2025年中考数学一轮复习小专题特训：圆综合

备战2025年中考数学一轮复习小专题特训：圆综合 一、单选题 1．如图，在扇形中，点D在上，点C在上，．若，则的半径为(   ) A． B． C． D． 2．如图，直角坐标系中，经过A，B，C三点的圆，圆心为M，则点M的坐标为（　　） A． B． C． D． 3．如图，△中，，，，以点为圆心、为半径画弧，交于点，以点为圆心、为半径画弧，交于点，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 4．已知：如图，是的弦，的半径为5，于点D，交于点C，且，那么的长为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 5．如图，，分别与相切于A，B两点，C是优弧B上的一个动点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 6．如图，已知圆锥的母线长为6，圆锥的底面半径与母线的比为，则该圆锥的侧面积是（ ） A． B． C． D． 7．如图，点A，B，C都在上，若，则（　　） 　 A． B． C． D． 8．如图，已知在中，，是的角平分线，E是上一点，且，连接，作于F，连接．则下面的结论：①；②；③若，则．其中正确结论的个数是（  ） A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题 9．已知一个扇形的圆心角为，其弧长为，则该扇形的面积为 ． 10．点A、B、C为上的三点，如果，则 ． 11．如图，是一个盛有水的容器的横截面，水面的宽度为为，水的最深处到水面的距离为，则的半径为 ． 12．如图，在边长为2的正方形中，先以点为圆心，的长为半径画弧，再以边的中点为圆心，长的一半为半径画弧，则两弧之间的阴影部分面积是 （结果保留）． 13．如图，是的直径，点A，D在上，若，则的度数为 ． 14．如图，是⊙的直径，是⊙的切线，连接交⊙于点D，点E为上一点，满足，连接交于点F，若，，则 ， ． 15．如图，直线，与和分别相切于点A和点B．点M和点N分别是和上的动点，沿和平移，的半径为1，．小媛同学得到以下结论： ①若与相切，则； ②若与相切，则； ③若与相切，则；其中一定正确的有 ． 三、解答题 16．的顶点都在正方形网格格点上，如图所示，请借助网格和一把无刻度直尺按要求作图．    (1)将绕点顺时针方向旋转得到（点对应点），画出． (2)请找出过，，三点的圆的圆心，标明圆心的位置． 17．如图， AB是⊙O的直径．点C在⊙O上．D是 的中点．若，求 的度数． 18．如图所示，四边形是半径为r的的内接四边形，是的直径，，直线l与三条线段、、的延长线分别交于点E、F、G．且满足． (1)求证：直线直线； (2)若． ①求证：； ②若半径，求四边形ABCD的周长． 19．如图，是直角三角形的外接圆，直径，过C点作的切线，与延长线交于点D，M为的中点，连接，，且与相交于点N． (1)求证：与相切； (2)当时，在的圆上取点F，使，补全图形，并求点F到直线的距离． 20．如图，在中，，，是上一动点，连接，以为直径的交于点，连接并延长交于点，交于点，连接． (1)求证：点在上． (2)当点移动到使时，求的值． (3)当点到移动到使时，求证：． 21．如图，射线射线，、在射线上，在射线上，连结，．若，，设．过点，，的圆交的垂线于点，连结，直线，交于点． (1)求． (2)连结，记△的面积为． ①求关于的函数表达式； ②当时，求此时的值． (3)点关于直线的对称点为，若落在内部（不包括边界）时，请直接写出的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C C A C B C C D 1．C 【分析】过点作与，连接交与点，连接，利用勾股定理求出，再证明点是的中点，利用中位线定理和直角三角形的中线的性质分别求出和，从而得到，最后用勾股定理求即可． 【详解】解：过点作与，连接交与点，连接， ∵，， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴是的中点， ∴， 又∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， 即的半径为， 故选：C． 【点睛】本题考查垂径定理，垂直平分线的性质，直角三角形中线的性质，中位线的性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质等知识，综合性较大，利用垂径定理构造辅助线和证明点是的中点是解题的关键． 2．C 【分析】本题考查了垂径定理、坐标与图形． 由网络可得出线段和的垂直平分线的交点，这个交点即为圆心M，进而可得点M的坐标． 【详解】解：如图，作线段和的垂直平分线，它们的交点为圆心M，则点M坐标为， 故选：C 3．A 【分析】本题考查扇形面积的计算、含30度角的直角三角形、勾股定理，掌握特殊角的三角函数、扇形和三角形面积计算公式是解题的关键． 求出，根据三角函数求出；利用扇形的面积公式，根据“阴影部分的面积扇形的面积扇形的面积三角形的面积”计算即可． 【详解】解：，，， ，， ， 阴影部分的面积为． 故答案为：． 4．C 【分析】此题考查了垂径定理、勾股定理等知识．连接，根据垂径定理得到，利用勾股定理求出，即可得到答案． 【详解】解：连接， ∵于点D， ∴， 在中，， 即， 解得：. ∴ 故选：C． 5．B 【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，连接，根据切线的性质得，再利用四边形的内角和计算出的度数，最后根据圆周角定理计算的度数． 【详解】连接， ，分别与相切于A，B两点， ， ， ， ， 故选：B． 6．C 【分析】本题主要考查了求圆锥侧面积，熟练掌握求圆锥侧面积公式是解题关键．首先求得圆锥底面半径，然后根据圆锥侧面积公式，求解即可． 【详解】解：∵圆锥的底面半径与母线的比为，母线长为6， ∴圆锥的底面半径， ∴该圆锥的侧面积． 故选：C． 7．C 【分析】本题考查了圆周角定理，等边对等角和三角形内角和定理， 首先根据得到，然后利用三角形内角和定理求出，然后利用圆周角定理求解即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∵ ∴． 故选：C． 8．D 【分析】根据等边对等角及三角形内角和定理得，再根据角平分线定义及直角三角形的性质得，然后代入可判断①；再延长交于点H，连接，根据“边角边”证明，可得再根据线段垂直平分线的性质得，接下来说明点D，F，H，C四点共圆，根据同弧所对的圆周角相等判断②；作，根据角平分线性质定理得，再根据面积公式计算判断③． 【详解】∵， ∴． ∵， ∴． ∵平分， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 故①正确； 延长交于点H，连接． ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴． ∵， ∴点D，F，H，C四点共圆， ∴， ∴． 所以②正确； 作于点M． ∵平分，， ∴． ∵， ∴． 所以③正确． 所以正确的结论有3个． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，角平分线的定义及性质，三角形内角和定理，四点共圆，全等三角形的性质和判定，作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 9．/ 【分析】本题考查了弧长公式，扇形面积的计算等知识点，注意：圆心角为，半径为的扇形的面积弧长．设扇形的半径为，根据弧长公式和已知条件得出，求出，再根据扇形的面积公式求出面积即可． 【详解】解：设扇形的半径为， 扇形的圆心角为，弧长为， ， 解得：， 扇形的面积为， 故答案为：． 10．或 【分析】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．分点C在优弧上，和劣弧上，两种情况讨论，根据圆周角定理即可直接得出答案． 【详解】解：如图，当点C在优弧上时， 根据圆周角定理，可得：， 如图，当点C在劣弧上时， 根据圆周角定理，可得：， 故答案为：或． 11． 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，过点作于点，交于点，则，设的半径为，则，由勾股定理得，解方程即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作于点，交于点，则，， ∵水的最深处到水面的距离为， ∴， 设的半径为，则， ∵， ∴， 解得， 故答案为：． 12． 【分析】该题主要考查了扇形面积计算，解题的关键是掌握扇形面积计算公式并能够正确表示出阴影部分面积． 根据题意有， 然后根据扇形的面积公式：和圆的面积公式分别计算扇形和半圆的面积即可． 【详解】解：根据题意得，， ，， ， 故答案为：． 13． 【分析】本题主要考查了同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，直角三角形的性质等等，先由直径所对的圆周角是直角得到，再由同弧所对的圆周角相等得到，再根据直角三角形两锐角互余即可得到答案． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 14． 【分析】此题重点考查圆周角定理、切线的性质定理、相似三角形的判定与性质等知识，连接、，由是的直径，是的切线，推导出，则，，由，得，所以，则，，可证明，得，求得，则，，再证明，得，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：如图，连接、， ∵是的直径，是的切线， ∴，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：，． 15．②③ 【分析】连结，根据切线的性质和得到为的直径，则和的距离为2；当与相切，连结，当在左侧时，根据切线长定理得，在中，利用正切的定义可计算出，在中，由于，可计算出，当在右侧时，，所以的长为或，从而判定①与③；再利用直角三角形的性质即可求出，从而判定②． 【详解】连结，如图1， ∵与和分别相切于点A和点B， ∴，， ∵， ∴， ∴点A、O、B共线， ∴为的直径， ∴和的距离为2； 作于H，如图1， 则， ∵， ∴， ∴； 当与相切，如图2，连结， 当在左侧时，， ∵， ∴， 同理，， 在中，，即， 在中，，，即， 当在右侧时，同理，，， ∴的长为或；； 故①错误，③正确； 当与相切，在左侧时，， ∵， ∴，， ∴； 同理在右侧时，；故②正确； 故答案为：②③． 【点睛】本题考查了三角函数的应用，切线的性质，直角三角形的性质等知识，解题的关键是掌握切线的性质． 16．(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查画旋转图形、圆的定义、勾股定理，正确确定圆心是解答的关键． （1）根据旋转性质得到对应点，然后顺次连接即可画出图形； （2）连接，分别作的垂直平分线，两条垂直平分线交于一点即为过该三点的圆心O，进而问题可求解． 【详解】（1）解：如图，即为所求；    （2）解：如图，点O即为所求． 17． 【分析】本题主要考查圆周角定理及其推论，牢记圆周角定理及其推论是解题的关键．根据D是 的中点可求得的度数，根据是的直径可求得的度数，根据圆内接四边形的对角互补，即可求得答案． 【详解】解：是的中点， ， ， 是的直径， ， ， 四个点都在上， ， ． 18．(1)见解析 (2)①见解析；② 【分析】（1）在中，根据同弧所对的圆周角相等可得，结合已知在中根据三角形内角和定理可求得； （2）①根据圆内接四边形的性质和邻补角可得，由直径所对的圆周角是直角和（1）可得，结合已知即可证得； ②在中由，可得，结合题意易证，在中由勾股定理可求得，由①可知易得，最后代入计算即可求得周长． 【详解】（1）证明：在中， ， ，即， 在中， ， ， 即直线直线； （2）解：①四边形是半径为r的的内接四边形， ， ， ， 是的直径， ， 由（1）可知， ， 在与中， ， ， ②在中，， ， 是的直径， ， ， ， ， 在中， ， 即， 解得：， 由①可知， ， ， 四边形的周长为： ． 【点睛】本题考查了同弧所对的圆周角相等、三角形内角和定理、垂直的定义、圆内接四边形的性质、邻补角互补、直径所对的圆周角是直角、全等三角形的判定和性质、勾股定理解直角三角形以及周长的计算；解题的关键是灵活运用以上知识，综合求解． 19．(1)见解析 (2)或 【分析】（1）根据题意可得，根据直径所对的圆周角是直角，得出，进而得出，证明，得出，即可得证； （2）分点在以及半圆上，分别作出图形，根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：连接， 为的中点，是中点， ， 是的直径， ， ， ∵， ， 又 ， ， 是切线 ， ， ， 是切线； （2）如图所示，当点在上时，连接，交于点， ， ， ， ， 直径， ， ∴， ， ； 当点在半圆上时，过点作，垂足为点，，垂足为点， 四边形是矩形， 在中，， ∵， ∴， ， ∴， ， ． 【点睛】本题考查了切线的判定，全等三角形的性质与判定，垂径定理，直径所对的圆周角是直角，综合运用以上知识是解题的关键． 20．(1)见解析； (2)； (3)见解析． 【分析】（1）利用直角三角形斜边中线的性质证明即可解决问题． （2）想办法证明即可解决问题． （3）首先证明，，，再利用勾股定理即可解决问题． 【详解】（1）证明：为的直径， ， ， ， 点在上； （2）解：连接． 为的直径， ，， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）证明：连接． ， 由（2）知， ， ， ， 等于， ， ， ， 是等边三角形， ， 由（2）知， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题属于圆综合题，考查了垂径定理，圆周角定理，等腰直角三角形的性质和判定，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题． 21．(1) (2)①；②1 (3) 【分析】（1）利用勾股定理可求得，利用同弧所对的圆周角相等和直角三角形的边角关系通过计算即可； （2）①利用勾股定理求出的长，利用（1）②的结论，可得，的长，由题意可得为圆的直径，则；利用勾股定理求得的长．利用，可得中边上的高等于，利用三角形的面积公式即可求得结论； ②将已知条件转化为，利用三角形的面积公式代入得到关于的方程，解方程即可求得结论； （3）利用分类讨论的思想分：①当点的对称点落在上时，②当点的对称点落在上时，利用轴对称的性质可得或，进而得到关于的方程，从而求得当点落在边界上的值，由题意可得结论． 【详解】（1）解：①，， ． 射线射线， ． 在中， ． ， ； （2）解：①，， ． 设，则， ． 在中， ． ，． ， 是圆的直径． ． ， ． ，， ． ． ②与的面积差为2， ． ． 即：． ． ． 解得：． 当与的面积差为2，此时的值为1． （3）解：的取值范围：．理由： ①当点的对称点落在上时，如图， 则． 是圆的直径， 平分， 即是的垂直平分线． ． ． 解得：或． ， ． ②当点的对称点落在上时，如图， 则垂直平分， ∴． ， ． ． ． ． 解得：． ∵落在内部（不包括边界）， 的取值范围：． 【点睛】本题是圆的综合题，主要考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理，解直角三角形，轴对称的性质，相似三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，三角形的面积，利用相似三角形的性质和勾股定理求得相应线段的长度是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$