精品解析：北京市第八十中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题

北京市第八十中学2024~2025学年第一学期期中考试 高（二）数学 2024年10月 （考试时间120分钟 满分150分） 提示：试卷答案请一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效. 在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他试题用黑色签字笔作答. 一、选择题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用空间向量夹角的坐标运算公式计算即可. 【详解】解：， 又， . 故选：C. 2. 圆：与圆：的位置关系为（ ） A. 相交 B. 相离 C. 外切 D. 内切 【答案】A 【解析】 【分析】根据圆心距以及圆的半径确定正确选项. 【详解】圆：的圆心为，半径为. 圆：的圆心为，半径为. ，， 所以两圆相交. 故选：A 3. 双曲线的焦点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据双曲线方程可得实半轴长a，虚半轴长b，再由关系式求解即得. 【详解】双曲线实半轴长a，虚半轴长b，依题意得， 设双曲线半焦距为c，则，解得，又双曲线焦点在x轴上， 所以焦点坐标是. 故选：C 4. 下列命题中，正确的是（ ）. A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】利用绝对值的意义结合特殊值法判定即可. 【详解】若，即，但，故A、D错误； 若，即，但，故B错误； 显然，则，故C正确. 故选：C 5. 两平行直线与之间的距离为（ ） A. B. C. 0 D. 【答案】A 【解析】 【分析】先将直线的方程变形，然后利用两平行线间的距离公式求解即可 【详解】由，得， 所以两直线间的距离为， 故选：A 6. 已知椭圆的方程为，则此椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 椭圆方程化成标准形式后求出代入离心率公式可得答案. 【详解】由得，所以， ，. 故选：B. 7. 若构成空间的一个基底，则下列向量可以构成空间的另一个基底的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用空间向量基本定理逐个判断各个选项即可． 【详解】解：对于选项A：因为，所以，，共面，不能构成基底，故选项A错误， 对于选项B：因为，所以，，共面，不能构成基底，故选项B错误， 对于选项C：因为，，，共面，不能构成基底，故选项C错误， 对于选项D：若，，共面，则，即，则，无解，所以，，不共面，可以构成空间的另一个基底，故选项D正确. 故选：D． 8. 设，直线，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】求出的值，再利用充分条件和必要条件的判断方法，即可求解. 【详解】因为直线， 当时，，此时，即可以推出， 当时，，解得或， 又时，，此时，所以推不出， 所以“”是“”的充分不必要条件， 故选：A. 9. 已知直线与曲线有且只有一个公共点，则实数的范围是（ ） A. B. 或 C. 或 D. 【答案】C 【解析】 【分析】把曲线方程整理后可知表示半圆，进而画出图象来，要使直线与曲线有且仅有一个交点，那么很容易从图上看出其三个极端情况分别是：直线在第四象限与曲线相切，交曲线于和另一个点，及与曲线交于点，分别求出，则的范围可得． 【详解】曲线，即，表示一个半圆（单位圆位于轴及轴右侧的部分）．      如图，、、， 当直线经过点时，，求得； 当直线经过点、点时，，求得； 当直线和半圆相切时，由圆心到直线的距离等于半径，可得，求得，或（舍去）， 故要求的实数的范围为或， 故选：C． 10. 如图，在直三棱柱中，，，是线段的中点，在内有一动点（包括边界），则的最小值是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】建立适当的空间直角坐标系，因为位于的同侧，设关于平面的对称点为，根据求解. 【详解】以为原点，所在直线为轴，过点且平行于的直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，，． 设A关于平面的对称点为，， 则，． 设平面的法向量，则， 令，则，，所以， 所以A与到平面的距离， 即 ①． 又，所以，即 ②． 由①②得，由可得，，， 所以， 所以， 当且仅当，，三点共线时取等号， 所以的最小值为． 故选：C. 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分. 11. 已知，，且，则_________ 【答案】## 【解析】 【分析】根据向量垂直的坐标表示，列方程求. 【详解】因为，，， 所以，解得：. 故答案为：. 12. 方程表示一个圆，则m的取值范围是 ． 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：由题表示一个圆，可得； 考点：圆的方程. 13. 双曲线的离心率为______，渐近线方程为____________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】将双曲线化成标准方程求解进而得到离心率和渐近线即可 【详解】由题，双曲线中，即，故，故离心率，渐近线方程为，即 故答案为：； 14. 已知椭圆，则此椭圆的焦距长为__________；设为的两个焦点，过的直线交椭圆于两点，若，则__________. 【答案】 ①. 8 ②. 8 【解析】 【分析】利用椭圆的定义可得，两式相加即可求解. 【详解】由椭圆方程可知：，， 则，椭圆的焦距长为； 由椭圆的定义得，， 两式相加得， 即，可得． 故答案为：8；8． 15. 已知实数a，b满足，则的最小值为___________. 【答案】5 【解析】 【分析】由题可知，表示的是直线上一点到定点，的距离之和，然后求出点N关于直线对称的点为，再根据三点共线时，最小，即最小，即可求出结果. 【详解】由题可知，表示的是直线上一点到定点，的距离之和. 如图，设点N关于直线对称的点为， 则，解得， 当三点共线时，最小，即最小 所以的最小值为. 故答案为：5. 16. 如图，正方形ABCD的边长为20米，圆O的半径为1米，圆心足正方形的中心，点P、Q分别在线段AD、CB上，若线段PQ与圆O有公共点，则称点Q在点P的“盲区”中. 已知点P以1.5米/秒的速度从A出发向D移动，同时，点Q以1米/秒的速度从C出发向B移动，则点P从A移动到D的过程中，点Q在点P的育区中的时长约为________秒（精确到0.1） 【答案】4.4 【解析】 【分析】以为坐标原点,建立适当的平面直角坐标系,求得的坐标和直线的方程,圆方程,运用点到直线的距离公式,以及直线和圆相交的条件,解不等式即可得到所求时长. 【详解】以为坐标原点,建立如图所示的直角坐标系： 由题意可设， 所以直线的方程为：， 圆方程为：， 因为直线与圆有交点， 所以，化为，解得， 所以点在点的盲区中的时长约为秒. 故答案为： 【点睛】本题考查直线和圆的方程的应用，直线和圆的位置关系,坐标法和二次不等式的解法,属于中档题. 三、解答题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 17. 如图，四棱锥的底面是正方形，侧棱底面，，E是的中点. （1）证明：平面； （2）求二面角的平面角的余弦值. 【答案】（1） 连接，交于点， 由底面是正方形，可知为的中点， 又是的中点，是的中位线， ， 又平面，平面， 平面. （2） 【解析】 【分析】（1）连接，交于点，根据中位线定理和线面平行的判定定理进行证明. （2）利用线面垂直的判定定理和性质定理及平面几何的知识，证明得到是二面角的平面角，从而计算得到结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设，， 底面，底面，， 即是直角三角形，， 又E是的中点，， 同理可得，且，，平面， 平面，， 在直角中，， ，， 又，二面角的平面角为， . 二面角的平面角的余弦值为. 18. 已知圆C的圆心是直线与直线的交点，且和直线相切，直线，直线l与圆C相交于P，Q两点． （1）求圆C的标准方程； （2）求直线l所过的定点； （3）当的面积最大时，求直线l的方程． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）依次求出圆心和半径即可得解； （2）由题意列出方程组即可求解； （3），当时，面积最大，此时为等腰直角三角形，圆心到直线l的距离，据此即可求出m. 【小问1详解】 ，圆C的圆心的圆心坐标为，且和直线相切， 所以圆C的半径为， 所以圆C的标准方程为； 【小问2详解】 由，得， 由， ∴直线l过定点； 【小问3详解】 ∵，∴当时，面积最大， 此时为等腰直角三角形，故圆心到直线l的距离， ∴，解得， ∴此时l的方程为：或. 19. 如图，正方体的棱长为2，E为的中点.点M在上. （1）求证：平面； （2）从下列三个条件中选择一个作为已知，使点M唯一确定. 求直线与平面所成角的大小，及点E到平面的距离. 条件①： 条件②： 条件③：平面 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】（1） 证明：∵是正方体， ∴平面，，即， ∵， ∴平面， 又点M在上，所以平面； （2）直线与平面所成角为；点E到平面的距离为 【解析】 【分析】（1）根据正方体的特征得到侧棱垂直于底面，即侧棱垂直于底面中的任意一条直线，对角线互相垂直平分，即可得到线面垂直； （2）分别选条件①②③，结合线面平行位置关系的判定定理和性质定理，即可得到条件①不符合题意，②③均可使点M唯一确定，再根据建立空间直角坐标系集合向量，利用向量的夹角公式求得结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 选条件①：由， 根据正方体的对称性可知，此时为上的任意一点，不符合题意； 选条件②：， 连接，在正方体中，根据平面， ∵平面，∴， 又，∴， ∵平面，∴， 又为中点，∴为中点，即此时为上确定的一点； 选条件③：平面， 连接，∵平面，平面， 且平面平面，∴， ∵为中点，∴为中点，即此时为上确定的一点； 根据题意条件①不符合题意，条件②③均可使点M唯一确定，并且可得到为中点， 根据正方体的特征建立空间直角坐标系如图所示： 则， ∴，则， 设平面法向量为， 则，令，则， ∴，即，， 设直线与平面所成角为，则， ∴直线与平面所成角为； 点E到平面的距离为. 20. 已知和为椭圆上的两点. （1）求椭圆C的方程和离心率； （2）设直线与椭圆C交于A、B两点，求三角形AOB面积的取值范围. 【答案】（1），； （2） 【解析】 【分析】（1）利用，两点坐标，求出，再利用求出，进而得到椭圆方程与离心率； （2）联立椭圆方程与直线方程，求出AB弦长，再求出点O到AB的距离，求出三角形AOB面积，研究该函数的最值即可. 【小问1详解】 解：和为椭圆上的两点， 所以，解之得，，又因为，所以. 所以椭圆C的方程为，离心率. 【小问2详解】 解：联立方程，消去得， 因为， 所以设交点，，则，， 所以 . 又因为点到直线的距离为， 所以三角形AOB面积 令， 则 （当且仅当即时，等号成立）， 也就是当时，三角形AOB面积取最大值 又因为当时，， 所以三角形AOB面积的取值范围是. 21. 设有限集合，对于集合，给出两个性质： ①对于集合A中任意一个元素，当时，在集合A中存在元素，使得，则称A为的封闭子集； ②对于集合A中任意两个元素，都有，则称A为的开放子集. （1）若，集合，判断集合为的封闭子集还是开放子集；（直接写出结论） （2）若，且集合A为的封闭子集，求的最小值； （3）若，且为奇数，集合A为的开放子集，求的最大值. 【答案】（1）A为的封闭子集，B为E的开放子集 （2）9 （3） 【解析】 【分析】（1）利用封闭子集，开放子集定义可得答案； （2），设，因集合A中任意一个元素，当时，在集合A中存在元素，使得，则，其中.据此可得，得，后排除8，再说明9符合题意即可； （3）因，且为奇数，当时，得；当，将里面的奇数组成集合A，说明集合A为E开放子集，且为最大值即可. 【小问1详解】 对于A，因， 且，则A为E的封闭子集； 对于B，由题可得，注意到其中任意两个元素相加之和都不在B中， 任意元素也不是其他两个元素之和，且，故B为E的开放子集； 【小问2详解】 由题：， 设. 因集合A中任意一个元素，当时，在集合A中存在元素， 使得，则，其中. 得，，， .因，则. 若，则，则在A中存在元素，使它们的和为. 又，则当时，， 得，则在A中存在元素，使它们的和为. 又当时，，得， 则在A中存在元素，使它们的和为.注意到奇数， 且，故不存在元素， 使，这与集合A为的封闭子集矛盾，故. 当，取，易得其符合的封闭子集的定义，故的最小值为9； 【小问3详解】 因，且为奇数，当时，得； 当，将里面的奇数组成集合A，则， 因A中每个元素都是奇数，而任意两个奇数之和为偶数，且， 则A为E开放子集，此时集合A元素个数为.下面说明为最大值. 时，显然成立；当，若， 则中至少有一个属于的偶数， 设为，则，得为属于集合中的奇数， 这与E开放子集的定义矛盾，故. 综上，的最大值为. 【点睛】关键点点睛：本题考查集合新定义，难度较大. （1）问主要考查对于定义的理解；（2）问从定义出发，得到，得，继而结合定义分析出；（3）问，由任意两个奇数之和为偶数可构造出集合A. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市第八十中学2024~2025学年第一学期期中考试 高（二）数学 2024年10月 （考试时间120分钟 满分150分） 提示：试卷答案请一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效. 在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他试题用黑色签字笔作答. 一、选择题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 2. 圆：与圆：的位置关系为（ ） A. 相交 B. 相离 C. 外切 D. 内切 3. 双曲线的焦点坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 下列命题中，正确的是（ ）. A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 5. 两平行直线与之间的距离为（ ） A. B. C. 0 D. 6. 已知椭圆的方程为，则此椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 7. 若构成空间的一个基底，则下列向量可以构成空间的另一个基底的是（ ） A. B. C. D. 8. 设，直线，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 9. 已知直线与曲线有且只有一个公共点，则实数的范围是（ ） A. B. 或 C. 或 D. 10. 如图，在直三棱柱中，，，是线段的中点，在内有一动点（包括边界），则的最小值是（ ）． A. B. C. D. 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分. 11. 已知，，且，则_________ 12. 方程表示一个圆，则m的取值范围是 ． 13. 双曲线的离心率为______，渐近线方程为____________． 14. 已知椭圆，则此椭圆的焦距长为__________；设为的两个焦点，过的直线交椭圆于两点，若，则__________. 15. 已知实数a，b满足，则的最小值为___________. 16. 如图，正方形ABCD的边长为20米，圆O的半径为1米，圆心足正方形的中心，点P、Q分别在线段AD、CB上，若线段PQ与圆O有公共点，则称点Q在点P的“盲区”中. 已知点P以1.5米/秒的速度从A出发向D移动，同时，点Q以1米/秒的速度从C出发向B移动，则点P从A移动到D的过程中，点Q在点P的育区中的时长约为________秒（精确到0.1） 三、解答题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 17. 如图，四棱锥的底面是正方形，侧棱底面，，E是的中点. （1）证明：平面； （2）求二面角的平面角的余弦值. 18. 已知圆C的圆心是直线与直线的交点，且和直线相切，直线，直线l与圆C相交于P，Q两点． （1）求圆C的标准方程； （2）求直线l所过的定点； （3）当的面积最大时，求直线l的方程． 19. 如图，正方体的棱长为2，E为的中点.点M在上. （1）求证：平面； （2）从下列三个条件中选择一个作为已知，使点M唯一确定. 求直线与平面所成角的大小，及点E到平面的距离. 条件①： 条件②： 条件③：平面 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 20. 已知和为椭圆上的两点. （1）求椭圆C的方程和离心率； （2）设直线与椭圆C交于A、B两点，求三角形AOB面积的取值范围. 21. 设有限集合，对于集合，给出两个性质： ①对于集合A中任意一个元素，当时，在集合A中存在元素，使得，则称A为的封闭子集； ②对于集合A中任意两个元素，都有，则称A为的开放子集. （1）若，集合，判断集合为的封闭子集还是开放子集；（直接写出结论） （2）若，且集合A为的封闭子集，求的最小值； （3）若，且为奇数，集合A为的开放子集，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $