精品解析：内蒙古自治区赤峰市松山区多校联考2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题

2025届高三第一次统一检测 数学 本试卷共8页，19小题，满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题卡上，用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”. 2.答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答策标号，答案不能答在试题卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目制定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知为虚数单位，复数满足，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知命题；命题，则（ ） A. 和都是真命题 B. 和都是真命题 C. 和都是真命题 D. 和都是真命题 3. 已知向量，，则在上的投影向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 在2024年巴黎奥运会上，中国跳水队表现卓越，成功包揽了全部8枚跳水金牌，这一成绩不仅创造了历史，也再次证明了“梦之队”的实力和统治力.跳水比赛计分规则如下：针对运动员每次跳水，共有7个裁判评分，去掉一个最高分与一个最低分，剩下的分数相加后乘以难度分，即可得出最终得分.下列说法正确的是（ ） A. 去掉一个最高分与一个最低分前后，两组数据的中位数一定改变 B. 去掉一个最高分与一个最低分前后，两组数据的方差可能不变 C. 去掉一个最高分与一个最低分前后，两组数据的平均数不变 D. 去掉一个最高分与一个最低分前后，两组数据的众数不变 5. 在平面直角坐标系中，已知点，，圆，若圆上存在点，使得，则实数的取值范围为（ ） A. B. C D. 6. 已知函数为奇函数，则的值是（ ） A 0 B. 0或10 C. 4或68 D. 68 7. 甲烷是一种有机化合物，分子式为，其在自然界中分布很广，是天然气、沼气的主要成分．如图所示的为甲烷的分子结构模型，已知任意两个氢原子之间的距离（H-H键长）相等，碳原子到四个氢原子的距离（C-H键长）均相等，任意两个H-C-H键之间的夹角为（键角）均相等，且它的余弦值为，即，若，则以这四个氢原子为顶点的四面体的体积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数.若函数有三个零点，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 记函数的最小正周期为T.若为的零点，则的值可以是（ ） A B. 3 C. 6 D. 12 10. 已知抛物线的焦点为为坐标原点，点在抛物线C上，若，则（ ） A. B. 以为直径的圆与x轴相切 C. F的坐标为 D. 11. 定义为角的正矢，记作；定义为角的余矢，记作.定义：为一组数据相对于常数的“正弦方差”. 若，一组数据相对于的：“正弦方差”为，则的取值可能是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知等差数列的公差不为零，且成等比数列，，则_______. 13. 记的内角的对边分别为，已知，则角_______. 14. 2024年9月1日出版的第17期《求是》杂志发表了中共中央总书记、国家主席、中央军委主席习近平的重要文章《培养德智体美劳全面发展的社会主义建设者和接班人》·某校积极响应总书记的指示，创造性提升学生劳动意识和社会实践能力，利用周末进社区义务劳动.高三年级共有6个班，其中只有1班有2个劳动模范，本次义务劳动一共20个名额，劳动模范必须参加并不占名额，每个班都必须有人参加.给出以下四个命题：①若1班不再分配名额，则共有种分配方法；②若1班有除劳动模范之外的学生参加，则共有种分配方法；③若每个班至少3人参加，则共有90种分配方法；④若每个班至少3人参加，则共有126种分配方法.其中正确命题的序号是_______. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列是公差不为零的等差数列，，且存在实数m满足. （1）求m的值及通项公式； （2）已知，求数列的前n项和. 16. 已知函数. （1）当时，求在处的切线方程； （2），关于x的不等式恒成立，求实数a的取值范围. 17. 如图，在长方体中，点分别在上，且. （1）求证：平面平面； （2）当时，求平面与平面的夹角的余弦值. 18. 某校高三年级部组织高中生数学知识竞赛，竞赛分为个人赛和团体赛，竞赛规则如下：个人赛规则：每位参赛选手只有一次挑战机会，电脑同时给出2道判断题（判断对错）和4道选择题（每个选择题的四个选项中有且仅有一个是正确的），要求参赛者全都作答，若有4道或4道以上答对，则该选手挑战成功.团体赛规则：以班级为单位，每班参赛人数不少于20人，且参赛人数为偶数，参赛方式有如下两种可自主选择其中之一参赛：方式一：将班级选派的个人平均分成n组，每组2人，电脑随机分配给同组两个人一道相同试题，两人同时独立答题，若这两人中至少有一人回答正确，则该小组挑战成功，若这n个小组都挑战成功，则该班级挑战成功.方式二：将班级选派的个人平均分成2组，每组n个人，电脑随机分配给同组n个人一道相同试题，各人同时独立答题，若这n个人都回答正确，则该小组挑战成功.若这两个小组至少有一个小组挑战成功则该班级挑战成功. （1）在个人赛中若一名参赛选手全部随机作答，求这名选手恰好答对一道判断题并且答对两道选择题的概率； （2）甲同学参加个人赛，他能够答对判断题并且答对选择题，其余题目只能随机作答，求甲同学挑战成功的概率； （3）在团体赛中，假设某班每位参赛同学对给出试题回答正确的概率均为常数，为使本班团队挑战成功的可能性更大，应选择哪种参赛方式？说明理由. 19. 已知椭圆经过点，离心率. （1）求椭圆的标准方程； （2）设过点且倾斜角为直线与轴，轴分别交于点，点为椭圆上任意一点，求面积的最小值. （3）如图，过点作两条直线分别与椭圆相交于点，设直线和相交于点.证明点在定直线上. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025届高三第一次统一检测 数学 本试卷共8页，19小题，满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题卡上，用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”. 2.答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答策标号，答案不能答在试题卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目制定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知为虚数单位，复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的加减运算即可求解. 【详解】由，可得. 故选：B 2. 已知命题；命题，则（ ） A. 和都是真命题 B. 和都是真命题 C. 和都是真命题 D. 和都是真命题 【答案】B 【解析】 【分析】分别判断命题与命题的真假，利用命题和命题的否定真假相反即可判断、的真假，即可得结论. 【详解】对于命题p，取，则有，故p是假命题，是真命题， 对于命题q，取，则有，故q是真命题，是假命题， 所以，和都是真命题， 故选：B. 3. 已知向量，，则在上的投影向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先求出，，再根据投影向量的定义计算可得. 【详解】因为，， 所以，， 则在上的投影向量为. 故选：D. 4. 在2024年巴黎奥运会上，中国跳水队表现卓越，成功包揽了全部8枚跳水金牌，这一成绩不仅创造了历史，也再次证明了“梦之队”实力和统治力.跳水比赛计分规则如下：针对运动员每次跳水，共有7个裁判评分，去掉一个最高分与一个最低分，剩下的分数相加后乘以难度分，即可得出最终得分.下列说法正确的是（ ） A. 去掉一个最高分与一个最低分前后，两组数据的中位数一定改变 B. 去掉一个最高分与一个最低分前后，两组数据的方差可能不变 C. 去掉一个最高分与一个最低分前后，两组数据的平均数不变 D. 去掉一个最高分与一个最低分前后，两组数据的众数不变 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意设出裁判的评分，根据数字特征计算即可. 【详解】若7个裁判的评分分别为：10，10，9.9，9.9，9.9，9.8，9.7， 去掉一个最高分与一个最低分后评分为：10，9.9，9.9，9.9，9.8， 去掉前后的中位数都为9.9，故错误； 去掉一个最高分和一个最低分前平均数为 去掉一个最高分和一个最低分后平均数为 ，故错误； 若7个裁判的评分分别为：10，10，10，9.9，9.9，9.9，9.8，众数为：10和9.9， 去掉一个最高分与一个最低分后评分为：10，10，9.9，9.9，9.9，众数为9.9，故错误； 若七个裁判的评分为：10，10，10，10，10，10，10，则去掉一个最高分和一个最低分前后均值都为10，方差都为0，则正确； 故选：. 5. 在平面直角坐标系中，已知点，，圆，若圆上存在点，使得，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 先求出动点M的轨迹是圆D,再根据圆D和圆C相交或相切，得到a的取值范围. 详解】设，则， 所以， 所以点M轨迹是一个圆D, 由题得圆C和圆D相交或相切， 所以， 所以. 故选：B 【点睛】本题主要考查动点的轨迹方程的求法，考查两圆的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 6. 已知函数为奇函数，则的值是（ ） A. 0 B. 0或10 C. 4或68 D. 68 【答案】D 【解析】 【分析】根据奇函数性质求得，进而求对应函数值. 【详解】由题设，的定义域为R，且为奇函数，则， 所以或， 当，则，满足，此时； 当，则不是奇函数，不合题设； 故选：D 7. 甲烷是一种有机化合物，分子式为，其在自然界中分布很广，是天然气、沼气的主要成分．如图所示的为甲烷的分子结构模型，已知任意两个氢原子之间的距离（H-H键长）相等，碳原子到四个氢原子的距离（C-H键长）均相等，任意两个H-C-H键之间的夹角为（键角）均相等，且它的余弦值为，即，若，则以这四个氢原子为顶点的四面体的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用余弦定理求得，计算出正四面体的高，从而计算出正四面体的体积. 【详解】设，则由余弦定理知：，解得， 故该正四面体的棱长均为． 由正弦定理可知：该正四面体底面外接圆的半径， 高． 故该正四面体的体积为． 故选：A 8. 已知函数.若函数有三个零点，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用导数画出的图象，结合的零点个数求得的取值范围. 【详解】当时，， 所以在区间上，当且仅当时， 所以函数在上单调递减，. 当时，，令解得， 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减， 又，当时，，当时，， 由此画出、的大致图象如下图所示， 函数有三个零点，等价于与图象有三个交点， 所以的取值范围是. 故选：C. 【点睛】易错点睛：在通过图象判断函数零点个数时，容易由于图象的不准确或导数符号变化的错误判断，导致零点个数错误．在分析图象时，要特别注意极值点的准确位置. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 记函数的最小正周期为T.若为的零点，则的值可以是（ ） A B. 3 C. 6 D. 12 【答案】ABD 【解析】 【分析】求出，根据和求出，为的零点，故，解得，从而得到ABD正确. 【详解】因为，所以， 故， 又，故， 故， 为的零点，故， 故，解得， 当时，，当时，，当时，， 令，解得（舍去），ABD正确，C选项不成立. 故选：ABD 10. 已知抛物线的焦点为为坐标原点，点在抛物线C上，若，则（ ） A. B. 以为直径的圆与x轴相切 C. F的坐标为 D. 【答案】AB 【解析】 【分析】由抛物线的方程求出焦点坐标即可判断C；由焦半径的公式求出即可判断A；求出点的坐标，即可判断B，D； 【详解】抛物线的焦点为，故C错误； 点在抛物线C上，若， 则，所以，故A正确； 代入，得，故或 所以，故D错误； 所以以为直径的圆的圆心为：或，半径为， 所以圆心为：或到x轴的距离为：等于圆的半径， 故以为直径的圆与x轴相切，故B正确； 故选：AB 11. 定义为角的正矢，记作；定义为角的余矢，记作.定义：为一组数据相对于常数的“正弦方差”. 若，一组数据相对于的：“正弦方差”为，则的取值可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据正矢和余矢的定义可得函数的解析式，再根据正弦方差的定义可求的范围，最后根据正弦函数的性质可求函数的值域，故可得正确的选项. 【详解】由正矢和余矢的定义可得： ， 而 ， 因为，故，故， 故，， 而，故的值域为， 因为，函数的最大值是， 故函数值不可能取， 而，故， 故，故函数值可取BCD， 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知等差数列的公差不为零，且成等比数列，，则_______. 【答案】 【解析】 【分析】利用等比中项的性质列方程，将已知条件转化为的形式列方程组，解方程组求得，由此求得的值. 【详解】设等差数列的公差为，由题意得  ，即， 化简，得 ． 因为，所以，解得 所以 ， 故答案为：. 13. 记的内角的对边分别为，已知，则角_______. 【答案】 【解析】 【分析】利用二倍角公式化简得，由余弦定理得，即可求解. 【详解】因为，得， 可得，即， 由余弦定理得，即， 可得， 故答案为：. 14. 2024年9月1日出版的第17期《求是》杂志发表了中共中央总书记、国家主席、中央军委主席习近平的重要文章《培养德智体美劳全面发展的社会主义建设者和接班人》·某校积极响应总书记的指示，创造性提升学生劳动意识和社会实践能力，利用周末进社区义务劳动.高三年级共有6个班，其中只有1班有2个劳动模范，本次义务劳动一共20个名额，劳动模范必须参加并不占名额，每个班都必须有人参加.给出以下四个命题：①若1班不再分配名额，则共有种分配方法；②若1班有除劳动模范之外的学生参加，则共有种分配方法；③若每个班至少3人参加，则共有90种分配方法；④若每个班至少3人参加，则共有126种分配方法.其中正确命题的序号是_______. 【答案】②④ 【解析】 【分析】根据题意，由隔板法，对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】对于①，若1班不再分配名额，即将20个名额分配到5个班级， 每个班级都必须有人参加，可以将20个名额看成20个小球，排成一排， 中间有19个空位，在其中任选4个，放置4个隔板，有种分配方法，故①错误； 对于②，若1班有除劳动模范之外的学生参加，即将20个名额分配到6个班级， 每个班级都必须有人参加，可以将20个名额看成20个小球，排成一排， 中间有19个空位，在其中任选5个，放置5个隔板，有种分配方法，故②正确； 对于③④，若每个班至少3人参加，可以将每个班的2个名额收回， 即将10个名额分配到6个班级，每个班级都必须有人参加， 可以将10个名额看成10个小球，排成一排，中间有9个空位， 在其中任选5个，安排5个挡板，有种分配方法，故③错误，④正确； 故答案为：②④ 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列是公差不为零的等差数列，，且存在实数m满足. （1）求m的值及通项公式； （2）已知，求数列的前n项和. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）设等差数列的公差为，然后相减便可得出结果； （2）先根据求得，根据错位相减法求前n项和即可. 【小问1详解】 设等差数列的公差为，， 由， 得， 两式相减得，又，所以， 将代入可得，即，所以， 又，所以； 【小问2详解】 由（1）可知，则， 所以，则，即， ， ， ， 即，. 16. 已知函数. （1）当时，求在处的切线方程； （2），关于x的不等式恒成立，求实数a的取值范围. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用导数几何意义求对应切点处的切线方程； （2）由题设得在上恒成立，利用导数研究函数最值，即可得确定参数范围. 【小问1详解】 由题设，则， 所以，故在处的切线方程. 【小问2详解】 由恒成立， 对于且，则， 对于且，则， 所以在上递增，则，故， 所以在上递增，则， 综上，只需. 17. 如图，在长方体中，点分别在上，且. （1）求证：平面平面； （2）当时，求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由线面垂直的性质定理和面面垂直的判定定理，即可得出答案． （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量为，平面的法向量为，,，设平面与平面夹角为，则，即可得出答案． 【小问1详解】 由于平面，平面，故， 根据题意可得，， 又，平面，平面，所以平面， 又平面，所以， 由于平面，平面，故， 又，平面,故平面, 平面，故， 又，平面，平面， 所以平面． 平面，故平面平面； 【小问2详解】 如图所示，建立空间直角坐标系： 所以,0,，,4,，,0,，,4,， 结合（1）知，平面的法向量为,4,， 又，,4,， 设平面的法向量为,,， 则， 令，则，所以,3,， 设平面与平面夹角为， 则． 18. 某校高三年级部组织高中生数学知识竞赛，竞赛分为个人赛和团体赛，竞赛规则如下：个人赛规则：每位参赛选手只有一次挑战机会，电脑同时给出2道判断题（判断对错）和4道选择题（每个选择题的四个选项中有且仅有一个是正确的），要求参赛者全都作答，若有4道或4道以上答对，则该选手挑战成功.团体赛规则：以班级为单位，每班参赛人数不少于20人，且参赛人数为偶数，参赛方式有如下两种可自主选择其中之一参赛：方式一：将班级选派的个人平均分成n组，每组2人，电脑随机分配给同组两个人一道相同试题，两人同时独立答题，若这两人中至少有一人回答正确，则该小组挑战成功，若这n个小组都挑战成功，则该班级挑战成功.方式二：将班级选派的个人平均分成2组，每组n个人，电脑随机分配给同组n个人一道相同试题，各人同时独立答题，若这n个人都回答正确，则该小组挑战成功.若这两个小组至少有一个小组挑战成功则该班级挑战成功. （1）在个人赛中若一名参赛选手全部随机作答，求这名选手恰好答对一道判断题并且答对两道选择题的概率； （2）甲同学参加个人赛，他能够答对判断题并且答对选择题，其余题目只能随机作答，求甲同学挑战成功的概率； （3）在团体赛中，假设某班每位参赛同学对给出的试题回答正确的概率均为常数，为使本班团队挑战成功的可能性更大，应选择哪种参赛方式？说明理由. 【答案】（1） （2） （3）选择方式一 【解析】 【分析】（1）由独立事件的概率乘法公式即可得到答案； （2）分析出甲同学挑战不成功的事件，结合独立事件的概率乘法公式，再用对立事件即可得到结果； （3）分别计算出方式一和方式二的团队挑战成功的概率，再通过作差比较，利用函数单调性判断差值大小即可得到结论. 【小问1详解】 设事件：选手答对1道选择题；事件：选手答对1都选择题， 则，， 这名选手恰好答对一道判断题并且答对两道选择题的概率： 【小问2详解】 甲同学挑战不成功可能得情况如下： ①只答对一道判断题和选择题；②除和外只答对一道填空题或一道选择题（中任意一道） ∴甲同学挑战成功的概率： 【小问3详解】 方式一：小组调整成功的概率：， 该班级挑战成功的概率：； 方式二：小组调整成功的概率：， 该班级挑战成功的概率： ， 令 则 ∵，则，， 可得，， ∴，即，∴单调递增， 又∵，且， ∴， 从而，即，所以为使本班调整成功的可能性更大，应该选方式一参赛. 19. 已知椭圆经过点，离心率. （1）求椭圆的标准方程； （2）设过点且倾斜角为的直线与轴，轴分别交于点，点为椭圆上任意一点，求面积的最小值. （3）如图，过点作两条直线分别与椭圆相交于点，设直线和相交于点.证明点在定直线上. 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法计算即可求解； （2）由题意求出，利用点到直线的距离公式求出到的距离，结合三角形面积公式计算即可求解； （3）设，利用平面向量的坐标表示和点差法计算表示出A、B、C、D的坐标，由直线的两点式方程分别表示出直线AD和BC，两直线方程相减可得，即可求解. 【小问1详解】 由题意，点在椭圆上得，可得① 又由，所以②， 由①②联立且，可得， 故椭圆的标准方程为； 【小问2详解】 易知，则，所以， 设，联立与有， 则，由解得， 到的距离即为在边上高的最小值，即， 此时面积的最小值； 【小问3详解】 设，则，即， 又由，得， 整理得， 再代入得，即， 所以， 同理令，，则， 则，， 则直线的方程为 ， 同理的方程为 ， 两式相减，整理得，即点在定直线上. 【点睛】方法点睛：求定点、定值问题常见的方法有两种： (1)从特殊入手，求出定点（值），再证明这个点（值）与变量无关． (2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定点（值）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $