精品解析：辽宁省锦州市某校2024-2025学年高一上学期第一次月考数学试卷

2024-2025学年度第一学期月考 高一数学试题 命题教师：高二备课组 考生请注意：I考试时间120分钟.满分150分； Ⅱ只交答题纸，在卷上作答无效. 一、单选题（每个小题只有一个正确答案，每小题5分，共40分．） 1. 下列关系中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据自然数集、整数集、有理数集、空集的定义判断各选项中元素与集合的关系. 【详解】对于A，因为不是正整数，所以，故A错误； 对于B，因为不是有理数，所以，故B正确； 对于C.，因为0是自然数，所以，故C错误； 对于D，因为不是整数，所以，故D错误. 故选：B. 2. 下列说法中，正确的是（ ） A. 若，，则一定有 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】若，，，，可判断A；由已知可得，判断B；作差法比较大小判断C；由不等式性可得，判断D. 【详解】对于A，若，，，，则，故A错误. 对于B，若，则，故B错误. 对于C，， 若，，则，即，所以C错误. 对于D，由，可知，即，所以，故D正确. 故选：D. 3. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】先求解分式不等式，再利用充要条件的判断方法即得. 【详解】由， 因是的真子集，故“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 4. 已知集合，，或，则图中的阴影部分表示的集合为（ ） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出集合A，以及，，根据韦恩图确定阴影部分表示的集合，即可得答案. 【详解】由题意知，或， 故，， 所以图中阴影部分表示或． 故选：A 5. 设集合，则集合A的真子集个数为（ ） A. 4个 B. 7个 C. 15个 D. 16个 【答案】C 【解析】 【分析】因为，，所以的值可能为6、3、2、1，相应的可以求出的值，进而用列举法求出集合A，进而可求真子集的个数. 【详解】由和可知的值可能为6、3、2、1，相应的的值为， 所以，所以集合A的真子集个数为个． 故选：C. 6. 命题“”为真命题的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先找到命题成立的等价条件，再分析充分不必要条件. 【详解】等价于， ∴“”为真命题等价条件为， ∴命题“”是真命题的一个充分不必要条件，则a的取值范围是的真子集， 故选：A 7. 已知，，则的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意将表示为的形式，代入其范围可得结果. 【详解】设， 所以，解得， 因为，， 则， 因此； 即. 故选：C 8. 若关于的不等式组的整数解只有，则的取值范围为（ ）. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出每一个不等式，然后由不等式组整数解只有，列出关于的不等式组，分三种情况讨论，从而可求出的取值范围. 【详解】解集为， 当时， 的解集为， 因为关于的不等式组的整数解只有， 所以，即， 当时，的解集为空集，不满足题意， 当时，的解集为，不满足题意， 综上，的取值范围. 故选：D 二、多选题（每小题6分，共18分，全选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 至少有一个实数，使 B. “”是“”的充分不必要条件 C. 命题，则 D. “集合”中只有一个元素是“”的必要不充分条件 【答案】BD 【解析】 【分析】确定存在量词命题的真假判断A；利用充分不必要条件定义判断B；利用全称量词命题的否定判断C；利用必要不充分条件的定义判断D. 【详解】对于A，在实数范围内，，，A错误； 对于B，由，得，充分性成立，若，如，， 此时，必要性不成立，因此“”是“”的充分不必要条件，B正确； 对于C，命题p：，，则：，，C错误； 对于D，若集合中只有一个元素，当时，，则； 当时，得，解得，则，反之，若，则集合只有一个元素， 因此“集合”中只有一个元素是“”的必要不充分条件，D正确. 故选：BD 10. 若集合，，满足，则实数的值可能是（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】BCD 【解析】 【分析】先用列举法表示集合，再由得出，对进行分类讨论即可确定的值. 【详解】因为，所以， 因为， 所以当时，，满足，即符合题意； 当时，，要满足，则有或，解得或； 综上所述，的值可能是. 故选：BCD. 11. 对于集合，则下面结论正确有（ ） A. 如果，那么； B. 如果，，那么； C. 如果，，那么 D. 如果，，那么 【答案】AC 【解析】 【分析】分别将各选项中式子或者集合变形，判断是否能变形成与集合M中元素一样的特征. 【详解】对于A：因为，，所以，故，故A正确； 对于B：因为，，所以c为偶数，且不能被4整除， 若，则存在，使得，，， 因为和同奇或同偶，若和同奇，则为奇数，矛盾，不符合， 若和同偶，则能被4整除，矛盾，不符合， 所以，故B不正确； 对于C：因为，，所以存在，使得，， 所以 ， 因为，，所以，故C正确． 对于D，，故D不正确. 故选：AC. 三、填空题：（本大题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 已知集合，，若，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据集合相等求得，从而求得正确答案. 【详解】依题意可知，由于， 所以，此时， 所以，解得或（舍去）， 所以. 故答案为：. 13. 已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据根与系数的关系可得且，代入化简，由因式分解即可求解. 【详解】由不等式的解集为， 可知的两根为2和3， 由根与系数的关系知且且．∴，， 故不等式，即，即． 解得，原不等式的解集为． 故答案为： 14. 关于x的方程的解集中只含有一个元素，则的所有可能值组成的集合是________． 【答案】 【解析】 【分析】由方程有意义可得且，并将方程化为；根据方程解集中仅含有一个元素可分成三种情况，由此可解得所有可能的值. 【详解】由方程可知，解得且， 方程可化简为， 若的解集中只有一个元素，则有以下三种情况： ①方程有且仅有两个相等且不为和的解， ，解得， 此时的解为，满足题意； ②方程有两个不等实根，其中一个根为，另一根不为； 由得，，此时方程的另一根为，满足题意； ③方程有两个不等实根，其中一个根为，另一根不为； 由得，，此时方程的另一根为，满足题意； 综上所述：或或，即的所有可能值组成的集合是. 故答案为： 四、解答题（共5题满分77分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15. 求下列方程组的解集 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用加减消元法即可求得答案； （2）利用代入消元法即可求得答案. 【小问1详解】 由不等式组， 可得，可得， 联立方程组，解得，， 代入①式，可得， 所以不等式组的解集为． 【小问2详解】 方程组，由①可得，代入②可得，解得或， 所以方程组的解为或，故方程组的解集为. 16. 设全集，集合， （1）若，求，； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数m的取值范围． 【答案】（1），或 （2） 【解析】 【分析】（1）解不等式可化简集合，后由交集，并集，补集计算规则可得答案； （2）由题可得是N的真子集，据此可得答案. 【小问1详解】 当，，， ∴或， ∴，或. 【小问2详解】 因为“”是“”的充分不必要条件，可得是N的真子集， ①当时，即，解得， ②当时，则且等号不同时成立，解得． 综上：． 17. “绿水青山就是金山银山”．随着经济的发展，我国更加重视对生态环境的保护，2018年起，政府对环保不达标的养鸡场进行限期整改或勒令关闭．一段时间内，鸡蛋的价格起伏较大（不同周价格不同）．假设第一周、第二周鸡蛋的价格分别为元、元（单位：kg）；甲、乙两人的购买方式不同：甲每周购买3kg鸡蛋，乙每周购买10元钱鸡蛋. （Ⅰ）若，求甲、乙两周购买鸡蛋的平均价格； （Ⅱ）判断甲、乙两人谁的购买方式更实惠（平均价格低视为实惠），并说明理由. 【答案】（Ⅰ）9， ；（Ⅱ）见解析 【解析】 【分析】（Ⅰ）因此甲两周购买鸡蛋的平均价格为， 乙两周购买鸡蛋的平均价格为； （Ⅱ）证法一：（比较法）：直接作差与0比较大小即可； 证法二（分析法）：依题意，且， 要证： 等价于证明，再转化为即可. 【详解】（Ⅰ） 甲两周购买鸡蛋的平均价格为， 乙两周购买鸡蛋的平均价格为， （Ⅱ）甲两周购买鸡蛋的平均价格为， 乙两周购买鸡蛋的平均价格为， 由（Ⅰ）知，时，乙两周购买鸡蛋的平均价格比甲两周购买鸡蛋的 平均价格低，猜测乙的购买方式更实惠． 证法一（比较法）：依题意，且， ，， 所以乙两周购买鸡蛋的平均价格比甲两周购买鸡蛋的平均价格低， 即乙的购买方式更实惠． 证法二（分析法）：依题意，且， 要证： ， 只需证： 只需证： 只需证：（已知）． 所以乙两周购买鸡蛋的平均价格比甲两周购买鸡蛋的平均价格低， 即乙的购买方式更实惠． 【点睛】本题主要考查不等式的实际应用，意在考查学生的分析能力和逻辑推理能力，只要熟练掌握不等式的相关性质，在处理中还是比较轻松. 18. （1）若关于的不等式的解集为R，求的取值范围； （2）解关于的不等式． 【答案】（1）； （2）当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 【解析】 【分析】（1）通过讨论的系数，即可求解. （2）因式分解，通过讨论根的个数及大小即可求解. 【详解】当，不等式为恒成立，符合题意； 当时，由题意可得：，即， 解得：， 综上可知：的取值范围是 （2）由, 整理得 ， 当时，得，解集为； 当时，得，解集为； 当时，，得或，解集为； 当时，，得，解集为； 当时，，得或，解集为. 综上所述：当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 19. 法国数学家佛郎索瓦・韦达于1615年在著作《论方程的识别与订正》中建立了方程根与系数的关系，由于韦达最早发现代数方程的根与系数之间的这种关系，人们把这个关系称为韦达定理，它的内容为：“对于一元二次方程，它的两根、有如下关系：．” 韦达定理还有逆定理，它的内容为：“如果两数和满足如下关系：，那么这两个数和是方程的根．”通过韦达定理的逆定理，我们就可以利用两数的和与积的关系构造一元二次方程 例如：，那么和是方程的两根．请应用上述材料解决以下问题： （1）已知、是两个不相等的实数，且满足，，求的值； （2）已知实数、满足，，求的值； （3）已知，是二次函数的两个零点，且，求使的值为整数的所有的值． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）利用两个等式特征，可将可看作方程的两个异实数根，由韦达定理即可求出所求式的值； （2）由题设等式，可将可看作方程的两个实数根，求出两根，分情况讨论求解即得； （3）由题意，使，求得，利用韦达定理求得，将所求式整理化简得，结合题设条件，即可求得的所有取值. 【小问1详解】 由，，， 可将可看作方程的两个不相等的实数根， 由韦达定理，， 所以； 【小问2详解】 由，， 可将可看作方程的两个实数根， 由解得或， 则有或， ① 当时，； ② 当时，． 所以的值为22或37． 【小问3详解】 由题意和韦达定理，可得，， 且，解得， 故 因，又，故必为的因数， 则的值可能为， 则实数k的值可能为，又， 故k的所有取值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第一学期月考 高一数学试题 命题教师：高二备课组 考生请注意：I考试时间120分钟.满分150分； Ⅱ只交答题纸，在卷上作答无效. 一、单选题（每个小题只有一个正确答案，每小题5分，共40分．） 1. 下列关系中，正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列说法中，正确的是（ ） A. 若，，则一定有 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，则 3. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知集合，，或，则图中的阴影部分表示的集合为（ ） A. 或 B. 或 C. D. 5. 设集合，则集合A的真子集个数为（ ） A. 4个 B. 7个 C. 15个 D. 16个 6. 命题“”为真命题的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，则的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 8. 若关于的不等式组的整数解只有，则的取值范围为（ ）. A. B. C. D. 二、多选题（每小题6分，共18分，全选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 至少有一个实数，使 B. “”是“”的充分不必要条件 C. 命题，则 D. “集合”中只有一个元素是“”的必要不充分条件 10. 若集合，，满足，则实数的值可能是（ ） A. B. C. 0 D. 1 11. 对于集合，则下面结论正确有（ ） A. 如果，那么； B. 如果，，那么； C. 如果，，那么 D. 如果，，那么 三、填空题：（本大题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 已知集合，，若，则__________. 13. 已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为________． 14. 关于x的方程的解集中只含有一个元素，则的所有可能值组成的集合是________． 四、解答题（共5题满分77分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15. 求下列方程组的解集 （1） （2） 16. 设全集，集合， （1）若，求，； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数m的取值范围． 17. “绿水青山就是金山银山”．随着经济的发展，我国更加重视对生态环境的保护，2018年起，政府对环保不达标的养鸡场进行限期整改或勒令关闭．一段时间内，鸡蛋的价格起伏较大（不同周价格不同）．假设第一周、第二周鸡蛋的价格分别为元、元（单位：kg）；甲、乙两人的购买方式不同：甲每周购买3kg鸡蛋，乙每周购买10元钱鸡蛋. （Ⅰ）若，求甲、乙两周购买鸡蛋的平均价格； （Ⅱ）判断甲、乙两人谁的购买方式更实惠（平均价格低视为实惠），并说明理由. 18. （1）若关于的不等式的解集为R，求的取值范围； （2）解关于的不等式． 19. 法国数学家佛郎索瓦・韦达于1615年在著作《论方程的识别与订正》中建立了方程根与系数的关系，由于韦达最早发现代数方程的根与系数之间的这种关系，人们把这个关系称为韦达定理，它的内容为：“对于一元二次方程，它的两根、有如下关系：．” 韦达定理还有逆定理，它的内容为：“如果两数和满足如下关系：，那么这两个数和是方程的根．”通过韦达定理的逆定理，我们就可以利用两数的和与积的关系构造一元二次方程 例如：，那么和是方程的两根．请应用上述材料解决以下问题： （1）已知、是两个不相等的实数，且满足，，求的值； （2）已知实数、满足，，求的值； （3）已知，是二次函数的两个零点，且，求使的值为整数的所有的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $