中学生标准学术能力诊断性测试2024-2025学年高三上学期10月测试数学试卷

标准学术能力诊断性测试2024年10月测试 数学试卷 本试卷共150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若，则（ ） A. B. C. 1 D. 3. 已知单位向量和，若，则（ ） A. 2 B. 1 C. D. 4. 已知圆柱的底面半径和球的半径相等，圆柱的高与球的半径相等，则圆柱与球的表面积之比为（ ） A. 1：2 B. 1：1 C. 3：4 D. 2：3 5. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，则函数的零点个数为（ ） A. 2 B. 0 C. 3 D. 无穷 7. 将的图象变换为的图象，下列变换正确的是（ ） A. 将图象上点的横坐标变为原来的倍，再将图象向右平移个单位 B. 将图象上点的横坐标变为原来的3倍，再将图象向右平移个单位 C. 将图象向右平移个单位，再将图象上点的横坐标变为原来的倍 D. 将图象向右平移个单位，再将图象上点的横坐标变为原来的3倍 8. 定义在R上的函数满足：，且，当时，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对但不全得3分，有错选的得0分． 9. 从中随机取一个数记为a，从中随机取一个数记为b，则下列说法正确的是（ ） A. 事件“为偶数”的概率为 B. 事件“ab为偶数”的概率为 C. 设，则X的数学期望为 D. 设，则在Y的所有可能的取值中最有可能取到的值是12 10. 在直棱柱中，底面为正方形，，为线段上动点，，分别为和的中点，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则经过，，三点的直棱柱的截面为四边形 B. 直线与所成角的余弦值为 C. 三棱锥的体积为定值 D. 的最小值为 11. 一条动直线与圆相切，并与圆相交于点A，B，点P为定直线上动点，则下列说法正确的是（ ） A. 存在直线，使得以为直径的圆与相切 B. 的最小值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若的展开式中存在项，则由满足条件的所有正整数m从小到大排列构成的数列的通项公式为__________． 13. 设双曲线（）的右顶点为F，且F是抛物线的焦点．过点F的直线l与抛物线交于A，B两点，满足，若点A也在双曲线C上，则双曲线C的离心率为__________． 14. 已知，则的最小值为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 记的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，满足． （1）若，，求的面积； （2）记BC边的中点为D，，若A为钝角，求x的取值范围． 16. 如图所示，在四棱锥中，，，． （1）若平面，证明：平面； （2）若底面，，二面角的正弦值为，求的长． 17. 已知椭圆，的下顶点为，左、右焦点分别为和，离心率为，过的直线与椭圆相交于，两点．若直线垂直于，则的周长为． （1）求椭圆的方程； （2）若直线与坐标轴不垂直，点关于轴的对称点为，试判断直线是否过定点，并说明理由． 18. 已知函数，． （1）若，证明：； （2）若，求a的取值范围； （3）若，记，讨论函数的零点个数． 19. 乒乓球比赛有两种赛制，其中就有“5局3胜制”和“7局4胜制”，“5局3胜制”指5局中胜3局的一方取得胜利，“7局4胜制”指7局中胜4局的一方取得胜利． （1）甲、乙两人进行乒乓球比赛，若采用5局3胜制，比赛结束算一场比赛，甲获胜的概率为0.8；若采用7局4胜制，比赛结束算一场比赛，甲获胜的概率为0.9．已知甲、乙两人采用两种赛制各共进行了场比赛，请根据小概率值的独立性检验，来推断赛制是否对甲获胜的场数有影响． （2）若甲、乙两人采用5局3胜制比赛，设甲每局比赛的胜率均为p，没有平局．记事件“甲只要取得3局比赛的胜利比赛结束且甲获胜”为A，事件“两人赛满5局，甲至少取得3局比赛胜利且甲获胜”为B，试证明：． （3）甲、乙两人进行乒乓球比赛，每局比赛甲的胜率都是，没有平局．若采用“赛满局，胜方至少取得n局胜利”的赛制，甲获胜的概率记为．若采用“赛满局，胜方至少取得局胜利”的赛制，甲获胜的概率记为，试比较与的大小． 附：，其中． 0.05 0.025 0.010 3.841 5.024 6.635 标准学术能力诊断性测试2024年10月测试 数学试卷 本试卷共150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 【1题答案】 【答案】A 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】D 【6题答案】 【答案】A 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】B 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对但不全得3分，有错选的得0分． 【9题答案】 【答案】ABD 【10题答案】 【答案】BCD 【11题答案】 【答案】BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】## 【14题答案】 【答案】2 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 【15题答案】 【答案】（1） （2） 【16题答案】 【答案】（1） 证明：∵，，，即， ∴，即， ∵平面，平面， ∴， ∴，又平面，平面， ∴平面； （2） 【17题答案】 【答案】（1） （2），理由： 由题意可设直线的方程为，，则，如图所示： 可得直线的方程为：， 因为， 将其代入直线方程，可得， 可整理得：， 联立方程得， 则， 所以，即， 将其代入式中，可得直线方程为：， 可见直线过定点， 所以直线过定点，坐标为. 【18题答案】 【答案】（1）证明：由题设且，则， 所以在上单调递减，故，得证； （2）； （3）时有两个零点；时有一个零点. 【19题答案】 【答案】（1）当时，对甲获胜的场数有影响．当时，没有证据认为推断赛制对甲获胜的场数有影响． （2）证明：由题意， ， ， 综上，，得证. （3）. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $