上海市张江集团中学2024-2025学年上学期八年级数学期中练习卷

张江集团中学 2024 学年第一学期初三数学诊断练习（4） 满分：150 分 2024.10.28 班级__________________学号__________________姓名__________________成绩__________________ 一、选择题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分） 1．将抛物线 25 1y x= − + 向左平移 1 个单位，再向下平移 2 个单位，所得的抛物线为（ ） A． 25( 1) 1y x= − − − B． 25( 1) 2y x= − − − C． 25( 1) 1y x= − + − D． 25( 1) 3y x= − + + 2．已知线段 a、b、c，求作线段 x，使 ab＝cx，则下列作图中（AB∥CD）作法正确的是（ ） A． B． C． D． 3．在Rt ABC 中， 90C = ，CD AB⊥ ，垂足为点 D ，下列式子中正确的是（ ） A． sin AC A AB = B． cos CD A AC = C． tan CD A BD = D． cot AC A BC = 4．下列说法正确的有（ ）个 ①三点确定一个圆； ②相等的圆心角所对的弧相等； ③同圆或等圆中，等弦所对的弧相等； ④三角形的外心到三角形各顶点距离相等 A．1 B．2 C．3 D．4 5．如图，平面直角坐标系中，已知矩形OABC ，O 为原点，点 A、C 分别在 x轴、 y 轴上，点 B 的坐标 为 (1,2) ，连接OB ，将 OAB 沿直线OB 翻折，点 A落在点 D 的位置，则 cos COD 的值是（ ） A． 3 5 B． 4 5 C． 3 4 D． 1 2 6．如图，在正方形 ABCD 中，△ AOD 是等边三角形， AO 和 DO 的延长线分别交边 BC 于点 E 和点 F ，联 结 BD交线段 AO 于点G ，联结 BO ，下列结论中错误的是（ ） A． 2AE CF= B． 2BO GO AO=  C．△ BEO∽△ DOG D． DO BO BO EO = 二．填空题（本大题共 12 小题，每小题 4 分，满分 48 分） 7．已知 4 3 a b = ，则 2 b b a− = ． 8．二次函数 2( 1) 1y x= − + 的图象与 y 轴的交点坐标是 ． 9．在一个斜坡上前进 5 米，铅垂高度升高了 3 米，则该斜坡坡度 i = ． 10．已知 O 的半径为5cm ，A为线段OB 的中点，当 9OB cm= 时，点 A与 O 的位置关系是点 A 在 ． 11．在 Rt △ ABC 中， 90A = ，若 6 sin 3 B = ，则 cot C = ． 12．如图，在 ABC 中， 3BC = ，点G 是 ABC 的重心，如果 / /DG BC ，那么 DG = ． 13．已知点 1( 3, )A y− 和 2(2, )B y 在二次函数 2 2 ( 0)y ax ax c a= + +  图象上，则 1y 2y ．（填、或 =） 2 1y x x= − − ABC P PAC PCB PBA =  =  P ABC ABC 5AB AC= = 8BC = P ABC 2PA= PC = ABCD E AD 45BEC =  4AE = 2ED = AB 22 1sin 45 cos 30 2sin 60 4 2 tan 60  +  − +  −  ABCD AC BD O E AB 2BE AE= AB a= AD b= a b DE = F OC a b EF = EF AB AD 25 1y x= − + 25( 1) 1y x= − − − 25( 1) 2y x= − − − 25( 1) 1y x= − + − 25( 1) 3y x= − + + Rt ABC 90C =  CD AB⊥ D sin AC A AB = cos CD A AC = tan CD A BD = cot AC A BC = OABC O A C x y B (1,2) OB OAB OB A D cos COD 3 5 4 5 3 4 1 2 ABCD AOD AO DO BC E F BD AO G BO 2AE CF= 2BO GO AO=  BEO∽ DOG DO BO BO EO = 4 3 a b = 2 b b a− 2( 1) 1y x= − + y i = O 5cm A OB 9OB cm= A O Rt ABC 90A =  6 sin 3 B = cot C = ABC 3BC = G ABC / /DG BC DG = 1( 3, )A y− 2(2, )B y 2 2 ( 0)y ax ax c a= + +  1y 2y   = 14．抛物线 2 1y x x= − − 关于坐标原点对称的抛物线的解析式为 ． 15．如图，在平行四边形 ABCD 中，点 E 是 CD 边上一点，DE：EC＝2：3，连接 AE、BE、BD，且 AE、 BD 交于点 F．若 S△DEF＝2，则 S△ABE＝ ． 第 5 题图 第 6 题图 第 12 题图 第 15 题图 16．定义：如果△ ABC 内有一点 P ，满足 PAC PCB PBA =  =  ，那么称点 P 为△ ABC 的布罗卡尔点， 如图，在△ ABC 中， 5AB AC= = ， 8BC = ，点 P 为△ ABC 的布罗卡尔点，如果 2PA= ，那么 PC = ． 17．如图，在矩形 ABCD 中，点 E 在 AD上，若 45BEC = 且 4AE = ， 2ED = ，则 AB 的长为 ． 18．已知正方形 ABCD 的边长为 4，一个以点 A 为顶点的 45°角绕点 A 旋转，角的两边分别与边 BC、DC 的延长线交于点 E、F，连接 EF．当△AEF 是直角三角形时 tan∠AEB=______． 第 16 题图 第 17 题图 第 18 题图 三．解答题（本大题共 7 题，第 19~22 题每题 10 分；第 23、24 题 12 分，第 25 题 14 分，满分 78 分） 19．计算： 2 2 1 sin 45 cos 30 2sin 60 4 2 tan 60  +  − +  −  20．如图，在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC 、BD相交于点O ． E 为边 AB 上一点，且 2BE AE= ． 设 AB a= ， AD b= ． （1）填空：用向量 a ，b 的式子表示向量 DE = ； （2）如果点 F 是线段OC 的中点，那么用向量 a ， b 的线性组合表示向量 EF = ，并在图中画 出向量 EF 在向量 AB 和 AD 方向上的分向量． 21．如图， AB ， AC 是 O 的两条弦，且 AB AC= ． （1）求证： AO 平分 BAC ；（2）若 4 5AB = ， 8BC = ，求半径OA的长． 22．如图， A点、 B 点分别表示小岛码头、海岸码头的位置，离 B 点正东方向的 7.00km 处有一海岸瞭望塔 C ，又用经纬仪测出： A点分别在 B 点的北偏东57处、在C 点的东北方向． （1）试求出小岛码头 A点到海岸线 BC 的距离； （2）有一观光客轮 K 从 B 至 A方向沿直线航行，某瞭望员在C 处发现，客轮 K 刚好在正北方向的 D 处， 当客轮航行至 E 处时，发现 E 点在C 的北偏东 27处，请求出 E 点到C 点的距离； （注 : tan 33 0.65  ， sin 33 0.54  ， cos33 0.84  ，结果精确到 0.01 )km 23．如图，已知在△ ABC 中， 2BAC B =  ， AD 平分 BAC ， / /DF BE ，点 E 在线段 BA的延长线上， 联结 DE ，交 AC 于点G ，且 E C =  ．（1）求证： 2AD AF AB=  ；（2）求证： AD BE DE AB =  ． 2 3y ax bx= + − E y A B C D O G x AB AC O AB AC= AO BAC 4 5AB = 8BC = OA A B B 7.00km C A B 57 C A BC K B A C K D E E C 27 E C : tan 33 0.65  sin 33 0.54  cos33 0.84  0.01 )km ABC 2BAC B =  AD BAC / /DF BE E BA DE AC G E C =  2AD AF AB=  AD BE DE AB =  24．在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 2 3y ax bx= + − 的图像与 x 轴交于点 A（-3，0）和点 B（1，0）， 与 y 轴交于点 C，D 是线段 OA 上一点． （1）求这条抛物线的表达式和点 C 的坐标； （2）如图，过点 D 作 DG⊥x 轴，交该抛物线于点 G，当DGA＝DGC 时，求△GAC 的面积； （3）点 P 为该抛物线上第三象限内一点，当 OD＝1，且∠DCB +∠PBC＝45°时，求点 P 的坐标． 25. 已知矩形 ABCD 中，AB=6，BC=8，P 是边 AD 上一点，将△ABP 沿直线 BP 翻折，使点 A 落在点 E 处， 联结 DE，直线 DE 与射线 CB 交于点 F. （1）如图 1，当点 F 在边 BC 上，若 PD=BF 时，求 AP 的长； （2）若射线 AE 交 BC 的延长线于点 Q，设 AP=x，QC=y，求 y 与 x 的函数解析式，并写出 x 定义域； （3）① 如图 2，直线 DE 与边 AB 交于点 G，若△PDE 与△BEG 相似，求∠AEG 的正切值； ② 如图 3，当直线 DE 与 BP 的延长线交于点 H，若△BPE 和△DHP 面积相等， 请直接写出 DH 的长 图 1 图 2 图 3 y A B C D O G x