备战2025年中考数学一轮复习小专题特训：反比例函数

备战2025年中考数学一轮复习小专题特训：反比例函数 一、单选题 1．对于函数，下列说法错误的是（    ） A．它的图象分布在一、三象限 B．它的图象与坐标轴没有交点 C．它的图像既是轴对称图形，又是中心对称图形 D．当时，的值随的增大而增大 2．点在反比例函数的图象上，则时，y的值为（   ） A． B． C． D．4 3．下列函数中，一定是反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 4．关于的一元二次方程有两个相等的实数根，点、是反比例函数的图象上的两个点，若，则、的大小关系为（    ） A． B． C． D．不能确定 5．已知反比例函数的图象经过点，那么下列四个点中，也在这个函数图象上的是（    ） A． B． C． D． 6．在同一坐标系中，函数与的图像大概是（　　） A．   B．   C．   D．   7．如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点C，与反比例函数在第一象限内的图象交于点B，连接，若，，则m的值是（   ） A．64 B．48 C．40 D．32 8．如图，在中，两直角边分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，且，将绕点B逆时针旋转后得到，若反比例函数的图象恰好经过斜边的中点C，则的面积为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 二、填空题 9．若反比例函数过，则其解析式为 10．若点，在反比例函数y的图象上，且，则m的取值范围是 ． 11．已知函数是关于的反比例函数，则的值是 ． 12．如图，反比例函数的图象与经过原点的直线相交于A、B两点，已知A点的坐标为，那么B点的坐标为 ． 13．当温度不变时，某气球内的气压与气体体积成反比例函数关系（其图象如图所示），已知当气球内的气压时，气球将爆炸，为了安全起见，气球内气体体积满足的条件是 ． 14．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点在轴上，顶点在第二象限，边的中点横坐标为，反比例函数的图象经过点、．若，则的值为 ． 15．如图，反比例函数的图象与矩形在第一家限相交于题图点，，，连接．记的面积分别为． （1）比较大小： （填“”、“”、“”）； （2）若，则的面积为 ． 16．如图，一次函数与反比例函数的图像交于点，过点作，交轴于点．若都是等腰直角三角形，其中点，在反比例函数的图像上，则点的横坐标为 ． 三、解答题 17．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数交于点，两点，直线与轴交于点． (1)求反比例函数的关系式和点B的坐标； (2)求的面积． 18．如图，直线与轴交于点，与反比例函数的图象交于点，过作轴于点，且．    (1)求反比例函数表达式； (2)点是反比例函数图象上的点，在y轴上是否存在点P，使得最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； 19．如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，两点． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)根据图象直接写出不等式的解集． 20．如图，在平面直角坐标系中，点，，已知点M在反比例函数的图象上，以点O为位似中心，在的上方，将线段放大为原来的n倍得到线段．    (1)求反比例函数表达式； (2)若在线段与反比例函数图象总有公共点，求n的取值范围． 21．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与x轴、y轴分别交于A、B两点，与反比例函数的图像相交于C、D两点，点D的横坐标为3．轴，垂足为 E ． (1)写出点A、B、D的坐标，并求反比例函数的解析式： (2)M是反比例函数图像上的一个动点且在点D右侧，过点M作轴，垂足为F、是否存在这样的点M，使得以点M、E、F为顶点的三角形与相似？如果存在，请求出所有满足条件的点M坐标，如果不存在，请说明理由． 22．已知，直线与反比例函数交于点，且点的横坐标为4，过轴上一点作垂直于交于点，如图． (1)若点是线段上一动点，过点作，，垂足分别于、，求线段长度的最小值． (2)在（1）的取得最小值的前提下，将沿射线平移，记平移后的三角形为，当时，在平面内存在点Q，使得A、、、Q四点构成平行四边形，这样的点Q有几个？直接写出点Q的坐标． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D D C A B C B D 1．D 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键；根据的图象与性质判断即可． 【详解】解：函数的图象分布在一、三象限，图象与坐标轴无交点，它的图像既是轴对称图形，又是中心对称图形，在每个象限内，的值随的增大而减小； 故选项A、B、C正确，选项D错误； 故选：D． 2．D 【分析】此题考查待定系数法求反比例函数解析式、求反比例函数值等知识． 先根据点在反比例函数的图象上得到，则，把代入即可求出y的值． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， 解得， ∴， 当时，， 故选：D 3．C 【分析】本题考查了反比例函数的定义，根据形如的是反比例函数，逐个判断即可． 【详解】解：A、是一次函数，不符合题意； B、当时，不是反比例函数，不符合题意； C、是反比例函数，符合题意； D、不是反比例函数，不符合题意； 故选：C． 4．A 【分析】本题考查了一元二次方程根的情况，反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 由一元二次方程根的情况，求得m的值，确定反比例函数y＝图象经过的象限，然后根据反比例函数的性质即可求得结论． 【详解】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得， ∵， ∴反比例函数y＝的图象在一三象限，在每个象限y随x的增大而减少， ∵， ∴， 故选：A． 5．B 【分析】此题考查了判断点是否在反比例函数图象上，将每个选项中的点坐标代入解析式，判断是否等于k的值即可． 【详解】解：将点代入，得， A.∵，故点不在的图象上； B. ∵，故点在的图象上； C. ∵，故点不在的图象上； D. ∵，故点不在的图象上； 故选：B． 6．C 【分析】本题主要考查了一次函数、反比例函数图像性质等知识点，熟练掌握两个函数图像与系数之间的关系是解题的关键． 一次函数与反比例函数的图像与系数的符号有关，所以分与两种情况进行讨论；当可以得出与所在的象限以及可以得出与所在的象限，进而求解即可． 【详解】解：根据题意需分、两种情况讨论： 当时，的图像在第一、三象限，的图像在第一、三、四象限，只有选项C符合； 当时，的图像在第二、四象限，的图像在第二、三、四象限，无选项符合． 故选C． 7．B 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数综合，过作轴交于，由直线的解析式可求 ，由三角形的面积求得，由正切函数得，可求点的坐标，即可求解；能通过三角形的面积及正切函数求出点的坐标是解题的关键． 【详解】解：过作轴交于， 直线， 当时，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：， 故选：B． 8．D 【分析】作于D，设，根据正切定义得到，证明，则，得到，由点C为斜边的中点得到，则，解得：或（负值舍去），得到，，即可求出的面积． 【详解】解：作于D，则， 设， ∵ ∴， ∴， ∵绕点B逆时针旋转后得到， ∴，， ∴ ∵， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点C为斜边的中点， ∴， ∵反比例函数的图象恰好经过斜边的中点C． ∴， 解得：或（负值舍去）， ∴，， ∴， 故选：D． 【点睛】此题考查了反比例函数的图象和性质、全等三角形的判定和性质、旋转的性质、正切的定义、直角三角形斜边中线的性质等知识，构造全等三角形是解题的关键． 9． 【分析】本题考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，用待定系数法确定反比例函数的比例系数，即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：由题意得：， ∴反比例函数的解析式为：， 故答案为：． 10． 【分析】本题主要考查的是反比例函数的图象和性质，由于的图象在一、三象限，根据反比例函数的性质得出不等式组，解不等式组即可求解． 【详解】解：由可知图象位于一、三象限，在每一象限内随的增大而减小， 点，在反比例函数的图象上，且， 点、不在同一象限， ∴点在第三象限，点在第一象限， ， 解得． 故答案为：． 11． 【分析】本题考查了反比例函数的定义，解一元二次方程，根据反比例函数的定义可得，然后求解即可，解题的关键是熟记反比例函数的定义：形如的函数叫做反比例函数． 【详解】∵函数是关于的反比例函数， ∴，解得：， 故答案为：． 12． 【分析】本题主要考查了反比例函数图象的中心对称性，反比例函数的图象是中心对称图形，则经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称． 【详解】解：∵点A与B关于原点对称， ∴B点的坐标为． 故答案是：． 13．不小于 【分析】本题考查反比例函数的应用，根据题意可知温度不变时，气球内气体的气压是气体体积的反比例函数，且过点故；故当时，可判断应满足的条件．解题的关键是根据图象上的已知点的坐标，利用待定系数法求出函数解析式． 【详解】解：设球内气体的气压和气体体积的关系式为， ∵图象过点， ∴， ∴， 由已知得图象在第一象限内， ∴随的增大而减小， ∴当时，， ∵当气球内的气压时，气球将爆炸， ∴为了安全起见即，气球内气体体积满足的条件是，即不小于． 故答案为：不小于． 14． 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，平行四边形的性质，反比例函数解析式等知识．熟练掌握反比例函数与几何综合，平行四边形的性质，反比例函数解析式是解题的关键． 设，则，由题意知，，则．即，由反比例函数的图象经过点、，可得，可求，进而可求． 【详解】解：设，则， 由题意知，， ，则， ∵反比例函数的图象经过点、， ， 解得，， ， ， 故答案为：． 15． 【分析】此题考查了反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数系数的几何意义是解题的关键． （1）根据反比例系数的几何意义知的面积分别为进行解答即可； （2）根据的面积矩形的面积的面积的面积的面积进行解答即可． 【详解】（1）根据反比例系数的几何意义知的面积分别为， 故答案为： （2） ， 的面积矩形的面积的面积的面积的面积． 故答案为： 16． 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数图像的交点问题，掌握一次函数、反比例函数图像上点的坐标特征以及等腰直角三角形的性质是解题的关键． 根据题意找到点的横坐标的规律，然后再求出的横坐标即可． 【详解】解：如图，过点A，，，，分别作轴，轴，轴，轴…，垂足分别为…．．． ∵直线的关系式为， ∴是等腰直角三角形， ∴， 同理可得……都是等腰直角三角形， 设， 则点，点A在反比例函数的图象上， ∴，解得：（负值舍去）， ∴点A的横坐标为1， 设， 则点，点A1在反比例函数的图像上， ∴，解得：， ∴点的横坐标为 设， 则点，点在反比例函数的图象上， ∴，解得：， ∴点的横坐标为 以此类推：点横坐标为：． 故答案为：． 17．(1)反比例函数解析式为，， (2) 【分析】（1）待定系数法求出两个函数解析式和点坐标即可； （2）先求出点坐标，再根据三角形面积公式计算即可． 本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式是关键． 【详解】（1）解： 点，在反比例函数图象上， ， ，， 反比例函数解析式为，， （2）解：点，在一次函数图象上， ，解得， 一次函数解析式为， 令，则， ， ． 18．(1) (2)存在， 【分析】（1）根据直线解析式求点坐标，得的长度；根据三角函数定义可求的长度，得点的横坐标；根据点在直线上可求点的坐标．从而可求的值； （2）根据反比例函数解析式可求点坐标；作点关于轴的对称点，连接与轴的交点就是满足条件的点位置，进而即可求解． 此题考查反比例函数与一次函数的综合应用，三角函数定义，涉及线路最短问题，难度中等． 【详解】（1）解：由可知，即． ， ． 轴， 点的横坐标为1． 点在直线上， 点的纵坐标为4．即． 点在上， ． ∴反比例函数解析式为． （2）解：存在．过程如下： 过点作关于轴的对称点，连接，交轴于，连接，如图所示：    此时最小． 点在反比例函数上， ，即点的坐标为． 与关于轴的对称， 的坐标为． 设直线的解析式为． 把和代入，得， 解得 直线的解析式为． 令，得． 点坐标为， 19．(1)反比例函数解析式为，一次函数解析式为； (2)不等式的解集为或． 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数交点问题，待定系数法求函数解析式，利用数形结合思想解决问题是本题的关键． （1）将点A，点B坐标代入反比例函数解析式可求n的值，用待定系数法求出一次函数解析式； （2）根据函数图象可求不等式的解集． 【详解】（1）解：∵反比例函数图象点， ∴， ∴反比例函数解析式为：， ∵点在反比例函数图象上， ∴， ∴点， 根据题意得：， 解得：， ∴一次函数解析式为：； （2）解：观察图象可知，当或时，一次函数图象在反比例函数图象的上方，即， 所以不等式的解集为：或． 20．(1) (2) 【分析】本题考查了反比例函数的性质，位似变换，解答本题的关键要明确：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或． （1）利用反比例函数图象上点的坐标特征计算的值； （2）利用关于原点为位似中心的点的坐标变换规律得到，由于点落在反比例函数上时，的值最大，所以把点的坐标代入反比例函数解析式可得到的最大值，即可求解． 【详解】（1）解：把代入得； ∴； （2）解：以点为位似中心，在的上方将线段放大为原来的倍得到线段， ， 当点落在反比例函数上时，的值最大， ， 解得，（舍去）， 的最大值为． ∵， ∴在线段与反比例函数图象总有公共点， n的取值范围为． 21．(1)，，，反比例函数的解析式为； (2)或 【分析】（1）由一次函数的，，，分别求解对应的，，从而可得点A、B、D的坐标，再代入D的坐标可得反比例函数解析式； （2）如图，于，证明，由在的右侧，分两种情况：当时，设，当时，再利用相似三角形的性质建立方程求解即可． 【详解】（1）解：一次函数， 当，则，当，则， ∴，， 当时，， ∴， 在反比例函数上， ， ， 反比例函数的解析式为； （2）解：如图，于， ∴， ∵点M、E、F为顶点的三角形与相似，在的右侧， 当时， ∴， 设， ∴， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴， 当时， ∴， ∴， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴， ∴． 综上：或． 【点睛】本题考查的是一次函数与反比例函数的综合应用，一次函数与坐标轴的交点坐标，相似三角形的性质，一元二次方程的解法，清晰的分类讨论是解本题的关键． 22．(1)最小值为； (2)这样的点有3个，，，． 【分析】（1）利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出点的坐标，由点的坐标，利用待定系数法可求出直线的解析式，设点的坐标为，则，，利用勾股定理可找出关于的函数关系式，再利用二次函数的性质，即可求出的最小值，进而可得出段长度的最小值； （2）由点，横坐标间的关系可得出，由（1）的结论结合平移的性质，可得出平移后点，，的坐标，分为对角线、为对角线以及为对角线三种情况，利用平行四边形的性质（对角线互相平分）可求出点的坐标，此题得解． 【详解】（1）解：当时，， 点的坐标为． 设直线的解析式为， 将代入，，解得：， 直线的解析式为． 设点的坐标为，则，， ，即． ， 当时，取得最小值，此时最小值，最小值为， 线段长度的最小值为． （2）解：由（1）可知，当最小时，点的坐标为． 点的横坐标为8，点的横坐标为4， ， 平移后点与点重合， 平移后点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为． 设点的坐标为，分三种情况考虑，如图所示： ①当为对角线时，，，， ， 解得：， 点的坐标为； ②当为对角线时，，，， ， 解得：， 点的坐标为； ③当为对角线时，，，， ， 解得：， 点的坐标为． 综上所述：符合题意的点有3个，点的坐标为，，． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、二次函数的性质、勾股定理、坐标的平移以及平行四边形的性质，解题的关键是：（1）利用二次函数的性质，解决最值问题；（2）分为对角线、为对角线以及为对角线三种情况，利用平行四边形的对角线互相平分求出点的坐标． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$