浙江省金华市义乌市宾王学校教育集团2024-2025学年九年级上学期期中数学试卷

2024-2025学年浙江省金华市义乌市宾王学校教育集团九年级（上）期中数学试卷 一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分） 1．（3分）投掷4次硬币，有3次反面朝上，1次正面朝上，那么，投掷第5次硬币正面朝上的可能性是（　　） A． B． C． D． 2．（3分）已知⊙O的半径为4，点P在⊙O内，则OP的长可能是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 3．（3分）抛物线y＝﹣x2+1的对称轴是（　　） A．y轴 B．直线x＝﹣1 C．直线x＝1 D．直线x＝2 4．（3分）如图，在三角形纸片ABC中，AB＝9，AC＝6，BC＝12，沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC相似的是（　　） A． B． C． D． 5．（3分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB交于点E．若CD＝8，AE＝2，则⊙O的半径为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 6．（3分）如图，AB是⊙O的直径，点C在圆上，将沿AC翻折与AB交于点D．若OA＝3cm，的度数为30°，则＝（　　）° A．100 B．120 C．60 D．30 7．（3分）点P，点Q是线段AB的黄金分割点，若AB＝2，则PQ长度是（　　） A．1 B． C． D． 8．（3分）如图，Rt△ABC中，∠B＝90°，点D在边AC上，DE⊥BC于点E，点F在边AB上，连结DF，FC，已知AF•EC的值，则可求得以下哪个图形的面积（　　） A．△AFD B．△DFC C．△DEC D．△BFC 9．（3分）已知二次函数y＝a（x﹣2）2﹣a（a≠0），当﹣1≤x≤4时，y的最小值为﹣2，则a的值为（　　） A．1/2或4 B．2或﹣ C．﹣或2 D．﹣ 10．（3分）如图，已知⊙O中，直径AF⊥BC于点H，点D在AB上，且∠ACD＝30°，过点A作AE⊥CD于点E，已知△BCD的周长为，且BH＝3，则⊙O的半径长为（　　） A． B． C． D． 二、填空题（本大题有6个小题，每小题3分，共18分） 11．（3分）已知，则＝ 　 　． 12．（3分）在一个不透明的袋中装有40个红、黄、蓝三种颜色的球，除颜色外其他都相同，佳佳和琪琪通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.2左右，则袋中红球大约有 　 　． 13．（3分）在直角平面坐标系中，二次函数y＝ax2﹣2ax+b（a，b为常数，a≠0），当x≤1，y≤0，点（2，m），（3，n）在函数图象上，则＝　 　． 14．（3分）如图所示，在矩形ABCD中，AB＝10cm，AD＝20cm，两只小虫P和Q同时分别从A，B出发沿AB、BC向终点B，C方向前进，小虫P每秒走1cm，小虫Q每秒走2cm，它们同时出发t秒时，使△PBQ～△CBA，则t＝ 　 　秒． 15．（3分）在⊙O中，AB和CD是两条平行弦，AB、CD所对的圆心角分别为120°和60°，圆O的半径为6cm，则AB、CD之间的距离是　 　． 16．（3分）在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，E是BC的中点，连接AE，过点D作DF⊥AE于点F． （1）线段DF的长为 　 　； （2）连接AC，若AC交DF于点M，则＝　 　． 三、解答题（本大题有8个小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤） 17．一个二次函数，其图象由抛物线y＝x2向右平移1个单位所得． （1）写出平移后的抛物线的函数表达式； （2）若将（1）中的抛物线再向上平移k（k＞0）个单位后经过（2，1），求k的值． 18．一个不透明的口袋里装着分别标有数字﹣3，﹣1，0，2的四个小球，除数字不同外，小球没有任何区别，每次实验时把小球搅匀． （1）从中任取一球，求所抽取的数字恰好为负数的概率为 　 　； （2）从中任取一球，记下球上的数字，然后把小球放回；再任取一球，记下球上的数字，请用画树状图（或列表法）的方法，求出两球上的两数之积为非负数的概率． 19．如图，由小正方形构成的6×6网格，每个小正方形的顶点叫做格点．⊙O经过A，B，C三个格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中按要求画图．（保留作图痕迹） （1）在图①中的圆上找一点D，使∠ADC＝Rt∠； （2）在图②中的圆上找一点E，使OE平分弧BC； （3）在图③中的圆上找一点F，使BF平分∠ABC． 20．如图，四边形ABCD为平行四边形，E为边AD上一点，连接AC、BE，它们相交于点F，且∠ACB＝∠ABE． （1）求证：AE2＝EF•BE； （2）若AE＝2，EF＝1，CF＝4，求AB的长． 21．已知二次函数：y＝﹣x2+（k﹣2）x+3（k+1）（k是实数）． （1）若k＝1，求抛物线与x轴的交点坐标． （2）抛物线与直线y＝2x﹣k经过x轴上同一点，求k的值． （3）当2k﹣3＜x＜2k+3时，函数y的值随x的增大而增大，求k的取值范围． 22．如图，BC是⊙O的直径，点A在⊙O上，AD⊥BC，垂足为D，，BE分别交AD，AC于点F，G． （1）若弧AE的度数为52°，求∠C的度数． （2）求证：FA＝FG； （3）求证：△ABF∽△BAE． 23．【问题发现】 （1）如图1，在等腰直角△ABC中，点D是斜边BC上任意一点，在AD的右侧作等腰直角△ADE，使∠DAE＝90°，AD＝AE，连接CE，则∠ABC和∠ACE的数量关系为 　 　； 【拓展延伸】 （2）如图2，在等腰△ABC中，AB＝BC，点D是BC边上任意一点（不与点B，C重合），在AD的右侧作等腰△ADE，使AD＝DE，∠ABC＝∠ADE，连接CE，则（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由； 【归纳应用】 （3）在（2）的条件下，若AB＝BC＝6，AC＝4，点D是射线BC上任意一点，请直接写出当CD＝3时CE的长． 24．如图，△ABC内接于圆O，连接OB． （1）如图1，求证：∠OBC+∠A＝90°； （2）如图2，CD⊥AB于D交圆O于E，OH⊥BC于H，求证：AE＝2OH； （3）如图3，在（2）的条件下，若OC平分∠BCE，延长CO交AB于P，AD＝3，BD＝8，求OP长． 2024-2025学年浙江省金华市义乌市宾王学校教育集团九年级（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分） 1．（3分）投掷4次硬币，有3次反面朝上，1次正面朝上，那么，投掷第5次硬币正面朝上的可能性是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据硬币正面朝上，反面朝上的可能性相等即可求解． 【解答】解：投掷4次硬币，有3次反面朝上，1次正面朝上，那么，投掷第5次硬币正面朝上的可能性是． 故选：B． 【点评】考查了可能性的大小，用到的知识点为：可能性等于所求情况数与总情况数之比． 2．（3分）已知⊙O的半径为4，点P在⊙O内，则OP的长可能是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【分析】根据点在圆内，点到圆心的距离小于圆的半径进行判断． 【解答】解：∵⊙O的半径为4，点P在⊙O内， ∴OP＜4． 故选：A． 【点评】本题考查了点与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：点P在圆外⇔d＞r；点P在圆上⇔d＝r；点P在圆内⇔d＜r． 3．（3分）抛物线y＝﹣x2+1的对称轴是（　　） A．y轴 B．直线x＝﹣1 C．直线x＝1 D．直线x＝2 【分析】二次函数y＝ax2+k（a≠0）的对称轴是，据此即可作答． 【解答】解：抛物线y＝﹣x2+1的对称轴是， ∴抛物线y＝﹣x2+1的对称轴是y轴， 故选：A． 【点评】本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握性质是关键． 4．（3分）如图，在三角形纸片ABC中，AB＝9，AC＝6，BC＝12，沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC相似的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据相似三角形的判定分别进行判断即可得出答案即可． 【解答】解：在三角形纸片ABC中，AB＝9，AC＝6，BC＝12， A．因为，对应边，， 所以沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似， 故此选项不符合题意； B．因为，对应边，又∠A＝∠A， 所以沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC相似， 故此选项符合题意； C．因为，对应边， 即：， 所以沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似， 故此选项不符合题意； D．因为，对应边，， 所以沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似， 故此选项不符合题意； 故选：B． 【点评】此题主要考查了相似三角形的判定，正确利用相似三角形两边比值相等且夹角相等的两三角形相似是解题的关键． 5．（3分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB交于点E．若CD＝8，AE＝2，则⊙O的半径为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【分析】连接OC，设⊙O的半径为R，则OE＝R﹣2，根据垂径定理得出CE＝DE＝4，根据勾股定理得出OC2＝CE2+OE2即可作答． 【解答】解：连接OC， 设⊙O的半径为R，则OE＝R﹣2， ∵CD⊥AB，AB过圆心O， ∴∠OEC＝90°，CE＝DE＝4， 由勾股定理得：OC2＝CE2+OE2， 即R2＝42+（R﹣2）2， 解得：R＝5， 即⊙O的半径长是5， 故选：C． 【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理，能熟记垂直于弦的直径平分这条弦是解此题的关键． 6．（3分）如图，AB是⊙O的直径，点C在圆上，将沿AC翻折与AB交于点D．若OA＝3cm，的度数为30°，则＝（　　）° A．100 B．120 C．60 D．30 【分析】作D关于AC的对称点E，连接AE，BE，OE，则，然后再根据的度数为30°知∠CAB＝15°，然后再根据圆周角定理、邻补角性质可得∠AOE＝180°﹣60°＝120°，即可解答． 【解答】解：如图，作D关于AC的对称点E，连接AE，BE，OE， ∵的度数为30°， ∴∠CAB＝15°， ∴∠EAB＝2∠CAB＝30°， ∴∠EOB＝2∠EAB＝60°， ∴∠AOE＝180°﹣60°＝120°， ∴的度数为120°． 故选：B． 【点评】本题主要考查了翻折变换的性质、圆周角定理、圆心角、弧、弦的关系等知识点，作辅助线是解答本题的关键． 7．（3分）点P，点Q是线段AB的黄金分割点，若AB＝2，则PQ长度是（　　） A．1 B． C． D． 【分析】根据黄金分割的定义进行计算，即可解答． 【解答】解：如图： ∵点P，点Q是线段AB的黄金分割点，AB＝2， ∴＝＝， ∴AQ＝BP＝﹣1， ∴PQ＝AQ+BP﹣AB＝﹣1+﹣1﹣2＝2﹣4， 故选：C． 【点评】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键． 8．（3分）如图，Rt△ABC中，∠B＝90°，点D在边AC上，DE⊥BC于点E，点F在边AB上，连结DF，FC，已知AF•EC的值，则可求得以下哪个图形的面积（　　） A．△AFD B．△DFC C．△DEC D．△BFC 【分析】设BF＝a，BE＝b，AF＝x，EC＝y，则可表示出则S△ABC，S△AFD，S△DFC，S△BFC，再证明△CDE∽△CAB，根据相似三角形的性质表示出，即可表示出S△DEC，根据已知AF•EC的值，即已知xy，即可判断． 【解答】解：如图， 设BF＝a，BE＝b，AF＝x，EC＝y， 则， ， ， ， ∵∠B＝90°，DE⊥BC， ∴DE∥AB， ∴△CDE∽△CAB， ∴， ∴， ∴， 若已知AF•EC的值，即已知xy， 即只可求出S△DFC， 故选：B． 【点评】该题主要考查了相似三角形的性质和判定，三角形面积计算等知识点，解题的关键是表示出选项中的四个三角形的面积． 9．（3分）已知二次函数y＝a（x﹣2）2﹣a（a≠0），当﹣1≤x≤4时，y的最小值为﹣2，则a的值为（　　） A．1/2或4 B．2或﹣ C．﹣或2 D．﹣ 【分析】根据表达式求出对称轴，对a的正负进行分类讨论，求出每种情况的最小值即可． 【解答】解：由题意得，y＝a（x﹣2）2﹣a的对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，﹣a）， ①当a＞0时，在﹣1≤x≤4， ∵y的最小值为﹣2， ∴﹣a＝﹣2， ∴a＝2； ②当a＜0时，在﹣1≤x≤4， ∴当x＝﹣1时函数有最小值， ∴a（﹣1﹣2）2﹣a＝﹣2， 解得a＝﹣； 综上所述：a的值为2或﹣． 故选：B． 【点评】本题主要考查了二次函数的性质、二次函数的最值，对a的分类讨论是本题的解题关键． 10．（3分）如图，已知⊙O中，直径AF⊥BC于点H，点D在AB上，且∠ACD＝30°，过点A作AE⊥CD于点E，已知△BCD的周长为，且BH＝3，则⊙O的半径长为（　　） A． B． C． D． 【分析】设AF与CD交于点G，延长CD至T，使DT＝BD，连接BG，AT，BT，OC，可推出∠ABG＝∠ACG＝30°，∠BTD＝∠BAG，从而得出点T、B、G、A共圆，从而得出∠ATG＝∠ABG＝30°，从而得出△ATC是等腰三角形，进而求得AC，然后在Rt△COH中求得半径． 【解答】解：如图， 设AF与CD交于点G，延长CD至T，使DT＝BD，连接BG，AT，BT，OC， ∴∠DBT＝∠DTB， ∴∠BDC＝∠BAC， ∵直径AF⊥BC， ∴CH＝BH＝3， ∴AB＝AC，GB＝GC， ∴∠BAH＝∠CAH＝∠BAC，∠ABC＝∠ACB，∠GBC＝∠GCB， ∴∠ABC﹣∠GBC＝∠ACB﹣∠GCB， ∴∠ABG＝∠ACG＝30°， ∵∠BDC＝∠DTB+∠DBT＝2∠BTD， ∴∠BTD＝∠BAH， ∴点T、B、G、A共圆， ∴∠ATG＝∠ABG＝30°， ∴∠ATG＝∠ABE＝30°， ∴AC＝AT， ∵AE⊥CD， ∴CE＝ET＝CT， ∵△BCD的周长为，BC＝6， ∴CD+BD＝9， ∴CT＝TD+CD＝9， ∴CE＝， 在Rt△ACE中，∠ABE＝30°，CE＝， ∴AC＝＝9， ∴AH＝＝6， 设OA＝OC＝r，则OH＝AH﹣OA＝6﹣r， ∵OC2﹣OH2＝CH2， ∴r2﹣（6﹣r）2＝32， ∴r＝， 故选：B． 【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质，圆周角定理，确定圆的条件，勾股定理，解直角三角形等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造整体以及发现特殊性． 二、填空题（本大题有6个小题，每小题3分，共18分） 11．（3分）已知，则＝ 　2　． 【分析】根据比例的基本性质，可分别设出a和b，再代入进行计算即可得出结果． 【解答】解：∵＝， ∴设a＝2k，b＝3k， ∴＝＝＝2． 故答案为：2． 【点评】此题考查了比例的性质，关键是已知几个量的比值时，常用的解法是：设一个未知数，把题目中的几个量用所设的未知数表示出来，实现约分． 12．（3分）在一个不透明的袋中装有40个红、黄、蓝三种颜色的球，除颜色外其他都相同，佳佳和琪琪通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.2左右，则袋中红球大约有 　8个　． 【分析】同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，设出未知数列出方程求解． 【解答】解：设袋中红球大约有x个， 由题意知：＝0.2， 解得x＝8， 故答案为：8个． 【点评】本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是利用红球的概率公式列方程求解得到红球的个数． 13．（3分）在直角平面坐标系中，二次函数y＝ax2﹣2ax+b（a，b为常数，a≠0），当x≤1，y≤0，点（2，m），（3，n）在函数图象上，则＝　4　． 【分析】先根据解析式求出函数的对称轴，再根据x≤1，y≤0判断出抛物线开口向下，最大值等于0，得出a＝b，再求出m，n的值即可． 【解答】解：二次函数的对称轴为x＝﹣＝1， ∵x≤1，y≤0， ∴二次函数的图象开口向下，最大值为0， ∴a﹣2a+b＝0， ∴a＝b， ∴m＝4a﹣4a+b＝b＝a，n＝9a﹣6a+b＝4a， ∴＝＝4， 故答案为：4． 【点评】本题考查抛物线与x轴的交点以及二次函数的性质，关键是对二次函数性质的掌握． 14．（3分）如图所示，在矩形ABCD中，AB＝10cm，AD＝20cm，两只小虫P和Q同时分别从A，B出发沿AB、BC向终点B，C方向前进，小虫P每秒走1cm，小虫Q每秒走2cm，它们同时出发t秒时，使△PBQ～△CBA，则t＝ 　2　秒． 【分析】依据题意，先设经x秒后，△PBQ∽△CBA，应用相似三角形的对应边成比例可得＝，再将相应的数据代入比例式，即可求出x的值． 【解答】解：由题意，设经x秒后，△PBQ∽△CBA， 由于∠PBQ＝∠ABC＝90°， ∴＝， ∴． ∴x＝2． 故经过2秒时，△PBQ∽△CBA． 故答案为：2． 【点评】本题主要考查了相似三角形的判定及矩形的性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用相似三角形的性质是关键． 15．（3分）在⊙O中，AB和CD是两条平行弦，AB、CD所对的圆心角分别为120°和60°，圆O的半径为6cm，则AB、CD之间的距离是　（3+3）cm或（3﹣3）cm　． 【分析】根据题意画出符合条件的两种情况，求出OE和OF的值，即可求出EF的长． 【解答】解：分为两种情况： ①如图1，过O作OE⊥CD于E，延长EO交AB于F， ∵AB∥CD， ∴EF⊥AB， ∵CO＝DO＝6cm，∠COD＝60°， ∴CE＝DE＝3cm，∠OE⊥CD， ∴在Rt△CEO中，由勾股定理得：EO＝＝3（cm）， ∵AO＝BO，∠AOB＝120°，EF⊥AB， ∴∠A＝∠B＝30°，∠AFO＝90°， ∴OF＝AO＝3cm， ∴EF＝OE+OF＝（3+3）cm ②如图2，EF＝OE﹣OF＝（3﹣3）cm， 故答案为：（3+3）cm或（3﹣3）cm． 【点评】本题考查了等腰三角形性质，三角形的内角和定理，勾股定理，等边三角形的性质，垂径定理的应用，主要考查学生的推理和计算能力，用了分类讨论思想． 16．（3分）在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，E是BC的中点，连接AE，过点D作DF⊥AE于点F． （1）线段DF的长为 　　； （2）连接AC，若AC交DF于点M，则＝　　． 【分析】（1）利用三角形面积相等，列出等式，求解即可； （2）延长DF交CB的延长线于K，利用相似三角形的性质求出KE，再利用平行线分线段成比例定理求解即可． 【解答】解：（1）根据题意，画出图： ∵AB＝4，AD＝6，BE＝＝3， ∴AE＝5， ∴S△ADE＝＝，S△ADE＝＝12， ∴DF＝； 故答案为：； （2）若AC交DF于点M，延长DF交BC延长线于点K，如图所示： 在Rt△AFD中， AF＝＝＝， EF＝AE﹣AF＝5﹣＝， ∵∠KEF＝∠AEB，∠EFK＝∠ABE＝90°， ∴△KEF∽△AEB， ∴， ∴ ∴KE＝， ∴CK＝KE+EC＝+3＝， ∵AD∥CK， ∴＝． 【点评】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，平行线分线段成比例定理，解题关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 三、解答题（本大题有8个小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤） 17．一个二次函数，其图象由抛物线y＝x2向右平移1个单位所得． （1）写出平移后的抛物线的函数表达式； （2）若将（1）中的抛物线再向上平移k（k＞0）个单位后经过（2，1），求k的值． 【分析】（1）根据抛物线平移规律：左加右减，上加下减可得答案． （2）抛物线y＝（x﹣1）2向上平移k个单位后，得y＝（x﹣1）2+k，将（2，1）代入计算即可． 【解答】解：（1）由题意得，平移后的抛物线的函数表达式为y＝（x﹣1）2． （2）将抛物线y＝（x﹣1）2向上平移k个单位后，得y＝（x﹣1）2+k， 将（2，1）代入y＝（x﹣1）2+k， 得＝1， 解得k＝． 【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征、二次函数图象与几何变换，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 18．一个不透明的口袋里装着分别标有数字﹣3，﹣1，0，2的四个小球，除数字不同外，小球没有任何区别，每次实验时把小球搅匀． （1）从中任取一球，求所抽取的数字恰好为负数的概率为 　　； （2）从中任取一球，记下球上的数字，然后把小球放回；再任取一球，记下球上的数字，请用画树状图（或列表法）的方法，求出两球上的两数之积为非负数的概率． 【分析】（1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中所抽取的数字恰好为负数的结果有2种，利用概率公式可得答案． （2）列表可得出所有等可能的结果数以及两球上的两数之积为非负数的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【解答】解：（1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中所抽取的数字恰好为负数的结果有2种， ∴所抽取的数字恰好为负数的概率为． 故答案为：． （2）列表如下： ﹣3 ﹣1 0 2 ﹣3 （﹣3，﹣3） （﹣3，﹣1） （﹣3，0） （﹣3，2） ﹣1 （﹣1，﹣3） （﹣1，﹣1） （﹣1，0） （﹣1，2） 0 （0，﹣3） （0，﹣1） （0，0） （0，2） 2 （2，﹣3） （2，﹣1） （2，0） （2，2） 共有16种等可能的结果，其中两球上的两数之积为非负数的结果有：（﹣3，﹣3），（﹣3，﹣1），（﹣3，0），（﹣1，﹣3），（﹣1，﹣1），（﹣1，0），（0，﹣3），（0，﹣1），（0，0），（0，2），（2，0），（2，2），共12种， ∴两球上的两数之积为非负数的概率为＝． 【点评】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 19．如图，由小正方形构成的6×6网格，每个小正方形的顶点叫做格点．⊙O经过A，B，C三个格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中按要求画图．（保留作图痕迹） （1）在图①中的圆上找一点D，使∠ADC＝Rt∠； （2）在图②中的圆上找一点E，使OE平分弧BC； （3）在图③中的圆上找一点F，使BF平分∠ABC． 【分析】（1）根据网格即可在图①中的圆上找一点D，使∠ADC＝Rt∠； （2）根据网格即可在图②中的圆上找一点E，使OE平分弧BC； （3）根据网格即可在图①中的圆上找一点F，使BF平分∠ABC． 【解答】解：（1）如图①，点D即为所求，使∠ADC＝Rt∠； （2）如图②，点E即为所求，使OE平分弧BC； （3）如图③，点F即为所求，使BF平分∠ABC． 【点评】本题考查作图﹣应用与设计，垂径定理，圆周角定理，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 20．如图，四边形ABCD为平行四边形，E为边AD上一点，连接AC、BE，它们相交于点F，且∠ACB＝∠ABE． （1）求证：AE2＝EF•BE； （2）若AE＝2，EF＝1，CF＝4，求AB的长． 【分析】（1）利用平行四边形的性质得到AD∥BC，则∠DAC＝∠ACB，然后证明△EAF∽△EBA，则利用相似三角形的性质得到结论； （2）先利用AE2＝EF•BE计算出BE＝4，则BF＝3，再由AE∥BC，利用平行线分线段成比例定理计算出AF＝，然后利用△EAF∽△EBA，根据相似比求出AB的长． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠DAC＝∠ACB， ∵∠ACB＝∠ABE， ∴∠DAC＝∠ABE， ∵∠EAF＝∠EBA，∠AEF＝∠BEA， ∴△EAF∽△EBA， ∴EA：EB＝EF：EA， ∴AE2＝EF•BE； （2）∵AE2＝EF•BE， ∴BE＝＝4， ∴BF＝BE﹣EF＝4﹣1＝3， ∵AE∥BC， ∴＝，即＝，解得AF＝， ∵△EAF∽△EBA， ∴＝，即＝， ∴AB＝． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形，灵活运用相似三角形的性质表示线段之间的关系．也考查了平行四边形的性质． 21．已知二次函数：y＝﹣x2+（k﹣2）x+3（k+1）（k是实数）． （1）若k＝1，求抛物线与x轴的交点坐标． （2）抛物线与直线y＝2x﹣k经过x轴上同一点，求k的值． （3）当2k﹣3＜x＜2k+3时，函数y的值随x的增大而增大，求k的取值范围． 【分析】（1）转化为方程即可求解； （2）由y＝2x﹣k得，当y＝0时，x＝k，直线在x轴的交点坐标为（，0），代入即可求解； （3）当2k﹣3＜x＜2k+3时，函数y的值随x的增大而增大，则2k+3≤，即可求解． 【解答】解：（1）当k＝1时，y＝﹣x2﹣x+6， 令y＝0，则﹣x2﹣x+6＝0， 解得：x1＝﹣3，x2＝2， ∴抛物线与x轴的交点为（﹣3，0），（2，0）； （2）由y＝2x﹣k得，当y＝0时，x＝， ∴抛物线与直线在x轴的交点坐标为（，0）， ∴﹣（）2+（k﹣2）×+3（k+1）＝0，整理得：k2+8k+12＝0， 解得：k＝﹣2或k＝﹣6； （3）由抛物线的表达式知，其对称轴为直线x＝， 当2k﹣3＜x＜2k+3时，函数y的值随x的增大而增大， 则2k+3≤， 解得：k≤﹣． 【点评】此题考查了二次函数的图象上点的坐标特征，二次函数的最值，二次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，抛物线与x轴的交点，一次函数图象与系数的关系，解题的关键是熟练掌握图象及性质的应用． 22．如图，BC是⊙O的直径，点A在⊙O上，AD⊥BC，垂足为D，，BE分别交AD，AC于点F，G． （1）若弧AE的度数为52°，求∠C的度数． （2）求证：FA＝FG； （3）求证：△ABF∽△BAE． 【分析】（1）根据已知条件得到弧AB的度数为52°，求得∠AOB＝52°，于是得到∠C＝∠AOB＝26°； （2）根据圆周角定理得到∠BAC＝90°，求得∠C＝∠ABE，得到∠AGB＝∠CAD，根据等腰三角形的判定定理得到FA＝FG； （3）根据圆周角定理得到∠BAC＝90°，求得∠C+∠ABC＝90°，推出∠BAD＝∠C，根据相似三角形的判定定理得到结论． 【解答】（1）解：∵＝，弧AE的度数为52°， ∴弧AB的度数为52°， ∴∠AOB＝52°， ∴∠C＝∠AOB＝26°； （2）证明：∵BC 是⊙O 的直径， ∴∠BAC＝90°， ∴∠ABE+∠AGB＝90°； ∵AD⊥BC， ∴∠C+∠CAD＝90°； ∵＝， ∴∠C＝∠ABE， ∴∠AGB＝∠CAD， ∴FA＝FG； （3）证明：∵BC是⊙O的直径， ∴∠BAC＝90°， ∴∠C+∠ABC＝90°， ∵AD⊥BC， ∴∠ADB＝90°， ∴∠ABD+∠BAD＝90°， ∴∠BAD＝∠C， ∵∠C＝∠E， ∴∠BAD＝∠E， ∵∠ABF＝∠EBA， ∴△ABF∽△BAE． 【点评】本题考查了相似三角形的判定，圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 23．【问题发现】 （1）如图1，在等腰直角△ABC中，点D是斜边BC上任意一点，在AD的右侧作等腰直角△ADE，使∠DAE＝90°，AD＝AE，连接CE，则∠ABC和∠ACE的数量关系为 　相等　； 【拓展延伸】 （2）如图2，在等腰△ABC中，AB＝BC，点D是BC边上任意一点（不与点B，C重合），在AD的右侧作等腰△ADE，使AD＝DE，∠ABC＝∠ADE，连接CE，则（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由； 【归纳应用】 （3）在（2）的条件下，若AB＝BC＝6，AC＝4，点D是射线BC上任意一点，请直接写出当CD＝3时CE的长． 【分析】（1）利用SAS证明△ABD≌△ACE，得BD＝CE； （2）根据等腰三角形的性质得到∠BAC＝∠ACB＝（180°﹣∠ABC），∠DAE＝∠DEA＝（180°﹣∠ADE），根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论； （3）如图3，根据等腰三角形的性质得到∠BAC＝∠ACB＝（180°﹣∠ABC），∠DAE＝∠DEA＝（180°﹣∠ADE），根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【解答】解：（1）相等，∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形， ∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°， ∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC， 即∠BAD＝∠CAE， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴∠ABC＝∠ACE， 故答案为：相等； （2）成立， 理由：∵AB＝BC， ∴∠BAC＝∠ACB＝（180°﹣∠ABC）， ∵AD＝DE， ∴∠DAE＝∠DEA＝（180°﹣∠ADE）， ∵∠ABC＝∠ADE， ∴∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAD＝∠CAE，△ABC∽△ADE， ∴， ∴△ABD∽△ACE， ∴∠ABC＝∠ACE； （3）如图2，∵AB＝BC， ∴∠BAC＝∠ACB＝（180°﹣∠ABC）， ∵AD＝DE， ∴∠DAE＝∠DEA＝（180°﹣∠ADE）， ∵∠ABC＝∠ADE， ∴∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAD＝∠CAE，△ABC∽△ADE， ∴， ∴△ABD∽△ACE， ∴＝， ∵AB＝BC＝6，AC＝4，CD＝3， ∴＝， ∴CE＝2． 如图3，∵AB＝BC， ∴∠BAC＝∠ACB＝（180°﹣∠ABC）， ∵AD＝DE， ∴∠DAE＝∠DEA＝（180°﹣∠ADE）， ∵∠ABC＝∠ADE， ∴∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAD＝∠CAE，△ABC∽△ADE， ∴， ∴△ABD∽△ACE， ∴＝， ∵AB＝BC＝6，AC＝4，CD＝3， ∴＝， ∴CE＝6． 综上所述，CE为2或6． 【点评】本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，熟练证明△ABD∽△ACE是解题的关键． 24．如图，△ABC内接于圆O，连接OB． （1）如图1，求证：∠OBC+∠A＝90°； （2）如图2，CD⊥AB于D交圆O于E，OH⊥BC于H，求证：AE＝2OH； （3）如图3，在（2）的条件下，若OC平分∠BCE，延长CO交AB于P，AD＝3，BD＝8，求OP长． 【分析】（1）延长BO，交⊙O于点D，连接CD，利用圆周角定理和直角三角形的性质解答即可； （2）作直径BF，连接CF，利用垂径定理和三角形的中位线定理得到FC＝2OH；再利用圆周角定理，直角三角形的性质和（1）的结论得到，则FC＝AE，结论可得； （3）过点P作PM⊥BC于点M，过点O作ON⊥PM于点N，连接OB，利用矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质得到PD＝AD＝3，利用勾股定理得到BM，设CD＝CD＝x，则BC＝x+4，利用勾股定理求得x值，再利用垂径定理和勾股定理解答即可得出结论． 【解答】（1）证明：延长BO，交⊙O于点D，连接CD，如图， 则BD为⊙O的直径， ∴∠BCD＝90°， ∴∠OBC+∠D＝90°． ∵∠D＝∠A， ∴∠OBC+∠A＝90°； （2）证明：作直径BF，连接CF，如图， ∵OH⊥BC， ∴BH＝HC， ∵BF为⊙O的直径， ∴∠BCF＝90°， ∴FC⊥BC， ∵OH⊥BC， ∴OH∥CF， ∴OH为△BCF的中位线， ∴FC＝2OH． 由（1）知：∠OBC+∠BAC＝90°， ∵CD⊥AB， ∴∠ADC＝90°， ∴∠BAC+∠ACD＝90°， ∴∠OBC＝∠ACD， ∴， ∴AE＝FC， ∴AE＝2OH； （3）解：过点P作PM⊥BC于点M，过点O作ON⊥PM于点N，连接OB，如图， ∵PM⊥BC，ON⊥PM，OH⊥BC， ∴四边形ONMH为矩形， ∴ON＝MH，MN＝OH． ∵OC平分∠BCE， ∴∠BCP＝∠DCP． 在△PMC和△PDC中， ， ∴△PMC≌△PDC（AAS）， ∴CM＝CD，PM＝PD． ∵OB＝OC， ∴∠OBC＝∠OCB， 由（2）知：∠OBC＝∠ACD， ∴∠ACD＝∠OCB＝∠PCD． 在△PDC和△ADC中， ， ∴△PDC≌△ADC（ASA）， ∴PD＝AD＝3， ∴PM＝PD＝3，PB＝BD﹣PD＝5， ∴BM＝＝4， 设CD＝CD＝x，则BC＝x+4， ∵CD2+BD2＝BC2， ∴x2+82＝（x+4）2， ∴x＝6， ∴BC＝10． ∵OH⊥BC， ∴BH＝CH＝5， ∴ON＝MH＝BH﹣BM＝1． ∵PM⊥BC，OH⊥BC， ∴OH∥PM， ∴△COH∽△CPM， ∴， ∴， ∴OH＝， ∴MN＝OH＝， ∴PN＝PM﹣MN＝． ∴OP＝＝＝． 【点评】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理，直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，角平分线的定义，勾股定理，三角形的中位线定理，矩形的判定与性质，作出圆的直径构造直角三角形是解题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$