江苏省九年级数学上学期期中押题试卷01（测试范围：苏科版九上全部内容）-2024-2025学年九年级数学上册考试满分全攻略同步备课备考系列（苏科版）

2024-2025学年九年级数学上学期期中押题试卷01 满分：130分 测试范围：九上全部内容 一、单选题（共8小题，每小题3分，满分24分） 1．（2023秋•南京期中）下列选项中，是一元二次方程的是　　 A． B． C． D． 2．（2023秋•惠城区期末）已知的半径为4，，则点与的位置关系是　　 A．点在内 B．点在上 C．点在外 D．不能确定 3．（2024•港南区二模）在市长杯足球比赛中，五支球队的进球数分别为3，5，8，4，8，这组数据的中位数是　　 A．3 B．4 C．5 D．8 4．（2023秋•柳州期末）电影《长津湖》讲述了一段波澜壮阔的历史，一上映就获得全国人民的追捧，某地第一天票房约3亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后票房收入累计达10亿元，若把增长率记作，则方程可以列为　　 A． B． C． D． 5．（2023秋•鼓楼区期中）已知的半径为3，平面内点到圆心的距离为，则点与的位置关系　　 A．点在外 B．点在上 C．点在内 D．无法确定 6．（2024•揭阳一模）如图，是的直径，弦交于点，连接、．若，则的度数是　　 A． B． C． D． 7．（2023秋•南京期中）若关于的方程的两根之和是，两根之积是，则关于的方程的两根之积是　　 A． B． C． D． 8．（2023秋•玄武区期中）如图，经过菱形的顶点，，，顶点在内，延长，与分别交于点，，连接，．下列结论：①；②；③，其中正确的结论是　　 A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分） 9．（2023秋•杨浦区期末）方程的解是　　． 10．（2023秋•南京期中）一组数据，3，，5的极差是 　　． 11．（2023秋•徐州期中）如图，将一个圆锥展开后，其侧面是一个圆心角为，半径为的扇形，则该圆锥的底面圆的半径为 　　． 12．（2023秋•南京期中）甲、乙两人分别进行5次射击练习，成绩如下（单位：环） 甲：7，8，7，7，10； 乙：8，7，8，10，8． 甲、乙的射击成绩的方差分别为，，则　　（填“”“ ”或“” ． 13．（2024秋•苏州期中）对于实数，，新定义一种运算“※”，※．若※，则的值为 　　． 14．（2023秋•玄武区期中）如图，在的内接四边形中，，，点在上，则　　． 15．（2023秋•南京期中）设，是一元二次方程，是常数）的两个根．若，则的取值范围是 　　． 16．（2023秋•玄武区期中）《梦溪笔谈》是我国古代科技著作，其中它记录了计算圆弧长度的“会圆术”．如图，是的弦，是的中点，，垂足为．“会圆术”给出的弧长的近似值计算公式：，当，时，则的值为 　　． 三、解答题：本大题共11小题，共82分. 17．（2023秋•伊犁州期末）用适当的方法解方程： （1）； （2）． 18．（2024•洪山区校级二模）先化简，再求值：，其中满足． 19．（2024秋•苏州期中）对于实数，，新定义一种运算“※”：※，例如：，※． （1）计算：2※　　；※　　； （2）若和是方程的两个根且，求※的值； （3）若※2与3※的值相等，求的值． 20．（2021春•平原县校级期末）某同学参加“希望之星”英语口语大赛，7名评委给该同学的打分（单位：分）情况如下表： 评委 评委1 评委2 评委3 评委4 评委5 评委6 评委7 打分 9.2 9.4 9.3 9.4 9.1 9.3 9.4 （1）直接写出该同学所得分数的众数与中位数； （2）计算该同学所得分数的平均数． 21．（2023秋•和县期末）某超市销售一种商品，每件成本为50元，销售人员经调查发现，销售单价为100元时，每月的销售量为50件，而销售单价每降低2元，则每月可多售出10件，且要求销售单价不得低于成本． （1）求该商品每月的销售量（件与销售单价（元之间的函数关系式；（不需要求自变量取值范围） （2）若使该商品每月的销售利润为4000元，并使顾客获得更多的实惠，销售单价应定为多少元？ （3）为了每月所获利润最大，该商品销售单价应定为多少元？ 22．（2024•垦利区模拟）如图，为的直径，为上一点，点为的延长线上一点，连接、、，且． （1）求证：为的切线； （2）若，的半径，求阴影部分的面积． 23．（2024秋•苏州期中）已知关于的一元二次方程为常数）． （1）当时，求出该一元二次方程实数根； （2）若，是这个一元二次方程两根，且，是以为斜边的直角三角形两直角边，求的值． 24．（2024秋•苏州期中）一个不透明的袋子中装有四个小球，球面上分别标有数字，0，1，2四个数字．这些小球除了数字不同外，其他都完全相同，袋内小球充分搅匀． （1）随机地从袋中摸出一个小球，则摸出标有数字2的小球的概率为 　　； （2）小强设计了如下游戏规则：先从袋中随机摸出一个小球（不放回），然后再从余下的三个小球中随机摸出一个小球．把2次摸到的小球数字相加，和为奇数，甲获胜；和为偶数，乙获胜．小强设计的游戏规则公平吗？为什么？（请用画树状图或列表说明理由） 25．（2023秋•玄武区期中）如图，在中，为直径，为弦，且，垂足为． （1）若，，求的长度； （2）若，则　　． 26．（2023秋•玄武区期中）如图，在中，，以为直径的交于点，过作的切线，与交于点，与的延长线交于点． （1）求证：； （2）若是的中点，，则图中阴影部分的面积为 　　． 27．（2023秋•南京期中）如图①，在四边形中，，，，．过，，三点的的圆心位置和半径，随着的变化而变化．解决下列问题： 【特殊情形】 （1）如图②，当时，圆心在上，求的半径． 【一般情形】 （2）（Ⅰ）当时，求的半径； （Ⅱ）当时，随着的增大，点的运动路径是 　　．（填写序号） ①射线 ②弧 ③双曲线的一部分 ④不规则的曲线 【深入研究】 （3）如图③，连接，以为圆心，作出与边相切的圆，记为小．当小与相交且与相离时，直接写出的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年九年级数学上学期期中押题试卷01 满分：130分 测试范围：九上全部内容 一、单选题（共8小题，每小题3分，满分24分） 1．（2023秋•南京期中）下列选项中，是一元二次方程的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可． 【解答】解：．方程是二元二次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； ．方程是分式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； ．不是方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； ．方程是一元二次方程，故本选项符合题意． 故选：． 【点评】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义（只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程）是解此题的关键． 2．（2023秋•惠城区期末）已知的半径为4，，则点与的位置关系是　　 A．点在内 B．点在上 C．点在外 D．不能确定 【分析】点在圆上，则；点在圆外，；点在圆内，即点到圆心的距离，即圆的半径）． 【解答】解：，故点与的位置关系是点在圆内． 故选：． 【点评】本题考查了点与圆的位置关系，注意掌握点和圆的位置关系与数量之间的等价关系是解决问题的关键． 3．（2024•港南区二模）在市长杯足球比赛中，五支球队的进球数分别为3，5，8，4，8，这组数据的中位数是　　 A．3 B．4 C．5 D．8 【分析】根据中位数的定义求解即可． 【解答】解：将这组数据重新排列为3、4、5、8、8， 所以这组数据的中位数为5， 故选：． 【点评】本题主要考查中位数，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数． 4．（2023秋•柳州期末）电影《长津湖》讲述了一段波澜壮阔的历史，一上映就获得全国人民的追捧，某地第一天票房约3亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后票房收入累计达10亿元，若把增长率记作，则方程可以列为　　 A． B． C． D． 【分析】若把增长率记作，则第二天票房约为亿元，第三天票房约为亿元，根据三天后票房收入累计达10亿元，即可得出关于的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：若把增长率记作，则第二天票房约为亿元，第三天票房约为亿元， 依题意得：． 故选：． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 5．（2023秋•鼓楼区期中）已知的半径为3，平面内点到圆心的距离为，则点与的位置关系　　 A．点在外 B．点在上 C．点在内 D．无法确定 【分析】点与圆的位置关系有3种．设的半径为，点到圆心的距离，则有：点在圆外，点在圆上，点在圆内，由此即可判断． 【解答】解：圆的半径，点到的距离， ， 点在圆内， 故选：． 【点评】本题考查点和圆的位置关系，关键是掌握点和圆位置关系的判定方法． 6．（2024•揭阳一模）如图，是的直径，弦交于点，连接、．若，则的度数是　　 A． B． C． D． 【分析】连接，根据直径所对的圆周角是直角可得，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得，然后利用同弧所对的圆周角相等即可解答． 【解答】解：连接， 是的直径， ， ， ， ， 故选：． 【点评】本题考查了圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 7．（2023秋•南京期中）若关于的方程的两根之和是，两根之积是，则关于的方程的两根之积是　　 A． B． C． D． 【分析】把方程看作关于的一元二次方程，则利用关于的方程的两根为，得到，，然后利用根与系数的关系得到结论． 【解答】解：把方程看作关于的一元二次方程， 设关于的方程的两根为，，则方程的两根为，， 关于的方程的两根之和是，两根之积是， ，， ． 故选：． 【点评】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，则，．利用换元的思想是解决问题的关键． 8．（2023秋•玄武区期中）如图，经过菱形的顶点，，，顶点在内，延长，与分别交于点，，连接，．下列结论：①；②；③，其中正确的结论是　　 A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【分析】根据菱形的性质得到，则利用圆周角定理可对①进行判断；根据菱形的性质得到，，，所以，利用圆周角定理得到，再证明得到，若，则点、、、、为圆的5等分点，菱形的内角为，这不符合题意，从而可对（2）进行判断；利用平行线的性质得到，再利用，得到，然后利用得到，则可对③进行判断． 【解答】解：四边形为菱形， ， ，所以①正确； 四边形为菱形， ，，， ， ， ，， ，， ， ， 不能确定，否则菱形的内角为，所以（2）错误； ， ， ，， ， 即， ， ， ， ， ，所以③正确． 故选：． 【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了圆周角定理和菱形的性质． 二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分） 9．（2023秋•杨浦区期末）方程的解是　，　． 【分析】先把方程变形为，把方程左边因式分解得，则有或，然后解一元一次方程即可． 【解答】解：， ， 或， ，． 故答案为，． 【点评】本题考查了利用因式分解法解一元二次方程：先把方程变形为一元二次方程的一般形式，然后把方程左边因式分解，这样就把方程转化为两个一元一次方程，再解一元一次方程即可． 10．（2023秋•南京期中）一组数据，3，，5的极差是 　9　． 【分析】根据极差的概念求解． 【解答】解：极差为：． 故答案为：9． 【点评】本题考查了极差的知识，极差是指一组数据中最大数据与最小数据的差． 11．（2023秋•徐州期中）如图，将一个圆锥展开后，其侧面是一个圆心角为，半径为的扇形，则该圆锥的底面圆的半径为 　3.6　． 【分析】根据弧长公式求出扇形弧长，根据圆的面积公式计算，得到答案． 【解答】解：扇形的圆心角为，半径为， 扇形弧长， 圆锥的底面周长为， 圆锥的底面半径， 故答案为：3.6． 【点评】本题考查的是圆锥的计算，掌握圆锥的底面圆周长是扇形的弧长是解题的关键． 12．（2023秋•南京期中）甲、乙两人分别进行5次射击练习，成绩如下（单位：环） 甲：7，8，7，7，10； 乙：8，7，8，10，8． 甲、乙的射击成绩的方差分别为，，则　　（填“”“ ”或“” ． 【分析】分别计算两人的平均数和方差即可得出答案． 【解答】解：甲的平均成绩为， 乙的平均成绩为； 甲的方差， 乙的方差． 故甲，乙两人方差的大小关系是：． 故答案为：． 【点评】本题考查了方差的计算，方差是各数据值离差的平方和的平均数，熟练掌握计算公式是解答本题的关键． 13．（2024秋•苏州期中）对于实数，，新定义一种运算“※”，※．若※，则的值为 　　． 【分析】分两种情况：当时；当时，然后分别进行计算即可解答． 【解答】解：分两种情况： 当时， ※， ， ， （舍去），； 当时， ※， ， 解得：（舍去）； 综上所述：的值为， 故答案为：． 【点评】本题考查了解一元二次方程直接开平方法，分两种情况讨论是解题的关键． 14．（2023秋•玄武区期中）如图，在的内接四边形中，，，点在上，则　126　． 【分析】先根据圆内接四边形的性质计算出，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算出，然后再根据圆内接四边形的性质可得的度数． 【解答】解：在的内接四边形中，， ， ， ， ， ， 四边形为圆的内接四边形， ， ． 故答案为：126． 【点评】本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补．也考查了等腰三角形的性质和三角形内角和定理． 15．（2023秋•南京期中）设，是一元二次方程，是常数）的两个根．若，则的取值范围是 　　． 【分析】根据根与系数的关系得，，由，得，即，所以， 【解答】解：，是一元二次方程，是常数）的两个根， ，， ， ， 即， ， ， 则的取值范围是． 故答案为：． 【点评】本题考查根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系及巧妙使用整体思想是解题的关键． 16．（2023秋•玄武区期中）《梦溪笔谈》是我国古代科技著作，其中它记录了计算圆弧长度的“会圆术”．如图，是的弦，是的中点，，垂足为．“会圆术”给出的弧长的近似值计算公式：，当，时，则的值为 　　． 【分析】连接，根据垂径定理，知，，，共线，设圆的半径为，根据勾股定理求出，计算求出答案． 【解答】解：连接，如图： 是的中点，， ， ，，共线， ， ， 设圆的半径为，则， 在中，根据勾股定理， 得， 即， 解得， ， ． 故答案为：． 【点评】本题考查弧长的计算，垂径定理和勾股定理，解题的关键是读懂题意，作出辅助线求的长度． 三、解答题：本大题共11小题，共82分. 17．（2023秋•伊犁州期末）用适当的方法解方程： （1）； （2）． 【分析】（1）利用配方法求解可得； （2）利用因式分解法求解可得． 【解答】解：（1）， ， 则，即， 解得， ，即，； （2）， ， 则或， 解得，． 【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 18．（2024•洪山区校级二模）先化简，再求值：，其中满足． 【分析】先把括号内通分和除法运算化为乘法运算，再约分得到原式，然后根据，得，最后把代入计算即可 【解答】解： ， ， ， 原式． 【点评】本题主要考查分式的化简求值，解答的关键是对相应的运算法则的掌握，注意整体代入的应用． 19．（2024秋•苏州期中）对于实数，，新定义一种运算“※”：※，例如：，※． （1）计算：2※　　；※　　； （2）若和是方程的两个根且，求※的值； （3）若※2与3※的值相等，求的值． 【分析】（1）利用新定义进行计算； （2）先解方程得到，，然后利用新定义计算； （3）讨论：当时得到，当时得到，当时得到，然后分别解方程确定满足条件的值． 【解答】解：（1）2※； ※； 故答案为，6； （2）解方程得，， 所以※※； （3）当时，， 整理得，解得，（舍去）， 当时，， 整理得，解得，（舍去）， 当时， 整理得，解得（舍去），， 综上所述，的值为1或或4． 【点评】本题考查了解一元二次方程公式法：用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．也考查了实数的运算和因式分解法解方程． 20．（2021春•平原县校级期末）某同学参加“希望之星”英语口语大赛，7名评委给该同学的打分（单位：分）情况如下表： 评委 评委1 评委2 评委3 评委4 评委5 评委6 评委7 打分 9.2 9.4 9.3 9.4 9.1 9.3 9.4 （1）直接写出该同学所得分数的众数与中位数； （2）计算该同学所得分数的平均数． 【分析】（1）根据众数与中位数的定义求解即可； （2）根据平均数的定义求解即可． 【解答】解：（1）从小到大排列此数据为：9.1，9.2，9.3，9.3，9.4，9.4，9.4， 数据9.4出现了三次，最多，为众数， 9.3处在第4位为中位数； （2）该同学所得分数的平均数为． 【点评】本题考查了平均数、众数与中位数，用到的知识点是：给定一组数据，出现次数最多的那个数，称为这组数据的众数．中位数的定义：将一组数据从小到大依次排列，把中间数据（或中间两数据的平均数）叫做中位数．平均数总数个数． 21．（2023秋•和县期末）某超市销售一种商品，每件成本为50元，销售人员经调查发现，销售单价为100元时，每月的销售量为50件，而销售单价每降低2元，则每月可多售出10件，且要求销售单价不得低于成本． （1）求该商品每月的销售量（件与销售单价（元之间的函数关系式；（不需要求自变量取值范围） （2）若使该商品每月的销售利润为4000元，并使顾客获得更多的实惠，销售单价应定为多少元？ （3）为了每月所获利润最大，该商品销售单价应定为多少元？ 【分析】（1）明确题意，找到等量关系求出函数关系式即可； （2）根据题意，按照等量关系“销售量（售价成本）”列出方程，求解即可得到该商品此时的销售单价； （3）设每月所获利润为，按照等量关系列出二次函数，并根据二次函数的性质求得最值即可． 【解答】解：（1）依题意得：， 与的函数关系式为； （2）依题意得：， 即， 解得：，， ， 当该商品每月销售利润为4000，为使顾客获得更多实惠，销售单价应定为70元； （3）设每月总利润为元， 依题意得， ，此图象开口向下， 当时，有最大值为4500元， 为了每月所获利润最大，该商品销售单价应定为80元． 【点评】本题考查了二次函数在实际生活中的应用，根据题意找到等量关系并掌握二次函数求最值的方法是解题的关键． 22．（2024•垦利区模拟）如图，为的直径，为上一点，点为的延长线上一点，连接、、，且． （1）求证：为的切线； （2）若，的半径，求阴影部分的面积． 【分析】（1）连接，如图，先根据圆周角定理得到，由于，，所以，则可证明，然后根据切线的判定方法得到结论； （2）先计算出，，再证明为等边三角形，然后根据扇形的面积公式和等边三角形的面积公式，利用阴影部分的面积进行计算即可． 【解答】（1）证明：连接，如图， 为的直径， ， 即， ， ， ， ， ， 即， ， 为的半径， 为的切线； （2）解：，， ，， ， 为等边三角形， 阴影部分的面积 ． 【点评】本题考查了切线的判定与性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理和扇形面积的计算． 23．（2024秋•苏州期中）已知关于的一元二次方程为常数）． （1）当时，求出该一元二次方程实数根； （2）若，是这个一元二次方程两根，且，是以为斜边的直角三角形两直角边，求的值． 【分析】（1）把代入一元二次方程得到，再根据因式分解法解方程即可求解； （2）根据根与系数的关系得到，，再根据勾股定理得到，接着利用完全平方公式变形得到，则，然后解方程后利用方程的两根为正数确定的值． 【解答】解：（1）把代入一元二次方程得， 则， 解得，； （2），是一元二次方程两根， ，， ，是以为斜边的直角三角形两直角边， ， ， ， 解得（负值舍去），． 故的值为5． 【点评】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，，反过来也成立．也考查了解一元二次方程因式分解法． 24．（2024秋•苏州期中）一个不透明的袋子中装有四个小球，球面上分别标有数字，0，1，2四个数字．这些小球除了数字不同外，其他都完全相同，袋内小球充分搅匀． （1）随机地从袋中摸出一个小球，则摸出标有数字2的小球的概率为 　　； （2）小强设计了如下游戏规则：先从袋中随机摸出一个小球（不放回），然后再从余下的三个小球中随机摸出一个小球．把2次摸到的小球数字相加，和为奇数，甲获胜；和为偶数，乙获胜．小强设计的游戏规则公平吗？为什么？（请用画树状图或列表说明理由） 【分析】（1）直接由概率公式求解即可； （2）画树状图，共有12个等可能的结果，两次摸出的小球球面上数字之和为奇数的结果有8种，和为偶数的结果有4种，再求出甲和乙获胜的概率，比较即可． 【解答】解：（1）随机地从袋中摸出一个小球，则摸出标有数字2的小球的概率为， 故答案为：； （2）小强设计的游戏规则不公平，理由如下： 画树状图如图： 共有12个等可能的结果，两次摸出的小球球面上数字之和为奇数的结果有8种，和为偶数的结果有4种， 甲获胜的概率为，乙获胜的概率为， ， 小强设计的游戏规则不公平． 【点评】本题考查的是游戏公平性的判断以及树状图法．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 25．（2023秋•玄武区期中）如图，在中，为直径，为弦，且，垂足为． （1）若，，求的长度； （2）若，则　54　． 【分析】（1）根据垂径定理和勾股定理可以得到、和的长，然后再根据勾股定理即可求得的长度； （2）根据垂径定理和圆周角定理，以及直角三角形的两个锐角互余，可以求得的度数． 【解答】解：（1），，， ，，， ， ， ， 即的长度为； （2）连接，如图， ， ， ， ，， ， 设，则，， ， ， 解得， ， ， ， 故答案为：54． 【点评】本题考查圆周角定理、勾股定理、垂径定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 26．（2023秋•玄武区期中）如图，在中，，以为直径的交于点，过作的切线，与交于点，与的延长线交于点． （1）求证：； （2）若是的中点，，则图中阴影部分的面积为 　　． 【分析】（1）先证明，再由切线的性质得出，即可得出结论； （2）连接，证明是等边三角形，求出和，，进而用梯形的面积扇形的面积，即可得出阴影部分的面积． 【解答】（1）证明：连接，如图所示： ，， ，， ， ， 又是的切线， ， ； （2）解：连接， ，是的中点， ， ， ， 是直径， ， ， ， ， ，， 点是的中点，， ，， 阴影的面积为：． 【点评】本题考查了切线的性质、平行线的判定、含角的直角三角形的性质以及三角形和扇形面积的计算；熟练掌握切线的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键． 27．（2023秋•南京期中）如图①，在四边形中，，，，．过，，三点的的圆心位置和半径，随着的变化而变化．解决下列问题： 【特殊情形】 （1）如图②，当时，圆心在上，求的半径． 【一般情形】 （2）（Ⅰ）当时，求的半径； （Ⅱ）当时，随着的增大，点的运动路径是 　①　．（填写序号） ①射线 ②弧 ③双曲线的一部分 ④不规则的曲线 【深入研究】 （3）如图③，连接，以为圆心，作出与边相切的圆，记为小．当小与相交且与相离时，直接写出的取值范围． 【分析】（1）根据垂径定理以及勾股定理直接求解即可； （2）（Ⅰ）构造矩形，根据矩形的性质以及勾股定理求解即可； （Ⅱ）参考（Ⅰ）的方法，得出到直线的距离与的关系，然后根据到直线的距离随线性变化，得出两个距离的函数表达式，类比平面直角坐标系中坐标的几何意义，从而得出的轨迹形状； （3）参考（2）的方法，求出小圆的半径，以及圆心到，的距离，根据圆与直线位置关系，列出不等式求解即可． 【解答】（1）解：连接，在中，设，则． 在中， ，即． 解得． （2）（Ⅰ）解：过点分别作，，连接，， 过圆心，， ． ， 四边形是矩形． ． ． 设，则， 在中， 在中， ，即． 解得 ，即． （Ⅱ）过点分别作，，连接，，如图： 由（Ⅰ）知：，， ， 设，则， ， ， 即， 整理得：， ，到的距离， 类比平面直角坐标系内，的几何意义， 的轨迹是一条射线， 故答案为：①； （3）过作，交于，交于，过作于，作于，连接，，过作于，如图： 由（Ⅱ）知，， ， ，， ， ， ， ，，， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， 小与相交且与相离， ， ， 即， 解得：． 【点评】本题主要考查了圆的综合题，综合考查了垂径定理、勾股定理、圆与直线的位置关系等知识，题目较难，求出小圆的半径的代数式是本题解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$