3.4 一元一次方程的应用 教学设计 2024—2025学年湘教版数学七年级上册

《3.4 一元一次方程的应用》教学设计 教学内容分析 《一元一次方程的应用》是湘教版数学七年级上册第三章第四节的内容。是在学生已学习了由实际问题抽象出一元一次方程模型和解一元一次方程的一般步骤的基础上，进一步体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型，以及更深刻地体会数学的应用价值。是全章的重点，同时也是难点。本节内容通过更加贴近实际生活的行程问题，进一步突出方程这种数学模型具有广泛应用性和有效性;另一方面使学 生在分析、解决问题的能力和实践意识在更高层次上得到提高。 学习者分析 七年级学生在学习一元一次方程时既具备一定的基础和优势也存在一些挑战和困难。作为教师我们需要充分了解学生的学情并制定科学的教学策略以帮助他们更好地掌握这一重要数学概念并培养他们的数学思维和解决问题的能力。通过直观教学手段、实例教学、加强练习巩固、开展合作学习以及及时反馈与调整等策略我们可以有效地突破学生的学习障碍提高他们的学习兴趣和积极性最终实现教学目标。 教学目标 1.通过本节课理解行程问题，能借助图示法分析出行程问题中的路程、速度和时间之间的等量关系，正确列出一元一次方程解决行程问题。 2.经历运用方程解决实际问题的过程，体会方程是刻画现实世界的有效数学模型。 3.培养分析问题、解决实际问题、综合归纳整理的能力，能运用方程解决生活中的实际问题，获得解决问题的经验。 教学重点 通过本节课理解行程问题，能借助图示法分析出行程问题中的路程、速度和时间之间的等量关系，正确列出一元一次方程解决行程问题。 教学难点 培养分析问题、解决实际问题、综合归纳整理的能力，能运用方程解决生活中的实际问题，获得解决问题的经验。 学习活动设计 教师活动 学生活动 环节一：引入新课 教师活动1： 教师提问：解一元一次方程的步骤是什么？填写下表。 学生活动1： 通过复习解一元一次方程的步骤，为本节课学习新知识奠定基础。 活动意图说明：激发学生学习动机和兴趣，吸引学生注意力，为引进新知识的学习做好心理准备。 环节二：新知探究 教师活动2： 教师出示问题： 思考：一艘轮船在甲、乙两个码头之间航行，顺水航行时需 4 h，逆水航行时需5 h. 已知水流速度为2 km/h，则轮船在静水中的航行速度是多少？ 在这个问题中有如下等量关系： （1） 轮船顺水航行的速度=轮船在静水中的航行速度+水流速度 （2） 轮船逆水航行的速度=轮船在静水中的航行速度-水流速度 （3） 轮船顺水航行的路程=轮船逆水航行的路程. 设轮船在静水中的航行速度为 x km/h，则根据等量关系（1）（2）分别可得，轮船顺水航行的速度为（x + 2）km/h，逆水航行的速度为（x - 2）km/h. 又路程=速度×时间，于是根据等量关系（3），可列出方程： 4（x + 2）= 5（x - 2）. 解得 x = 18. 因此，轮船在静水中的航行速度为18 km/h. 【总结归纳】 一元一次方程是一种重要的数学模型 . 利用等量关系建立一元一次方程，可以帮助我们解决一些实际问题. 找等量关系时，可以通过画图、列表、演示等多种方法，这些也是列方程解应用题的有效方法和手段. 学生活动2： 学生根据教师出示的等量关系，理解并列出方程。 学生解方程，解决问题。 活动意图说明：运用探究式教学模式，使学生体验教学再创造的思维过程，培养学生的创造意识和科学精神。 环节三：典例精析 教师活动3：教师出示例题： 【例1】某房间里有 4 条腿的椅子和 3 条腿的凳子共 16 把，如果椅子腿数与凳子腿数的和为60，试问：有几张椅子和几把凳子？ 你能找出题目中的等量关系吗？ 本题中的等量关系： 椅子数 + 凳子数 = 16， 椅子腿数 + 凳子腿数 = 60. 怎样设未知数？ 解：设有x张椅子，则有（16 - x）把凳子. 根据题意，得4x + 3（16 - x）= 60. 解得 x = 12. 因此，凳子有16 - 12 = 4（把）. 答：有12张椅子，4把凳子. 【归纳总结】 设未知数的常见方法： 设未知数分为“直接设”和“间接设”两种，“直接设”较为常用， 即求什么就设什么为未知数，当直接设未知数解决问题有困难时，可以间接设未知数， 【例2】刺绣是我国民间传统手工艺之一. 我国刺绣主要有湘绣、苏绣、蜀绣、粤绣四大类 . 若刺绣一件作品，甲单独绣需要 15 天才能完成，乙单独绣需要 12 天才能完成 . 现在甲先单独绣 1 天，接着乙又单独绣 4天，剩下的工作由甲、乙两人合绣. 试问：再合绣多少天可以完成这件作品？ 分析：设总工作量为 1，则甲每天完成总工作量的，乙每天完成总工作量的. 因为甲先单独绣 1 天，乙又单独绣 4天，若甲、乙两人合绣x天，则甲共绣了（x+1） 天，乙共绣了（x+4）天. 本题中等量关系为：甲完成的工作量+乙完成的工作量=总工作量. 解：设剩下的工作由甲、乙两人合绣x天可以完成，则根据题意，得 解得 x = 4. 答：甲、乙两人再合绣4天就可以完成这件作品. 做一做： 结合上述 3个实例，用流程图总结用一元一次方程解决有关实际问题的具体步骤，并与同学交流. 学生活动3： 学生完成例题，巩固一元一次方程解决实际问题的方法。 学生利用本节课所学知识完成实际问题。 活动意图说明：通过例题来巩固、强化课堂上所学的知识，并且培养学生综合运用所学的知识和技能解决问题的能力，培养学生的应用意识。 板书设计 课题：3.4.1 一元一次方程的应用（1） 一、行程问题 二、工程问题 三、例题讲解 课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.端午节买粽子，每个肉粽比素粽多1元，购买10个肉粽和5个素粽共用去70元，设每个肉粽x元，则可列方程为(　A　) A．10x＋5(x－1)＝70 B．10x＋5(x＋1)＝70 C．10(x－1)＋5x＝70 D．10(x＋1)＋5x＝70 2.笼中有鸡兔共25只，且有60只脚，设鸡有x只，则可列方程为(　D　) A．2x＋4x＝60 B．2x＋2(25－x)＝60 C．4x＋4(25－x)＝60 D．2x＋4(25－x)＝60 3.A，B两地相距37 km，甲从A地步行到B地，乙从B地步行到A地，甲比乙晚出发1 h，乙出发5 h后两人在途中相遇，已知甲每小时比乙多走1 km，设甲每小时走x km.依题意得方程为(　A　) A．4x＋5(x－1)＝37 B．5x＋4(x－1)＝37 C．4x＋5(x＋1)＝37 D．5x＋4(x＋1)＝37 4.A，B两地相距28 km，甲、乙两人分别从A，B两地同时出发，相向而行，经过t h相遇．若甲的步行速度是4 km/h，乙的步行速度是3 km/h.从出发到相遇的过程中，下列说法不正确的是(　C　) A．甲、乙所走路程之和为28 km B．甲、乙步行所用时间相同 C．甲、乙所走路程相同 D．步行时间t满足方程4t＋3t＝28 选做题： 5.幻方，最早源于我国，古人称之为纵横图．如图所示的幻方中，各行、各列及各条对角线上的三个数字之和均相等，则图中a的值为____-2____． 6.我国元朝朱世杰所著的《算学启蒙》(1299年)记载：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里．驽马先行六日，问良马几何追及之．”翻译为：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里．慢马先走6天，快马几天可以追上慢马？则快马追上慢马的时间为(　A　) A．10天 B．15天 C．20天 D．25天 【综合拓展类作业】 7.已知A，B两地相距450千米，甲、乙两车分别从A，B两地同时出发，已知甲车速度为115千米/时，乙车速度为85千米/时． (1)两车同向而行，快车在后，求经过几小时快车追上慢车？ 解：设经过x小时快车追上慢车． 列方程为115x－85x＝450，解得x＝15. 答：经过15小时快车追上慢车． (2)两车相向而行，求经过几小时两车相距50千米？ 解：设经过a小时两车相距50千米． 两种情况：①相遇前两车相距50千米，根据题意得 115a＋85a＋50＝450，解得a＝2； ②相遇后两车相距50千米，根据题意得 115a＋85a－50＝450，解得a＝2.5. 答：经过2小时或2.5小时两车相距50千米． 课堂总结 本节课你学到了什么？ 用一元一次方程解决有关实际问题的具体步骤: 作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1.甲、乙两人从相距60 km的两地同时出发，相向而行，甲步行每小时走5 km，乙骑自行车，3 h后相遇，则乙的速度为(　C　) A．5 km/h B．10 km/h C．15 km/h D．20 km/h 2.小明、小刚两人从同一地点出发，如果小明先出发1 h后，小刚从后面追赶，那么当小刚追上小明时，下面说法正确的是(　B　) A．小刚比小明多走了1 h B．小刚、小明所走的路程相等 C．小刚、小明所用的时间相等 D．小刚走的路程比小明多 选做题： 3.一艘轮船在长江A，B两个码头之间航行，顺水航行需要4 h，逆水航行需要5 h，如果船在静水中的航速是18 km/h，那么水的流速是多少？ 解：设水的流速为x km/h，根据题意，可得 4(18＋x)＝5(18－x)，解得x＝2. 答：水的流速是2 km/h. 4.甲、乙两人在环形跑道上跑步，已知环形跑道长400 m，乙每秒跑6 m，甲每秒跑8 m．如果甲在乙前面8 m处同时同向出发，那么经过___196_____s两人首次相遇． 【综合拓展类作业】 5.某社区需要进行绿化改造，现有甲、乙两个绿化工程队可供选择，已知甲队每天能完成的绿化改造面积比乙队多200平方米，甲队与乙队合作一天能完成800平方米的绿化改造面积. 甲、乙两工程队每天各能完成多少平方米的绿化改造面积？ 解：设乙工程队每天能完成x平方米的绿化改造面积，则甲工程队每天能完成(x＋200)平方米的绿化改造面积，依题意得x＋200＋x＝800，解得x＝300， 所以x＋200＝300＋200＝500. 答：甲工程队每天能完成500平方米的绿化改造面积，乙工程队每天能完成300平方米的绿化改造面积． 教学反思 本节课研究的是行程问题，是题型变化形式最多的实际问题之一，因此构建学生正确的数学思维就显得尤为重要，让学生能够自己分析、解决问题成为了重中之重，在教学设计上为了避免学生思维跳跃，采用了变式的形式，通过不断变换条件，构建高效课堂，培养学生数学思维和建模能力。 学科网（北京）股份有限公司 $$