精品解析：内蒙古巴彦淖尔市杭锦后旗2024-2025学年九年级上学期期中测试调研数学试卷

2024年10月九年级数学学科测试调研卷 一、单选题（每小题3分，共10小题30分） 1. 下列电动车品牌标志中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 已知点A（a，﹣1）与B（2，b）是关于原点O的对称点，则（　　） A. a＝﹣2，b＝﹣1 B. a＝﹣2，b＝1 C. a＝2，b＝﹣1 D. a＝2，b＝1 3. 共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放1000辆单车，计划第三个月投放单车数量比第一个月多440辆．设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，则所列方程正确的为（　　） A. 1000（1+x）2＝1000+440 B. 1000（1+x）2＝440 C. 440（1+x）2＝1000 D. 1000（1+2x）＝1000+440 4. 将方程配方，变形正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 二次函数y=2x2－4x＋3的图像先向左平移4个单位，再向下平移2个单位长度后的抛物线的解析式为（ ） A. y=2(x－4)2－4x＋1 B. y=2(x＋4)2＋1 C. y=2x2＋12x＋17 D. y=2x2－10x－17 6. 如图所示，在中，，将绕点A逆时针旋转，使点C落在线段上的点E处，点B落在点D处，则两点间的距离为（ ） A. 2 B. C. D. 7. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ） A. B. 且 C. 且 D. 8. 设点，，是抛物线上的三点，则、、的大小关系为（ ） A. B. C. D. 9. 在同一平面直角坐标系中，直线和抛物线，如图所示，，是方程的两个根，且，则函数的坐标系中的图象大致为（ ） A. B. C. AI D. AI 10. 从如图所示的二次函数的图象中，观察得出了下面五条信息： ①；②；③；④；⑤．你认为其中正确信息的有（ ） A. ①②③⑤ B. ①②③④ C. ①②④⑤ D. ①③④⑤ 二、填空题：本大题共有6小题，每小题3分，共18分．请将答案填在答题卡上对应的横线上． 11. 已知三角形两边的长是2和4，第三边的长是方程的根，则该三角形的周长是_____． 12. 某一型号飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）与滑行时间x（单位：s）之间的函数关系式是y=60x﹣1.5x2，该型号飞机着陆后滑行_m才能停下来． 13. 已知抛物线的顶点在轴上，则______． 14. 如图，在中，，将三角形绕点按顺时针方向旋转到三角形的位置，使得点在一条直线上，那么旋转角等于__________． 15. 2020年我国某地有一人患了新冠，经过两轮传染后共有100人患了流感，如果按照这样的速度传染，经过三轮后共有______人患了新冠． 16. 如图，已知抛物线+P+q的对称轴为直线=－2，过其顶点的一条直线与该抛物线的另一个交点为（－1，－1）．若在轴上存在一点P，使得PM+PN最小，则点P的坐标为________. 三、解答题：本大题共有6小题，共52分．请将必要的文字说明、计算过程或推理过程写在答题卡的对应位置． 17. 解方程：． 18. 已知关于x的方程x2﹣2（k+1）x+k2=0有两个实数根x1、x2． （1）求k的取值范围； （2）若x1+x2=3x1x2﹣6，求k的值． 19. 为了让学生亲身感受合肥城市的变化，蜀山中学九（1）班组织学生进行“环巢湖一日研学游”活动，某旅行社推出了如下收费标准：（1）如果人数不超过30人，人均旅游费用为100元；（2）如果超过30人，则每超过1人，人均旅游费用降低2元，但人均旅游费用不能低于80元．该班实际共支付给旅行社3150元，问：共有多少名同学参加了研学游活动？ 20. 如图1，将两个完全相同的三角形纸片和重合放置，其中，，．如图2，固定，将绕点旋转，当点恰好落在边上时， （1）______；旋转角______ （2）设的面积为，的面积为，则与的数量关系是什么？证明你的结论． 21. 俄罗斯世界杯足球赛期间，某商店销售一批足球纪念册，每本进价40元，规定销售单价不低于44元，且获利不高于30%．试销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300本，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10本，现商店决定提价销售．设每天销售量为y本，销售单价为x元． （1）请直接写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围； （2）当每本足球纪念册销售单价是多少元时，商店每天获利2400元？ （3）将足球纪念册销售单价定为多少元时，商店每天销售纪念册获得的利润w元最大？最大利润是多少元？ 22. 如图，已知抛物线经过点三点． （1）求抛物线的解析式； （2）点M是线段上的点（不与B、C重合），过M作轴交抛物线于N，若点M的横坐标为m，请用含m的代数式表示的长； （3）在（2）的条件下，连接，是否存在m，使的面积最大？若存在，求m的值和的面积；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年10月九年级数学学科测试调研卷 一、单选题（每小题3分，共10小题30分） 1. 下列电动车品牌标志中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 【详解】A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； C、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 2. 已知点A（a，﹣1）与B（2，b）是关于原点O的对称点，则（　　） A. a＝﹣2，b＝﹣1 B. a＝﹣2，b＝1 C. a＝2，b＝﹣1 D. a＝2，b＝1 【答案】B 【解析】 【分析】平面直角坐标系中任意一点 P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣ y），记忆方法是结合平面直角坐标系的图形记忆．根据条件就可以求出 a，b的值． 【详解】解：∵点 A（a，﹣1）与点 B（2，b）是关于原点 O 的对称点， ∴a=﹣2，b=1， 故选B． 【点睛】此题考查关于原点对称的点的坐标，关于原点对称的点坐标的关系，是需要识记的基本问题．根据对称点坐标之间的关系可以得到方程或方程组问题． 3. 共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放1000辆单车，计划第三个月投放单车数量比第一个月多440辆．设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，则所列方程正确的为（　　） A. 1000（1+x）2＝1000+440 B. 1000（1+x）2＝440 C. 440（1+x）2＝1000 D. 1000（1+2x）＝1000+440 【答案】A 【解析】 【分析】根据第一个月的单车数量×(1+x)2=第三个月的单车数量可以列出相应的一元二次方程，进而可得答案． 【详解】解：由题意可得，1000（1+x）2＝1000+440． 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用之增长率问题，属于常考题型，正确理解题意、找准相等关系是解题的关键． 4. 将方程配方，变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先把二次项系数化为1，然后进行移项，再进行配方，方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可变形成左边是完全平方，右边是常数的形式． 【详解】∵3x2+6x-1=0 ∴3（x2+2x）-1=0 ∴3（x2+2x+1-1）-1=0 ∴3（x2+2x+1）-3-1=0 ∴3（x+1）2-4=0 故选C 【点睛】先把二次项的系数化为1，再在等式两边同时加上一次项系数一半的平方． 选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数． 5. 二次函数y=2x2－4x＋3的图像先向左平移4个单位，再向下平移2个单位长度后的抛物线的解析式为（ ） A. y=2(x－4)2－4x＋1 B. y=2(x＋4)2＋1 C. y=2x2＋12x＋17 D. y=2x2－10x－17 【答案】C 【解析】 【分析】先确定抛物线的顶点坐标为（1，1），再利用点平移的坐标变换规律得到点（1，1）平移后所得对应点的坐标为（-3，-1），然后根据顶点式写出平移后所得图象的解析式． 【详解】，则抛物线的顶点坐标为（1，1）， 根据题意，把点（1，1）先向左平移4个单位，再向下平移2个单位长度后所得对应点的坐标为（-3，-1）， 所以平移后的抛物线解析式为． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式． 6. 如图所示，在中，，将绕点A逆时针旋转，使点C落在线段上的点E处，点B落在点D处，则两点间的距离为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过勾股定理计算出长度，利用旋转性质求出各对应线段长度，利用勾股定理求出B、D两点间的距离． 【详解】解：连接． ∵在中，， ∴， ∵将绕点A逆时针旋转，使点C落在线段上的点E处，点B落在点D处， ∴， ∴， 在中， ． 故选：C． 【点睛】题目考查勾股定理和旋转的基本性质，解决此类问题的关键是掌握旋转的基本性质，特别是线段之间的关系．题目整体较为简单，适合随堂训练． 7. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ） A. B. 且 C. 且 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的定义，根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键；因此此题根据根的判别式可得，且，然后求解即可． 【详解】解：由题意得： ，且， 解得：且； 故选B． 8. 设点，，是抛物线上的三点，则、、的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上的点的坐标特征，二次函数的增减性，利用增减性比较函数值的大小，由题意可得对称轴为轴，则关于轴的对称点为，根据二次函数的增减性可得函数值的大小关系． 【详解】解：抛物线解析式为， 对称轴为轴 ∵关于对称轴轴对称点为， ∴是抛物线上点， 又∵， 当时，随的增大而减小， ，点，，是抛物线上的三点， ， 故选：D． 9. 在同一平面直角坐标系中，直线和抛物线，如图所示，，是方程的两个根，且，则函数的坐标系中的图象大致为（ ） A. B. C. AI D. AI 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数，二次函数图象与系数的关系，一元二次方程根于系数的关系等知识点，通过图象交点的横坐标确定，的正负是解题的关键．根据方程的两个根和，即转化为与函数图象交点问题，通过图象交点可得，即可确定函数在坐标系中的大致图象． 【详解】解：，是方程的两个根， ，为与函数图象交点的横坐标， 由图象可得：， ∴，， 故函数在坐标系中的图象经过第二、三、四象限， 故选：B． 10. 从如图所示的二次函数的图象中，观察得出了下面五条信息： ①；②；③；④；⑤．你认为其中正确信息的有（ ） A. ①②③⑤ B. ①②③④ C. ①②④⑤ D. ①③④⑤ 【答案】A 【解析】 【分析】主要考查图象与二次函数系数之间的关系，由抛物线的开口方向判断与0的关系，由抛物线与轴的交点判断与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：∵函数图象与轴的交点在轴的负半轴可知， ∴， 故①正确； 函数图象开口向上， ， ∵函数的对称轴为直线， ∴， ∴故， 故②正确； 把代入函数解析式，由函数的图象可知，时，即， 故③正确； ∵， ∴， 故④错误； ∵， ∴， 故⑤正确； 其中正确信息的有①②③⑤． 故选：A． 二、填空题：本大题共有6小题，每小题3分，共18分．请将答案填在答题卡上对应的横线上． 11. 已知三角形两边的长是2和4，第三边的长是方程的根，则该三角形的周长是_____． 【答案】10 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，构成三角形的条件， 先利用因式分解法解方程得到或，再根据三角形中，任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边求出第三边的范围，进而确定第三边的长即可得到答案． 【详解】解：解方程得或， ∵三角形两边的长是2和4， ∴第三边长， ∵第三边的长是方程的根， ∴第三边长为4， ∴该三角形的周长是， 故答案为：10． 12. 某一型号飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）与滑行时间x（单位：s）之间的函数关系式是y=60x﹣1.5x2，该型号飞机着陆后滑行_m才能停下来． 【答案】600 【解析】 【详解】解：∵﹣1.5＜0， ∴函数有最大值． ∴， 即飞机着陆后滑行600米才能停止， 故答案为：600． 13. 已知抛物线的顶点在轴上，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的性质，化为顶点式可求得抛物线的顶点坐标，可得到关于的方程，可求得的值． 【详解】解：， 抛物线顶点坐标为， 抛物线的顶点在轴上， ，解得， 故答案为：． 14. 如图，在中，，将三角形绕点按顺时针方向旋转到三角形的位置，使得点在一条直线上，那么旋转角等于__________． 【答案】##度 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理可求，再根据旋转的性质可得旋转角为． 【详解】解：∵，， ∴， 根据旋转的性质可得： 旋转角为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理、旋转的性质，掌握旋转的性质是解题的关键． 15. 2020年我国某地有一人患了新冠，经过两轮传染后共有100人患了流感，如果按照这样的速度传染，经过三轮后共有______人患了新冠． 【答案】1000 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设平均一个人传染人，根据“有一人患了新冠，经过两轮传染后共有100人患了流感”，即可得出关于的一元二次方程，得出，再利用经过三轮传染后患病人数经过两轮传染后患病人数平均每人传染人数），即可求出结论． 【详解】解：设平均一个人传染人， 依题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）， ∴平均一个人传染9人， 经过三轮后患流感的人数为：（人）． 故答案为：1000． 16. 如图，已知抛物线+P+q的对称轴为直线=－2，过其顶点的一条直线与该抛物线的另一个交点为（－1，－1）．若在轴上存在一点P，使得PM+PN最小，则点P的坐标为________. 【答案】（0，-） 【解析】 【分析】根据线段垂直平分线的性质，可得N，根据待定系数法，可得函数解析式，根据配方法，可得M点坐标，根据两点之间线段最短，可得MN′，根据自变量与函数值的对应关系，可得P点坐标． 【详解】解：如图， 作N点关于y轴的对称点N′， 连接MN′交y轴于P点， 将N点坐标代入抛物线，并联立对称轴，得 ， 解得 ， y＝x2+4x+2＝（x+2）2﹣2， M（﹣2，﹣2）． N点关于y轴的对称点N′（1，﹣1）， 设MN′的解析式为y＝kx+b， 将M、N′代入函数解析式，得 ， 解得 ， MN′的解析式为y＝， 当x＝0时，y＝，即P（0，）． 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，利用了线段垂直平分线的性质，两点之间线段最短得出P点的坐标是解题关键． 三、解答题：本大题共有6小题，共52分．请将必要的文字说明、计算过程或推理过程写在答题卡的对应位置． 17. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 根据因式分解法解一元二次方程即可求解． 【详解】解：， ， ， ， 解得：． 18. 已知关于x的方程x2﹣2（k+1）x+k2=0有两个实数根x1、x2． （1）求k的取值范围； （2）若x1+x2=3x1x2﹣6，求k的值． 【答案】（1）k≥﹣（2）k=2． 【解析】 【分析】（1）根据方程有两个实数根，从而得出△=，得出k的取值范围； （2）根据韦达定理得出两根之和和两根之积，然后代入代数式求出k的值，然后根据k的取值范围得出答案． 【详解】（1）∵方程x2﹣2（k+1）x+k2=0有两个实数根x1，x2， ∴△≥0，即4（k+1）2﹣4×1×k2≥0， 解得k≥﹣， ∴k的取值范围为k≥﹣． （2）∵方程x2﹣2（k+1）x+k2=0有两个实数根x1，x2， ∴x1+x2=2（k+1），x1x2=k2， ∵x1+x2=3x1x2﹣6， ∴2（k+1）=3k2﹣6，即3k2﹣2k﹣8=0， ∴k1=2，k2=﹣， ∵k≥﹣， ∴k=2． 19. 为了让学生亲身感受合肥城市的变化，蜀山中学九（1）班组织学生进行“环巢湖一日研学游”活动，某旅行社推出了如下收费标准：（1）如果人数不超过30人，人均旅游费用为100元；（2）如果超过30人，则每超过1人，人均旅游费用降低2元，但人均旅游费用不能低于80元．该班实际共支付给旅行社3150元，问：共有多少名同学参加了研学游活动？ 【答案】共有35名同学参加了研学游活动． 【解析】 【分析】由该班实际共支付给旅行社3150元，可以判断出参加的人数在30人以上，等量关系为：（100﹣在30人基础上降低的人数×2）×参加人数=3150，得到相关解后根据人均活动费用不得低于80元作答即可． 【详解】解：∵100×30=3000＜3150， ∴该班参加研学游活动的学生数超过30人． 设九（1）班共有x人去旅游，则人均费用为[100﹣2（x﹣30）]元，由题意得： x[100﹣2（x﹣30）]=3150， 整理得x2﹣80x+1575=0， 解得x1=35，x2=45， 当x=35时，人均旅游费用为100﹣2（35﹣30）=90＞80，符合题意． 当x=45时，人均旅游费用为100﹣2（45﹣30）=70＜80，不符合题意，应舍去． 答：该班共有35名同学参加了研学旅游活动． 20. 如图1，将两个完全相同的三角形纸片和重合放置，其中，，．如图2，固定，将绕点旋转，当点恰好落在边上时， （1）______；旋转角______ （2）设的面积为，的面积为，则与的数量关系是什么？证明你的结论． 【答案】（1）； （2） ，证明：由（1）得， ∴， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即． 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，等边三角形的判定与性质． （1）如图2，理由旋转的性质得，，为旋转角，则可判断为等边三角形，于是得到，旋转角为； （2）根据平行线的判断方法可判断，利用平行线间距离相等和中线平分面积可得． 【小问1详解】 解：如图1， ，，， ， 如图2， 绕点旋转，点恰好落在边上， ，，为旋转角， 为等边三角形， ， 即旋转角为； 故答案为：；； 【小问2详解】 略 21. 俄罗斯世界杯足球赛期间，某商店销售一批足球纪念册，每本进价40元，规定销售单价不低于44元，且获利不高于30%．试销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300本，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10本，现商店决定提价销售．设每天销售量为y本，销售单价为x元． （1）请直接写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围； （2）当每本足球纪念册销售单价是多少元时，商店每天获利2400元？ （3）将足球纪念册销售单价定为多少元时，商店每天销售纪念册获得的利润w元最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）y=﹣10x+740（44≤x≤52）；（2）当每本足球纪念册销售单价是50元时，商店每天获利2400元；（3）将足球纪念册销售单价定为52元时，商店每天销售纪念册获得的利润w元最大，最大利润是2640元． 【解析】 【分析】（1）售单价每上涨1元，每天销售量减少10本，则售单价每上涨（x﹣44）元，每天销售量减少10（x﹣44）本，所以y=300﹣10（x﹣44），然后利用销售单价不低于44元，且获利不高于30%确定x的范围； （2）利用每本的利润乘以销售量得到总利润得到（x﹣40）（﹣10x+740）=2400，然后解方程后利用x的范围确定销售单价； （3）利用每本的利润乘以销售量得到总利润得到w=（x﹣40）（﹣10x+740），再把它变形为顶点式，然后利用二次函数的性质得到x=52时w最大，从而计算出x=52时对应的w的值即可． 【详解】（1）y=300﹣10（x﹣44）， 即y=﹣10x+740（44≤x≤52）； （2）根据题意得（x﹣40）（﹣10x+740）=2400， 解得x1=50，x2=64（舍去）， 答：当每本足球纪念册销售单价是50元时，商店每天获利2400元； （3）w=（x﹣40）（﹣10x+740） =﹣10x2+1140x﹣29600 =﹣10（x﹣57）2+2890， 当x＜57时，w随x的增大而增大， 而44≤x≤52， 所以当x=52时，w有最大值，最大值为﹣10（52﹣57）2+2890=2640， 答：将足球纪念册销售单价定为52元时，商店每天销售纪念册获得的利润w元最大，最大利润是2640元． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，解决二次函数应用类问题时关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后利用二次函数的性质确定其最大值；在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围． 22. 如图，已知抛物线经过点三点． （1）求抛物线的解析式； （2）点M是线段上的点（不与B、C重合），过M作轴交抛物线于N，若点M的横坐标为m，请用含m的代数式表示的长； （3）在（2）的条件下，连接，是否存在m，使的面积最大？若存在，求m的值和的面积；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，当时，△BNC的面积最大为 【解析】 【分析】本题考查二次函数的综合应用．正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键． （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）用，即可得出结果； （3）根据的面积等于，列出二次函数解析式，求值即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线经过点三点， ∴设抛物线的解析式为， 把代入得：， ∴， ∴抛物线的解析式：； 【小问2详解】 设直线的解析式为：， 把代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， ∴， 又∵轴， ∴， ∴； 【小问3详解】 存在， ， ∴当最大时，的面积最大， ∵， 当时，有最大值为， 所以当时，的面积最大为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $