第04章 图形的相似 章节测试练习卷 -2024-2025学年九年级上学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（北师大版）

第04章 图形的相似 章节测试练习卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一．选择题：（本大题共10题，每题3分，满分30分） 1．如果两个相似三角形对应高之比是9∶16，那么它们的对应周长之比是 （   ） A．3∶4 B．4∶3 C．9∶16 D．16∶9 2．如图，AD是△ABC的中线，AE=EF=FC，则下列关系式：①②③，其中正确的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 3．鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金比例，是自然界最美的鬼斧神工．如图，点P是的黄金分割点，若线段的长为，则的长为（    ）    A． B． C． D． 4．如图，在中，点D，E分别在上，，如果，那么（    ） A． B． C． D． 5．如图，在中，，已知，则的值是（    ）    A． B． C． D．3 6．如图，在钝角三角形ABC中，AB=6cm，AC=12cm，动点D从A点出发到B点止，动点E从C点出发到A点止.点D运动的速度为1cm/秒，点E运动的速度为2cm秒.如果两点同时运动，那么当以点A、D、E为顶点的三角形与△ ABC相似时，运动的时间是(           ) A．3或2.8 B．3或4.8 C．1或4 D．1或6 7．下列说法错误的是（ ） A．有一个角等于的两个等腰三角形相似 B．有一个角等于的两个等腰三角形相似 C．有一个角等于的两个等腰三角形相似 D．有一个角等于的两个等腰三角形相似 8．如图，在中，，，若，，则的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 9．如图，四边形的对角线交于点是的中点．下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 10．把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大的比值，则这个比值为黄金分割，比值为，它被公认为是最能引起美感的比例，如图为世界名画蒙娜丽莎．如图，点是正方形的边上的黄金分割点，且，以为边作正方形，延长交于点，连结交于点，连结，则为（　　） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 二．填空题：（本大题共8题，每题2分，满分16分） 11．如图，与是位似图形，相似比为，已知，则的长为 ．    12．如图，在中，点D、E分别在边上，，，，，那么 ． 13．在如图所示的正方形网格中，以点O为位似中心，作的位似图形，若点D是点C的对应点，则点A的对应点是点 ．    14．如图，是正方形边上的点，添加一个条件 ，使(填一个即可)． 15．如图，在中，，，D、E分别为、中点，连接、相交于点F，点G在上，且，则四边形的面积为 ． 16．如图：正方形ABCD中，BC＝，AC为对角线，P为△ABC内一点，连接PA、PB、PC，若PB⊥PA，∠1＝∠2，则PC＝ ． 17．如图，四边形ABCD是正方形，点E是CD的中点，点P是BC上一动点，要使以点A、B、P为顶点的三角形与△ECP相似，还需具备一个条件是 （填一个即可）． 18．如图①②，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点是横轴上的一点，点在轴上，且，． （1）如图①，当时， ；（提示：过点作轴垂线，垂足为，交过点作轴的垂线于点） （2）连接，设的中点为，在点从这个时刻走到这个时刻的过程中，点所走过的路线长是 ． 三．解答题：（本大题共8题，19-23题每题6分，24-26题每题8分，满分54分） 19．某校社会实践小组为了测量古塔的高度，在地面上C处垂直于地面竖立了高度为2米的标杆，这时地面上的点E，标杆的顶端点D，古塔的塔尖点B正好在同一直线上，测得米，将标杆向后平移到点G处，这时地面上的点F，标B杆的顶端点H，古塔的塔尖点B正好在同一直线上（点F，点G，点E，点C与古塔底处的点A在同一直线上），这时测得米，米，请你根据以上数据，计算古塔的高度AB． 20．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝5．点E，F分别在边AD，BC上，点A与点C关于EF所在的直线对称． （1）连接AF，CE，判断四边形AFCE是何种特殊的四边形，并说明理由． （2）若P是边DC上的一动点，当△PEF的周长最小时，求的值． 21．如图，四边形为正方形，． (1)证明： (2)不添加辅助线，添加一个角的条件，证明 22．图I是大拇指广场示意图及测量其高度的方案，图II是求大拇指高度的示意图．如图II，在C处放置一根高度为且与地平线垂直的竹竿，点A，I，D在同一直线上，测得为．将竹竿平移至E处，点A，G，F在同一直线上，测得为．求大拇指的高度． 23．如图，要测量长春南溪湿地公园的荷花池A、B两端的距离，由于条件限制无法直接测得，请你用所学过的相似三角形的有关知识设计出一种测量方案． 具体要求：①用直尺或圆规画出测量的示意图，并说明应用的数学原理；②需要测量哪些有关的数据；③待测量的数据可以用a、b、c、d等字母表示，最后表达出AB的长． 24．（1）如图1，点E是正方形的边上一点，把绕点A顺时针旋转到的位置，若四边形的面积为25，，则的长为________； （2）如图2，在一块斜边长为35厘米的直角三角形木板（即）中截取一个正方形，点D在边上，点E在边上，点F在边上，若，求这块木板截取正方形后剩余部分的面积； （3）如图3，某施工队要给一片四边形土地播撒绿植，每平米绿植100元．已知在四边形土地中，，，，若为等边三角形，求播撒这片四边形土地共需要多少钱？ 25．如图，在中，，点D是边上的一点，将线段绕点D顺时针旋转得到线段，使点E落在线段上，连接，点F为线段的中点，连接，． (1)①依题意补全图形； ②若，判断的形状，并证明； (2)若，，当点D在线段上运动，且时，线段的最小值为__________． 26．如图，边长为的正方形内部有一点（不在边界上），过点分别作两边的平行线，，与各边的交点分别为，，，，记四边形面积为，四边形的面积分别为，四边形的面积为，四边形的面积为，，． (1)若，，求的值； (2)若，求证：； (3)对于确定的值，试讨论在线段上存在几个点，使得． ( 2 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04章 图形的相似 章节测试练习卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一．选择题：（本大题共10题，每题3分，满分30分） 1．如果两个相似三角形对应高之比是9∶16，那么它们的对应周长之比是 （   ） A．3∶4 B．4∶3 C．9∶16 D．16∶9 【答案】C 【知识点】利用相似三角形的性质求解 【详解】根据相似三角形对应高的比，对应周长的比都等于相似比，所以它们的对应周长之比是9：16，故选C 2．如图，AD是△ABC的中线，AE=EF=FC，则下列关系式：①②③，其中正确的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】B 【知识点】与三角形中位线有关的证明、由平行判断成比例的线段 【分析】根据三角形的中位线的性质定理和平行线分线段定理的推论即可判定． 【详解】解：∵BD=DC，EF=FC=AE， ∴DF为△CBE的中位线， ∴DF∥BE， ∴，， ∴GE=DF，DF=BE， ∴， ∴， 故①③正确，②错误； 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形的中位线的性质定理，平行线分线段成比例定理的推论，本题的关键是得出DF∥BE． 3．鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金比例，是自然界最美的鬼斧神工．如图，点P是的黄金分割点，若线段的长为，则的长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】黄金分割 【分析】根据黄金分割的定义进行计算即可解答． 【详解】解：是的黄金分割点，线段的长为， ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键． 4．如图，在中，点D，E分别在上，，如果，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】直接利用相似三角形的判定得出和性质得出，，即可求解． 【详解】解：在与中， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 【点睛】题目主要考查相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题关键． 5．如图，在中，，已知，则的值是（    ）    A． B． C． D．3 【答案】B 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了相似三角形的判定及性质，先根据平行得出，再根据相似三角形的性质即可得出答案． 【详解】 ， 故选B． 6．如图，在钝角三角形ABC中，AB=6cm，AC=12cm，动点D从A点出发到B点止，动点E从C点出发到A点止.点D运动的速度为1cm/秒，点E运动的速度为2cm秒.如果两点同时运动，那么当以点A、D、E为顶点的三角形与△ ABC相似时，运动的时间是(           ) A．3或2.8 B．3或4.8 C．1或4 D．1或6 【答案】B 【知识点】相似三角形——动点问题 【分析】根据相似三角形的性质，由题意可知有两种相似形式，△ADE∽△ABC和△ADE∽△ACB，可求运动的时间是3秒或4.8秒． 【详解】根据题意得：设当以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是x秒，①若△ADE∽△ABC，则AD：AB＝AE：AC，即x：6＝（12﹣2x）：12，解得：x＝3； ②若△ADE∽△ACB，则AD：AC＝AE：AB，即x：12＝（12﹣2x）：6，解得：x＝4.8． 所以当以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是3秒或4.8秒． 故选B． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，解题时要注意此题有两种情况，不要漏解；还要注意运用方程思想解题． 7．下列说法错误的是（ ） A．有一个角等于的两个等腰三角形相似 B．有一个角等于的两个等腰三角形相似 C．有一个角等于的两个等腰三角形相似 D．有一个角等于的两个等腰三角形相似 【答案】D 【知识点】证明两三角形相似 【分析】首先根据题意可求得各等腰三角形的三个角的度数，然后根据有两组角对应相等的两个三角形相似，即可求得答案． 【详解】A. 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形，故相似，本选项正确； B. 有一个角等于100°的等腰三角形的三角分别为：100°,40°,40°，故相似，本选项正确； C. 有一个角等于90°的等腰三角形的三角分别为：90°,45°,45°，故相似，本选项正确； D. 有一个角等于30°的等腰三角形的三角分别为：30°,75°,75°或30°,30°,120°，故不一定相似，本选项错误. 故答案选D. 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是熟练的掌握相似三角形的判定. 8．如图，在中，，，若，，则的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】A 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】先求出，再根据平行线分线段成比例得出，，由此结合即可求出答案． 【详解】∵ ∴，即 ∵， ∴， 又 ∴ 故选：A． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟记并灵活运用定理是解题关键． 9．如图，四边形的对角线交于点是的中点．下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、斜边的中线等于斜边的一半、根据正方形的性质与判定证明、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查直角三角形斜边上中线的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可以得到，过点作，垂足分别为，则四边形是正方形，即可得到，，然后证明即可得到，但是不能判断，逐一判断即可解题． 【详解】是的中点， ，A项正确； 过点作，垂足分别为，则四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， 又 ， ， ∴四边形是正方形， ，B项正确； ，C项正确； ， ，即． 由题无法得出，故D项错误； 故选D． 10．把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大的比值，则这个比值为黄金分割，比值为，它被公认为是最能引起美感的比例，如图为世界名画蒙娜丽莎．如图，点是正方形的边上的黄金分割点，且，以为边作正方形，延长交于点，连结交于点，连结，则为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据正方形的性质证明、比例的性质、相似三角形的判定与性质综合、黄金分割 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形、矩形的性质与判定，黄金分割的意义，比例的性质，三角形的面积，根据正方形的性质得出，，，根据黄金分割的意义得出 ，由，得出 ，根据合比性质得出 ，即可得到，根据矩形的性质与判定得出，最后根据三角形的面积求出即可求解，掌握黄金分割的意义是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵点是正方形的边上的黄金分割点，且， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 故选：． 第Ⅱ卷 二．填空题：（本大题共8题，每题2分，满分16分） 11．如图，与是位似图形，相似比为，已知，则的长为 ．    【答案】 【知识点】位似图形相关概念辨析、求两个位似图形的相似比 【分析】根据相似比，列出比例式即可求解． 【详解】解：∵与是位似图形，相似比为， ∴ ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了位似图形，相似三角形的性质,属于简单题,列出比例式是解题关键． 12．如图，在中，点D、E分别在边上，，，，，那么 ． 【答案】12 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】通过证明，根据相似三角形对应边成比例即可进行解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∴，即，解得：， 故答案为：12． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握有两个角相等的两个三角形相似，相似三角形对应边成比例． 13．在如图所示的正方形网格中，以点O为位似中心，作的位似图形，若点D是点C的对应点，则点A的对应点是点 ．    【答案】H 【知识点】求位似图形的对应坐标 【分析】连接并延长，根据位似变换的性质判断即可． 【详解】解：如图，连接并延长，   以点为位似中心，点D是点C的对应点， 位似比为， 则点A的对应点是H， 故答案为：H． 【点睛】本题考查了位似变换，掌握位似图形的对应点连线相交于一点以及位似图形的性质是解题的关键． 14．如图，是正方形边上的点，添加一个条件 ，使(填一个即可)． 【答案】等 【知识点】选择或补充条件使两个三角形相似 【分析】根据相似三角形的判定添加条件即可. 【详解】解：∵△EBF∽△FCG，∠B=∠C， ∴可添加， 故答案为：（答案不唯一）. 【点睛】本题考查相似三角形的判定，关键是根据相似三角形的判定方法解答． 15．如图，在中，，，D、E分别为、中点，连接、相交于点F，点G在上，且，则四边形的面积为 ． 【答案】/平方厘米 【知识点】三角形中位线与三角形面积问题、相似三角形的判定与性质综合 【分析】此题考查了相似三角形的性质和判定，三角形中位线的性质，三角形面积公式等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．连结，利用三角形中位线定理可得，，，即得，所以，即可求出，再由可求得，由此即得答案． 【详解】如图所示，连接， ∵D、E分别为、中点， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形的面积． 故答案为：． 16．如图：正方形ABCD中，BC＝，AC为对角线，P为△ABC内一点，连接PA、PB、PC，若PB⊥PA，∠1＝∠2，则PC＝ ． 【答案】 【知识点】根据正方形的性质证明、相似三角形的判定与性质综合 【分析】通过证明△APC∽△CPB，可得＝，即PA＝PC，PB＝PC，由勾股定理可求解． 【详解】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC＝4，∠ACB＝45°，AC＝4， ∴∠1+∠BCP＝45°， ∵∠1＝∠2， ∴∠2+∠BCP＝45°， ∴∠BPC＝135°， ∵PB⊥PA， ∴∠APB＝90°， ∴∠APC＝135°， ∴∠APC＝∠BPC， ∴△APC∽△CPB， ∴＝， ∴PA＝PC，PB＝PC， ∵AB2＝PA2+PB2， ∴80＝PC2， ∴PC＝4， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，证明三角形相似是解题的关键． 17．如图，四边形ABCD是正方形，点E是CD的中点，点P是BC上一动点，要使以点A、B、P为顶点的三角形与△ECP相似，还需具备一个条件是 （填一个即可）． 【答案】 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】由于△ABP与△ECP都是直角三角形，根据如果两个三角形有两组对应边的比相等，并且它们的夹角也相等，则当AB：EC=BP：CP时能得到△ABP与△ECP相似，即可得到BP=2CP． 【详解】解：∵△ABP与△ECP都是直角三角形， ∴当AB：EC＝BP：CP时能得到△ABP与△ECP相似， 而E是CD的中点， ∴AB：EC＝BP：CP＝2：1， ∴BP＝2CP． 故答案为：BP＝2CP． 【点睛】本题考查了三角形相似的判定，正方形的性质，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 18．如图①②，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点是横轴上的一点，点在轴上，且，． （1）如图①，当时， ；（提示：过点作轴垂线，垂足为，交过点作轴的垂线于点） （2）连接，设的中点为，在点从这个时刻走到这个时刻的过程中，点所走过的路线长是 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、斜边的中线等于斜边的一半、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质、勾股定理的等内容． （1）过作轴于点，过作轴的垂线交于点，证即可得解； （2）连接，，则，所以点在点在线段的垂直平分线上，从而发现当时，点在上运动，求出长度即可． 【详解】解：（1）过作轴于点，过作轴的垂线交于点，则， ， ，， ， ， ， ， ， ∴， ， ∴， ∴， 故答案为：； （2）如图，连接，，的中点，过作轴于点，则，， ，的中点为， ， 点在线段的垂直平分线上， 设线段的垂直平分线交轴于点，则， ∵中，， ∴， 解得， 当时，与原点重合，此时，得到， 此时点与的中点重合， ， ∴， 当时，，此时， ∴，， ∴， ∴，即此时点与原点重合，与重合， ∴当时，点在上运动，点所走过的路线为线段，， 即在点从这个时刻走到这个时刻的过程中，点所走过的路线长是， 故答案为：． 三．解答题：（本大题共8题，19-23题每题6分，24-26题每题8分，满分54分） 19．某校社会实践小组为了测量古塔的高度，在地面上C处垂直于地面竖立了高度为2米的标杆，这时地面上的点E，标杆的顶端点D，古塔的塔尖点B正好在同一直线上，测得米，将标杆向后平移到点G处，这时地面上的点F，标B杆的顶端点H，古塔的塔尖点B正好在同一直线上（点F，点G，点E，点C与古塔底处的点A在同一直线上），这时测得米，米，请你根据以上数据，计算古塔的高度AB． 【答案】古塔的高度为22米 【知识点】相似三角形应用举例 【分析】本题考查相似三角形的应用，根据题意易知，，可得，，因为，推出，列出方程求出（米），由，可得，由此即可解决问题． 【详解】解：由题意得：，， ∴，， ， ∴， ， （米）， ∵， ∴， （米）， 答：古塔的高度为22米． 20．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝5．点E，F分别在边AD，BC上，点A与点C关于EF所在的直线对称． （1）连接AF，CE，判断四边形AFCE是何种特殊的四边形，并说明理由． （2）若P是边DC上的一动点，当△PEF的周长最小时，求的值． 【答案】（1）菱形，理由见解析；（2） 【知识点】根据矩形的性质求线段长、证明四边形是菱形、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）连接AF、CE，AC交于EF于点O，由“AAS”证明△AEO≌△CFO，四边形AFCE是平行四边形，再结合AC⊥EF，即可求证结论； （2）作点F关于CD的对称点H，连接EH，交CD于点P，此时△PEF的周长最小，由AD∥BC，可得△DEP∽△CHP，由相似三角形性质可得比例式继而求得答案． 【详解】解：（1）四边形AFCE是菱形． 证明：如图，连接AF，CE，AC交EF于点O， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD，AD＝BC，AD∥BC， ∴∠AEO＝∠CFO，∠EAO＝∠FCO， ∵点A与点C关于EF所在的直线对称， ∴AO＝CO，AC⊥EF， 在△AEO和△CFO中， ， ∴△AEO≌△CFO（AAS）， ∴AE＝CF，且AE∥CF， ∴四边形AFCE是平行四边形， 又∵AC⊥EF， ∴四边形AFCE是菱形； （2）如图，作点F关于CD的对称点H，连接EH，交CD于点P，此时△PEF的周长最小， ∵四边形AFCE是菱形， ∴AF＝CF＝CE＝AE， ∵， ∴， ∴AF＝CF＝CH＝，DE＝， ∵AD∥BC， ∴△DEP∽△CHP， ∴＝． 【点睛】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定及其性质，相似三角形的判定及其性质，解题的关键是熟练掌握所学知识的及作辅助线． 21．如图，四边形为正方形，． (1)证明： (2)不添加辅助线，添加一个角的条件，证明 【答案】(1)见解析 (2)添加，证明见解析 【知识点】垂线的定义理解、添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合）、根据正方形的性质证明、证明两三角形相似 【分析】本题考查了相似三角形的判定，正方形的性质，垂直的概念，三角形全等的判定； （1）证明有两对角相等即可判断； （2）假设，可以推出即可． 【详解】（1）证明：， ， 又， ， ， ， ， ； （2）解：添加， 如果， ， ， ， ， ， 为等腰直角三角形， ， 故添加：，能证明． 22．图I是大拇指广场示意图及测量其高度的方案，图II是求大拇指高度的示意图．如图II，在C处放置一根高度为且与地平线垂直的竹竿，点A，I，D在同一直线上，测得为．将竹竿平移至E处，点A，G，F在同一直线上，测得为．求大拇指的高度． 【答案】大拇指的高度为 【知识点】相似三角形应用举例 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． 分别证明、可得、，进而得到可得；最后将代入求得的值即可解答． 【详解】解：由题意可得：， ∴． ∴． 由题意可得：， ∴． ∴． ∵， ∴， 即，解得：． 将代入， 得，解得． ∴大拇指的高度为． 23．如图，要测量长春南溪湿地公园的荷花池A、B两端的距离，由于条件限制无法直接测得，请你用所学过的相似三角形的有关知识设计出一种测量方案． 具体要求：①用直尺或圆规画出测量的示意图，并说明应用的数学原理；②需要测量哪些有关的数据；③待测量的数据可以用a、b、c、d等字母表示，最后表达出AB的长． 【答案】见解析 【知识点】相似三角形应用举例 【分析】如图，取一点O，连接OA，OB，延长AO到C，使得OC＝OA，延长BO到D，使得OD＝BO，连接CD．量出CD的长记为a，则AB＝2a． 【详解】如图，取一点O，连接OA，OB，延长AO到C，使得OC＝OA，延长BO到D，使得OD＝BO，连接CD． 量出CD的长记为a，则AB＝2a． 理由：∵＝＝2，∠AOB＝∠COD， ∴△AOB∽△COD， ∴＝＝2， ∴， ∴AB＝2a． 【点睛】本题考查作图-应用与设计，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用相似三角形的性质解决问题，属于中考常考题型． 24．（1）如图1，点E是正方形的边上一点，把绕点A顺时针旋转到的位置，若四边形的面积为25，，则的长为________； （2）如图2，在一块斜边长为35厘米的直角三角形木板（即）中截取一个正方形，点D在边上，点E在边上，点F在边上，若，求这块木板截取正方形后剩余部分的面积； （3）如图3，某施工队要给一片四边形土地播撒绿植，每平米绿植100元．已知在四边形土地中，，，，若为等边三角形，求播撒这片四边形土地共需要多少钱？ 【答案】（1）；（2）150；（3）播撒这片四边形土地共需要元． 【知识点】用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长、根据旋转的性质求解、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）首先根据旋转的性质得到，然后得到，求出，然后利用勾股定理求解即可； （2）首先证明出得到，设，则，，，然后根据勾股定理求出，，，然后根据三角形面积公式求解即可； （3）在下方作等边，连接，得到，利用勾股定理求出，然后证明出，得到，将绕点B顺时针旋转得到，过点D作交于点G，证明出是等边三角形，得到，，然后利用勾股定理求出，然后利用代数求解即可． 【详解】（1）∵绕点A顺时针旋转到的位置 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴，负值舍去 ∵四边形是正方形 ∴ ∵ ∴； （2）∵四边形是正方形 ∴ ∴ ∴ ∴设，则， ∴ ∵， ∴ ∵ ∴，即 ∴ ∴， ∵ ∴ ∴ ∴这块木板截取正方形后剩余部分的面积为150； （3）如图，在下方作等边，连接 ∴， ∵为等边三角形 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 又∵， ∴ ∴ 如图所示，将绕点B顺时针旋转得到，过点D作交于点G ∴，， ∴是等边三角形 ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 由旋转得， ∴ ∴ ∵每平米绿植100元 ∴（元）． ∴播撒这片四边形土地共需要元． 【点睛】此题考查了相似三角形的性质和判定，旋转的性质，正方形的性质，勾股定理，等边三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 25．如图，在中，，点D是边上的一点，将线段绕点D顺时针旋转得到线段，使点E落在线段上，连接，点F为线段的中点，连接，． (1)①依题意补全图形； ②若，判断的形状，并证明； (2)若，，当点D在线段上运动，且时，线段的最小值为__________． 【答案】(1)①依题意补全图形；②等腰直角三角形，见解析 (2) 【知识点】垂线段最短、用SSS间接证明三角形全等（SSS）、等边三角形的判定和性质、由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，平行四边形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，垂线段最短原理 （1）①依题意补全图形． ②延长到点G，使得，连接，证明四边形是平行四边形，直线是线段的垂直平分线，利用三角形全等和两直线平行，同旁内角互补，证明即可 （2）过点A作于点H，连接，并延长交于点M，证明是等边三角形，且边长为3，根据垂线段最短，作，当点F与点G重合时，最小计算即可． 【详解】（1）①根据题意，补图如下： ②当，是等腰直角三角形，理由如下： 延长到点G，使得，连接， ∵ F是的中点，，， ∴四边形是平行四边形，直线是线段的垂直平分线， ∴，，， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 解得， ∴， ∴， 故是等腰直角三角形． （2）过点A作于点H，连接，并延长交于点M， ∵，，， ∴， ∵点F为线段的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形，且边长为3， 根据垂线段最短，作，当点F与点G重合时， 最小， 故， 故答案为：． 26．如图，边长为的正方形内部有一点（不在边界上），过点分别作两边的平行线，，与各边的交点分别为，，，，记四边形面积为，四边形的面积分别为，四边形的面积为，四边形的面积为，，． (1)若，，求的值； (2)若，求证：； (3)对于确定的值，试讨论在线段上存在几个点，使得． 【答案】(1) (2)见解析 (3)见解析 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数、旋转模型(全等三角形的辅助线问题)、根据矩形的性质与判定求面积、相似三角形的判定与性质综合 【分析】 本题是正方形、全等三角形、一元二次方程等有关知识的综合考查． （1）根据题意用含字母的式子表示出相应的边长，即可求出答案； （2）构造全等三角形实现三角形边的等量代换，从而即可证明； （3）由题意得出三角形相似，从而列出比例式，化简得一元二次方程，根据一元二次方程根的判别式即可得出答案． 【详解】（1） 解：四边形是正方形，，， ，， ，， ，， ， ，， ，， ； （2） 证明：过点作交于点， 四边形是正方形， ，， ，， ， ， 又， ， ， ， ， 即． ， ； （3） 当时，在与中， ， ， 即， 整理得：， 方程的判别式， 当时，，方程有两个解，此时，边上存在两点，即线段上有两个点使得； 当时，，方程有唯一解，此时，边上有唯一一点，即线段上有一个点使得； 当时，，方程无解，此时，边上不存在点，即线段上不存在点使得． 综上所述：当时，线段上有两个点使得； 当时，线段上有一个点使得； 当时，线段上不存在点使得． 【点睛】 本题考查了正方形的性质、全等三角形的性质和判定、相似三角形的判定和性质、一元二次方程根的判别式等知识点，熟练掌握以上知识点是解题的关键． ( 2 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$