f(x)=0,故f(x)=0,函数f(x) 既是奇函数又是偶函数：当f(0)=1时，令x=0,则f(y)十f(一y)=2f(0)f(y)=2f(y),所以f(一y) f(y),则一∫(-y)=∫(y),即∫(-y)=一∫(y),则∫(x)为奇函数.综合以上可知广(x)必为奇函数，B错 误：令y=x,则f(2x)+f(0)=2fP(x),故f(2.x)+f(0)≥0.由于0∈R,令t=2.x(t∈R),即f(t)+ f0)≥0.即有f)+f0)≥0.C正确：若f1)=,令x=1y=0.则f1)+f)=2f1)f0).则 【单科模拟综合卷（六）·数学参考答案第2页（共6页）】 f0)=1:令x=y=1,则/2)+f0)=2f1.即/2)+1=名，所以2)=-之：令x=2.y=1.则 3)+f1)=22)f1),即3)+号=-号，所以f3)=-1:令x=3y=1,则4)+f2)= 2f3)).即4)-是=-1，所以f0=-之：令x=4y=1.则f5)+3)=20D,即f6)- 1=-合，所以/6)=合：令x=5y=1.则6)+/)=26)f.即6)-号=合，所以6)=1： 令x=6,y=1.则f7)+f5)=2f6)f.即f)+立=1，所以f7)=:令x=7y=1,则 8)+f6)=27)f1).即f8)+1=之，所以f代8)=-之…，由此可得代0，n∈N的值有周期性， 且6个为一周期，且f(1)+f2)+f3)+f4)+f5)+f(6)=0,故∑fm)=337×[f1)+f(2)+ f(3)+f(4)+f(5)+f(6)]+f(1)+f(2)=0,D正确.故选CD. 12.[号，+o)U10;由题意，方程ar-3x+2=0a∈R)的解至多有1个.①当a=0时，方程-3x+2=0,只有 一个解：②当a≠0时，因为方程a.x2-3.x十2=0(a∈R)的解至多有1个，所以△=(-3)2-4·a·2=9-8a≤ 0,解得a>号，综上，实数a的取值范周是a=0或>号 13.7Ai.AD=Aò-B0=-5,又OA=2,则有OB=3,BC.DC-C)-B0=16-9=7. 14.33由正弦定理及外接圆半径R=2可得，c=2 Rsin C=4sinC,b=2 Rsin B=4sinB.因为anA=血A, cos A' mC-总名所以品A-A=2如品C所以mAsC=sA(2nB-s血C tan C cos Asin C sin C 2 sin Bcos A-sin Ccos A,即sin Acos C+cos Asin C=sin(A+C)=sinB=2 sin Bcos A.因为sinB≠0，所以 cosA=号，即A=吾，所以csA-+正=之，所以k=+c-G=6十C-(2RsnA=+-122 2bc 2次一12，所以≤12（当且仅当6=c时取等号），所以△ABC面积为S=之cmA<号×12×号=3w原，则 △ABC面积的最大值为3√. 15.解：(1)由题意，f(x)=e一1十x,易知函数f(x)在（一∞，十∞）上单周递增， 又f(0)=一1=0，…3分 所以当x∈（一0∞，0）时，f(x)<0,f(x)单调递减：4分 当x∈(0，十0∞)时，f(x)>0,f(x)单调递增.…5分 (2)由题意，(.x)=e十a.x-1,可得f(0)=e十a·0-1=0. 由题可知，f(x)=c十a.x一1在R上单调递增. …7分 令g(x)=e+ax-1,则g'(x)=e十a0恒成立， 所以a≥0时，g'(x）=C十a≥0，符合题意.… …9分 【单科模拟综合卷（六）·数学参考答案第3页（共6页）】 当a<0时，令g'(x)=e十a=0,解得x=ln(-a). 当（一o,n(一a)时，g'(.x)=e十a<0,不符合题意. 12分 综上，实数a的取值范围为[0，十∞).…13分 16.解：(1)记事件A=“小李先答对甲类一道试题”，B=“小李继续答对另一道甲类试题”， C=“小李答对乙类试题”，D=“小李答对丙类试题”， 则PA)=P(B)=号P(CO=子，PD)= …1分 记事件E=“小李答题次数恰好为2次”，则E-(AD)U(AB). 3分 P(E=PAD)+PaB)=PAPD)+P)P-号×号+号X号=号 1=4 即小李答题次数恰好为2次的概率为兰 …5分 (2)设小李最终得分为X,由题知X的可能值为0、10、0、60.… 6分 PX=0)=PAB)=号×号=号 39 7分 P(X=10)=PAD)+PaBD)=号×号+号×号×号-告， …9分 PX=40)=PADC+POBDG)=号×号×号+号×号 28 3 3 2 327 …11分 PX=60)=PADO+PBDC)=号××+号×号××- 2 …13分 所以E0-0x号+10x音+40×号+60x吉-2 …15分 17,(1)证明：因为四边形CDEF为菱形，所以H是CE中点. 连接GH,又G为线段BE的中点，则GH∥BC,且GH=2BC 又AD∥BC且AD=2BC,所以GH∥AD,GH=AD, 所以四边形ADHG是平行四边形，所以AG∥DH.…4分 又AG过平面CDEF,DHC平面CDEF,所以AG∥平面CDEF.…6分 (2)解：以C为坐标原点，CBCD所在直线分别为x、y轴建立空间直角坐标系（如图）， 则有D0.2,0,B(20,0,E0,33),F(01.5),A1.2,0.H(0.号，号)，G (1) 则D心=(1.-之，），D成=(01w3,D亦=(0，-1)，…9分 设平面EDG的一个法向量为m=(1·边，)， 则有m·DE-(x,y,名)·(0，l,N3)=十3=0， 【单科模拟综合卷（六）·数学参考答案第4页（共6页）】 m:-国n(1,,号）=n-2n+号=0， 令=1，得1=y=一√3，故m=(-√3，一3,1). …11分 设平面FDG的一个法向量为n=(少，2)， 则有n…D=(w,)·(0,-13)=一%十V30=0, =0 n心-(…(1.-）=-+ 令2=1，得x2=0,2=3,故n=(0w5,1).… 13分 所以m一清万及2 7 所以二面角E-DG-F的正弦值为，√1-（一）=受 15分 18.(1)解：因为点G(1,%)在C上，则号=2p,而Sm= ·%=1. 2分 所以%= …3分 所以号=2p,解得p=2.声 …4分 所以抛物线C的标准方程为y2=4x. …5分 (2)证明：设A(,y),B(x2,),又直线1的方程为x一y一1=0， x-y-1=0 联立 ,消去y化简并整理得x2一6x+1=0. y=Ar 则1十x2=6,.x1x2=1,故AB的中点为D(3,2). AB|=√1十1|x1一x2=2√/(x1十2)-4知12=8.…7分 因为直线AB的斜率为1，所以直线1的斜率为一1，直线1的方程为x十y一5=0， 将上式代人y2=4.x,消去y化简并整理得x2一14x+25=0. 设M,),V(x4,y),则x十x=14,x3x4=25,故MN的中点为E(7,一2). MN|=十(-1)7|-x4=√2V(十)-43，=85.…9分 连接EA,EB,因为DE1=V(3-7)2+(2+2)7=42, EA2=EB-BD12+1DEP=子1AB12+DE2=子×64+32=48. EM2=ENP=(2MN)=}1MN=×(8/5)=48, 所以|EA=EB引=|EM=|EV,…16分 故A、M、B、V四点在同一圆上。…17分 【单科模拟综合卷（六）·数学参考答案第5页（共6页）】 19.解：(1)5=2十3，分解积的最大值为2×3=6： …1分 6=3十3，分解积的最大值为3×3=9： 2分 7=3+2+2=3十4，分解积的最大值为3×4=12. …3分 (2)由(1)可知，4%(k=1,2,…,)中可以有0个2,1个2,2个2.……4分 当ae(k=1,2,…,n)有3个或3个以上的2时， 因为2十2十2=3十3，且2×2X2<3×3,所以分解积不是最大的.…7分 因此，%(k∈N”)中至多有2个2.…8分 (3)①当a4(k=1,2,…,n)中有1时，因为1×a,<a:十1， 所以分解积不是最大的，可将1加到其它数中，使得分解积变大：…10分 ②由(2)可知，4(k=1,2,…,n)中至多有2个2：…11分 ③当a4(k=1,2,…,n)中有4时， 若将4分解为1十3，由①可知分解积不会最大：若将4分解为2十2，则分解积相同： 若有两个4，因为4十4=3十3十2，且4×43×3×2，所以将4十4改写为3十3十2，使得分解积更大 因此，%(k=1,2,…,n)中至多有1个4，而且可写成2十2：…14分 ④当a4(k=1,2,…,n)中有大于4的数时，不妨设a>4, 因为a<2(a一2)，所以将a,分解为2十(a一2)会使得分解积更大.…16分 综上，@u(k=1,2,…,中只能出现2或3或4，且2不能超过2个，4不能超过1个.…17分 【单科模拟综合卷（六）·数学参考答案第6页（共6页）】