第24章 专题集训六 圆中辅助线的作法(课件PPT)-【夺冠百分百】2024-2025学年九年级全一册数学新导学课时练（人教版）河北专版

专题集训六　圆中辅助线的作法 类型一　遇弦作弦心距或连半径 1.某居民区一处圆形地下水管道破裂,修理工人准备更换一段新管道,经测量得到如图所示的数据,水面宽度AB=60 cm,水面到管顶的距离为10 cm,那么修理工人应准备直径为　　　cm的管道.(管道的厚度不计)  2.如图,某同学测试一个球体在水中的下落速度,他测得截面圆的半径为5 cm,假设球的横截面与水面交于A,B两点,AB=8 cm.若从目前所处位置到完全落入水中的时间为4 s,则球体下落的平均速度为(　　) A.0.5 cm/s B.0.75 cm/s C.1 cm/s D.2 cm/s 100 A 目录 上页 首页 下页 ‹#› 类型二　遇直径构造直角三角形 3.如图,AB是半圆O的直径,点C,D,E依次是半圆上的三点,若∠C=n°,则∠E的度数为(　　) A.(270-n)° B.(180-n)° C.(90+n)° D.(90+n)° 4.(随州中考)如图,☉O是△ABC的外接圆,连接AO并延长交☉O于点D,若∠C=50°,则∠BAD的度数为　　　　.  A 40° 目录 上页 首页 下页 ‹#› 类型三　构造圆内接四边形 5.如图,已知C为上一点,若∠AOB=100°,则∠ACB的度数为(　　) A.50° B.80° C.100° D.130° 6.(陕西中考)如图,☉O是△ABC的外接圆,∠A=72°.过点O作BC的垂线交于点D,连接BD,则∠D的度数为(　　) A.64° B.54° C.46° D.36° D B 目录 上页 首页 下页 ‹#› 类型四　遇切线作过切点的半径 7. (重庆中考)如图,AC是☉O的切线,B为切点,连接OA,OC.若∠A=30°,AB=2,BC=3,则OC的长度是(　　) A.3 B.2 C. D.6 C 目录 上页 首页 下页 ‹#› 8.如图,☉O是△ABC的外接圆,AB是☉O的直径,点D在☉O上,AC=CD,连接AD,延长DB交过点C的切线于点E.求证: (1)∠ABC=∠CAD. (2)BE⊥CE. 证明:(1)∵AC=CD,∴∠CAD=∠ADC. ∵∠ABC=∠ADC, ∴∠ABC=∠CAD. (2)如图,连接OC, ∵CE与☉O相切于点C,∴∠OCE=90°. ∵四边形ADBC是圆内接四边形,∴∠CAD+∠DBC=180°. ∵∠DBC+∠CBE=180°,∴∠CAD=∠CBE. ∵∠ABC=∠CAD,∴∠CBE=∠ABC. ∵OB=OC,∴∠OCB=∠ABC,∴∠OCB=∠CBE, ∴OC∥BE, ∴∠E=180°-∠OCE=90°,∴BE⊥CE. 目录 上页 首页 下页 ‹#› 类型五　证切线时连半径、证垂直 9.如图,AB是☉O的弦,OP⊥OA交AB于点P,过点B的直线交OP的延长线于点C,且CP=CB. (1)求证:BC是☉O的切线. (2)若☉O的半径为3,OP=1,求BC的长. (1)证明:如图,连接OB, ∵OP⊥OA,∴∠AOP=90°, ∴∠A+∠APO=90°. ∵CP=CB,∴∠CBP=∠CPB. ∵∠CPB=∠APO,∴∠APO=∠CBP. ∵OA=OB,∴∠A=∠OBA, ∴∠OBC=∠CBP+∠OBA=∠APO+∠A=90°, ∴OB⊥BC. ∵OB是☉O的半径,∴BC是☉O的切线. (2)解:设BC=x,则PC=x, 在Rt△OBC中,OB=3,OC=CP+OP=x+1, 根据勾股定理,得OB2+BC2=OC2, ∴32+x2=(x+1)2,解得x=4,即BC的长为4. 目录 上页 首页 下页 ‹#› 10.如图,△ABC内接于☉O,∠B=60°,CD是☉O的直径,点P是CD延长线上一点,且AP=AC. (1)求证:PA是☉O的切线. (2)若PD=,求☉O的直径. (1)证明:如图,连接OA, ∵∠B=60°,∴∠AOC=2∠B=120°. 又∵OA=OC,∴∠OAC=∠OCA=30°. 又∵AP=AC,∴∠P=∠ACP=30°, ∴∠OAP=∠AOC-∠P=90°, ∴OA⊥PA. 又∵OA是☉O的半径, ∴PA是☉O的切线. (2)解:在Rt△OAP中,∵∠P=30°, ∴PO=2OA=OD+PD. 又∵OA=OD,∴PD=OA. ∵PD=, ∴2OA=2PD=2. ∴☉O的直径为2. 目录 上页 首页 下页 ‹#› 类型六　证切线时作垂直、证相等 11.如图,O为正方形ABCD对角线AC上一点,以O为圆心,OA长为半径的☉O与BC相切于点M,与AB,AD分别相交于点E,F.求证:CD与☉O相切. 证明:如图,连接OM,过点O作ON⊥CD,垂足为N, ∵☉O与BC相切于M,∴OM⊥BC. ∵在正方形ABCD中,AC平分∠BCD, ON⊥CD,OM⊥BC, ∴ON=OM.∴点N在☉O上. ∴CD与☉O相切. 目录 上页 首页 下页 ‹#› 类型七　遇内切圆时作角平分线 12.如图,点I是△ABC的内心,AI的延长线交边BC于点D,交△ABC外接圆于点E.求证: IE=BE. 证明:如图,连接IB,则∠BIE=∠BAE+∠ABI. 又∵点I为内心, ∴∠ABI=∠IBC,∠BAE=∠CAE. 又∠IBE=∠IBC+∠CBE, ∠CBE=∠EAC, ∴∠BIE=∠IBE,∴IE=BE. 目录 上页 首页 下页 ‹#› 13.如图,BC为△ABC的外接圆☉O的直径,点M为△ABC的内心,连接AM并延长交☉O于点D,连接CD. (1)求∠BCD的大小. (2)若CD=4,求DM的长. 解:(1)∵BC为△ABC的外接圆☉O的直径, ∴∠BAC=90°. ∵点M为△ABC的内心,∴∠BAD=∠BAC=45°, ∴∠BCD=∠BAD=45°. (2)如图, 连接CM,∵点M为△ABC的内心, ∴∠BAD=∠DAC, ∠ACM=∠BCM. ∵=,∴∠BAD=∠BCD,∴∠DAC=∠BCD. ∵∠DMC=∠DAC+∠ACM,∠DCM=∠BCD+∠BCM,∴∠DMC=∠DCM, ∴CD=DM,∴DM=CD=4. 目录 上页 首页 下页 ‹#› $$