2025年中考数学一轮复习小专题特训：三角形综合

备战2025年中考数学一轮复习小专题特训：三角形综合 一、单选题 1．下列长度的三条线段能组成三角形的是（    ） A．2，3，6 B．4，4，8 C．5，10，6 D．12，5，6 2．若三个角的大小满足条件，则的大小为（    ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，，平分，交的延长线于F，垂足为E．则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 4．如图，，若，，则等于（　　） A． B．4 C． D．5 5．如图所示的两个三角形全等，则的度数为（    ） A． B． C． D． 6．如图所示，将一根的筷子，置于底面直径为，高的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度，则h的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．如图，中，，平分，，点D到的距离为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点D，E，再分别以点D，E为圆心，大于长为半径作弧，两弧在的内部相交于点F，作射线交于点G．若，，则的面积是（    ） A．24 B．12 C．10 D． 9．如图，等腰中，，将绕点逆时针旋转得到，当点的对应点落在上时，连接，则的度数是（   ） A． B． C． D． 10．如图，在中，平分，按如下步骤作图： 第一步，分别以点、为圆心，以大于的长为半径在两侧作弧，交于两点、； 第二步，连接分别交、于点、； 第三步，连接、．若，，，则的长是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 11．已知点G是的重心，，，那么 ． 12．三个全等三角形摆成如图所示的形式，则的度数为 ． 13．在中，已知，，点是的重心，那么的长是 ． 14．如图，在中，，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交、于点、，再分别以、为圆心，任意长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，若，为上一动点，则的最小值为 ． 15．如图，正方形的边长为，为边上一点，．将绕点顺时针旋转，得到，连接，则 ． 16．如图，已知正方形，E为边上的一点，连接，将绕点E顺时针旋转，得到．连接，以为边作正方形，设正方形的面积为S，则S的最小值为 ． 三、解答题 17．如图，是等边三角形，是中线，延长至点E，使． (1)求证：； (2)过点D作垂直于，垂足为F，若，求的周长． 18．在中，、分别平分、． (1)如图1，若，则___________； (2)如图2，连接，求证：平分； (3)如图3，若，，，求的长． 19．已知：如图，，，，．与分别相交于点D、M． (1)求证：； (2)与有怎样的位置关系？ 证明你的结论． 20．如图，在四边形中，，，，，动点 P 从点 A 出发以每秒1个单位的速度沿向点 D运动，动点Q从点C出发以每秒2个单位的速度沿向点B运动， 同时出发，当点P停止运动时，点Q也随之停止，连接．设点P运动时间为t秒，问当t为何值时， ，并证明． 21．如图，，分别为轴，轴的正半轴上的点，作关于坐标轴的对称线段和． (1)如图（1），若，，直接写出点，的坐标； (2)如图，是上一点，直线交于点，． ①如图（2），求证：； ②如图（3），平分交于点，交于点，若四边形的面积等于面积的一半，判断的形状，并证明你的结论． 22．在数学课上，老师让学生探究线段间的数量关系．    问题情境 （1）如图，点在线段上运动（不含端点），以，为直角边在的同侧作等腰直角，等腰直角，，连接，点，分别是，的中点，同学们发现点在移动的过程中，的长度为定值，则与数量关系是______， 问题探究 （2）如图，连接，，判断的形状并证明， 问题拓展 （3）如图，当等腰直角绕点旋转一定角度后，（）中的结论是否还成立，若成立请证明，若不成立，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B D B C D B B B A 1．C 【分析】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形的三边关系定理． 根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，由两较小边之和与较大边比较就可以判断． 【详解】解：A、∵，∴不能组成三角形，故此选项不符合题意； B、∵，∴不能组成三角形，故此选项不符合题意； C、∵，∴能组成三角形，故此选项符合题意； D、∵，∴不能组成三角形，故此选项不符合题意； 故选：C． 2．B 【分析】此题考查了三角形内角和定理和一元一次方程的应用，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． 根据题意设，，，由三角形内角和定理得到，列方程为，求出x的值，即可得到的大小． 【详解】解：设，，，根据题意，得 ， 解得：， ∴， 故选：B． 3．D 【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质及等腰三角形的判定与性质．根据，可知，再由平分可知，证明，故可求出，，可求得，根据可知，，即可求出，即；推出是等腰三角形，由于，故，得到；在中，若，则，与相矛盾，故； 【详解】解：，， ， 平分， ， 在与中，，， ， ，，， ， ； 故选项A正确，不符合题意； ， ，， ， 在中，， ， ， 是等腰三角形， ，即，故B正确，不符合题意； ， 是等腰三角形， ， ，即，故C正确，不符合题意； 在中，若，则，与相矛盾， 故，故选项D错误，符合题意； 故选：D． 4．B 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，根据全等三角形对应边相等得到，据此根据线段的和差关系可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：B． 5．C 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理等知识，解答本题的关键是明确题意，利用全等三角形的性质和数形结合的思想解答．根据题意和图形，可知是边的对角，由第一个三角形可以得到的度数，本题得以解决． 【详解】解∶∵图中的两个三角形全等， ∴， 故选∶C． 6．D 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，如图，当筷子的底端在点时，筷子露在杯子外面的长度最短；当筷子的底端在点时，筷子露在杯子外面的长度最长．然后分别利用已知条件根据勾股定理即可求出的取值范围． 【详解】解：如图1所示，当筷子的底端在点时，筷子露在杯子外面的长度最长， ， 如图2所示，当筷子的底端在点时，筷子露在杯子外面的长度最短， 在中，，， ， 此时， ∴的取值范围是． 故选：D． 7．B 【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，过点D作于E，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得，从而得解． 【详解】解：如图，过点D作，垂足为E，          ，平分交于点D， 即点D到的距离为2． 故答案为∶2． 8．B 【分析】本题考查基本作图——作角平分线、角平分线的性质．过点G作于点H，由作图可得，为的平分线，由角平分线的性质可得，再利用三角形的面积公式可得答案． 【详解】解：如图，过点G作于点H， 由作图可得，为的平分线， ， ， 的面积为：， 故选：B． 9．B 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质和三角形内角和定理，熟练掌握知识点是解题的关键．由等腰三角形的性质和三角形内角和定理，得，根据旋转的性质，得，，再由等腰三角形和三角形内角和定理得，即可求得． 【详解】解：，， ， 由旋转得，，， ， ， 故选：B． 10．A 【分析】本题考查了尺规作图、线段垂直平分线的性质、相似三角形的判定与性质、角平分线的性质．首先根据尺规作图可得知是的垂直平分线，根据垂直平分线的性质可得到相等的角和边，根据角平分线的性质可证，利用ASA可证，根据全等三角形的性质可证四 边形是菱形，从而可证，利用相似三角形对应边成比例可以求出的长度，再根据求出结果． 【详解】解：如下图所示， 由作图可知是的垂直平分线， ，，， 又平分， ， 在和中，， ， ， ， 四边形是菱形， ， ， ， ， ， ． 故选：A ． 11．12 【分析】本题主要考查重心的性质及直角三角形斜边中线定理，熟练掌握重心的性质及直角三角形斜边中线定理是解题的关键；由题意易得，然后根据直角三角形斜边中线定理可进行求解． 【详解】解：如图所示： ∵点G是的重心， ∴， ∵，， ∴， ∴； 故答案为12． 12． 【分析】直接利用平角的定义结合三角形内角和定理以及全等三角形的性质得出，，进而得出答案． 此题主要考查了全等三角形的性质以及三角形内角和定理，正确掌握全等三角形的性质是解题关键． 【详解】解：如图所示： 由图形可得：， ∵三个三角形全等， ∴， 又∵， ∴， ∴的度数是． 故答案为：． 13． 【分析】延长交于H．利用等腰三角形的三线合一，可知是高，由可设，则，利用勾股定理求出，得到，根据重心的性质计算即可． 【详解】解：如图，延长交于H， ∵点是的重心， ∴是边上的中线， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∵G是重心， ∴， 故答案为： 【点睛】本题考查了三角形的重心、等腰三角形的性质、解直角三角形、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握重心的性质． 14． 【分析】本题考查角平分线的性质，垂线段最短，作于，根据垂线段最短得到当点与点重合时最小，根据角平分线的性质即可得解．掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 【详解】解：作于， ∵为上一动点， ∴， 当点与点重合时取“”，此时取得最小值，最小值为长， 由尺规作图可知：平分， 又∵，，， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 15． 【分析】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，勾股定理，由旋转的性质可得，，由正方形的性质可得，，由勾股定理得，进而即可由即可求解，掌握正方形和旋转的性质是解题的关键． 【详解】解：由旋转可得，，， ∵四边形是正方形，边长为， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：． 16．50 【分析】过点F作，交延长线于点H，依题意可证，易证为等腰直角三角形，得出，从而可得出点F在射线上，即得出当时，最短，即此时正方形的面积最小，且此时为等腰直角三角形，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，过点F作，交延长线于点H， ∵四边形为正方形，将绕点E顺时针旋转，得到， ∴，，，， ∴， ∴， ∴，， ∴，即， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴点F在射线上， ∴当时，最短，即此时正方形的面积最小， ∴此时为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴S的最小值为50． 故答案为：50． 【点睛】本题考查正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，旋转的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理等知识．正确作出辅助线，构造全等三角形是解题关键． 17．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）等边三角形三线合一，得到，等边对等角结合三角形的外角，推出，进而得到，即可； （2）易得是含30度角的直角三角形，进而得到，中线得到，求出的长，即可． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形，是中线， ∴，． ∵， ∴． 又∵， ∴． ∴． ∴． （2）解：∵， ∴ ∴在中，． ∴． ∵， ∴． ∴． 【点睛】本题考查等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的外角，含30度角的直角三角形．熟练掌握三线合一，等边对等角，等角对等边，以及30度的角所对的直角边是斜边的一半，是解题的关键． 18．(1) (2)见解析； (3)3； 【分析】（1）根据得到，再结合角平分线求出，即可得到答案； （2）过作，，，根据角平分线性质得到，结合角平分线的判定即可证明； （3）在上截取一点D，使，连，证明，即可得到答案； 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵、分别平分、， ∴， ∴； （2）证明：过作，，， ∵、分别平分、， ∴，， ∴， ∴平分 ； （3）解：在上截取一点D，使，连，    设， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查与角平分线有关的三角形内角和关系，角平分线判定与性质，三角形全等的性质与判定，等腰三角形的判定，解题的关键是根据截长补短作出辅助线． 19．(1)证明见解析 (2)，证明见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，垂线的定义，三角形内角和定理： （1）先由条件可以得出，再根据证明就可以得出结论； （2）由全等三角形的性质得到，再导角证明，即． 【详解】（1）证明：∵， ∴ ∴ 即 ∵在和中 ∴， ∴； （2）解：，证明如下： ∵ ∴， ∵， ∴ ∴， ∴． 20．当 时，，理由见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的性质和判定，熟练地掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．根据题意可知，，时，列方程可求出的值，再根据全等三角形的判定定理判定即可． 【详解】解：如图，由题意得，，                                         ， ， 当时，即，， 当时，，理由如下： ， ， 在和中， ， ． 21．(1)， (2)①见解析；②为等边三角形，证明见解析． 【分析】（1）根据关于坐标轴对称的点的特点求解即可； （2）①作交轴于，首先证明出，得到，，然后根据等角对等边得到，进而求解即可； ②连接，，首先根据对称的性质和题意得到，，然后利用等腰三角形三线合一性质得到，然后证明出，得到，进而可证明出为等边三角形． 【详解】（1）解：∵作关于坐标轴的对称线段和，，， ∴，， ∴，； （2）解：①作交轴于，    ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； ②为等边三角形，理由如下： 连接，，    由对称可知 又， ∴， ∴ 又∵， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 又平分， ∴， 又为公共边， ∴， ∴， 由对称知， ∴， ∴为等边三角形． 【点睛】此题考查了坐标与图形，轴对称的性质，全等三角形的性质和判定，等边三角形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 22．（）；（）是等腰直角三角形，理由见解析；（）仍然成立，，理由见解析． 【分析】（）过作于点，交延长线于点，证明四边形是矩形，则， ，，从而有，，再证明四边形是矩形，，设，，通过线段和差得，则四边形是正方形，从而得出结论； （）过作于点，交延长线于点，证明四边形是矩形，则， ，，从而有，，再证明四边形是矩形，，设，，通过线段和差得，则四边形是正方形，从而有，，，从而求解； （）过作于点，过作于点，过作于点，过作交延长线于点，过作于点，过作于点，同（）即可求解． 【详解】解：（）如图，过作于点，交延长线于点，    ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ，，， ∴， ∵点，分别是，的中点， ∴，，， ∴四边形是矩形， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，是等腰直角三角形， ∴，， 设，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， 故答案为：； （）是等腰直角三角形，理由： 如图，过作于点，交延长线于点，    ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ，，， ∴， ∵点，分别是，的中点， ∴，，， ∴四边形是矩形， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，是等腰直角三角形， ∴，， 设，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∴，， ∴是等腰直角三角形； （）解：仍然成立，理由： 如图，过作于点，过作于点，过作于点，过作交延长线于点，过作于点，过作于点，    同上得：四边形为矩形， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 同理， ∴，， ∵点分别是的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设，， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，旋转的性质，平行线的性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$