第27章 专题集训八 相似三角形的常见模型(课件PPT)-【夺冠百分百】2024-2025学年九年级全一册数学新导学课时练（人教版）河北专版

专题集训八　相似三角形的常见模型 类型一　“A”型及反“A”型 1.(“A”型)如图,已知在▱ABCD中,EF∥AD, DE∶EB=2∶3,EF=6,那么BC的长为　　　　. 2.(反“A”型)如图,在△ABC中,AD,BE分别是BC,AC边上的高.求证:△DCE∽△ACB. 10 证明:∵在△ABC中,AD,BE分别是BC,AC边上的高, ∴∠ADC=∠BEC=90°. ∵∠C是公共角, ∴△CDA∽△CEB, ∴=, ∴=. ∵∠C是公共角, ∴△DCE∽△ACB. 目录 上页 首页 下页 ‹#› 类型二　“X”型及反“X”型 3.(反“X”型)如图,在△ABC中,AE交BC于点D,∠C=∠E,AD=4,BC=8,BD∶DC=5∶3,则DE的长等于(　　) A. B. C. D. B 目录 上页 首页 下页 ‹#› 4.(“X”型)如图,AB∥CD,AC与BD交于点E,且AB=4,AE=2,AC=8. (1)求CD的长. (2)求证:△ABE∽△ACB. (1)解:∵AB∥CD,∴∠A=∠DCE,∠ABE=∠D, ∴△ABE∽CDE, ∴=,即=,∴CD=12. (2)证明:∵AB=4,AE=2,AC=8, ∴==,==,∴=. 又∵∠A=∠A,∴△ABE∽△ACB. 目录 上页 首页 下页 ‹#› 类型三　旋转型与“母子”型 5.(旋转型)如图,已知∠1=∠2,∠3=∠4,那么△ABD与△ACE相似吗?为什么? 解:△ABD与△ACE相似.理由如下: ∵∠1=∠2, ∴∠1+∠DAC=∠DAC+∠2, 即∠BAC=∠DAE. 又∵∠3=∠4, ∴△ABC∽△ADE, ∴=,得=. 又∵∠1=∠2, ∴△ABD∽△ACE. 目录 上页 首页 下页 ‹#› 6.(“母子”型)如图,已知点B,C在线段AD上,且AB=9,CD=4,△PBC是边长为6的等边三角形.求证:△ABP∽△PCD. 证明:∵△PBC是等边三角形, ∴PB=PC=BC=6,∠PBC=∠PCB=60°, ∴∠ABP=∠DCP=120°. ∵==,==, ∴=, ∴△ABP∽△PCD. 目录 上页 首页 下页 ‹#› 类型四　一线三等角型 7.如图,在△ABP和△CDP中,∠B=∠C=90°,点P在BC上,且∠APD=90°,求证:△ABP∽△PCD. 证明:∵∠APD=90°,∠B=∠C=90°, ∴∠BAP+∠APB=∠APB+∠CPD=90°, ∴∠BAP=∠CPD, 又∵∠B=∠C, ∴△ABP∽△PCD. 目录 上页 首页 下页 ‹#› 8.如图,在Rt△ABC中,已知∠BAC=90°,AB=AC=2,点D在BC上运动(不能到达点B,C),过点D作∠ADE=45°,DE交AC于点E. (1)求证:△ABD∽△DCE. 证明:在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=2, ∴∠B=∠C=45°. ∵∠ADC=∠B+∠BAD,∠ADC=∠ADE+∠EDC, ∴∠ADE+∠EDC=∠B+∠BAD. 又∵∠ADE=45°, ∴45°+∠EDC=45°+∠BAD, ∴∠EDC=∠BAD, ∴△ABD∽△DCE. 目录 上页 首页 下页 ‹#› (2)当△ADE是等腰三角形时,求AE的长. 解:∵∠BAC=90°,AB=AC=2, ∴BC==2. 分三种情况讨论: ①当AD=AE时,∠DAE=90°,此时点D与点B重合,不合题意; ②当AD=DE时,△ABD与△DCE的相似比为1,此时△ABD≌△DCE, 则CD=AB=2,EC=BD=BC-CD=2-2, AE=AC-EC=2-(2-2)=4-2; ③如图,当AE=DE时,∠DAE=∠ADE=45°, ∴AD⊥BC,DE⊥AC,且AD=DC. ∴AE=CE=AC=1. 综上,可得AE=4-2或1. 目录 上页 首页 下页 ‹#› 9.(新概念题)从三角形(不是等腰三角形)一个顶点引出一条射线与对边相交,顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形,如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形,另一个与原三角形相似,我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线. (1)如图1,在△ABC中,CD为角平分线,∠A=40°,∠B=60°,求证:CD为△ABC的完美分割线. 证明:∵∠A=40°,∠B=60°,∴∠ACB=80°. ∴△ABC不是等腰三角形. ∵CD平分∠ACB,∴∠ACD=∠BCD=∠ACB=40°. ∴∠ACD=∠A=40°.∴△ACD为等腰三角形. ∵∠DCB=∠A=40°,∠CBD=∠ABC, ∴△BCD∽△BAC. ∴CD是△ABC的完美分割线. 图1 目录 上页 首页 下页 ‹#› (2)如图2,在△ABC中,AC=2,BC=,CD是△ABC的完美分割线,且△ACD是以CD为底边的等腰三角形.求完美分割线CD的长. 解:由题意得AC=AD=2,设BD=x,则AB=x+2. ∵△BCD∽△BAC,所以=,即=. ∴x(x+2)=2. 解得x1=-1,x2=--1(不合题意,舍去). ∴BD=-1. ∵△BCD∽△BAC,∴==, ∴CD=×2=(-1)=-. 图2 目录 上页 首页 下页 ‹#› $$