第04章 相似三角形 章节测试练习卷 -2024-2025学年九年级上学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（浙教版）

第04章 相似三角形 章节测试练习卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一．选择题：（本大题共10题，每题3分，满分30分） 1．已知△ABC的周长为C，面积为S；若它的三边都扩大为原来的3 倍，则下列说法中，正确的是（    ） A．周长为3C，面积为3S B．周长为3C，面积为9S C．周长为3C，面积为S D．周长为9C，面积为9S. 2．如图，添加以下哪个条件，仍不能直接证明与相似 （    ）    A． B． C． D． 3．两个相似三角形的对应边上的中线比为，则它们面积比的为（　　） A． B． C． D． 4．已知，且，则等于（    ） A．4 B．8 C．32 D．2 5．如图所示，点D是AB上一点，且∠ACD=∠B，下列结论中不正确的是（   ） A．△ACD∽△ABC B．AC2=AD·AB C． D．AB·AC=BC·CD 6．如图，在中，点在边上，且，，过点作，交边于点，将沿着折叠，得，与边分别交于点，.若的面积为15，则的面积是（   ） A．0.5 B．0.6 C．0.8 D．1.2 7．如图，在正方形中，，点E，F分别是射线，射线上的点，，与交于点P．过点F作，交直线于点H，则的长是（    ） A．4 B． C．3 D． 8．如图，△ADC中，AD＝AC，延长CD至B，使BD＝CD，ED⊥BC交AB于E，EC交AD于F，下列四个结论：①EB＝EC；②△BDE∽△BAC；③△ABC∽△FCD；④若AC＝6，则DF＝3，其中正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．如图，反比例函数图象过第二象限内一点P，过点P的直线分别交x轴，y轴于点A，B，轴于点C，轴于点D，若，则k的值为（　　） A． B．6 C． D．10 10．如图，在正方形ABCD中，AC为对角线，E为AB上一点，过点E作 EF∥AD，与AC、DC 分别交于点G，F，H为CG的中点，连结DE、 EH、DH、FH．下列结论：①EG=DF；②△EHF≌△DHC；③∠AEH+∠ADH=180°；④若，则．其中结论正确的有（  ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 第Ⅱ卷 二、填空题：（本大题共6题，每题3分，满分18分） 11．已知，则的值为 ． 12．已知点P在线段AB上，如果AP2＝AB•BP，AB＝4，那么AP的长是 ． 13．科学家发现，蝴蝶的身体长度与它展开的双翅的长度之比是黄金比，已知蝴蝶展开的双翅的长度是，则蝴蝶身体的长度约为 （精确到）． 14．如图，，，，将绕点逆时针旋转得到，且点在上，连接，则的长是 ． 15．如图，已知正方形的边长为8，E为的中点，F为上一点，且，若G，H分别为的中点，连接，则的长为 ． 16．如图，是正方形的对角线的交点，分别为边上的点，且，则 度；若，则 ．    三．解答题：（本大题共8题，17-22题每题6分，23-24题每题8分，满分52分） 17．如图所示，已知格点三角形（顶点都在网格线交点处的三角形叫做格点三角形，请在图中画出与相似的格点三角形，并使与的相似比等于3． 18．如图，矩形PQMN内接于△ABC，矩形周长为24，AD⊥BC交PN于E，且BC＝10，AE＝16，求△ABC的面积． 19．【学科融合】如图1，在反射现象中，反射光线，入射光线和法线都在同一个平面内；反射光线和入射光线分别位于法线两侧；反射角等于入射角．这就是光的反射定律． 【问题解决】辽阳白塔属国家级文物保护单位，是东北地区最高的砖塔，也是全国六大高塔之一．小强想借助光的反射测量辽阳白塔的高度．如图2，小强在地面处放置一面平面镜（平面镜的大小忽略不计），他站在处通过平面镜恰好能看到塔的顶端，此时测得小强到平面镜的距离为4米．已知平面镜到塔底部中心的距离为177.5米，小亮眼睛到地面的距离为1.6米，，，在同一水平直线上，且，均垂直于．请你帮小强计算出辽阳白塔的高度． 20．为了测量学校银杏树的高度，小军同学采取了如下方法：在地面上点C处平放一面镜子，并在镜子上做一个标记，然后人向后退，直至站在点D处恰好看到银杏树的顶端A在镜子中的像与镜子上的标记重合（如图所示），其中B，C，D三点在同一条直线上．已知小军的眼睛距离地面的高度的长约为，和的长分别为和，求银杏树的高度．（由物理知识可知） 21．如图，在中，，点为边上的一点，将线段绕点顺时针方向旋转（点对应点），当旋转至时，点恰好在同一直线上，此时作于点． (1)求证：； (2)求证：； (3)当时，求线段的长． 22．如图，一块直角三角形木板的两直角边，的长分别为，．要把它加工成面积最大的正方形桌面，甲、乙两位同学的加工方法分别如图①，图②所示，请你用学过的知识说明哪位同学的加工方法符合要求（加工损耗忽略不计，计算结果中的分数可以保留）    23．赵玲和张羽计划合作完成测量凤凰雕塑顶端到地面的高度这一任务．如图，赵玲在点处竖立一根高的标杆，张羽测出地面上的点、标杆上的点和点在一条直线上，利用皮尺测出，．张羽向后退，又测出地面上的点、标杆顶点和点在一条直线上，利用皮尺测出．已知，，点在同一水平线上，点在上，图中所有点都在同一平面内，请你根据测量过程和数据，求出凤凰雕塑顶端到地面的高度． 24．【问题探究】 （1）如图1，和是两个全等的三角形（点A、B、C的对应点分别是D、A、E），点E在的延长线上，交于点F，．求与的比值； 【问题解决】 （2）如图2，四边形是一个人工观光湖，米，米，．现要把四边形观光湖扩建成五边形，根据设计要求要使，B、F之间的距离等于，．并沿修建一座观光桥，为容纳更多的游客，要使观光桥的长度最大．当观光桥的长度最大时，求的长． ( 2 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04章 相似三角形 章节测试练习卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一．选择题：（本大题共10题，每题3分，满分30分） 1．已知△ABC的周长为C，面积为S；若它的三边都扩大为原来的3 倍，则下列说法中，正确的是（    ） A．周长为3C，面积为3S B．周长为3C，面积为9S C．周长为3C，面积为S D．周长为9C，面积为9S. 【答案】B 【知识点】利用相似三角形的性质求解 【分析】根据相似三角形的周长的比等于相似比，相似三角形的面积的比等于相似比的平方判断即可． 【详解】解：△ABC的三边都扩大为原来的3 倍， 其周长为3C，面积为9S 故答案为：B． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． 2．如图，添加以下哪个条件，仍不能直接证明与相似 （    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】证明两三角形相似 【分析】本题考查了相似三角形的判定：①有两个对应角相等的三角形相；②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等，则两个三角形相似．结合已知及三角形相似的判定方法，对每个选项分别分析、判断是解决问题的关键． 【详解】解：由题意可得，， A、当时，，故本选项不符合题意； B、当时，，故本选项不符合题意； C、当时，，故本选项不符合题意； D、当时，不能推断与相似，故选项符合题意； 故选：D． 3．两个相似三角形的对应边上的中线比为，则它们面积比的为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用相似三角形的性质求解 【详解】解：∵两个相似三角形的对应边上的中线比为，即其相似比为， 而相似三角形的面积比等于相似比的平方， ∴其面积比为：． 故选：B． 4．已知，且，则等于（    ） A．4 B．8 C．32 D．2 【答案】D 【分析】根据等比的性质求解. 【详解】∵===4， ∴:===4=， 而a+c+e=8， ∴b+d+f=2. 故选D. 【点睛】本题重点考查的是比例的性质，解答本题的关键在于了解等比的性质. 5．如图所示，点D是AB上一点，且∠ACD=∠B，下列结论中不正确的是（   ） A．△ACD∽△ABC B．AC2=AD·AB C． D．AB·AC=BC·CD 【答案】D 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【详解】试题分析：∵∠ACD=∠B ∠A=∠A ∴△ACD∽△ABC，故A正确； 由△ACD∽△ABC得：， ∴AC2=AB·AD,故B、C正确； 故选D. 考点：相似三角形的判定与性质. 6．如图，在中，点在边上，且，，过点作，交边于点，将沿着折叠，得，与边分别交于点，.若的面积为15，则的面积是（   ） A．0.5 B．0.6 C．0.8 D．1.2 【答案】B 【分析】由DE//BC可得：△ABC∽△ADE,从而得到S△ABC:S△ADE=AB2:AD2,求得S△ADE＝，由折叠的性质求得DF＝2，FM＝1，再由得到S△DEM:S△FMG=DM2:FM2，从而求得S△FMG. 【详解】∵, ∴△ABC∽△ADE, ∴S△ABC:S△ADE=AB2:AD2, 又∵，，的面积为15， ∴S△ADE＝， ∵沿着折叠，得，与边分别交于点， ∴∠ADE＝∠B＝∠EDF＝∠DFB，DM＝AD＝3， ∴DF＝DB＝2， ∴FM＝DM－DF＝3－2＝1， ∵, ∴△DEM∽△FMG， ∴S△DEM:S△FMG=DM2:FM2,即 ∴S△FMG=0.6. 故选B. 【点睛】考查了翻折变换的性质及其应用问题、相似三角形的判定和性质，解题的关键是利用相似三角形的面积之比等于相似比的平方. 7．如图，在正方形中，，点E，F分别是射线，射线上的点，，与交于点P．过点F作，交直线于点H，则的长是（    ） A．4 B． C．3 D． 【答案】B 【知识点】两直线平行同位角相等、全等的性质和SAS综合（SAS）、根据正方形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合 【分析】首先根据正方形的性质，得出，，可得，证明，则，由平行线的性质可得，则，证明，则，即，求出的值，根据，求的值即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， 又∵， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， 解得：， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的性质与判定、平行线的性质、相似三角形的性质与判定．解本题的关键在熟练掌握相关的性质与定理． 8．如图，△ADC中，AD＝AC，延长CD至B，使BD＝CD，ED⊥BC交AB于E，EC交AD于F，下列四个结论：①EB＝EC；②△BDE∽△BAC；③△ABC∽△FCD；④若AC＝6，则DF＝3，其中正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定、相似三角形的判定与性质综合 【分析】由BD＝CD，ED⊥BC可知△BDE≌△CDE（SAS），故EB＝EC正确，因为AD＝AC，由等角对等边有∠ADC=∠ACD，又因为△BDE≌△CDE所以∠ABC=∠ECB，所以△ABC∽△FCD，故错误，正确，因为BD＝CD所以△ABC∽△FCD相似比为2：1，所以AC：DF=2：1，所以AC＝6，则DF＝3正确，故共有3个正确． 【详解】∵BD＝CD，ED⊥BC，ED=ED ∴△BDE≌△CDE（SAS）， ∴EB＝EC，∠ABC=∠ECB 又∵AD＝AC， ∴∠ADC=∠ACD， ∴△ABC∽△FCD ∵BD＝CD ∴△ABC∽△FCD相似比为2：1 ∴AC：DF=2：1 ∴AC＝6，DF＝3 故正确，共3个正确． 故选：C． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质，熟练掌握和灵活运用等腰三角形、相似三角形、全等三角形的性质是解题的关键． 9．如图，反比例函数图象过第二象限内一点P，过点P的直线分别交x轴，y轴于点A，B，轴于点C，轴于点D，若，则k的值为（　　） A． B．6 C． D．10 【答案】C 【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式）、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，通过相似三角形得出是解题的关键． 利用与相似即可解决问题． 【详解】解：轴，轴， ，轴， ， ， ∴． 又， ， 即． 又∵点P在反比例函数的图象上， ， 则， 又∵反比例函数的一支位于第二象限， ， ． 故选：C． 10．如图，在正方形ABCD中，AC为对角线，E为AB上一点，过点E作 EF∥AD，与AC、DC 分别交于点G，F，H为CG的中点，连结DE、 EH、DH、FH．下列结论：①EG=DF；②△EHF≌△DHC；③∠AEH+∠ADH=180°；④若，则．其中结论正确的有（  ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】①根据题意可知∠ACD=45°，则GF=FC，则EG=EF-GF=CD-FC=DF；②由SAS证明△EHF≌△DHC即可；③根据△EHF≌△DHC，得到∠HEF=∠HDC，从而∠AEH+∠ADH=∠AEF+∠HEF+∠ADF-∠HDC=180°；④若=，则AE=2BE，可以证明△EGH≌△DFH，则∠EHG=∠DHF且EH=DH，则∠DHE=90°，△EHD为等腰直角三角形，过H点作HM垂直于CD于M点，设HM=x，则DM=5x，DH=，CD=6x，则S△DHC=×HM×CD=3x2，S△EDH=×DH2=13x2． 【详解】解：①∵四边形ABCD为正方形,EF∥AD， ∴EF=AD=CD,∠ACD=45°,∠GFC=90°， ∴△CFG为等腰直角三角形， ∴GF=FC， ∵EG=EF−GF，DF=CD−FC， ∴EG=DF，故①正确； ②∵△CFG为等腰直角三角形，H为CG的中点， ∴FH=CH,∠GFH=∠GFC=45°=∠HCD， 在△EHF和△DHC中， EF=CD；∠EFH=∠DCH；FH=CH， ∴△EHF≌△DHC(SAS)，故②正确； ③∵△EHF≌△DHC(已证)， ∴∠HEF=∠HDC， ∴∠AEH+∠ADH=∠AEF+∠HEF+∠ADF−∠HDC=∠AEF+∠ADF=180°，故③正确； ④∵=， ∴AE=2BE， ∵△CFG为等腰直角三角形，H为CG的中点， ∴FH=GH,∠FHG=90°， ∵∠EGH=∠FHG+∠HFG=90°+∠HFG=∠HFD， 在△EGH和△DFH中， EG=DF；∠EGH=∠HFD；GH=FH， ∴△EGH≌△DFH(SAS)， ∴∠EHG=∠DHF,EH=DH,∠DHE=∠EHG+∠DHG=∠DHF+∠DHG=∠FHG=90°, ∴△EHD为等腰直角三角形， 如图，过H点作HM⊥CD于M， 设HM=x,则DM=5x,DH=，CD=6x， 则S△DHC=×HM×CD=3x2,S△EDH=×DH2=13x2， ∴3S△EDH=13S△DHC，故④正确； 故选D. 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，正方形的性质，解题关键在于根据题意熟练的运用相关性质. 第Ⅱ卷 二、填空题：（本大题共6题，每题3分，满分18分） 11．已知，则的值为 ． 【答案】// 【知识点】比例的性质 【分析】本题考查比例的性质，根据比例设，代入计算是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴设， 则， 故答案为：． 12．已知点P在线段AB上，如果AP2＝AB•BP，AB＝4，那么AP的长是 ． 【答案】2﹣2/ 【知识点】成比例线段 【分析】先证出点P是线段AB的黄金分割点，再由黄金分割点的定义得到AP＝AB，把AB＝4代入计算即可． 【详解】解：∵点P在线段AB上，AP2＝AB•BP， ∴点P是线段AB的黄金分割点，AP＞BP， ∴AP＝AB＝×4＝2﹣2， 故答案为：2﹣2． 【点睛】本题考查了黄金分割点，牢记黄金分割比是解题的关键． 13．科学家发现，蝴蝶的身体长度与它展开的双翅的长度之比是黄金比，已知蝴蝶展开的双翅的长度是，则蝴蝶身体的长度约为 （精确到）． 【答案】2.5 【知识点】成比例线段 【分析】设蝴蝶身体的长度为xcm，根据黄金比为列式计算即可． 【详解】设蝴蝶身体的长度为xcm，由题意得：x：4，解得：x=22≈2.5． 故答案为2.5． 【点睛】本题考查了黄金分割的概念和性质，掌握黄金比为是解题的关键． 14．如图，，，，将绕点逆时针旋转得到，且点在上，连接，则的长是 ． 【答案】 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、用勾股定理解三角形、根据旋转的性质求解 【分析】本题考查了勾股定理、旋转的性质、相似三角形的判定与性质，由勾股定理得出，由旋转的性质可得：，，，，证明，得出，再由勾股定理求出，代入计算即可得出答案． 【详解】解：∵，，， ∴， 由旋转的性质可得：，，，， ∵， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 15．如图，已知正方形的边长为8，E为的中点，F为上一点，且，若G，H分别为的中点，连接，则的长为 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、与三角形中位线有关的求解问题、根据正方形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合 【分析】根据正方形的性质和勾股定理可得，取的中点，连接，过点作于点，过点作于点，得矩形，然后证明，得，所以，利用勾股定理求出，则，求出，再根据三角形中位线定理即可解决问题． 【详解】解：正方形的边长为8，为的中点， ， ， ， ， ， ， 如图，取的中点，连接，过点作于点，过点作于点， 得矩形， ，， ， ， ， ， ， ， 为的中点， ， 是的中点， ， ， 设，则， ， ， ， ，则， ， ， ， ，分别为，的中点， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形中位线定理，相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到． 16．如图，是正方形的对角线的交点，分别为边上的点，且，则 度；若，则 ．    【答案】 45 【知识点】全等的性质和SSS综合（SSS）、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，在上截取，证明，可得，，再证明得从而可得证明得，结合已知可得证明设正方形的边长为，根据勾股定理求出相关线段，即可得出结论． 【详解】解：在上截取，如图，    ∵ ∴， ∵四边形是正方形， ∴ ∴， ∴，， ∵ ∴ ∵ ∴， ∴ ∵， ∴ ∵ ∴ ∴； ∴ 又 ∴ ∴， 又∵ ∴ 设正方形的边长为，则， ∴ ∵ ∴， ∴ ∴； ∴ 又， ∴ ∴, 又， ∴， ∴ ∴， ∴ 三．解答题：（本大题共8题，17-22题每题6分，23-24题每题8分，满分52分） 17．如图所示，已知格点三角形（顶点都在网格线交点处的三角形叫做格点三角形，请在图中画出与相似的格点三角形，并使与的相似比等于3． 【答案】见解析 【知识点】在网格中画与已知三角形相似的三角形 【分析】由图可知∠ACB=135o，AC=1，BC=，因为与的相似比等于3，可算出AC=3,BC=3，从而画出图形． 【详解】解：如图所示（答案不唯一）. 【点睛】本题主要考查的是相似三角形知识点，根据相似比先计算出放大后的各边长，即可画出图形． 18．如图，矩形PQMN内接于△ABC，矩形周长为24，AD⊥BC交PN于E，且BC＝10，AE＝16，求△ABC的面积． 【答案】100． 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用)、相似三角形的判定与性质综合 【详解】试题分析：求的面积，即求出底边与高即可，因为，所以可得对应边成比例，可设，用未知数代入求解即可． 试题解析：∵矩形， 设又矩形周长为24，则 解得 考点：1、矩形的性质；2、解一元二次方程；3、相似三角形的性质与判定． 19．【学科融合】如图1，在反射现象中，反射光线，入射光线和法线都在同一个平面内；反射光线和入射光线分别位于法线两侧；反射角等于入射角．这就是光的反射定律． 【问题解决】辽阳白塔属国家级文物保护单位，是东北地区最高的砖塔，也是全国六大高塔之一．小强想借助光的反射测量辽阳白塔的高度．如图2，小强在地面处放置一面平面镜（平面镜的大小忽略不计），他站在处通过平面镜恰好能看到塔的顶端，此时测得小强到平面镜的距离为4米．已知平面镜到塔底部中心的距离为177.5米，小亮眼睛到地面的距离为1.6米，，，在同一水平直线上，且，均垂直于．请你帮小强计算出辽阳白塔的高度． 【答案】辽阳白塔的高度是71米． 【知识点】相似三角形应用举例 【分析】本题主要考查以物理反射光线为背景的相似三角形问题．利用相似三角形模型可以解决，入射角反射角，可以直接证明，在利用对应边之比，即可求出的长度． 【详解】解：由光的反射定律得到：； ∵，均垂直于； ∴； ∴； ∴； ∴； ∴（米）； 答：辽阳白塔的高度是71米． 20．为了测量学校银杏树的高度，小军同学采取了如下方法：在地面上点C处平放一面镜子，并在镜子上做一个标记，然后人向后退，直至站在点D处恰好看到银杏树的顶端A在镜子中的像与镜子上的标记重合（如图所示），其中B，C，D三点在同一条直线上．已知小军的眼睛距离地面的高度的长约为，和的长分别为和，求银杏树的高度．（由物理知识可知） 【答案】银杏树的高度约为 【知识点】相似三角形应用举例 【分析】本题考查了相似三角形的应用．熟练掌握相似三角形的应用是解题的关键． 由题意证明，则，即，计算求解，然后作答即可． 【详解】解：由题意知，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， 解得，， ∴银杏树的高度约为． 21．如图，在中，，点为边上的一点，将线段绕点顺时针方向旋转（点对应点），当旋转至时，点恰好在同一直线上，此时作于点． (1)求证：； (2)求证：； (3)当时，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)10 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、根据旋转的性质求解、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）根据旋转的性质可得，根据等边对等角的性质可得，再根据等角的余角相等证明即可； （2）过点P作于D，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得，然后求出，利用“角角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，从而得证； （3）设，表示出，然后利用勾股定理列式求出，再求出，根据相似三角形对应边成比例列式求出，然后在中，利用勾股定理列式求解即可． 【详解】（1）证明：∵是旋转得到， ∴， ∴， ，， ， 又∵， ； （2）证明：如图，过点P作于D， ∵， ， ∵， ， 又∵， ， 在和中， ∵， ∴， ， ； （3）解：∵， ∴设，则， 在中，， ∵， ， ∵， ， 又∵， ， 又∵， ， ∴，即， 解得：， 在中，， 即， 解得：（负值已舍去）． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质是解题的关键． 22．如图，一块直角三角形木板的两直角边，的长分别为，．要把它加工成面积最大的正方形桌面，甲、乙两位同学的加工方法分别如图①，图②所示，请你用学过的知识说明哪位同学的加工方法符合要求（加工损耗忽略不计，计算结果中的分数可以保留）    【答案】甲同学的加工方法符合要求 【知识点】用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合 【分析】 设正方形的边长为x，然后找到合适的相似三角形建立线段之间的比例关系，求得x的值． 【详解】设正方形的边长为 ． 甲的方法：由 ，得 ， 即 ，解得 ； 乙的方法：过点 作 边上的高线，分别交 ， 于点 ，(如下图)，    由勾股定理得：． ， ∴．则． 由 ，得 ， 即 ，解得 ． 因为 ， 所以甲同学的加工方法符合要求． 【点睛】本题考查了直角三角形、正方形、相似三角形的性质及应用，解题的关键是找到恰当的相似三角形来求得正方形的边长． 23．赵玲和张羽计划合作完成测量凤凰雕塑顶端到地面的高度这一任务．如图，赵玲在点处竖立一根高的标杆，张羽测出地面上的点、标杆上的点和点在一条直线上，利用皮尺测出，．张羽向后退，又测出地面上的点、标杆顶点和点在一条直线上，利用皮尺测出．已知，，点在同一水平线上，点在上，图中所有点都在同一平面内，请你根据测量过程和数据，求出凤凰雕塑顶端到地面的高度． 【答案】28米 【知识点】相似三角形应用举例 【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． 根据已知条件推出，，得到，，代入已知数据计算即可求解． 【详解】解：由题意可得， ，， ，， ，， ，， 解得． 凤凰雕塑顶端到地面的高度为28米． 24．【问题探究】 （1）如图1，和是两个全等的三角形（点A、B、C的对应点分别是D、A、E），点E在的延长线上，交于点F，．求与的比值； 【问题解决】 （2）如图2，四边形是一个人工观光湖，米，米，．现要把四边形观光湖扩建成五边形，根据设计要求要使，B、F之间的距离等于，．并沿修建一座观光桥，为容纳更多的游客，要使观光桥的长度最大．当观光桥的长度最大时，求的长． 【答案】（1）；（2）米 【知识点】用勾股定理解三角形、根据矩形的性质与判定求线段长、相似三角形的判定与性质综合 【分析】此题考查了矩形的判定和性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定和添加适当的辅助线是解题的关键． （1）证明，进一步即可得到，结论得证； （2）连接，过点B作于点G．延长交于点M，证明四边形、是矩形，求出，进一步得到，延长到点，使得，过点作于点H，交的延长线于点，当点C、B、F共线时，即点F与点重合时的值最大，最大值为180，证明，则，得到．，则，证明四边形是矩形，则．，求出即可． 【详解】解：（1） ． ． ． ， ， （2）连接，过点B作于点G．延长交于点M， ∵ ∴四边形是矩形， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴四边形是矩形， ∴，， ∵ ∴ ∵B、F之间的距离等于， 延长到点，使得，过点作于点H，交的延长线于点 由图可得． 当点C、B、F共线时，即点F与点重合时，的值最大，最大值为180 ， ， ，即 ．， ∵ ∴四边形是矩形， ∴． ： ． ∴当观光桥的长度最大时，的长为米 ( 2 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$