精品解析：吉林省长春市朝阳区2024-2025学年八年级上学期10月期中考试数学试卷

2024—2025学年度(上学期)期中质量监测 八年级数学 本试卷包括三道大题，共24小题，共6页．全卷满分120分．考试时间为90分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内． 2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效． 一、选择题(每小题3分，共24分) 1. 在实数0、、、中，无理数（ ） A. 0 B. C. D. 2. 如果 ，那么x的值为（ ） A. 3 B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列命题是真命题的是（ ） A. 无理数都是无限小数 B. 带根号的数都是无理数 C. 无理数可以转化成分数 D. 数轴上的点与有理数一一对应 5. 已知(n为正整数)，则n的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 6. 如图，有一池塘，要测池塘两端A、B的距离，可先在平地上取一个可以直接到达A和B的点C，连接并延长到D，使．连接并延长到E，使．连接，那么的长就是A、B的距离．解决这个问题依据的数学道理是（ ） A. 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 B. 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 C. 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 D. 三边分别相等的两个三角形全等 7. 如图，现有三种不同尺寸的卡片，分别是正方形卡片A、正方形卡片B和长方形卡片C．若要拼成一个长为、宽为的大长方形，则需要卡片C的张数为（ ） A 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 根据等式：，，，规律，则可以得出的结果为（　　） A B. C. D. 二、填空题(每小题3分，共18分) 9. 多项式的公因式是___________． 10. 举反例说明命题“若，则”是假命题时，可举的反例是：___________(写出一个即可) 11. 若多项式是某一个多项式的平方，则常数项m的值为___________． 12. 若，则的值为___________． 13. 若，则a、b、c的大小关系是___________．（用“”连接） 14. 如图，，，，且点B、D、E在同一条直线上．给出下面四个结论； ①； ②； ③； ④． 上述结论中，正确结论的序号有___________． 三、解答题(本大题10小题，共78分) 15. 计算： （1） （2） 16. 把下列多项式分解因式： （1） （2） 17. 先化简，再求值：，其中． 18. 已知某正数的两个平方根分别为和． （1）求这个正数； （2）求的立方根． 19. 如图，在四边形中，，． （1）求证：． （2）若，则 ° 20. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B、C、D均在格点上，只用无刻度的直尺，按要求分别在图①、图②、图③的网格中画出一个三角形，同时满足以下两个条件：（1）所画三角形以点D为一个顶点，另外两个顶点也在格点上．（2）所画三角形与全等． 21. 如图，点、、、在同一条直线上，，，． （1）求证：； （2）求证：． 22. 【问题探究】小聪遇到一个数学问题：如图①，在中，，是边上的中线，求的取值范围． 他的做法是：延长至点E，使，连结，证明，再经过推理和计算解决了问题． 请回答： （1）小聪证明的判定定理是 ． A． B． C． D． （2）的取值范围是 ． 【方法运用】 （3）如图②，在中，是边上的中线，过点B作交的延长线于点M，过点C作于点N，求证：． （4）如图③，点P是中线上一点，连结．若，，则的取值范围是 ． 23. 在数学中，通常可以运用一些公式来解决问题．比如，运用两数和完全平方公式，能够在三个代数式中，当已知其中任意两个代数式的值时，求出第三个代数式的值．例如：已知，求的值． 解：将两边同时平方，得， 即， 因为， 等量代换，得， 所以． 请根据以上信息，解答下列问题． （1）已知，求的值． （2）如图，已知两个正方形的边长分别为a、b，若，求图中阴影部分的面积． （3）若，则的值为 ． 24. 如图，四边形的各内角均为直角，，点M、N分别是中点．动点P从点A出发，沿折线向终点C运动，过点P作于点H，连结．设点P运动时间为t秒． （1）当点P运动到中点时，求证：． （2）若点P以每秒2个单位长度的速度运动． ①如图①，当点P在边上时， ．（用含t的代数式表示） ②如图②，当点P在边上时（点P不与点D重合），易知，若，求t的值． （3）若点P以每秒x个单位长度的速度运动，当时，恰好与全等，直接写出所有满足条件的x的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年度(上学期)期中质量监测 八年级数学 本试卷包括三道大题，共24小题，共6页．全卷满分120分．考试时间为90分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内． 2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效． 一、选择题(每小题3分，共24分) 1. 在实数0、、、中，无理数是（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查无理数的识别，熟练掌握其定义是解题的关键． 无理数即无限不循环小数，据此进行判断即可． 【详解】解：在实数0、、、中，属于无理数的是， 故选：B． 2. 如果 ，那么x的值为（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了实数的性质，平方根的性质，直接开平方，即可得一个数的平方根． 【详解】解：，那么， 故选：C． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法，幂的乘方，积的乘方，根据同底数幂乘法，幂的乘方，积的乘方运算法则逐项判断即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：、，原选项计算错误，不符合题意； 、，原选项计算错误，不符合题意； 、，原选项计算错误，不符合题意； 、，原选项计算正确，符合题意； 故选：． 4. 下列命题是真命题的是（ ） A. 无理数都是无限小数 B. 带根号的数都是无理数 C. 无理数可以转化成分数 D. 数轴上的点与有理数一一对应 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了真假命题的判断，涉及无理数的定义及数轴与实数的关系等知识，判断命题的真假关键是熟悉课本中的性质定理． 【详解】解：A. 无理数是无限不循环小数，是真命题，该选项正确，符合题意； B. 带根号的数不一定是无理数，如，原命题是假命题，该选项错误，不符合题意； C. 无理数不能化成分数，原命题是假命题，该选项错误，不符合题意； D.数轴上的点与实数一一对应， 原命题是假命题，该选项错误，不符合题意， 故选：A． 5. 已知(n为正整数)，则n的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了无理数的估算，解决本题的关键是估算出的取值范围， 首先得出，得出取值范围，即可得出n的值． 【详解】， ， ， ， 故选：B． 6. 如图，有一池塘，要测池塘两端A、B的距离，可先在平地上取一个可以直接到达A和B的点C，连接并延长到D，使．连接并延长到E，使．连接，那么的长就是A、B的距离．解决这个问题依据的数学道理是（ ） A. 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 B. 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 C. 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 D. 三边分别相等的两个三角形全等 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查三角形全等的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题关键．根据题意可知在和中，有两边及其夹角分别相等，即可证明，即得出结论． 【详解】解：由题意可知在和中, ∴， ∴． 综上可知解决这个问题依据的数学道理是两边及其夹角分别相等的两个三角形全等． 故选A． 7. 如图，现有三种不同尺寸的卡片，分别是正方形卡片A、正方形卡片B和长方形卡片C．若要拼成一个长为、宽为的大长方形，则需要卡片C的张数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘多项式与图形面积，掌握相关运算法则是解题关键．根据长方形面积公式列式并展开，即可得到答案． 【详解】解：由图形可知，的面积为，的面积为，的面积为， ， 拼成大长方形需要卡片的张数为2，的张数为2，C的张数为3， 故选：C． 8. 根据等式：，，，的规律，则可以得出的结果为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘多项式，数字类规律问题．先将变形为，根据求出的结果得出规律，即可解答． 【详解】解： ， ． 故选：D． 二、填空题(每小题3分，共18分) 9. 多项式的公因式是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查公因式的确定，熟练掌握公因式的定义及确定方法是解题的关键．根据公因式的定义，找出系数的最大公约数，相同字母的最低指数次幂，然后即可确定公因式． 【详解】多项式， 各项系数的最大公约数为， 各项都含有，的最低指数为， 该多项式的公因式为． 故答案为：． 10. 举反例说明命题“若，则”是假命题时，可举的反例是：___________(写出一个即可) 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查命题与定理，解题的关键是学会举例说明是假命题，答案不唯一，只要满足的数即可，如． 【详解】解：时，， ∴“若，则”是假命题． 故答案为：（答案不唯一）． 11. 若多项式是某一个多项式平方，则常数项m的值为___________． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式，完全平方公式，根据乘积二倍项确定这两个数是x和3，结合完全平方公式即可得出答案． 【详解】解：， 这两个数是x和3， ， 故答案为：9． 12. 若，则的值为___________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了代数式求值和同底数幂的乘法，先将代数式化成同底数幂的乘法的形式，在进行计算即可． 【详解】解：， ， ， 故答案为：2． 13. 若，则a、b、c的大小关系是___________．（用“”连接） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了幂运算的性质，根据幂运算的性质把它们变成相同的指数，只需比较它们的底数的大小，底数大的就大． 【详解】解：， ， ， ， ， 即， 故答案为：． 14. 如图，，，，且点B、D、E在同一条直线上．给出下面四个结论； ①； ②； ③； ④． 上述结论中，正确结论的序号有___________． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形判定和性质，通过可得出，即可判断①；根据可得，，再通过外角和定理即可得出，即可判断②；根据已知条件无法得出，即可判断③；根据可得，再根据，，即可得出结论，即可判断④；综合即可得出答案． 【详解】解：∵，，， ∴在和中， ， ∴， 故①正确； ∵， ∴，， ∵， ∴， 故②正确； 根据已知条件不能证明， 故③不符合题意； ∵， ∴， ∵，， ∴， 故④正确； 综上，正确的有①②④， 故答案为：①②④． 三、解答题(本大题10小题，共78分) 15. 计算： （1） （2） 【答案】（1）0 （2） 【解析】 【分析】本题考查的是实数的运算和整式的运算，掌握单项式除单项式、积的乘方和幂的乘方、算术平方根的性质、乘方、立方根的概念是解题的关键． （1）利用乘方，算术平方根，立方根先求出各数，再相加即可． （2）利用积的乘方和幂的乘方先算，再算除法即可解答． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 16. 把下列多项式分解因式： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（）利用完全平方公式因式分解即可； （）先提公因式，再利用平方差公式因式分解即可； 本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： 17. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查平方差公式，整式的乘法化简求值，熟悉掌握整式的乘法是解题的关键，首先运用平方差公式和整式的乘法将原式化简为，再将代入求值即可． 【详解】 当时， 原式． 18. 已知某正数的两个平方根分别为和． （1）求这个正数； （2）求的立方根． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据平方根的性质可得，解之，即可求得的值，进而可求得该正数的一个平方根，于是可求得该正数； （2）已知的值，于是可求出的值，进而可求出的立方根． 【小问1详解】 解：根据题意可得： ， 解得：， ， 这个正数是； 【小问2详解】 解：， ， ． 【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，代数式求值，已知一个数的平方根求这个数，求一个数的立方根等知识点，根据平方根的性质求出的值是解题的关键． 19. 如图，在四边形中，，． （1）求证：． （2）若，则 ° 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，掌握斜边直角边证明三角形全等是解题的关键． （1）根据证明三角形全等即可． （2）根据全等三角形对应角相等可得，然后根据三角形的内角和等于列式计算即可得解． 【小问1详解】 ，， 在与中， ， ． 【小问2详解】 ，， ， ，且， ． 20. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B、C、D均在格点上，只用无刻度的直尺，按要求分别在图①、图②、图③的网格中画出一个三角形，同时满足以下两个条件：（1）所画三角形以点D为一个顶点，另外两个顶点也在格点上．（2）所画三角形与全等． 【答案】见详解 【解析】 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，全等三角形的判定等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题． 根据全等三角形的判定和题目要求作图即可． 【详解】解：以点D为一个顶点，另外两个顶点也在格点上，且所画三角形与全等， 在图①、图②、图③的网格中画出三角形如下． 21. 如图，点、、、在同一条直线上，，，． （1）求证：； （2）求证：． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据两直线平行内错角相等可推出，，然后利用即可得出结论； （2）由（1）可得，根据全等三角形的性质可得，，利用等式的性质可得出，然后利用可证得，于是可得，最后根据内错角相等两直线平行即可得出结论． 【小问1详解】 证明：， ， ， ， 在和中， ， ； 【小问2详解】 证明：由（1）可得：， ， ，即， ， ， 即：， 在和中， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了两直线平行内错角相等，全等三角形的判定，全等三角形的性质，等式的性质，全等三角形的判定与性质，内错角相等两直线平行等知识点，熟练掌握平行线的判定与性质及全等三角形的判定与性质是解题的关键． 22. 【问题探究】小聪遇到一个数学问题：如图①，在中，，是边上的中线，求的取值范围． 他的做法是：延长至点E，使，连结，证明，再经过推理和计算解决了问题． 请回答： （1）小聪证明的判定定理是 ． A． B． C． D． （2）的取值范围是 ． 【方法运用】 （3）如图②，在中，是边上的中线，过点B作交的延长线于点M，过点C作于点N，求证：． （4）如图③，点P是中线上一点，连结．若，，则的取值范围是 ． 【答案】（1）A；（2）；（3）见解析；（4） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形三边关系的应用，等角对等边．熟练掌握全等三角形的判定与性质，三角形三边关系的应用，等角对等边是解题的关键． （1）由，可证，然后作答即可； （2）由，可得，由题意知，，即，计算求解即可； （3）由，，，证明即可； （4）如图，延长到，使，连接，同理（1），，则，，，由题意知，，即，计算求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故选：A； （2）解：∵， ∴， 由题意知，，即， ∴， 故答案为：； （3）证明：∵，， ∴， 又∵，， ∴； （4）解：如图，延长到，使，连接， 同理（1），， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得，， 故答案为：． 23. 在数学中，通常可以运用一些公式来解决问题．比如，运用两数和完全平方公式，能够在三个代数式中，当已知其中任意两个代数式的值时，求出第三个代数式的值．例如：已知，求的值． 解：将两边同时平方，得， 即， 因为， 等量代换，得， 所以． 请根据以上信息，解答下列问题． （1）已知，求的值． （2）如图，已知两个正方形的边长分别为a、b，若，求图中阴影部分的面积． （3）若，则的值为 ． 【答案】（1）8 （2）22 （3）13 【解析】 【分析】本题考查了利用完全平方公式变式求值，熟练掌握和运用完全平方公式的变式是解决本题的关键． （1）根据完全平方公式变形，再将代入即可求解； （2）根据题意得出图中阴影部分的面积，再根据完全平方公式变形求出，即可求解． （3）令，表示出，，根据计算即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， 解得：． 【小问2详解】 解：根据题意可得： 图中阴影部分的面积． 根据题意，得， 即， ∵， ， 即． ∴图中阴影部分的面积． 【小问3详解】 解：令， 则， ∵， ∴， 则， 故答案为：13． 24. 如图，四边形的各内角均为直角，，点M、N分别是中点．动点P从点A出发，沿折线向终点C运动，过点P作于点H，连结．设点P运动时间为t秒． （1）当点P运动到中点时，求证：． （2）若点P以每秒2个单位长度的速度运动． ①如图①，当点P在边上时， ．（用含t的代数式表示） ②如图②，当点P在边上时（点P不与点D重合），易知，若，求t的值． （3）若点P以每秒x个单位长度的速度运动，当时，恰好与全等，直接写出所有满足条件的x的值． 【答案】（1）见解析 （2）①；②或 （3）1，3，5 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，绝对值方程等知识点，解题的关键是分类讨论，熟练掌握三角形全等的性质． （1）当点P运动到中点时，则，结合点M、N分别是中点，，可得，即可证明． （2）①根据题意即可求解． ②当点P在边上时（点P不与点D重合），得出，再根据，，列出等式求解即可． （3）根据题意分为当点P在边上时和当点P在边上时，根据全等三角形的性质列出等式求解即可． 【小问1详解】 解：当点P运动到中点时，则， ∵点M、N分别是中点，， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：若点P以每秒2个单位长度的速度运动． ①如图①，当点P在边上时，． 故答案为：； ②如图②，当点P在边上时（点P不与点D重合）， 则， ∴， 若， 则，解得：或． 【小问3详解】 解：若点P以每秒x个单位长度的速度运动，时， 当点P在边上时，与全等时， ∵， 则， ∴，解得：； 当点P在边上时，若与全等， ∵， 则， ∵， ∴，解得：或； 综上，或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$