河北省保定市部分学校2024-2025学年高三上学期摸底联考数学试题（10.29）

2024年高三摸底考试 径性)2 ,=(生九涉秀球日 数学试题 文一丝班按当 密 单的(1班来（公》 本试卷共4页，19小题，满分150分。考试用时120分钟。来( 注意事项： 1.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写 在试题卷和答题卡上。将条形码横贴在答题卡“条形码粘贴处”。 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答 案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定 线 区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用 铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 4.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 内 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。每小题给出的四个选项中，只有 一个选项是正确的。一己，发五发出 -.----- 1.已知A={xx|≤1)，B={xx<5,x∈N,则A∩B= 8= A.{0,1 B.{1} 岁C.0,1]出D.(0,)10 不 2. 已知z= 2(1一边，是的共轭复数，则2=，5 1+ A.0 B.2i , C.2 合量D.一2 3.已知向量a=(1,1),b=(-2,机，且引b川=√5，(1>0)，则ab=8合拿19元 A.1 B.2 C.-1 D.0 得 4.若一个球的体积和表面积数值相等，则该球的半径r的数值为 A.2 B.3 C.4 D.√3 5. 设函数f(x)=cos(wx十P)引 w>0.l9K2 为偶函数.当x1,x满足|f(x)一f(x)=2 答 时，|x1一x2有最小值2， 则w和9的值分别是 A.w=x,=0 B 函 C.u=2p- 2 D.w=29=0 )有 题 6.若△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,a=4,b=16,CD平分 ∠ACB交AB于D,且CD=4,则BD= A.3 B.3 C.2√3 D.33 高三数学试卷第1页（共4页） 7.已知ab50且a+26-1,则心+26+1的最小值是 共，水共本：园密陆，四 ab 81 A.12 B.16 C.15 D.14 8.已知函数f(x)= [z-1,-1x若关于x的方程f(x)=a至少有5个不 2f(x-2),1≤x≤7， 等的实数解，则a的取值范围是末。，916+。8 士片强班的 A.[-1,0] B.[-2,0] C.[-4,0] D.[-8,0] 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。每小题给出的四个选项中，有多项 符合题目要求。全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分。 9.函数y=口-。>1的图象经过 A.第一象限B.第二象限C.第三象限·D.第四象限 10.若l是平面a的一条斜线，l∩a-O,直线aC平面a且O￠直线a,记直线l与平 面a所成的角为A,则下列说法正确的是 A.I与a是一对异面直线 面平上3k:型面自 B.若点A和B分别为直线l上和平面a内异于点O的点，则∠AOB≥0 C.若M和N分别是直线l与a上的动点，则满足MN⊥l且MN⊥a的直线不唯一 D.过直线a有且只有唯一平面与直线l平行 1.若函数/(e)=xhx一号-x存在两个极值点>下列说法正确 的是 A.m=1时满足条件 ) B.不存在实数m使得x,x2均为正整数但公的的：，人鱼，中日心的一 C.当x≥x时，m的最大值为3n3 8价81 6 x经-x1 =g普 D,对任意正整数m,均存在对应的x,x,使得n= In(zz2) 的S)击 小前科写。世 平3国性日当2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分。 12.已知曲线y=e-1十ax3+1在x=1处的切线斜率为4，则实数a的值为 13.函数f(x)=cos2x十sinx cosx十1的最小正周期是，f(x)在(0，r)上的单调 递减区间是 14.已知递增数列{a}共有m项(m∈N,m为定值)且各项均不为零，末项a.=1. 若从数列{a.}中任取两项a,和a,当i<j时，a,一a,仍是数列{a,}中的项，则数列 {an}的通项公式a,=,(用含m和n的式子表示，) 高三数学试卷第2页（共4页）高 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 已知向量a=(cox,1b=(s,- (1)若a∥b,且x∈(0，π，求sinx-cosx的值： (2)设函数f(x)=2(a+b-a,x∈[0,1，求函数f(x)的值域。 为衣中改个四当雅游小快丝共惑酒处光中绿老 公积叶老职明金方分线在化积全必要日店合讲 16.(15分) 已知直三棱柱ABC-A,B1C1中，AB=BC=BB1=2,且AB⊥BC,点E,F分 别为线段AC和CC的中点， A B (1)证明：A1E⊥平面BEF; (2)求平面ABC,与平面BEF的夹角，丙。1直世 B C 骑面这好脱不江红的处个可过中工一 17.(15分) 在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,6,c,c0B b 2a-c 的不 cosC (1)求角B: (2)若2b=2c2+ac,求cosC的值； (3)在(2)的条件下，若边C=2,点D为线段AB上的动点，点E为线段BC上 的动点，且线段DE平分△ABC的面积，求线段DE长度的最小值. =三：末达不现名日外客比城一5上阳头正君 海分根购中，一华度绿用”>档，球写中，政显从 =是的 高三数学试卷第3页（共4页） 18.(17分) 已知函数f(x)=g+sinx-2x,g(x)=2-cosx. (1)已知直线x一y十a=0是曲线y=g(x),x∈[0，x]的切线，求实数a的值； (2)求函数f(x)的单调区间： 密 (3)求证：f(x)≥g(x)恒成立.。小.1其母拉 席龙出 上好代刻浮学江出空西理部证中出公的5白种设香新，消店答1 村日球器列博西逝该件上斗复警球容塑左 封 他立福沙主丝产价用实可盘小单出好酒法者计下 的送汤不学第，好的码击乱命干的伊，的击取能常动自自星 生计马会背三书节华公案落，计堂斗处学程本军出利甲派坐要务法北 用心出不法这说浮国热军打出取别科没乐际者部世，到当白时内之 线 换算咨出写代两行和5第件百留 收米年西名数出新特：阳计子有到程过士李， 19.(17分)丽 内 已知数列{a.},其前n项和为S.,对任意正整数n,S.=2a,一u恒成立，且a1十 a2=12. (1)证明：数列{a.}为等比数列，并求实数μ的值； 2若6=昭a数列6，前项和为求证：工>h”生号 2 不 (3)当n≥1时，设集合B,={a,十a3…2+1<a十4<32+}，1≤i<j, iJ∈N”集合B.中元素的个数记为c.,求数列{c.}的通项公式.，I=量白面9 得 足容的￥常黄清法并面城用面球用利的和个一法 兴元入如一拨金己 件补绿一，如 答 题 平1一一书过比批也的好的得A中阳达告方 三0假=0D日，注88的 2 高三数学试卷第4页（共4页） 2024年高三摸底数学试题评分细则 经与保定三中和曲阳永宁中学高三数学组试评商议，将评分细则修订如下： 一、选择题：（每小题5分，共40分） 1.A2.B3.C4.B5.D 6.C7.D8.B 二、选择题：（每小题6分，共18分） 9.ABC 10.ABD 11.CD 三、填空题：（每个小题5分，共15分） 12.1 13.π 5n (2分) 88 (开闭区间均给分)(3分) 14.” (结果为an=一的也给分) m 四、解答题： (本题共5小题，共77分) 15.(13分) 解：()~a6训，-cosx=sinx,.tanx--多 --2分 又：xe(0,π)， .sinx=313 13，c0sX=-273 5分 13 一sinX-cosx=5v -6分 13 (2)由题意：a+b= cosx+sin.x,- 7分 ∴f(凶=2（信+6）：a=2(cosx+sinx,-2)·(cosx,1) 2cos2x+2sinxcosx-1 sin2x +cos2x v2sin(2x+), =-10分 yx∈o,],2x+e匠1， -11分 f)的值城是[V] ---13分 16.(15分) (1)法1：证明，AA⊥平面ABC,BEc平面ABC,、.AA⊥BE, 又：AB=BC,AE=EC..BE⊥AC,又：AA∩AC=A,A4,ACC平面ACC,A .BE⊥平面ACCA 数学评分细则第1贞 又：AEc平面AACC,AE1BE 3分 又：tan∠A,EA=tan∠EFC=V迈 ∠AEA=ZErC:∠BrC+∠FEc=号∠AEA+ZFEc-号 即AE⊥EF -6分 又：AE⊥BEEF∩BE=E,BEc平面BEF,EFc平面BEF, ,AE⊥平面BEF. 7分 法2：证明： 由已知易得AB=2√2，BE=√2，在直角三角形AAE中，AE=V6, AB2=AE2+BE2,∴.AE⊥BE 3分 在直角三角形EFC中，EF=√5， 在直角三角形AFC,中，AF=3 AF2=AE2+EF2.AE⊥EF. 6分 又：AE⊥BEEF∩BE=E,BEc平面BEF,EFC平面BEF, ∴AE⊥平面BEF. -7分 法3：如图所示，以点B为原点，BA为x轴，BC为y轴， BB,为Z轴建立空间直角坐标系， ==1分 易得A(2,0,2,E1,0).F02,) 4E=(-1,1,-2),BE=0l,0),EF=(-1,1,) AE-EF=0,AE.BF=0':.AE L EF,AE 1 BF =5分 又：BFOEF=F,BFC平面BEF,EFC平面BEF ∴.AE⊥平面BEF 7分 法4：如图所示，以点B为原点，BA为x轴，BC为y轴， BB,为Z轴建立空间直角坐标系， -1分 易得A(2,0,2,E1l,0).F(0,2,1) 数学评分细则第2贞 AE=（-1,l,-2),BE=L,l,0),EF=(-1,l,) 设平面BEF的法向量而=x,y,z, 则m·BE=x+y=0,而·BF=-x+y+z=0 取x=1,则法向量而=1，-1,2 -5分 AE=-m.AE⊥平面BEF 7分 (2)解： 如图所示，以点B为原点，BA为x轴，BC为y轴， B BB,为Z轴建立空间直角坐标系， -8分 易得A(2.0,0),B(0,0,0),C0,2,2.A72,0,2.E(1,1,0) BA=(2,0,0),BC1=(0,2,2), 设平面ABC的法向量i=k,y,z),则方·BA=2x=0,方·BC1=2y+2z=0, 取y=1,则法向量方=0,1，-1. ---11分 由(1)可知AE=(-1,1,-2)为平面BEF的法向量. 12分 eos<AiE,i>1==6=盟 3 -14分 平面ABC与平面BEF的夹角为石 -15分 17.(15分) 解：（1)。=0 .2a-c .'.sinBcosC 2sinAcosB-cosBsinC, 1分 .'sinBcosC cosBsinC 2sinAcosB ∴.sinA=2 sinAcosB,sinA≠0 .cosB 3分 Be(0,.B=号 …-4分 (2)法1：B=Fb2=a2+c2-2ac号又2b2=2c2+ac, ac=a,∴a=0,b=号c -7分 c06=42-e.2-20 2ab 7 数学评分细则第3贞 (或者品=a8=品=2b,即cosc==9 =9分 法2：B=号2b2=2c2+a0 cosC=b-c=2a'+ac2a+c_2sin A+sinc -6分 2ab 4ab 4b 4sin B 2V3cosC=2sin(B+C)+sinC,化简得V3cosC=2sinC, -8分 .'.cosC= 2W7 7 9分 法3：2b2=2c2+ac 3 2sin2B=2sin2C+sin Asin C= 2, 3 2sin2C+sin(B+C)sin C= 2 2sin'C+ sin CcosC+sinC=3 2 2 0-cos20+ 4 sin2C=3 6分 4 解得cos2C=-1或1 一或 -7分 .2b2=2c2+ac.BC.cos2C= 7.cosC=2 7 -9分 (3)若边c=2由(1)(2)可知a=3,b=V7,B= .SAAC -csinB.SE 4 令B0=m,BE=n,则SoE=9=m号∴mn=3, …-11分 又由余弦定理得：DE2=m2+n2-2mn,≥mn=3 -13分 当且仅当m=n=√3时等号成立 14分 :DE的最小值为V5 18.(17分) 数学评分细则第4贞 解：（1)g(x)=sinx,×∈[0，m,1分 g()=sinx=1,解得x=22分 切点为(，2)，3分 号-2+0=0a=2-74分 (2）f(x)=e*+c0sx-2,5分 当xE（-o0,0]时，e*≤1，cosX≤1，.f(x)≤0，f(x)单调递减7分（没有具体说明为 什么f(x)≤0，本步骤扣1分) 当xe(0,+oo)时，f"(x)=e*-sinx,e*≥7，sinx≤7， ∴f(x)≥0，∴.f(x)单调递增，.f(x)≥f(0)=0,f(x)单调递递增。9分（没有具体说明为 什么∫(x)≥0，本步骤扣2分) 综上所述，f(x)单调减区间为（一0,01，单调递增区间为(0，+∞）10分 (3)证明： f(x)≥g(x)恒成立台e*+sinx-2x+cosx-2≥0但成立 分5inx+co-2-2+1≥0恒成立12分 e 令hW=nx+o-2x-2+1, e h'(x)=(cosx-sinx-2)-(sinxtcosx-2x-2)2(x-sinx) 14分 令m(x)=x-sinx则m'(x)=1-cosx≥0，.m(x)单调递增， 又m(0)=0, .当x∈(-o,0]时，m(x)≤0，即h'(x)≤0，h(x)单调递减： 当x∈[0，+co)时，m(x)≥0，即h(x)≥0，h(x)单调递增；16分 .h(x)2h(0)=0,f(x)2g(x)恒成立.17分 19.(17分) 解：(1)令n=1可得S1=2a1-μ，即a1=μ， 令n=2可得S2=2a2-μ，即a1+a2=2a2-μ，所以a2=2y 又a1+a2=12,.μ=4 2分 Sn =2an-4 5-1=20-1-4n22) 两式相减可得an=2an-2an-1,∴.an=2an-1, :.数列{an}为首项为4，公比为2的等比数列. 4分 数学评分细则第5贞 ②证明：由(1)可知an=2,所以b,=ga 1 n+15分 Tn=n2=,n i41 要证Tn>n"成立， 只需证>n条即，>n(片+1以 7分 令fy=x-n&+1以.f=1-本=本>0，xe(0,+m, ·.当×e(0,+o)时，f(x)单调递增 f(x)=x-1n&+1)>f0)=0, 9分 f()>0, n中>n(h+1以Tn>n生10分 (3)n21时，集合Bn={a,+a3.21<a;+aj<3·2n2), 即3·2n<2+2<3·2n1,1≤i<j,i,j∈N,Bn中元素个数， 等价于满足32”<2+2<32+的不同解(，)， 如果j<n+2,则2+2≤2+21≤2”+2叫=3.2”，矛盾1 如果j>n+2,则2+2≥2+2n3>3·2n1,矛盾！ j=n+2, .13分 又：(2+2"+)-32"=2+4.2”-3.2”=2+2”>0， .32<2+2*2<23+22<…<2”+2m2<21+22=3…2,15分 即i=1,2,3,…,n,共n个不同解(i,),所以C。=n(n≥1)。17分 说明：第(3)问其他方法只要推理严谨合理同样给分，但是根据不完全归纳法得到c.=n的该问只能得2 分 数学评分细则第6贞