4.2 平行线（5个知识点+8类热点题型讲练+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学上册同步学与练（华东师大版2024）

4.2平行线 课程标准 学习目标 ①平行线的定义； ②平行线的画法； ③平行公理及其推论； ④平行线的判定方法； ⑤掌握平行线的性质，并能依据平行线的性质进行简单的推理； ⑥了解平行线的判定与性质的区别和联系，理解两条平行线的距离的概念。 1.掌握平行线的定义并能够判断平行线； 2.掌握平行线的画法能够画已知直线的平行线； 3.掌握平行公理及其推论，并能够熟练运用； 4.掌握平行线的判定方法，并能运用“平行线的判定方法”，判定两条直线是否平行； 5.掌握平行线的性质，并能依据平行线的性质进行简单的推理； 6.了解平行线的判定与性质的区别和联系，理解两条平行线的距离的概念。 知识点01 同一平面内两条直线的位置关系 同一平面内，两条直线的位置关系：相交和平行. 【微点拨】 （1）平行线：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线.两直线平行，用符号“∥”表示. 如下图，两条直线互相平行，记作AB∥CD或a∥b. （2）互相重合的直线通常看做一条直线，两条线段或射线平行是指它们所在的直线平行. （3）相交线：若两条直线只有一个公共点，我们称这两条直线为相交线，这个公共点叫做交点. 两条直线相交只有一个交点. 【即学即练1】 （23-24七年级下·山东聊城·开学考试）下面语句中，正确的是（    ） A．永不相交的两条直线叫做平行线． B．在同一平面内的两条直线叫做互相平行． C．在同一平面内，不相交的两条直线互相平行． D．直线A是平行线，直线B是平行线，直线A和直线B互相平行． 知识点02 平行线的画法及平行公理 1.平行线的画法 用直尺和三角板作平行线的步骤： ①落：用三角板的一条斜边与已知直线重合. ②靠：用直尺紧靠三角板一条直角边. ③推：沿着直尺平移三角板,使与已知直线重合的斜边通过已知点. ④画：沿着这条斜边画一条直线,所画直线与已知直线平行. 2.平行公理及推论 平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． 【微点拨】 (1)平行公理特别强调“经过直线外一点”，而非直线上的点，要区别于垂线的第一性质． (2)公理中“有”说明存在；“只有”说明唯一． （3）“平行公理的推论”也叫平行线的传递性. 【即学即练2】 （23-24七年级下·陕西安康·期末）如图，在三角形外求作一点D，使，且的长最短． 知识点03 平行线的判定 判定方法1：同位角相等，两直线平行.如上图，几何语言： ∵　∠3＝∠2 ∴　AB∥CD（同位角相等，两直线平行） 判定方法2：内错角相等，两直线平行.如上图，几何语言： ∵　∠1＝∠2 ∴　AB∥CD（内错角相等，两直线平行） 判定方法3：同旁内角互补，两直线平行.如上图，几何语言： ∵　∠4＋∠2＝180° ∴　AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行） 【微点拨】 平行线的判定是由角相等或互补，得出平行，即由数推形. 【即学即练3】 （21-22七年级下·安徽六安·期末）如图，下列条件，不能判定的是（    ） A． B． C． D． 知识点04 平行线的性质 性质1：两直线平行，同位角相等. 性质2：两直线平行，内错角相等. 性质3：两直线平行，同旁内角互补. 【微点拨】 （1）“同位角相等、内错角相等”、“同旁内角互补”都是平行线的性质的一部分内容，切不可忽视前提 “两直线平行”． (2)从角的关系得到两直线平行，是平行线的判定；从平行线得到角相等或互补关系，是平行线的性质． 【即学即练4】 （2022·山西长治·二模）如图，直线a，b被直线m，n所截，且a∥b，则下列结论正确的是（    ） A．∠1＝∠2 B．∠2＋∠3＝180° C．∠3＝∠4 D．∠1＋∠4＝180° 知识点05 两条平行线的距离 同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线间的线段的长度，叫做这两条平行线的距离． 【微点拨】 （1）求两条平行线的距离的方法是在一条直线上任找一点，向另一条直线作垂线，垂线段的长度就是两条平行线的距离． (2) 两条平行线的位置确定后，它们的距离就是个定值，不随垂线段的位置的改变而改变，即平行线间的距离处处相等． 【即学即练5】 （22-23八年级下·安徽阜阳·期中）如图，直线，．若a与b的距离是，b与c距离是，则a与c的距离是（    ）    A． B． C． D． 题型01 同一平面内两条直线的位置关系 【典例1】（2020·上海浦东新·三模）已知长方体ABCD-EFGH如图所示，那么下列各条棱中与棱GC平行的是（　　　） A．棱EA； B．棱AB； C．棱GH； D．棱GF． 【变式1】（23-24六年级下·山东烟台·期末）在同一平面内，两条直线的位置关系有（    ） A．相交、垂直 B．相交、平行 C．垂直、平行 D．相交、垂直和平行 【变式2】（23-24七年级下·广东深圳·期末）如图，已知四条线段a，b，m，n中的一条与挡板另一侧的线段l平行，请判断该线段是（    ） A．a B．b C．m D．n 【变式3】（18-19七年级下·全国·单元测试）如图，是一个长方体，用符号表示下列两棱的位置关系，A1B1_______AB，AA1_______AB． 题型02画平行线 【典例2】（23-24七年级下·广西南宁·开学考试）如图，C是线段外一点，按要求画图： (1)画射线； (2)过点C画直线； 【变式1】（23-24七年级下·吉林延边·期中）如图，在的方格纸中，每个小正方形的边长为1，、、均为小正方形的顶点，请仅用无刻度的直尺完成以下操作． (1)过点作的平行线． (2)过点作的平行线，与（1）中的平行线交于点． 【变式2】（22-23七年级下·辽宁沈阳·期中）如图，在正方形网格中有四个格点O、A、B、C，按要求进行下列作图，并标出相应的字母（要求画图时用2B铅笔加黑加粗）． (1)画射线，画直线； (2)过点A画射线的垂线，垂足为点D； (3)过点O画直线的平行线． 【变式3】（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，已知． (1)过点画，垂足为； (2)过点画，交于点． 题型03平行公理及其推论 【典例3】（21-22七年级下·全国·课后作业）下面推理正确的是（    ） A．，，∴c∥d B．，，∴c∥d C．，，∴b∥c D．，，∴a∥c 【变式1】（23-24七年级下·全国·单元测试）在数学课上，老师画一条直线a，按如图所示的方法，画一条直线b与直线a平行，再向上推三角尺，画一条直线c也与直线a平行，此时，发现直线b与直线c也平行，这就说明了（    ） A．平行于同一条直线的两直线平行 B．同旁内角相等，两直线平行 C．两直线平行，同位角相等 D．过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 【变式2】（23-24七年级下·山东济宁·阶段练习）下列说法中：①若a∥b，b∥c，则a∥c；②若与相交，与相交，则与相交；③相等的角是对顶角；④过一点有且只有一条直线与已知直线平行．不正确的有（   ）． A．①② B．②③ C．②③④ D．③④ 【变式3】（23-24七年级下·天津河北·期中）已知a，b，c为不重合的三条直线，若a∥b，b∥c，则a∥c．理由是_______________________________________________． 题型04 平行线的判定 【典例4】（21-22七年级下·云南玉溪·期末）如图，能判定的条件是（       ） A． B． C．∠2+∠C=180° D． 【变式1】（21-22七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，，能判定的条件是（    ）    A． B． C． D． 【变式2】（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，一条公路的两个拐角和若，要使公路和在同一方向上，需要使______度，依据是________________________． ‍ 【变式3】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）根据图形填空： 如图所示，完成推理过程． (1)∵（已知） ∴____________（   ） (2)∵（已知） ∴（   ） (3)∵（已知） ∴（   ） (4)∵（已知） ∴____________（   ） 题型05在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行 【典例5】（24-25七年级上·江苏·假期作业）直线a，b，c在同一平面内，下列说法：①若，，则a∥c；②若，，，则；③若，，则；④若a与b相交，b与c相交，则a与c相交其中正确的有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1】（23-24七年级下·陕西安康·期中）在同一平面内，若a，b，c，d为直线，则下列说法正确的是（    ） A．，， B．a⊥b，， C．，， D．，， 【变式2】（23-24七年级下·江西南昌·期中）在同一平面内有条直线，如果，依此类推，那么与的位置关系是（    ） A．垂直 B．平行 C．垂直或平行 D．重合 【变式3】（22-23七年级下·浙江温州·期中）在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相________．（“平行”或“不平行”，填入其中一个） 题型06 平行线的性质 【典例6】（24-25八年级上·云南曲靖·阶段练习）如图，是△ABC的角平分线，，交于点，，交于点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（21-22八年级上·贵州遵义·期末）如图，已知，交于点，且于点，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（22-23七年级上·全国·单元测试）如图，直线，被直线所截，，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式3】（2023·湖南岳阳·模拟预测）如图，，过点B作于B，，则的度数为（ ） A． B． C． D． 题型07平行线的判定于性质的综合应用 【典例7】（23-24七年级下·全国·单元测试）完成下面的证明： 如图，，，，求的度数． 解∶∵（已知） ∴______（        ） ______（等量代换） ∴______（        ） ∴______（           ） ∵ ______． 【变式1】（24-25八年级上·浙江嘉兴·阶段练习）如图，，是延长线上一点，，求证：． 解：， （________） ， ，（________）， ， ． 【变式2】（24-25八年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，在△ABC中，，分别是，上的点，，是上的点，连接，，．，． (1)求证：； (2)若是的平分线，，求的度数． 【变式3】（21-22七年级下·云南玉溪·期末）如图，点D，E分别是三角形的边，上的点，连接，，点F是线段上一点，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 题型08两条平行线的距离 【典例7】（23-24七年级下·广西来宾·期末）如图，，点在直线上，点，在直线上，，如果，，，那么平行线，之间的距离为_______． 【变式1】（22-23七年级下·湖南株洲·期中）如图，已知梯形中，，和相交于点G，和相交于点H，，，则阴影部分的面积为_________． 【变式2】（23-24八年级下·甘肃武威·期末）在同一平面上，直线a，b，c是三条平行直线．如果直线a和b的距离为6，直线b和c的距离为3，那么直线a和c的距离为________． 【变式3】（23-24七年级下·河南商丘·阶段练习）如图，，点，在直线上，点在直线上，，，，，则图中与之间的距离为________． 1．（16-17七年级下·广东揭阳·期中）在同一平面内，两条直线的位置关系是（    ） A．平行 B．相交 C．垂直 D．平行或相交 2．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，点E在的延长线上，下列条件中不能判定的是（   ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·山东聊城·期中）若直线，，，有下列关系，则推理正确的是（    ） A．∵，，∴ B．∵，，∴ C．∵，，∴ D．∵，，∴ 4．（23-24七年级下·甘肃定西·期中）直线a，b，c在同一平面内，下列说法：①若，，则；②若，，，则；③若，，则；④若a与b相交，b与c相交，则a与c相交其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（23-24七年级下·贵州铜仁·期中）如图，在梯形中，，若，那么等于（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 6．（21-22七年级下·新疆喀什·期中）一辆汽车在笔直的公路上行驶，在两次转弯后，仍在原来的方向上平行前进，那么这两次转弯的角度可以是（     ） A．先右转，再左转 B．先左转，再右转 C．先左转，再右转 D．先右转，再右转 7．（23-24七年级下·浙江杭州·阶段练习）下列说法： ①已知直线a，b，c，若a与c相交，则a与b相交； ②若直线，直线，那么直线； ③过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ④在同一平面内，两条直线的位置关系有平行、相交、垂直三种． 其中错误的有（   ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 8．（23-24七年级下·广东清远·期中）如图，下列条件中能判定直线的是（    ） A． B． C． D． 9．（23-24七年级下·辽宁鞍山·期末）如图所示的长方体中，用符号表示两棱的位置关系正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，，，则，，的关系是（   ） A． B． C． D． 11．（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）如图，，过点作．则的度数是_________． 12．（24-25八年级上·全国·单元测试）如图，已知，直线l与相交于C，D 两点，把一块含角的三角尺按如图位置摆放．若，则_________． 13．（24-25七年级上·全国·课后作业）为了保护眼睛，小明将台灯更换为护眼台灯（图①），其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图②所示，其中，．经使用发现，当时，台灯光线最佳，此时的大小为_________． 14．（23-24七年级下·湖南永州·期末）已知在同一平面内，直线，，互相平行，直线与之间的距离是，直线与之间的距离是，那么直线与的距离是_________． 15．（24-25八年级上·重庆江北·开学考试）如图，下列条件中：①；②；③；④，其中能判定的条件有_________（填写序号） 16．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，为一长条形纸带，，将沿折叠，A、D两点分别与对应，若，若则的度数为_________． 17．（23-24七年级上·四川南充·期中）如图，已知，，，，则_________． 18．（24-25八年级上·全国·期末）如图，，、、分别平分、、，下列结论：①；②；③；④．其中正确的是_________．（填序号）    19．（23-24七年级下·山东淄博·期中）在同一平面内，有12条互不重合的直线，，，，若， ，，，…，依此类推，则与的位置关系是_________．（填“平行”或“垂直”） 20．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，已知，的交点为E，现作如下操作：第一次操作，分别作和的平分线，交点为，第二次操作，分别作和的平分线，交点为，第三次操作，分别作和的平分线，交点为，…第次操作，分别作和的平分线，交点为，若∠度，则_________度． 21．（23-24七年级上·全国·单元测试）按要求完成作图．如图，在三角形中： (1)过点画的垂线，垂足为； (2)过点画的平行线，交于点． 22．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，，，求的大小．    解：， _______（__________________） 又∵（已知） （__________________） _______（__________________） _________（__________________） ， ∴． 23．（23-24七年级下·广东清远·期末）把下列的推理过程补充完整，并在括号里填上推理的依据： 如图，已知直线a，b，c，d，e，且 ，，试说明：． 解：因为， 所以　　　　　　　　　　（       ） 又因为， 所以　　　　　　　　　　　 （        ） 所以（   　　　 ） 24．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，已知点分别在上，交于点G，交于点． (1)与平行吗？请说明理由． (2)试说明． 解：（1）．理由如下： 因为，（已知），（_______）， 所以_______（_______）， 所以______________（_______）． （2）因为（已知）， 所以_______（________）． 又因为，（已知） 所以______（_______）． 所以______________（_______）， 所以（_______）． 25．（21-22七年级下·广东清远·期末）把下列的推理过程补充完整，并在括号里填上推理的依据： 如图，，，平分，试说明：． 解：因为平分， 所以　　　　　　 （             ）       又因为（ 已 知 ） ， 所以（等量代换） ． 所以　　　　　 （                         ）， 所以（                             ）． 又因为（ 已 知 ） ， 所以　　　　　　　　（             ）， 所以（                ） 26．（23-24七年级下·全国·单元测试）推理填空：已知：，，，试说明． 解：作射线，使（作辅助线） ∵（已知） ∴__________（         ） ∴__________（             ） ∵（已知） ∴____________（          ） ∴（             ） ∵ ∴___________（         ） ∴ ∵（              ） ∴ ∴（                 ） 27．（24-25八年级上·河北沧州·阶段练习）已知：如图，，．求证：． 28．（2024八年级上·贵州·专题练习）如图，在四边形中，，，点分别在上，． (1)判断与的大小关系，并说明理由． (2)若，平分，求的度数． 29．（23-24七年级下·全国·期末）[问题情境]在综合与实践课上，同学们以“一个含角的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动．如图（1），已知直线，在中，，． (1)[操作发现]在图（1）中，若，求的度数； (2)如图（2），创新小组的同学将直线向上平移，并改变的位置，发现，说明理由； (3)[实践探究]缜密小组在创新小组发现的基础上，将图（2）中的图形继续变化得到图（3），平分，此时发现与又存在新的数量关系，请写出这个数量关系并说明理由． 30．（23-24七年级下·江西九江·阶段练习）如图，已知，．点P是射线上一动点（与点A不重合）、，分别平分和，分别交射线于点C，D． (1)求的度数． (2)当点运动到使时，求的度数． (3)当点运动时，与之间的数量关系是否随之发生变化？若不变化．请写出它们之间的关系，并说明理由；若变化，请写出变化规律． (4)当点运动到使时，的度数是多少？为什么？ ( 20 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 4.2平行线 课程标准 学习目标 ①平行线的定义； ②平行线的画法； ③平行公理及其推论； ④平行线的判定方法； ⑤掌握平行线的性质，并能依据平行线的性质进行简单的推理； ⑥了解平行线的判定与性质的区别和联系，理解两条平行线的距离的概念。 1.掌握平行线的定义并能够判断平行线； 2.掌握平行线的画法能够画已知直线的平行线； 3.掌握平行公理及其推论，并能够熟练运用； 4.掌握平行线的判定方法，并能运用“平行线的判定方法”，判定两条直线是否平行； 5.掌握平行线的性质，并能依据平行线的性质进行简单的推理； 6.了解平行线的判定与性质的区别和联系，理解两条平行线的距离的概念。 知识点01 同一平面内两条直线的位置关系 同一平面内，两条直线的位置关系：相交和平行. 【微点拨】 （1）平行线：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线.两直线平行，用符号“∥”表示. 如下图，两条直线互相平行，记作AB∥CD或a∥b. （2）互相重合的直线通常看做一条直线，两条线段或射线平行是指它们所在的直线平行. （3）相交线：若两条直线只有一个公共点，我们称这两条直线为相交线，这个公共点叫做交点. 两条直线相交只有一个交点. 【即学即练1】 （23-24七年级下·山东聊城·开学考试）下面语句中，正确的是（    ） A．永不相交的两条直线叫做平行线． B．在同一平面内的两条直线叫做互相平行． C．在同一平面内，不相交的两条直线互相平行． D．直线A是平行线，直线B是平行线，直线A和直线B互相平行． 【答案】C 【分析】本题考查了两条直线的位置关系、平行线的意义，熟练掌握相交线与平行线是解题关键． 根据两条直线的位置关系、平行线的定义逐项判断即可得． 【详解】解：A、在同一平面内，永不相交的两条直线叫做平行线，则此项错误，不符合题意； B、在同一平面内，不相交的两条直线是平行线，则此项错误，不符合题意； C、在同一平面内，不相交的两条直线互相平行，则此项正确，符合题意； D、平行是两条直线之间的位置关系，故叙述不规范，则此项错误，不符合题意； 故选：C． 知识点02 平行线的画法及平行公理 1.平行线的画法 用直尺和三角板作平行线的步骤： ①落：用三角板的一条斜边与已知直线重合. ②靠：用直尺紧靠三角板一条直角边. ③推：沿着直尺平移三角板,使与已知直线重合的斜边通过已知点. ④画：沿着这条斜边画一条直线,所画直线与已知直线平行. 2.平行公理及推论 平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． 【微点拨】 (1)平行公理特别强调“经过直线外一点”，而非直线上的点，要区别于垂线的第一性质． (2)公理中“有”说明存在；“只有”说明唯一． （3）“平行公理的推论”也叫平行线的传递性. 【即学即练2】 （23-24七年级下·陕西安康·期末）如图，在三角形外求作一点D，使，且的长最短． 【答案】见解析 【分析】先过点B作线段的平行线，再过点A作，垂足为点D，此时的长最短． 【详解】解∶如图，点 D 即为所求． 知识点03 平行线的判定 判定方法1：同位角相等，两直线平行.如上图，几何语言： ∵　∠3＝∠2 ∴　AB∥CD（同位角相等，两直线平行） 判定方法2：内错角相等，两直线平行.如上图，几何语言： ∵　∠1＝∠2 ∴　AB∥CD（内错角相等，两直线平行） 判定方法3：同旁内角互补，两直线平行.如上图，几何语言： ∵　∠4＋∠2＝180° ∴　AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行） 【微点拨】 平行线的判定是由角相等或互补，得出平行，即由数推形. 【即学即练3】 （21-22七年级下·安徽六安·期末）如图，下列条件，不能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的判定定理，熟知同旁内角互补，两直线平行，同位角相等，两直线平行，内错角相等，两直线平行是解题的关键． 【详解】解：A、由，可以根据同旁内角互补，两直线平行得到，故此选项不符合题意； B、由，可以根据同位角相等，两直线平行得到，不可以得到，故此选项符合题意； C、由，可以根据内错角相等，两直线平行得到，故此选项不符合题意； D、由，可以根据同位角相等，两直线平行得到，故此选项不符合题意； 故选：B． 知识点04 平行线的性质 性质1：两直线平行，同位角相等. 性质2：两直线平行，内错角相等. 性质3：两直线平行，同旁内角互补. 【微点拨】 （1）“同位角相等、内错角相等”、“同旁内角互补”都是平行线的性质的一部分内容，切不可忽视前提 “两直线平行”． (2)从角的关系得到两直线平行，是平行线的判定；从平行线得到角相等或互补关系，是平行线的性质． 【即学即练4】 （2022·山西长治·二模）如图，直线a，b被直线m，n所截，且a∥b，则下列结论正确的是（    ） A．∠1＝∠2 B．∠2＋∠3＝180° C．∠3＝∠4 D．∠1＋∠4＝180° 【答案】D 【分析】根据平行线的性质，逐项判断即可求解． 【详解】解：如图， A．无法判断∠1和∠2的大小，故本选项错误，不符合题意； B．因为a∥b，所以∠2=∠3，故本选项错误，不符合题意； C．无法判断∠1和∠2的大小，故本选项错误，不符合题意； D．因为a∥b，所以∠1+∠5=180°，因为∠4=∠5，所以∠1＋∠4＝180°，故本选项正确，符合题意； 故选：D． 【点评】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 知识点05 两条平行线的距离 同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线间的线段的长度，叫做这两条平行线的距离． 【微点拨】 （1）求两条平行线的距离的方法是在一条直线上任找一点，向另一条直线作垂线，垂线段的长度就是两条平行线的距离． (2) 两条平行线的位置确定后，它们的距离就是个定值，不随垂线段的位置的改变而改变，即平行线间的距离处处相等． 【即学即练5】 （22-23八年级下·安徽阜阳·期中）如图，直线，．若a与b的距离是，b与c距离是，则a与c的距离是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是平行线之间的距离，从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离．据，可得，进而得出a与c的距离为． 【详解】解：∵a与b的距离是，b与c的距离是，， ∴， ∴， 即a与c的距离为． 故选：B. 题型01 同一平面内两条直线的位置关系 【典例1】（2020·上海浦东新·三模）已知长方体ABCD-EFGH如图所示，那么下列各条棱中与棱GC平行的是（　　　） A．棱EA； B．棱AB； C．棱GH； D．棱GF． 【答案】A 【分析】首先确定与GC平行的棱，再确定选项即可求解． 【详解】解：观察图象可知，与棱GC平行的棱有AE、BF、DH． 故选：A． 【点评】本题考查认识立体图形，平行线的判定等知识，解题的关键是理解题意，属于基础题． 【变式1】（23-24六年级下·山东烟台·期末）在同一平面内，两条直线的位置关系有（    ） A．相交、垂直 B．相交、平行 C．垂直、平行 D．相交、垂直和平行 【答案】B 【分析】本题考查了直线的位置关系，垂直是相交的特殊情况，这也是同学们容易出错的地方．根据同一平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系即可解答． 【详解】解：同一平面内的两条直线只有相交和平行两种位置关系， 故选：B． 【变式2】（23-24七年级下·广东深圳·期末）如图，已知四条线段a，b，m，n中的一条与挡板另一侧的线段l平行，请判断该线段是（    ） A．a B．b C．m D．n 【答案】B 【分析】根据同一平面内，两条不相交的直线，叫做平行线，即可判断， 本题考查了平行的定义，解题的关键是：熟练掌握平行线的定义． 【详解】解：用直尺分别作a，b，l，m，n的延长线， 其中只有b的延长线不与l相交， ∴． 故选：B． 【变式3】（18-19七年级下·全国·单元测试）如图，是一个长方体，用符号表示下列两棱的位置关系，A1B1_______AB，AA1_______AB． 【答案】// ⊥ 【分析】根据在长方体中，棱与面，面与面之间的关系有平行和垂直两种，填空即可. 【详解】A1B1和AB可以看作是一个长方形的两条对边,所以平行; AA1，AB可看做是一个长方形的两条邻边，所以垂直. 故答案为∥，⊥. 【点评】本题借助于几何体的特征考查了矩形的性质．注意，在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：平行和相交(重合除外，其中垂直是相交的特例)． 题型02画平行线 【典例2】（23-24七年级下·广西南宁·开学考试）如图，C是线段外一点，按要求画图： (1)画射线； (2)过点C画直线； 【答案】见解析 【分析】本题考查了作射线和平行线，根据相关作图步骤进行作图是解题的关键． （1）根据射线的定义作图即可； （2）根据平行线的做法和直线的定义，即可作图． 【详解】（1）解：如图所示：射线即为所求； （2）解：如图所示：直线即为所求； 【变式1】（23-24七年级下·吉林延边·期中）如图，在的方格纸中，每个小正方形的边长为1，、、均为小正方形的顶点，请仅用无刻度的直尺完成以下操作． (1)过点作的平行线． (2)过点作的平行线，与（1）中的平行线交于点． 【答案】见解析 【分析】本题考查了作平行线．熟练掌握作平行线是解题的关键． （1）过作水平线即可； （2）格点向上2个格点，向左2个格点为，连接即可． 【详解】（1）解：过作水平线，如图1，，即为所作；  图1 （2）解：如图2，格点向上2个格点，向左2个格点为，连接，，点即为所作；  图2 【变式2】（22-23七年级下·辽宁沈阳·期中）如图，在正方形网格中有四个格点O、A、B、C，按要求进行下列作图，并标出相应的字母（要求画图时用2B铅笔加黑加粗）． (1)画射线，画直线； (2)过点A画射线的垂线，垂足为点D； (3)过点O画直线的平行线． 【答案】见详解 【分析】本题考查了网格作图； （1）按要求作图，即可求解； （2）用直尺和三角板画图，即可求解； （3）按要求作图，即可求解； 掌握作法是解题的关键． 【详解】（1）解：如图， 射线，直线为所求作； （2）解：如图， 垂线为所求作； （3）解：如图， 直线为所求作． 【变式3】（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，已知． (1)过点画，垂足为； (2)过点画，交于点． 【答案】详见解析 【分析】本题主要考查了简单的作图和平行线的性质等知识点， （1）由垂线的作图方法进行作图，即可求出图形； （2）由角的作图方法和平行线的性质，即可求出图形； 熟练掌握作图步骤和平行线的性质是解决此题的关键． 【详解】（1）如图所示： 将三角板的一条直角边与已知直线重合，沿着已知直线移动三角板，让三角板的另一直角边与直线外的已知点Q重合，沿着另一条直角边画经过已知点的直线交于点D，‌ ∴即为所求； （2）如图所示： 用三角板的一条直角边与已知直线重合，用直尺紧靠三角板另一条直角边，沿着直尺平移三角板，使与已知直线重合的直角边通过已知点Q，沿着这条直角边画一条直线与已知射线交于点E， ∴即为所求． 题型03平行公理及其推论 【典例3】（21-22七年级下·全国·课后作业）下面推理正确的是（    ） A．，，∴c∥d B．，，∴c∥d C．，，∴b∥c D．，，∴a∥c 【答案】C 【分析】本题考查了平行公理的推论，根据“如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”逐项判断即可，掌握平行公理的推论是解题关键． 【详解】解：A、，都和平行，应该推出的是，而非，故错误，不符合题意； B、，与不同的直线平行，无法推出两者也平行，故错误，不符合题意； C、，都和平行，根据“如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”可推出是，故正确，符合题意； D、，与不同的直线平行，无法推出两者也平行，故错误，不符合题意； 故选：C． 【变式1】（23-24七年级下·全国·单元测试）在数学课上，老师画一条直线a，按如图所示的方法，画一条直线b与直线a平行，再向上推三角尺，画一条直线c也与直线a平行，此时，发现直线b与直线c也平行，这就说明了（    ） A．平行于同一条直线的两直线平行 B．同旁内角相等，两直线平行 C．两直线平行，同位角相等 D．过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线公理推论，根据平行线公理推论进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴b∥c， ∴这说明了平行于同一条直线的两直线平行， 故选A． 【变式2】（23-24七年级下·山东济宁·阶段练习）下列说法中：①若a∥b，b∥c，则a∥c；②若与相交，与相交，则与相交；③相等的角是对顶角；④过一点有且只有一条直线与已知直线平行．不正确的有（   ）． A．①② B．②③ C．②③④ D．③④ 【答案】C 【分析】本题主要考查平行公理，对顶角相等，两条直线的位置关系，熟练掌握两条直线位置关系的相关概念是解题的关键． 根据平行公理，对顶角，两条直线的位置关系，逐个进行判断即可． 【详解】解：①若a∥b，b∥c，则a∥c，故本项符合题意； ②若与相交，与相交，则与不一定相交，故本项不符合题意； ③相等的角不一定是对顶角，故本项不符合题意； ④过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故本项不符合题意； 故选：C． 【变式3】（23-24七年级下·天津河北·期中）已知a，b，c为不重合的三条直线，若a∥b，b∥c，则a∥c．理由是_______________________________________________． 【答案】如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 【分析】本题考查了平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．注意：平行公理的推论可以看作是平行线的一种判定方法，在解题中要注意该结论在证明直线平行时应用． 【详解】解：∵a∥b，b∥c（已知）， ∴a∥c（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）． 故答案为：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． 题型04 平行线的判定 【典例4】（21-22七年级下·云南玉溪·期末）如图，能判定的条件是（       ） A． B． C．∠2+∠C=180° D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线的判定条件，熟知平行线的判定定理是解题的关键． 根据平行线的判定定理求解即可． 【详解】解：A、由，不能判定，故此选项不符合题意； B、由，可以根据内错角相等，两直线平行得到，不能得到，故此选项不符合题意； C、由∠2+∠C=180°，不能判定，故此选项不符合题意； D、由，可以根据内错角相等，两直线平行得到，故此选项符合题意； 故选：D． 【变式1】（21-22七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，，能判定的条件是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的判定，同旁内角互补，两直线平行；根据，即可判定；其它条件均不能判定． 【详解】解：当时，∠BDE+∠DEF=140°+40°=180°， 则有； 而添加其它条件无法得到； 故选：C． 【变式2】（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，一条公路的两个拐角和若，要使公路和在同一方向上，需要使______度，依据是________________________． ‍ 【答案】 内错角相等，两直线平行 【分析】此题考查了平行线的判定：内错角相等，两直线平行，解题的关键是将实际问题转化为数学问题求解，要使公路和在同一方向上，即和平行，根据内错角相等，两直线平行，可得． 【详解】解：要使公路和在同一方向上，即， 当时， 依据是内错角相等，两直线平行， 故答案为： 内错角相等，两直线平行 【变式3】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）根据图形填空： 如图所示，完成推理过程． (1)∵（已知） ∴____________（   ） (2)∵（已知） ∴（   ） (3)∵（已知） ∴（   ） (4)∵（已知） ∴____________（   ） 【答案】(1)，内错角相等，两直线平行 (2)同位角相等，两直线平行 (3)同旁内角互补，两直线平行 (4)，同位角相等，两直线平行 【分析】本题考查平行线的判断，根据平行线的判定方法逐一进行作答即可，熟练掌握平行线的判定方法，是解题的关键． 【详解】（1）解：∵（已知） ∴（内错角相等，两直线平行） （2）∵（已知） ∴（同位角相等，两直线平行） （3）∵（已知） ∴（同旁内角互补，两直线平行） （4）∵（已知）， ∴（同位角相等，两直线平行） 题型05在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行 【典例5】（24-25七年级上·江苏·假期作业）直线a，b，c在同一平面内，下列说法：①若，，则a∥c；②若，，，则；③若，，则；④若a与b相交，b与c相交，则a与c相交其中正确的有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查两直线的位置关系．根据平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线，以及平行公理及推论进行判断即可． 【详解】解：①如果，，则a∥c，故①说法正确； ②如果，b∥c，，则，故②说法正确； ③如果，，则，故③说法正确； ④如果a与b相交，b与c相交，那么a与c不一定相交，故④说法错误， ∴正确的有3个， 故选：C． 【变式1】（23-24七年级下·陕西安康·期中）在同一平面内，若a，b，c，d为直线，则下列说法正确的是（    ） A．，， B．a⊥b，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】本题考查平行线的判定，根据垂直于同一条直线的两直线平行，平行于同一条直线的两直线平行，进行判断即可． 【详解】解：A、，，，不能得到，原选项错误； B、 a⊥b，，，原选项错误； C、，，无法得到，原选项错误； D、，，，正确； 故选：D． 【变式2】（23-24七年级下·江西南昌·期中）在同一平面内有条直线，如果，依此类推，那么与的位置关系是（    ） A．垂直 B．平行 C．垂直或平行 D．重合 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的判断，图形类的规律探索，根据在同一平面内，平行于同一条直线的两直线平行，垂直于同一条直线的两直线平行等，进行判定位置关系，然后推导出一般性规律：4条直线的位置关系为一个循环，然后求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ……， 以此类推可知，从开始，每4条直线为一个循环，与它们的位置关系分别为垂直，垂直，平行，平行， ∵， ∴， 故选：B． 【变式3】（22-23七年级下·浙江温州·期中）在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相________．（“平行”或“不平行”，填入其中一个） 【答案】平行 【分析】此题可以从同位角相等、内错角相等、同旁内角互补等方面来判定两直线平行．此结论也可以当作定理来用．根据题意画出画出图形，再利用平行线的判定证明． 【详解】如图，，，说明． 解：，（已知）， ∴，（垂直的定义）， ∴（等量代换）， ∴（同位角相等，两直线平行）． 故答案为：平行． 题型06 平行线的性质 【典例6】（24-25八年级上·云南曲靖·阶段练习）如图，是△ABC的角平分线，，交于点，，交于点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的定义以及平行线的性质，由题意得，，，即可求解； 【详解】解：∵，， ∴，， ∵是△ABC的角平分线， ∴， ∴，故选：C 【变式1】（21-22八年级上·贵州遵义·期末）如图，已知，交于点，且于点，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了平行线的性质以及垂线的定义，正确得出的度数是解题关键．直接利用垂线的定义结合平行线的性质得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 【变式2】（22-23七年级上·全国·单元测试）如图，直线，被直线所截，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的性质，由平行线的性质：两直线平行同旁内角互补，即可得到答案，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】∵， ∴， ∴，故选：． 【变式3】（2023·湖南岳阳·模拟预测）如图，，过点B作于B，，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据互余得出的度数，进而利用两直线平行，同位角相等解答即可； 此题考查平行线的性质，关键是利用两直线平行，同位角相等解答． 【详解】解：于B，， ， ；故选：B． 题型07平行线的判定于性质的综合应用 【典例7】（23-24七年级下·全国·单元测试）完成下面的证明： 如图，，，，求的度数． 解∶∵（已知） ∴______（        ） ______（等量代换） ∴______（        ） ∴______（           ） ∵ ______． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键．根据平行线的性质与判定完成填空即可求解． 【详解】解：∵（已知） ∴（两直线平行，同位角相等） ∵， ∴（等量代换） ∴（内错角相等，两直线平行） ∴（两直线平行，同旁内角互补） ∵ ∴ 【变式1】（24-25八年级上·浙江嘉兴·阶段练习）如图，，是延长线上一点，，求证：． 解：， （________） ， ，（________）， ， ． 【答案】两直线平行，同位角相等；内错角相等，两直线平行； 【分析】本题考查平行线性质及判定的应用，解题关键是要掌握平行线的性质及判定定理，熟练运用它们进行推理和计算．根据平行线的性质及判定填空即可． 【详解】解：， （两直线平行，同位角相等） ， ，（内错角相等，两直线平行）， ， ． 【变式2】（24-25八年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，在△ABC中，，分别是，上的点，，是上的点，连接，，．，． (1)求证：； (2)若是的平分线，，求的度数． 【答案】(1)见解析；(2) 【分析】本题考查平行线的判定和性质，角平分线的定义， （1）由两直线平行，内错角相等得出，再根据题意可得出，最后根据同旁内角互补，两直线平行，即可得出； （2）根据题意可求出的大小，再根据角平分线的定义，得出，最后根据两直线平行，同位角相等，即可求出的大小． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴． 【变式3】（21-22七年级下·云南玉溪·期末）如图，点D，E分别是三角形的边，上的点，连接，，点F是线段上一点，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析；(2) 【分析】此题考查了平行线的性质和判定，垂直的定义，解题的关键是掌握以上知识点． （1）首先由得到，然后等量代换得到，然后根据平行线的判定定理求解即可； （2）首先根据垂直的定义得到，然后根据平行线的性质得到，然后求出，然后就平行线的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴； （2）解：∵ ∴ ∵， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴． 题型08两条平行线的距离 【典例7】（23-24七年级下·广西来宾·期末）如图，，点在直线上，点，在直线上，，如果，，，那么平行线，之间的距离为_______． 【答案】8 【分析】本题考查了平行线之间的距离，关键是掌握平行线之间距离的定义．从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离，由此可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴平行线a、b之间的距离为， 故答案为：8． 【变式1】（22-23七年级下·湖南株洲·期中）如图，已知梯形中，，和相交于点G，和相交于点H，，，则阴影部分的面积为_________． 【答案】 【分析】此题主要考查利用平行线的间距解决问题，三角形面积公式的综合应用，以及等底等高的两三角形面积相等，连接，由，，可得出，进一步可得出，同理：，则． 【详解】解：连接， ∵，， ∴ ∴； 同理： ∴．故答案为：． 【变式2】（23-24八年级下·甘肃武威·期末）在同一平面上，直线a，b，c是三条平行直线．如果直线a和b的距离为6，直线b和c的距离为3，那么直线a和c的距离为________． 【答案】3或9 【分析】本题考查了两平行之间的距离，①当在、之间，②当在、之间，即可求解，能根据平行线的不同位置进行分类讨论是解题的关键． 【详解】解：①当在、之间， 直线a和c的距离为； ②当在、之间， 直线a和c的距离为； 故答案：3或9． 【变式3】（23-24七年级下·河南商丘·阶段练习）如图，，点，在直线上，点在直线上，，，，，则图中与之间的距离为________． 【答案】 【分析】本题考查了两条平行线间的距离，三角形的面积的计算，解决本题的关键是熟记点到直线的距离的定义，正确的识别图形，明确三角形面积的不同计算方法．根据三角形的面积计算公式即可得到结论． 【详解】解：设与之间的距离为， 则， ，，， ， 设与之间的距离为， 故答案为：． 1．（16-17七年级下·广东揭阳·期中）在同一平面内，两条直线的位置关系是（    ） A．平行 B．相交 C．垂直 D．平行或相交 【答案】D 【分析】本题主要考查了同一平面内，两条直线的位置关系，注意垂直是相交的一种特殊情况，不能单独作为一类． 利用同一个平面内，两条直线的位置关系解答，同一平面内两条直线的位置关系有两种：平行、相交． 【详解】解：在同一个平面内，两条直线只有两种位置关系，即平行或相交． 故选：D 2．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，点E在的延长线上，下列条件中不能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线的判定定理，熟知内错角相等，两直线平行，同位角相等，两直线平行，同旁内角互补，两直线平行是解题的关键． 【详解】解：由，可以根据内错角相等，两直线平行得到，不可以得到，故A符合题意； B、由，可以根据内错角相等，两直线平行得到，故B不符合题意； C、由，可以根据同位角相等，两直线平行得到，故C不符合题意； D、由，可以根据同旁内角互补，两直线平行得到，故D不符合题意； 故选：A． 3．（23-24七年级下·山东聊城·期中）若直线，，，有下列关系，则推理正确的是（    ） A．∵，，∴ B．∵，，∴ C．∵，，∴ D．∵，，∴ 【答案】C 【分析】本题考查了平行公理的推论，根据“如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”逐项判断即可，掌握平行公理的推论是解题关键． 【详解】解：A、a，c都和b平行，应该推出的是，而非，故错误，不符合题意； B、c，d与不同的直线平行，无法推出两者也平行，故错误，不符合题意； C、b，c都和a平行，根据“如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”可推出是，故正确，符合题意； D、a，c与不同的直线平行，无法推出两者也平行，故错误，不符合题意； 故选：C． 4．（23-24七年级下·甘肃定西·期中）直线a，b，c在同一平面内，下列说法：①若，，则；②若，，，则；③若，，则；④若a与b相交，b与c相交，则a与c相交其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查两直线的位置关系，解题的关键是掌握垂直于同一直线的两条直线平行，平行于同一直线的两条直线平行．根据平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线，以及平行公理及推论进行判断即可． 【详解】解：①如果，，则，故①说法正确； ②如果，，，则，故②说法正确； ③如果，，则，故③说法正确； ④如果a与b相交，b与c相交，那么a与c不一定相交，故④说法错误， ∴正确的有3个，故选：C． 5．（23-24七年级下·贵州铜仁·期中）如图，在梯形中，，若，那么等于（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】B 【分析】本题考查平行线间的距离，根据平行线间的距离处处相等，以及同底等高的三角形的面积相等，即可得出结果． 【详解】解：设点到的距离为， ∵， ∴点到的距离也为， ∴；故选B． 6．（21-22七年级下·新疆喀什·期中）一辆汽车在笔直的公路上行驶，在两次转弯后，仍在原来的方向上平行前进，那么这两次转弯的角度可以是（     ） A．先右转，再左转 B．先左转，再右转 C．先左转，再右转 D．先右转，再右转 【答案】B 【分析】本题考查平行线的性质，根据题意画出图形是解答此题的关键． 根据题意画出图形，根据平行线的性质判定即可． 【详解】解：如图所示： A、 故本选项错误； B、 故本选项正确； C、 故本选项错误； D、 故本选项错误． 故选B． 7．（23-24七年级下·浙江杭州·阶段练习）下列说法： ①已知直线a，b，c，若a与c相交，则a与b相交； ②若直线，直线，那么直线； ③过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ④在同一平面内，两条直线的位置关系有平行、相交、垂直三种． 其中错误的有（   ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质和判定、相交线等知识点．掌握平行线的性质和判定是解决本题的关键． 利用同一个平面内，两条直线的位置关系解答即可． 【详解】解：①已知直线a，b，c，若a与c相交，则a与b不一定相交，故原说法错误； ②若直线，直线，那么直线，故原说法正确； ③经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，故原说法错误； ④在同一平面内，两条直线的位置关系有平行、相交两种，故原说法错误． 错误的有3个，故选：A． 8．（23-24七年级下·广东清远·期中）如图，下列条件中能判定直线的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的判定．熟练掌握平行线的判定是解题的关键． 根据平行线的判定对各选项判断作答即可． 【详解】解：由题意知，，不能判定直线，故A不符合要求； 由，不能判定直线，故B不符合要求； 由，能判定直线，故C符合要求； 由，不能判定直线，故D不符合要求； 故选：C． 9．（23-24七年级下·辽宁鞍山·期末）如图所示的长方体中，用符号表示两棱的位置关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平面内两条直线的位置关系，根据位置关系，进行判断即可． 【详解】解：A、，原选项错误； B、，原选项错误； C、，原选项正确； D、，原选项错误； 故选C． 10．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，，，则，，的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，根据题意作出辅助线是解题的关键．分别过点C、D作的平行线，即，根据平行线的性质得，，由，得，再由，即可得到． 【详解】如图，分别过点C、D作的平行线，即， 根据平行线的性质得，， ， ， 又， ， 即， 故选：A． 11．（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）如图，，过点作．则的度数是_________． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，由可得，结合即可求解． 【详解】解：∵，． ∴， ∵ ∴ 故答案为： 12．（24-25八年级上·全国·单元测试）如图，已知，直线l与相交于C，D 两点，把一块含角的三角尺按如图位置摆放．若，则_________． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，由，得到，由，得到，即可求解，掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：如图： 由题意得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 13．（24-25七年级上·全国·课后作业）为了保护眼睛，小明将台灯更换为护眼台灯（图①），其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图②所示，其中，．经使用发现，当时，台灯光线最佳，此时的大小为_________． 【答案】 【分析】本题考查平行线的性质与判定，过作，得到，由，推出，由垂直的定义得到，求出，由平行线的性质推出，即可求出． 【详解】解：如图所示，过点作， ∵， ∴， ， ， ， ， ， ∵， ， ． 故答案为：． 14．（23-24七年级下·湖南永州·期末）已知在同一平面内，直线，，互相平行，直线与之间的距离是，直线与之间的距离是，那么直线与的距离是_________． 【答案】或 【分析】本题考查平行线间的距离，分直线在直线之间，和直线在直线的外侧，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：当直线在直线之间时，直线与的距离是； 当直线在直线的外侧时，直线与的距离是； 故答案为：或． 15．（24-25八年级上·重庆江北·开学考试）如图，下列条件中：①；②；③；④，其中能判定的条件有_________（填写序号） 【答案】③④ 【分析】本题考查平行线的判定，根据平行线的判定方法，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴，故①不符合题意； ∵， ∴，故②不符合题意； ∵， ∴，故③符合题意； ∵， ∴，故④符合题意； 故答案为：③④． 16．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，为一长条形纸带，，将沿折叠，A、D两点分别与对应，若，若则的度数为_________． 【答案】 【分析】本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的判定和性质是解题的关键．设，即可得到的度数，再根据平行线的性质即可得到，依据列方程解答即可． 【详解】解：设， ∴， 由折叠可得：， 又∵， ∴， ∵， ∴，解得：． 故答案为：． 17．（23-24七年级上·四川南充·期中）如图，已知，，，，则_________． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，由平行线的性质得到则，再由平行线的性质得到证明 根据 可得，则 ． 【详解】解：如图，过作 过作 ∵ ∴ ∴ ∴， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴， ∴ 故答案为：． 18．（24-25八年级上·全国·期末）如图，，、、分别平分、、，下列结论：①；②；③；④．其中正确的是_________．（填序号）    【答案】①②③ 【分析】本题考查平行线的性质和判定，角平分线的定义等知识．利用平行线的性质即可证明①正确；证明即可判断②正确；证明即可判断③正确；无法判断④． 【详解】解：， ，，故①正确， 平分，平分， ，， ， ，故②正确， 平分， ， ， ， ，故③正确， 无法判断，故④错误． 故答案为：①②③． 19．（23-24七年级下·山东淄博·期中）在同一平面内，有12条互不重合的直线，，，，若， ，，，…，依此类推，则与的位置关系是_________．（填“平行”或“垂直”） 【答案】平行 【分析】本题考查了平行线的性质，灵活运用“在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行”是解决此类问题的关键．如果一条直线垂直于两平行线中的一条，那么它与另一条一定也垂直．再根据“在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行”，可知与的位置关系是平行． 【详解】解：∵， ，，… ∴，，…， ∴， ∵， ∴， 故答案为∶平行． 20．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，已知，的交点为E，现作如下操作：第一次操作，分别作和的平分线，交点为，第二次操作，分别作和的平分线，交点为，第三次操作，分别作和的平分线，交点为，…第次操作，分别作和的平分线，交点为，若∠度，则_________度． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，图形类的规律探索，熟知平行线的性质是解题的关键．先过作，根据，得出，再根据平行线的性质，得出，进而得到；同理得出，，，，据此得到规律，最后求得的度数． 【详解】解：过作，    ， ， ，， ， ． 和的平分线交点为， ． 和的平分线交点为， ； 和的平分线，交点为， ； ； 以此类推，， 当∠度时，等于．故答案为：． 21．（23-24七年级上·全国·单元测试）按要求完成作图．如图，在三角形中： (1)过点画的垂线，垂足为； (2)过点画的平行线，交于点． 【答案】图见解析． 【分析】本题考查的知识点是作垂线、平行线，解题关键是熟练掌握垂线和平行线的作法． （1）利用三角板过点作于点即可； （2）利用三角板和直尺过点作，交于点即可． 【详解】（1）解：利用三角板过点作于点，即为所求，如下图： （2）解： 利用三角板和直尺过点作，交于点，即为所求，如下图： 22．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，，，求的大小．    解：， _______（__________________） 又∵（已知） （__________________） _______（__________________） _________（__________________） ， ∴． 【答案】；两直线平行，同位角相等；等量代换；，内错角相等，两直线平行；，两直线平行，同旁内角互补 【分析】本题考查了平行线的性质和判定，根据平行线性质推出，根据平行线判定推出，根据平行线判定推出，求出即可． 【详解】解：， （两直线平行，同位角相等） 又， （等量代换） （内错角相等，两直线平行） （两直线平行，同旁内角互补） ， ． 23．（23-24七年级下·广东清远·期末）把下列的推理过程补充完整，并在括号里填上推理的依据： 如图，已知直线a，b，c，d，e，且 ，，试说明：． 解：因为， 所以　　　　　　　　　　（       ） 又因为， 所以　　　　　　　　　　　 （        ） 所以（   　　　 ） 【答案】；内错角相等，两直线平行；；同旁内角互补，两直线平行；如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 【分析】本题考查平行线的判定和性质以及平行公理．根据平行线的性质得出，，即可推出答案． 【详解】解：∵， ∴ (内错角相等，两直线平行)， ∵， ∴ (同旁内角互补，两直线平行)， ∴ (如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行)， 故答案为：；内错角相等，两直线平行；；同旁内角互补，两直线平行；如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． 24．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，已知点分别在上，交于点G，交于点． (1)与平行吗？请说明理由． (2)试说明． 解：（1）．理由如下： 因为，（已知），（_______）， 所以_______（_______）， 所以______________（_______）． （2）因为（已知）， 所以_______（________）． 又因为，（已知） 所以______（_______）． 所以______________（_______）， 所以（_______）． 【答案】(1)．理由见解析；(2)见解析 【分析】此题考查了平行线的性质和判定，解题的关键是掌握平行线的性质和判定． （1）首先根据对顶角相等得到，然后等量代换根据同位角相等两直线平行证明即可； （2）首先得到，推出，然后证明出，即可得到． 【详解】（1）解：（1）．理由如下： 因为（已知），（对顶角相等）， 所以（等量代换）， 所以（同位角相等，两直线平行）； （2）因为（已知）， 所以（两直线平行，同位角相等）． 又因为（已知）， 所以（等量代换）， 所以（内错角相等，两直线平行）， 所以（两直线平行，内错角相等）． 25．（21-22七年级下·广东清远·期末）把下列的推理过程补充完整，并在括号里填上推理的依据： 如图，，，平分，试说明：． 解：因为平分， 所以　　　　　　 （             ）       又因为（ 已 知 ） ， 所以（等量代换） ． 所以　　　　　 （                         ）， 所以（                             ）． 又因为（ 已 知 ） ， 所以　　　　　　　　（             ）， 所以（                ） 【答案】，角平分线的定义；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；；同角的补角相等；同位角相等，两直线平行 【分析】本题考查的是平行线的判定和性质，根据题意、结合图形，根据平行线的判定定理和性质定理解答即可． 【详解】解：因为平分， 所以∠1=∠2（角平分线的定义），       又因为（ 已 知 ） ， 所以（等量代换） ． 所以（内错角相等，两直线平行）， 所以（ 两直线平行，同旁内角互补）． 又因为（ 已 知 ） ， 所以（同角的补角相等）， 所以（ 同位角相等，两直线平行）， 故答案为：，角平分线的定义；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；；同角的补角相等；同位角相等，两直线平行． 26．（23-24七年级下·全国·单元测试）推理填空：已知：，，，试说明． 解：作射线，使（作辅助线） ∵（已知） ∴__________（         ） ∴__________（             ） ∵（已知） ∴____________（          ） ∴（             ） ∵ ∴___________（         ） ∴ ∵（              ） ∴ ∴（                 ） 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解本题的关键. 作，根据平行线的判定和性质证明，结合平角的定义求出，根据垂直线的定义即可得出结论． 【详解】解：作射线，使（作辅助线） ∵（已知） ∴（ 等量代换 ） ∴（ 内错角相等，两直线平行 ） ∵（已知） ∴（ 平行于同一直线的两条直线平行） ∴（ 两直线平行，内错角相等 ） ∵ ∴（ 等量代换） ∴ ∵（ 平角的定义 ） ∴ ∴（ 垂直的定义 ） 27．（24-25八年级上·河北沧州·阶段练习）已知：如图，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线的判定与性质、对顶角相等，由对顶角相等结合题意得出，推出，由平行线的性质得出，结合题意得出，从而推出，即可得证． 【详解】证明：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 28．（2024八年级上·贵州·专题练习）如图，在四边形中，，，点分别在上，． (1)判断与的大小关系，并说明理由． (2)若，平分，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析；(2) 【分析】本题主要考查角平分线、平行线的判定与性质等知识，熟练掌握平行线的性质和判定定理是解题关键． （1）由得到，由，得到，从而，进而即可解答； （2）由求得，根据平分得到，从而，进而即可解答． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 29．（23-24七年级下·全国·期末）[问题情境]在综合与实践课上，同学们以“一个含角的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动．如图（1），已知直线，在中，，． (1)[操作发现]在图（1）中，若，求的度数； (2)如图（2），创新小组的同学将直线向上平移，并改变的位置，发现，说明理由； (3)[实践探究]缜密小组在创新小组发现的基础上，将图（2）中的图形继续变化得到图（3），平分，此时发现与又存在新的数量关系，请写出这个数量关系并说明理由． 【答案】(1)；(2)；(3)，理由见解析 【分析】本题考查的是角平分线定义、平行线的性质，解题的关键是掌握平行线的性质定理． （1）根据∠1、及∠3的和为180°可求出∠3，根据平行线的性质解答； （2）过点B作，根据平行线的性质得到，，结合图形计算，证明结论； （3）过点作，根据角平分线的定义、平行线的性质计算即可． 【详解】（1）解：如图（1）． ，， ． ， ． （2）解：如图（2），过点作， 在中，，， ． ，， ， ，． ． ． ． （3）解：． 理由如下：如图（3），过点作， ． 平分，， ，． ， ，． ． ， ． ． ． 30．（23-24七年级下·江西九江·阶段练习）如图，已知，．点P是射线上一动点（与点A不重合）、，分别平分和，分别交射线于点C，D． (1)求的度数． (2)当点运动到使时，求的度数． (3)当点运动时，与之间的数量关系是否随之发生变化？若不变化．请写出它们之间的关系，并说明理由；若变化，请写出变化规律． (4)当点运动到使时，的度数是多少？为什么？ 【答案】(1)；(2)；(3)不变，，理由见解析；(4)，理由见解析 【分析】本题考查了平行线的性质、角平分线，熟练掌握平行线的性质是解题关键． （1）先根据平行线的性质可得，再根据角平分线的定义即可得； （2）先根据平行线的性质可得，再根据角平分线的定义可得，然后根据平行线的性质即可得； （3）先根据平行线的性质可得，再根据角平分线的定义可得，然后根据平行线的性质即可得； （4）先根据平行线的性质可得，，从而可得，再根据角平分线的定义可得，，从而可得，由此即可得． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵，分别平分和， ∴，， ∴ ， 所以的度数为． （2）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴． （3）解：不变，，理由如下： ∵， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴． （4）解：，理由如下： ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， 又∵，分别平分和， ∴，， ∴， ∴． ( 45 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$