湖北省武汉市第六中学2024-2025学年高一上学期第二次月考数学试卷

武汉六中高一年级第二次月考数学试卷 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1．已知集合， ，则（   ） A． B．0、1、 3 C． D． 2．已知，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 3．下列函数的最值中错误的是（   ） A．的最小值为2 B．已知，的最大值是 C．已知，的最小值为3 D．的最大值5 4．已知关于的不等式的解集是，则下列说法错误的是（    ） A． B． C． D．不等式的解集是 5．已知函数f(x)＝，在(0，a－5)上单调递减，则实数a的取值范围是（    ） A．[6，8] B．[6，7] C．(5，8] D．(5，7] 6．已知函数，且，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．如图，中，，，，点从点出发，以的速度沿向点运动，同时点从点出发，以的速度沿向点运动，直到它们都到达点为止．若的面积为，点的运动时间为，则与的函数图象是（　　） A．B．C．D． 8．已知函数为定义在上的偶函数，，，，且，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9．若是的必要不充分条件，则实数a的值可以为（   ） A．2 B． C． D．0 10．下列说法正确的是（    ） A．若幂函数的图象经过点，则函数的解析式为 B．若函数，则在区间上单调递减 C．若正实数m，n满足，则 D．若函数，则对任意，，且，有 11．定义域为的奇函数，满足，下列叙述正确的是（    ） A．存在实数，使关于的方程有3个不同的解 B．当时，恒有 C．若当时，的最小值为1，则 D．若关于的方程和的所有实数根之和为0，则或 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．已知不等式对任意恒成立，则正实数a的取值范围是 . 13．若函数的定义域为，则的定义域为 ． 14．设函数的定义域为，满足，且当时，.若对任意，都有，则的取值范围是 . 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．已知实数集，集合，集合 （1）当时，求； （2）设，求实数的取值范围. 16．中国芯片产业崛起，出口额增长迅猛，展现强劲实力和竞争力．中国自主创新，多项技术取得突破，全球布局加速．现有某芯片公司为了提高生产效率，决定投入万元买一套生产设备．预计使用该设备后，前n（）年的支出成本为万元，每年的销售收入98万元．使用若干年后对该设备处理的方案有两种，方案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以20万元的价格处理；方案二：当年平均盈利额达到最大值时，该设备以30万元的价格处理，哪种方案较为合理？并说明理由（注：年平均盈利额） 17．已知函数． (1)若，求在上的值域； (2)设，记的最小值为，求的最小值． 18．已知函数的定义域为，对任意的，都有．当时，． (1)求的值，并证明：当时，； (2)判断的单调性，并证明你的结论； (3)若，求不等式的解集. 19．若函数G在上的最大值记为，最小值记为，且满足，则称函数G是在上的“美好函数”． (1)下列三个函数①；②；③，哪个（些）是在上的美好函数，说明理由． (2)已知函数． ①函数G是在上的“美好函数”，求a的值； ②当时，函数G是在上的“美好函数”，求t的值； (3)已知函数，若函数G是在（m为整数）上的“美好函数”，且存在整数k，使得，求a的值． 试卷第2页，共4页 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B A C D B C D BCD ACD 题号 11 答案 ACD 1．B 【详解】由，得或或，故. 因为，所以. 故选：B. 2．B 【分析】对于A：， 因为，则，， 所以，当时，，当时，， 当时，，A错误； 对于B：因为，则，，， 则， 所以，B正确； 对于C，因为，则，，， 由题意， 即，故C错误； 对于D，由题意，即，故D错误. 故选：B. 3．A 【详解】当时，，故命题错误，A符合题意； 当时，， 当且仅当，即时取等号，命题正确，B不符合题意； 当时，，则， 当且仅当，即时取等号，故命题正确，C不符合题意； 由题意，，则， 当且仅当，即时取等号，故命题正确，D不符合题意. 故选：A 4．C 【详解】因为关于的不等式的解集是， 则，且1，3是方程的两个根，于是得，解得， 对于A，由，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，不等式化为， 即，解得或，故D正确.故选：C. 5．D 【详解】函数，画出函数的大致图象，如图所示： 函数在上单调递减， 由图象可知：，解得：， 故实数的取值范围是：,. 故选：. 6．B 【详解】因为的定义域为，且， 可知函数为奇函数， 当，则，且的开口向上，对称轴为， 可知在内单调递增，由奇函数性质可知在内单调递增， 所以在内单调递增， 若，则， 可得，即，解得， 所以实数的取值范围是.故选：B. 7．C 【详解】∵，，，∴， 根据题意得：点到达点的时间是，到达点的时间为，点到达点的时间为， 当点在边上时（不含端点），，， 如图，过点作于点，则， ∴， ∴，∴，解得：，， ∴， 当点在边上时，，，，如图， ∴，， ∴， 即, 综上所述，与的函数关系式为 ， ∴函数图象第一段为过原点的开口向上的抛物线的一部分，第二段为自左向右逐渐下降的抛物线的一部分．故选：C 8．D 【详解】由题意，，，则， 由，得，即， 因为，，得，即， 设，则函数在上单调递减， 又，则， 则不等式，即， 则，所以， 又函数为定义在R上的偶函数，所以当时，， 又，所以不等式的解集为.故选：D. 9．BCD 【详解】由可解得：或， 依题意，是的真子集，则可以是，或. 当时，易得； 当，可得； 当，可得.故选：BCD. 10．ACD 【详解】解：对于选项A，设幂函数为，代入点，即，解得，所以幂函数的解析式为，故A正确； 对于选项B，函数是偶函数且在区间上单调递减，所以函数在区间上单调递增，故B错误； 对于选项C，因为函数在上单调递增，，满足， 所以，因为函数在上单调递减，则，故C正确； 对于选项D，由于，,\ 则，，， 所以 ，所以，故D正确. 故选：ACD． 11．ACD 【详解】对于A，因为是奇函数，所以， 当，则，所以，所以， 当，则， 所以，所以， 如下图，画出的大致图象，结合图象， 当或时，函数与函数的图象有3个交点. 当，函数与函数的图象有2个交点， 当，或，函数与函数的图象有1个交点，故A正确； 对于B，如图，当时，函数不是减函数，故B错误； 对于C，由解得，由解得， 如图所示，直线与函数图象相交于， 故当的最小值为1时，，故C正确； 对于D，若时，由解得， 由解得，， 所以， 若使与所有实根之和为0， 则当时，由，得， 则当时，由抛物线对称性可得与的 两个交点横坐标之和为，所以与的交点的横坐标为， 此时，综上所述，或，故D正确. 故选：ACD. 12． 【详解】依题意，对任意，不等式恒成立， 当时，，当且仅当时取等号， 因此，所以正实数a的取值范围是.故答案为： 13． 【详解】因为函数的定义域为，所以， 所以要使函数有意义，则，即，解得， 所以函数的定义域为.故答案为：. 14． 【详解】时，，而时， 所以，又， 所以当时，， 当时，， 作出示意图如下图所示： 要使，则需，结合上图， 由，解得，所以. 15．（1）（2） 【详解】解：（1）当时，. 或 ，或 . （2）∵,∴, 当时，，符合题意. 当时，，，. 综上可得：的取值范围是 16．方案二更合理，理由见解析 【详解】方案二更合理，理由如下： 设为前年的总盈利额，单位：万元； 由题意可得， 方案一：总盈利额， 当时，取得最大值；此时处理掉设备，则总利额为万元 方案二：平均盈利额为， 当且仅当，即时，等号成立；即时，平均盈利额最大，此时， 此时处理掉设备：总利润为万元； 综上，两种方案获利都是万元，但方案二仅需要年即可，故方案二更合适． 17． (1) (2) 【详解】 （1）， 当， 在单调递减，在单调递增， ，函数在上值域为， 当在单调递增， ，函数在上值域为， 综上所述，函数在上值域为； （2）由题意可知，， ①当时，根据二次函数的性质，可知函数在单调递减，在上单调递增， 函数的最小值为； ②当时，根据二次函数的性质，可知函数在单调递减，在上单调递增， 函数的最小值为； ③当时，根据二次函数的性质，可知函数在单调递减，在上单调递增， 故函数的最小值为， 综上所述，， 当时，函数的最小值为，此时； 当时，函数的最小值为，此时； 当时，函数的最小值为，此时． 综上所述，的最小值为． 18．(1)，证明见解析(2)在上单调递减，证明见解析(3)答案见解析 【详解】（1）因为，都有， 所以令，得，则， 因为时，， 所以当时，，则， 令，得， 所以，证毕. （2）在上单调递减，证明如下： 不妨设，则，， 令， 则，所以， 即，所以在上单调递减； （3）由，得， 又，所以， 由（2）知在上单调递减， 所以，所以， 所以， 当时，不等式为，所以不等式的解集为； 当时，不等式为，所以不等式的解集为； 当时，不等式为， 若时，则，所以不等式的解集为， 若时，则，所以不等式的解集为， 若时，则，所以不等式的解集为， 综上所述：时，不等式的解集为， 时，不等式的解集为， 时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 时，不等式的解集为. 19．(1)①，理由见解析；(2)①或，②或；(3) 【详解】（1）对于①在上单调递增 当时，，当时，，∴，符合题意； 对于②在上单调递增 当时，，当时，，∴，不符合题意； 对于③在上单调递增 当时，，当时，，∴，不符合题意； 故①是在上的美好函数； （2）①二次函数对称轴为直线， 当时，，当时，， 当时，在上单调递增， ，， 当时，在上单调递减， ，， 综上所述，或； ②二次函数为，对称轴为直线， 在上单调递增，在上单调递减， 当，， 当时，， 当时，． 若，在上单调递增， 则，解得（舍去）； 若，在上单调递减，在上单调递增， 则，解得（舍去），； 若，在上单调递减，在上单调递增， 则，解得，（舍去）； 若，在上单调递减， 则，解得（舍去）． 综上所述，或； （3）由（2）可知，二次函数对称轴为直线， 又， ， ， 当时，在上单调递增 当时取得最大值，时取得最小值， ∴ ，为整数，且，，即的值为5， 又∵， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $$