精品解析：浙江省宁波市余姚中学2024-2025学年高一上学期10月月考数学试题

余姚中学2024学年第一学期质量检测高一数学学科试卷 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据并集的知识求得正确答案. 【详解】依题意，. 故选：A 2. 已知集合M满足，那么这样的集合的个数为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可知集合中一定包含元素1和2，集合其他元素构成的集合为集合的子集，从而可求出集合的个数. 【详解】因为 所以集合中一定包含元素1和2，集合其他元素构成的集合为集合的子集， 所以集合的个数为， 故选：C 3. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】根据全称命题的否定即可得答案. 【详解】命题“，”的否定是“，”. 故选：D. 4. 下列关系中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用常用数集，结合集合包含关系逐项判断即得. 【详解】对于A，，A错误； 对于B，，B正确； 对于C，中不含任何元素，C错误； 对于D，不是的元素，因此不是的子集，D错误. 故选：B 5. 是的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要 【答案】D 【解析】 【分析】根据交集、子集、充分和必要条件等知识进行分析，从而确定正确答案. 【详解】若，如，满足但不满足. 若，如，满足但不满足. 所以是的既不充分也不必要条件. 故选：D 6. 已知，下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的性质以及代入特殊值可求得结果. 【详解】对于A，令，则，故选项A错误，不符合题意； 对于B，若，，则，故选项B错误，不符合题意； 对于C，，则，即，故选项C正确，符合题意； 对于D，令，则，故选项D错误，不符合题意； 故选：C. 7. 若函数的值域是，则函数的值域是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由条件，结合不等式性质求的范围即可. 【详解】因为函数的值域是， 所以， 所以， 所以， 所以， 故函数的值域是. 故选：C. 8. 已知函数，若关于的不等式恰有一个整数解，则实数的最大值为（ ） A. 2 B. 3 C. 5 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】画出函数的图象，对分类讨论，利用一元二次不等式解法可得解集，再利用数形结合即可得出结论. 【详解】函数的图象如图所示： ， 当时，， 由于关于的不等式恰有一个整数解， 因此其整数解必为3，又，， 结合图象可知，解得， 因为要求的最大值，所以不必考虑. 综上所述，的最大值为. 故选：D 【点睛】方法点睛： 数形结合与图象分析：通过画出函数的图象，结合不等式的条件，利用数形结合的方法直观地分析解的分布情况．数形结合是分析不等式解的一个非常有效的工具．在解题过程中，绘制函数图象并结合不等式条件进行讨论，是找到解集并确定最大值的关键． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知关于的不等式的解集为，则（ ） A. 的根为和 B. 函数的零点为和 C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据三个二次（二次函数、一元二次方程、一元二次不等式）之间的关系，即可得出正确的选项. 【详解】关于的不等式的解集为， ，C选项正确； 且和是关于的方程的两根， 则 ，则，，故D不正确； 不等式解集的端点值就是函数的零点及方程的根，故A正确，B不正确. 故选：AC． 10. 下列说法中正确的是（ ） A. B. C. 若正实数，满足，则的最小值为2 D. 若正实数，满足，则的最大值为2 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据基本不等式对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A选项，当时，， 当且仅当时等号成立. 当时，， 当且仅当时等号成立. 综上所述，成立，A选项正确. B选项，， 令，则在上单调递增， 故， 当，即时取等号，则， 而成立，所以B选项正确. C选项，， ， ，不符合题意，所以C选项错误. D选项，，， ， 当且仅当时等号成立，D选项正确. 故选：ABD 11. 下列说法中正确的是（ ） A. 函数的单调递减区间是 B. 若函数，则函数 C. 若，则函数中满足的函数共有9个 D. 若定义在上的函数满足，且，则 【答案】CD 【解析】 【分析】根据单调性判断A，根据换元法求选项B，根据映射定义判断C，根据赋值法判断D. 【详解】对于A，多个单调区间不能用并集符号连接，用“，”或“和”连接，故A错误； 对于B，令，则，所以，即，故B错误； 对于C，，满足，则集合中剩2个元素， 但集合中仍有3个元素，集合中每一个元素在集合中都有3个相对应，即个，故C正确； 对于D，，令，则， 则，所以，故D正确； 故选：CD. 三、填空题：本大题共3小题，每题5分，共15分．把答案填在题中的横线上． 12. 若函数的定义域为，则函数的定义域为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据抽象函数的定义域可得到的定义域. 【详解】根据的定义域为，即，得到， 则的定义域为， 故答案为：. 13. 已知，且，则的最小值是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据已知式子拼凑出，将乘以“2”再除以“2”，利用基本不等式即可求解. 【详解】因为，所以， 由可得， 则 当且仅当，即时取等， 所以的最小值是， 故答案为：. 14. 若函数在内恰有一个零点，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据判别式结合零点存在原理分类讨论即可. 【详解】当时，，解得，符合题意，则； 当时，二次函数的判别式为：， 若，即时，函数的零点为，符合题意，则； 当，即时，由，解得且， 则且； 当时，，方程另一根，当时， ，方程中一根，则或， 所以实数a的取值范围为. 故答案为： 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤． 15. 设全集，集合，． （1）当时，求，； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1）， （2）或． 【解析】 【分析】（1）根据补集、交集的知识求得正确答案. （2）根据得到，根据是否为空集进行分类讨论，由此求得的取值范围. 【小问1详解】 当时，， 所以，. 【小问2详解】 ， 当时，， 当时，， 综上所述，或． 16. 学校某研究性学习小组在对学生上课注意力集中情况的研究调查中，发现其在40分钟的一节课中，注意力指数与听课时间（单位：分钟）之间的关系满足如图所示的图象，当时，图象是二次函数的一部分，顶点为，听课时间为12分钟与听课时间为8分钟的注意力指数都为78，听课时间为4分钟的注意力指数为62；当时，图象是线段，其中． （1）求关于的函数解析式； （2）根据专家研究，当注意力指数大于62时，学习效果最佳，要使学生学习效果最佳，教师安排核心内容应在什么时间段？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件以及图象求得关于的函数解析式； （2）根据函数的解析式列不等式，由此求得正确答案. 【小问1详解】 由于听课时间为12分钟与听课时间为8分钟的注意力指数都为78， ，所以顶点的横坐标为， 当时，设， 将代入上式得， 解得，所以， 当时，设，将代入上式得： ，解得，所以. 所以. 【小问2详解】 当时，， 当时，， 综上所述，老师在时段内安排核心内容，能使得学生学习效果最佳． 17. （1）解关于的不等式，其中； （2）若对任意，都有，则求实数的取值范围． 【答案】（1）当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. （2）. 【解析】 【分析】（1）利用分类讨论方法求解含参的不等式. （2）变形给定不等式，构造函数，借助二次函数最值列式求解即得. 【详解】（1）不等式， 当时，，解得， 当时，，解得， 当时，，解得或， 所以当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. （2）依题意，对任意的都成立， 而当时，不成立，则，且，即，解得， 所以实数的取值范围是. 18. 已知定义在上函数，其中． （1）判断函数在上的单调性，并用定义法进行证明； （2）解不等式； （3）设，若的定义域为时，值域为，求正实数的取值范围． 【答案】（1）在上单调递增；证明如下： ，且， ， ∵，，∴，， ∴，即， ∴在上单调递增； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据单调性的定义法证明即可； （2）根据单调性得到不等式组，求解即可； （3）根据值域得到有关的一元二次方程，根据根的情况得到不等式组，求解即可. 【小问1详解】 在上单调递增；证明略 【小问2详解】 ∵在上单调递增，， ∴，则解得， ∴不等式的解集为. 【小问3详解】 由（1）可知，在上单调递增， 又∵在上的值域为， ∴， ∴方程有两个实根，，即方程有两个不相等的正实根， ∴，又，∴． 19. 已知． （1）当，时，求的值域； （2）对任意，存在，使得，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）将解析式转化为有关的一个一元二次方程，求得最小值即可得到值域； （2）转化为二次函数恒成立问题，然后根据对号函数求值域即可. 【小问1详解】 ，令，则， ，当，时， 因为，则当时，取得最小值为4， 所以的值域为； 【小问2详解】 ，令，则， ，，则对任意，存在，使得， 法一：令，则恒成立， 即恒成立， ， ，即或， 存在，使得或， 或，或； 法二：令，则恒成立， ， 当且仅当时等号成立， ，即，下同法一； 所以或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 余姚中学2024学年第一学期质量检测高一数学学科试卷 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合M满足，那么这样的集合的个数为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 3. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 下列关系中正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 是的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要 6. 已知，下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 7. 若函数的值域是，则函数的值域是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若关于的不等式恰有一个整数解，则实数的最大值为（ ） A. 2 B. 3 C. 5 D. 8 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知关于的不等式的解集为，则（ ） A. 的根为和 B. 函数的零点为和 C. D. 10. 下列说法中正确的是（ ） A. B. C. 若正实数，满足，则的最小值为2 D. 若正实数，满足，则的最大值为2 11. 下列说法中正确的是（ ） A. 函数的单调递减区间是 B. 若函数，则函数 C. 若，则函数中满足的函数共有9个 D. 若定义在上的函数满足，且，则 三、填空题：本大题共3小题，每题5分，共15分．把答案填在题中的横线上． 12. 若函数的定义域为，则函数的定义域为________． 13. 已知，且，则的最小值是__________. 14. 若函数在内恰有一个零点，则实数的取值范围是______． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤． 15. 设全集，集合，． （1）当时，求，； （2）若，求实数的取值范围． 16. 学校某研究性学习小组在对学生上课注意力集中情况的研究调查中，发现其在40分钟的一节课中，注意力指数与听课时间（单位：分钟）之间的关系满足如图所示的图象，当时，图象是二次函数的一部分，顶点为，听课时间为12分钟与听课时间为8分钟的注意力指数都为78，听课时间为4分钟的注意力指数为62；当时，图象是线段，其中． （1）求关于的函数解析式； （2）根据专家研究，当注意力指数大于62时，学习效果最佳，要使学生学习效果最佳，教师安排核心内容应在什么时间段？ 17. （1）解关于的不等式，其中； （2）若对任意，都有，则求实数的取值范围． 18. 已知定义在上函数，其中． （1）判断函数在上的单调性，并用定义法进行证明； （2）解不等式； （3）设，若的定义域为时，值域为，求正实数的取值范围． 19. 已知． （1）当，时，求的值域； （2）对任意，存在，使得，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $