第22章 专题集训五 二次函数的实际应用(课件PPT)-【夺冠百分百】2024-2025学年九年级全一册数学新导学课时练（人教版）河北专版

专题集训五　二次函数的实际应用 类型一　图形面积问题 1.两段相互垂直的墙AB和AC的长分别为12 m和3 m,用一段长为23 m的篱笆围成一个矩形菜园(篱笆全部使用完),如图所示,矩形菜园的一边AD由墙AC和一节篱笆CD构成,一边AF靠在墙AB上,一边EF上有一个2 m的门.假设篱笆CD的长为x m,矩形菜园的面积为S m2(S>0),回答下面的问题: (1)用含x的式子表示篱笆DE的长为　　　　m,x的取值范围是　　　　.  解:∵AC=3,CD=x, ∴EF=AC+CD=3+x, ∴DE=23-CD-EF+2=23-x-(3+x)+2=23-x-3-x+2=22-2x. ∵0<22-2x≤12, ∴5≤x<11, 故答案为22-2x;5≤x<11. 目录 上页 首页 下页 ‹#› (2)菜园的最大面积是多少m2?求出此时x的值是多少. 解:由题意,得S=(3+x)(22-2x)=-2x2+16x+66=-2(x-4)2+98, ∵-2<0, ∴当x>4时,S随x的增大而减小. ∵5≤x<11, ∴当x=5时,S有最大值,最大值=-2×(5-4)2+98=96. 答:x=5时,菜园的最大面积为96 m2. 目录 上页 首页 下页 ‹#› 2.某农场计划建造一个矩形养殖场,为充分利用现有资源,该矩形养殖场一面靠墙(墙的长度为10 m),另外三面用栅栏围成,中间再用栅栏把它分成两个面积为1∶2的矩形,已知栅栏的总长度为24 m,设较小矩形的宽为x m(如图). (1)若矩形养殖场的总面积为36 m2,求此时x的值.  (2)当x为多少时,矩形养殖场的总面积最大?最大值为多少? 解:(1)根据题意知:较大矩形的宽为2x m,长为=(8-x)m, ∴(x+2x)×(8-x)=36,解得x=2或x=6, 经检验,x=6时,3x=18>10不符合题意,舍去,∴x=2. 答:此时x的值为2. (2)设矩形养殖场的总面积是y m2, ∵墙的长度为10 m,∴0<x≤. 根据题意,得 y=(x+2x)×(8-x)=-3x2+24x=-3(x-4)2+48, ∵-3<0, ∴当x=时,y取最大值,最大值为-3×(-4)2+48=(m2). 答:当x=时,矩形养殖场的总面积最大,最大值为 m2. 目录 上页 首页 下页 ‹#› 类型二　销售与利润问题 3.(无锡中考)某景区旅游商店以20元/kg的价格采购一款旅游食品加工后出售,销售价格不低于22元/kg,不高于45元/kg.经市场调查发现每天的销售量y(kg)与销售价格x(元/kg)之间的函数关系如图所示. (1)求y关于x的函数解析式. 解:当22≤x≤30时,设函数解析式为y=kx+b, 将(22,48),(30,40)代入解析式,得解得 ∴函数解析式为y=-x+70; 当30<x≤45时,设函数解析式为y=mx+n, 将(30,40),(45,10)代入解析式,得解得 ∴函数解析式为y=-2x+100. 综上,y与x的函数解析式为y= 目录 上页 首页 下页 ‹#› (2)当销售价格定为多少时,该商店销售这款食品每天获得的销售利润最大?最大销售利润是多少?[销售利润=(销售价格-采购价格)×销售量] 解:设利润为w元,当22≤x≤30时,w=(x-20)(-x+70)=-x2+90x-1 400=-(x-45)2+625, ∵在22≤x≤30范围内,w随着x的增大而增大, ∴当x=30时,w取得最大值为400; 当30<x≤45时,w=(x-20)(-2x+100)=-2x2+140x-2 000=-2(x-35)2+450, ∴当x=35时,w取得最大值为450. ∵450>400, ∴当销售价格为35元/kg时,利润最大为450元. 目录 上页 首页 下页 ‹#› 4.小亮创办了一个微店商铺,营销一款小型LED护眼台灯,成本是20元/盏,在“双十一”前20天进行了网上销售后发现,该台灯的日销售量p(盏)与时间x(天)之间满足一次函数关系,且第1天销售了78盏,第2天销售了76盏.护眼台灯的销售价格y(元/盏)与时间x(天)之间符合函数关系式y=x+25(1≤x≤20,且x为整数). (1)求日销售量p(盏)与时间x(天)之间的函数关系式. 解:设日销售量p(盏)与时间x(天)之间的函数关系式为p=kx+b, 把(1,78),(2,76)代入,得 解得 即日销售量p(盏)与时间x(天)之间的函数关系式为p=-2x+80(1≤x≤20且x为整数). 目录 上页 首页 下页 ‹#› (2)在这20天中,哪天的日销售利润最大?最大日销售利润是多少? 解:设日销售利润为w元, w=(-2x+80)(x+25-20)=-(x-10)2+450. ∵-<0,1≤x≤20,且x为整数, ∴当x=10时,w取得最大值,最大值是450. ∴在这20天中,第10天销售利润最大,最大日销售利润是450元. 目录 上页 首页 下页 ‹#› (3)“双十一”当天,小亮采用如下促销方式:销售价格比前20天中最高日销售价格降低a元;日销售量比前20天最高日销售量提高了7a盏;日销售利润比前20天中的最大日销售利润多了30元.求a的值. 注:销售利润=售价-成本. 解:∵日销售量p(盏)与时间x(天)之间的函数关系式为p=-2x+80(1≤x≤20,且x为整数), ∴前20天最高日销售量为-2×1+80=78(盏). ∵销售价格y(元/盏)与时间x(天)之间符合函数关系式y=x+25(1≤x≤20,且x为整数). ∴前20天最高日销售价格为×20+25=30(元), 由题意,得(30-a-20)(78+7a)-450=30, 解得a1=6,a2=-(舍去), ∴a的值为6. 目录 上页 首页 下页 ‹#› 类型三　实物抛物线问题 5.跳绳是一项很好的健身活动,如图①是小明跳绳时的示意图,建立平面直角坐标系如图②所示,甩绳近似抛物线形状,脚底B,C相距20 cm,头顶A离地174 cm,相距60 cm 的双手D,E离地均为80 cm.点A,B,C,D,E在同一平面内,脚离地面的高度忽略不计.小明调节绳子,使跳动时绳子刚好经过脚底B,C两点,且甩绳形状始终保持不变. (1)求经过脚底B,C时绳子所在抛物线的解析式. 解:结合题意可得D(-30,0),E(30,0), ∵双手D,E离地均为80 cm. ∴C点坐标为(10,-80), 因为对称轴是y轴, 所以可设抛物线解析式为y=ax2+k, 把点C(10,-80),E(30,0)坐标代入, 可得解得 所以抛物线为y=x2-90. 图① 　图② 目录 上页 首页 下页 ‹#› (2)判断小明此次跳绳能否成功,并说明理由. 解:∵y=x2-90, ∴顶点为(0,-90), 即跳绳顶点到手的垂直距离是90 cm. ∵174-90=84<90, ∴跳绳不过头顶A, ∴小明此次跳绳不成功. 目录 上页 首页 下页 ‹#› 6.(河北中考)嘉嘉和淇淇在玩沙包游戏.某同学借此情境编制了一道数学题,请解答这道题. 如图,在平面直角坐标系中,一个单位长度代表1 m长.嘉嘉在点A(6,1)处将沙包(看成点)抛出,其运动路线为抛物线C1:y=a(x-3)2+2的一部分,淇淇恰在点B(0,c)处接住,然后跳起将沙包回传,其运动路线为抛物线C2:y=-x2+x+c+1的一部分. (1)写出C1的最高点坐标,并求a,c的值. 解:∵抛物线C1:y=a(x-3)2+2, ∴C1的最高点坐标为(3,2). ∵点A(6,1)在抛物线C1:y=a(x-3)2+2上, ∴1=a(6-3)2+2,∴a=-,∴抛物线C1:y=-(x-3)2+2, 当x=0时,c=1. 目录 上页 首页 下页 ‹#› (2)若嘉嘉在x轴上方1 m的高度上,且到点A水平距离不超过1 m的范围内可以接到沙包,求符合条件的n的整数值. 解:∵嘉嘉在x轴上方1 m的高度上,且到点A水平距离不超过1 m的范围内可以接到沙包, ∴此时,点A的坐标范围是(5,1)~(7,1), 当经过(5,1)时,1=-×25+×5+1+1,解得 n=; 当经过(7,1)时,1=-×49+×7+1+1,解得 n=, ∴≤n≤. ∵n为整数,∴符合条件的n的整数值为4和5. 目录 上页 首页 下页 ‹#› 7.(河北中考)如图是某同学正在设计的一动画示意图,x轴上依次有A,O,N三个点,且AO=2,在ON上方有五个台阶T1~T5(各拐角均为90°),每个台阶的高、宽分别是1和1.5,台阶T1到x轴距离OK=10.从点A处向右上方沿抛物线L:y=-x2+4x+12发出一个带光的点P. (1)求点A的横坐标,且在图中补画出y轴,并直接指出点P会落在哪个台阶上. 解:对于抛物线y=-x2+4x+12, 令y=0,x2-4x-12=0,解得x1=-2,x2=6, ∴A(-2,0), ∴点A的横坐标为-2. ∵AO=2,∴点O为坐标原点. 如图,由题意,得台阶T4左边的端点坐标(4.5,7),右边的端点(6,7), 当x=4.5时,y=9.75>7, 当x=6时,y=0<7, 当y=7时,7=-x2+4x+12,解得x1=-1,x2=5, ∴抛物线与台阶T4有交点,且交点为R(5,7), ∴点P会落在台阶T4上. 目录 上页 首页 下页 ‹#› (2)当点P落到台阶上后立即弹起,又形成了另一条与L形状相同的抛物线C,且最大高度为11,求C的解析式,并说明其对称轴是否与台阶T5有交点. 解:设抛物线C的解析式为y=-x2+bx+c, 由题意得抛物线C经过R(5,7),最高点的纵坐标为11, ∴ 解得或(舍去), ∴抛物线C的解析式为y=-x2+14x-38, 对称轴x=7. ∵台阶T5的左边的端点坐标为(6,6),右边的端点坐标为(7.5,6), ∴抛物线C的对称轴与台阶T5有交点. 目录 上页 首页 下页 ‹#› (3)在x轴上从左到右有两点D,E,且DE=1,从点E向上作EB⊥x轴,且BE=2.在△BDE沿x轴左右平移时,必须保证(2)中沿抛物线C下落的点P能落在边BD(包括端点)上,则点B横坐标的最大值比最小值大多少? [注:(2)中不必写x的取值范围] 解:对于抛物线C:y=-x2+14x-38, 令y=0,得到x2-14x+38=0,解得x=7±, ∴抛物线C交x轴的正半轴于(7+,0), 当y=2时,2=-x2+14x-38, 解得x1=4,x2=10, ∴抛物线经过(10,2), 在Rt△BDE中,∠DEB=90°,DE=1,BE=2, ∴当点D与(7+,0)重合时,点B的横坐标的值最大,最大值为8+, 当点B与(10,2)重合时,点B的横坐标最小,最小值为10, ∴点B横坐标的最大值比最小值大-2. 目录 上页 首页 下页 ‹#› $$