2024-2025学年九年级中考数学一轮复习小专题特训：二元一次方程组

备战2025年中考数学一轮复习小专题特训：二元一次方程组 一、单选题 1．若，则的平方根为（    ） A．1 B． C．5 D． 2．我们在解二元一次方程组时，可将第一个方程代入第二个方程消去y，得到，从而求解．这种解法体现的数学思想是（　　） A．数形结合思想 B．分类讨论思想 C．转化思想 D．整体思想 3．在平面直角坐标系中，将点向右平移4个单位长度得到点，则的值是（    ） A． B．1 C．2 D．3 4．已知关于的方程组中，与互为相反数，则的值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 5．甲是乙现在的年龄时，乙15岁；乙是甲现在的年龄时，甲30岁，那么（   ） A．甲比乙大5岁 B．甲比乙大10岁 C．乙比甲大10岁 D．乙比甲大5岁 6．我国古代数学名著《张邱建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗．今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何？”意思是：现在一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清酒、醑酒各几斗？如果设清酒x斗，醑酒y斗，那么可列方程组为（ 　 ） A． B． C． D． 7．《九章算术》是中国古代数学著作之一，书中有这样的一个问题：今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重，适等．交易其一，金轻十三两．问金、银一枚各重几何？大意是说：九枚黄金与十一枚白银重量相等，互换一枚，黄金比白银轻13两，问：每枚黄金、白银的重量各为多少？设一枚黄金的重量为x两，一枚白银的重量为y两，则可列方程组为（ ） A． B． C． D． 8．定义一种新运算： ①若，则或； ②若，则； ③若，则的最小值为14； ④若关于的二元一次方程组的解为，则关于的方程组 的解满足：． 以上说法正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 9．已知中，比大，，则 ． 10．若二次方程组有唯一解，则k的所有可能取值为 ． 11．若m，n满足方程组，则的值为 ． 12．若关于的不等式组有且仅有4个整数解，且关于、的方程组的解为整数，则所有满足条件的整数的值之和为 ． 13．甲、乙、丙三人各有糖若干块，甲从乙处取来一些糖，使原有糖的块数增加一倍，乙从丙处取来一些糖，使留下的块数增加一倍，丙再从甲处取来一些糖，也使留下的块数增加一倍．这时三人的糖块一样多．开始时，丙有32块糖，则乙原来有 块糖． 14．如图，块相同的小长方形地砖拼成一个大长方形，设每块小长方形地砖的长为，宽为，可列方程组： ． 15．已知关于x、y的二元一次方程组的解满足，且关于x的不等式组有解，那么所有符合条件的整数a的个数为 ． 16．甲、乙两人骑自行车匀速同向行驶，乙在甲前面处，同时出发去距离甲的目的地，甲的速度比乙快．设甲、乙之间的距离为，乙行驶的时间为，y与x之间的关系如图所示，则C的坐标为 ． 三、解答题 17．已知a，b均为实数，且与互为相反数，求的值． 18．解方程组： 19．已知关于x，y的方程组的解满足，求a的值． 20．某电器超市销售每台进价分别为160元、120元的、两种型号的电风扇，如表是近两周的销售情况： 销售时段 销售数量 销售收入 种型号 种型号 第一周 3台 4台 1200元 第二周 5台 6台 1900元 (1)求、两种型号的电风扇的销售单价； (2)若超市准备用不多于7500元的金额再采购这两种型号的电风扇共50台，超市销售完这50台电风扇能否实现利润超过1850元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由． 21．我市在创建全国文明城市过程中，决定购买A，B两种树苗对某路段道路进行绿化改造，已知购买A种树苗8棵，B种树苗3棵，需要950元；若购买A种树苗5棵，B种树苗6棵，则需要800元． (1)求购买A，B两种树苗每棵各需多少元？ (2)考虑到绿化效果和资金周转，购进A种树苗不能少于50棵，且用于购买这两种树苗的资金不能超过7650元，若购进这两种树苗共100棵，则有几种购买方案？ (3)某包工队承包种植任务，若种好一棵A种树苗可获工钱30元，种好一棵B种树苗可获工钱20元，在第（2）问的各种购买方案中，种好这100棵树苗，哪一种购买方案所付的种植工钱最少？最少工钱是多少元？ 22．我们约定：若点的坐标为，则把坐标为的点称为点的“阶益点”（其中为正整数），例如，即就是点的“阶益点”． (1)已知点是点的“阶益点”，求点的坐标； (2)已知点是点的“阶益点”，将点先向右移动个单位，再向下移动个单位得到点，若点落在第四象限，求的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B C D B A A D A 1．B 【分析】根据绝对值和算术平方根的非负性得到，解出，即可的平方根． 【详解】解：∵，， ∴当， 则， 解得：， ∴， ∴其平方根为， 故选：B． 【点睛】此题主要考查了绝对值的非负性，算术平方根的非负性，二元一次方程组的解法，以及求一个数的平方根，正确得出二元一次方程组是解题关键． 2．C 【分析】本题主要考查对解二元一次方程组解法的理解，掌握转化思想解决数学问题是解题的关键．根据解二元一次方程组的方法即可求解． 【详解】解：将第一个方程代入算二个方程消去得，是代入消元法解二元一次方程组，体现了转化思想， 故选：C． 3．D 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—平移，解二元一次方程组，根据“上加下减，左减右加”的平移规律得到，利用加减消元法得到，即． 【详解】解：∵将点向右平移4个单位长度得到点， ∴， 得：，即， 故选：D． 4．B 【分析】本题考查了二元一次方程组的解和解二元一次方程组，解题的关键是熟知解二元一次方程组的步骤．由方程组得解互为相反数可知，代入方程组可求出m的值． 【详解】解：与互为相反数， ， 代入方程组得，， 由得：， 解得：， 故答案为：B． 5．A 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．设甲现在的年龄为岁，乙现在的年龄为岁，根据“甲是乙现在的年龄时，乙15岁；乙是甲现在的年龄时，甲30岁”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设甲现在的年龄为岁，乙现在的年龄为岁， 依题意，得：， 解得：． 甲现在的年龄为25岁，乙现在的年龄为20岁， 甲比乙大5岁 故选：A． 6．A 【分析】本题考查了由实际问题列二元一次方程，设清酒x斗，醑酒y斗，根据“现在一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒”列出二元一次方程组即可，理解题意，找准等量关系，正确列出方程是解此题的关键． 【详解】解：设清酒x斗，醑酒y斗， 由题意得：， 故选：A． 7．D 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．根据“甲袋中装有黄金枚，乙袋中装有白银枚，称重两袋相等；两袋互相交换枚后，甲袋比乙袋轻了两”，即可列出关于，的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：甲袋中装有黄金枚，乙袋中装有白银枚，称重两袋相等， ； 两袋互相交换枚后，甲袋比乙袋轻了两， ． 根据题意可列方程组． 故选：D． 8．A 【分析】①分类讨论当时和当时，结合新定义的运算法则计算即可判断；②由绝对值的非负性可知．再分类讨论当时和当时，化简绝对值求解即可；③解不等式得：，即得出，，，结合新定义的运算法则可求出 ．再分类讨论当时，即时和当时，即时，化简绝对值求解即可；④由二元一次方程组的解的定义可求出a和b的值，结合完全平方公式可将原方程组改为，再根据平方的非负性结合新定义的运算法则计算即可． 【详解】解：①当时，即， ∴， 解得：； 当时，即， ∴， 解得：，不符合题意， 综上可知若，则，故①错误； ②∵， ∴， ∴． 当时，， ∴， 解得：； 当时，， ∴， 解得：， 综上可知若，则或，故②错误； ③∵， ∴，或，， 解得：． ∴，，， ∴， ∴． 当时，即时，， ∴此时当时有最小值，为； 当时，即时，． 综上可知若，则的最小值为14，故③正确； ④将代入，得：， ∴原方程组为， ∴． ∵，，，，，，， ∴， ， ， ， ∴原方程为， 解得：， ∴，故④错误． 综上可知正确的只有③． 故选A． 【点睛】本题考查新定义运算，化简绝对值，解不等式和不等式组，二元一次方程组的解和解二元一次方程组，完全平方公式的应用，分类讨论思想的运用．理解题意，掌握新定义的运算法则是解题关键． 9．/度 【分析】题目主要考查三角形内角和定理及二元一次方程组的应用，理解题意，列出方程组成方程组是解题关键． 根据三角形内角和定理可得，由题意比大，可得，组成方程组求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵比大， ∴， ∴， 解得：， 故答案为：． 10． 【分析】本题考查了代入法，以及一元二次方程根的判别式，通过适当的方法，把不熟悉的问题转化为熟悉的知识求解是解题的关键．利用代入法将方程组化为，再根据二次方程组有唯一解分以下情况①当时，②当时，结合一元二次方程根的判别式讨论求解，即可解题． 【详解】解：将代入中， 有， 整理得， 二次方程组有唯一解，即只有一个解， ①当时，即时，方程有一个解， ②当时，即时，方程为一元二次方程， 有当时，方程有两个相同的实数根， 即， 整理得， ， 此方程无实数根， 综上所述，当时，二次方程组有唯一解， 故答案为：． 11． 【分析】本题考查解二元一次方程组，两方程相减可得答案． 【详解】解：对于方程组， 得， 故答案为：． 12． 【分析】本题考查了解一元一次不等式组和解二元一次方程组，先求出一元一次不等式组的解集，再根据不等式组有且仅有4个整数解，得出，进而求得a的取值范围，再根据加减消元法用a表示出y的值，根据方程组的解为整数，即可得出满足条件的整数的值，进而即可求出答案． 【详解】解：， 解不等式，得， 解不等式，得， 关于的不等式组有且仅有4个整数解， ， 解得， ， 得，， ∵方程组有解，且a为整数， ∴或， ， 关于、的方程组的解为整数， 当时，，， 当时，，， 所有满足条件的整数的值之和为， 故答案为：． 13．40 【分析】本题考查了三元一次方程组的应用．根据题意列出方程组，解答即可． 【详解】解：设甲、乙二人原来分别有糖块、块糖，乙从丙处取来块糖． 则根据题意知，甲、乙、丙分别有糖块、、． 乙处糖的转换过程得知，， 由三处糖块一样多可得，， 把①代入③，得④； 由得，． 故乙原来有40块糖块． 故答案为：40． 14． 【分析】此题主要考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．设每块小长方形地砖的长为，宽为，由图示可得等量关系：①个长个长个宽，②一个长一个宽，列出方程组，解方程组即可． 【详解】解：设每块小长方形地砖的长为，宽为，由题意得： ， 故答案为：． 15．7 【分析】本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式（组）的解法、不等式（组）的特殊解等知识点，熟知方程组、不等式（组）的解法是解题的关键．先求出二元一次方程组的解，由得出a的范围；再由给出的不等式组有解的条件求出a的范围．综合考虑a的范围，即可确定符合条件的整数a的个数． 【详解】解：方程组的解为 ， ， ， 解得，， 解不等式组， 不等式①的解集是， 不等式②的解集是， ∵不等式组有解， ∴， 解得，， ， ∵a取整数， ， ∴符合条件的整数a有7个． 故答案为：7． 16． 【分析】此题主要考查函数图像的应用，解题的关键是根据函数图像得到实际的含义，再列式求解．由函数图像在B点处可知50秒时甲追上乙，C点为甲到达目的地，D点为乙达到目的地，可设甲的速度为，乙的速度为，根据题意列出方程组，求出甲、乙的速度，再求出甲到达目的地所用的时间，即可求出点C的横坐标，求出甲到达目的地时，乙行驶的路程，即可求出点C的纵坐标． 【详解】解：依题意，设甲的速度为，乙的速度为， 由函数图像可列方程：， 解得：，， ∴甲的速度为， 甲到达目的地行驶的时间为， 此时乙距目的地的距离为： ， ∴点C的坐标为：． 故答案为：． 17． 【分析】本题主要考查了非负数的性质，解二元一次方程组，相反数的定义，根据互为相反数的两个数的和为0得到，再由非负数的性质得到，解方程组得到，据此代值计算即可． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ∴， ∴， ∴． 18． 【分析】本题主要考查了代入法解二元一次方程组，首先根据②，用x表示出y，然后把它代入①，求出方程组的解是多少即可，熟练掌握代入法解二元一次方程组的方法是解决此题的关键． 【详解】由②得：③， 将③代入①得：， 解得：， 将代入③得：， 原方程组的解为． 19． 【分析】本题考查了二元一次方程的解、解一元一次方程，利用加减消元法解二元一次方程组得出，结合题意得出，解方程即可得出答案． 【详解】解：， 由得：， ∴， ∵， ∴， ∴． 20．(1)、两种型号电风扇的销售单价分别为200元、150元 (2)能，采购种型号的电风扇36台，种型号的电风扇14台或采购种型号的电风扇37台，种型号的电风扇13台 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，不等式组的应用，方案设计，根据题意弄清等量（不等）关系是解题的关键． （1）设A、B两种型号电风扇的销售单价分别为x元、y元，根据3台A型号4台B型号的电扇收入1200元，5台A型号6台B型号的电扇收入1900元，列方程组求解； （2）设采购种型号电风扇台，则采购种型号电风扇台，根据题意，列不等式组求解． 【详解】（1）解：设A、B两种型号电风扇的销售单价分别为x元、y元， 依题意得：， 解得：， 答：A、B两种型号电风扇的销售单价分别为200元、150元； （2）解：设采购种型号电风扇台，则采购种型号电风扇台． 依题意得：， 解得：， 应为整数， 或 当时，采购种型号的电风扇36台，种型号的电风扇14台； 当时，采购种型号的电风扇37台，种型号的电风扇13台． 21．(1)购买A种树苗每棵需要100元，B种树苗每棵需要50元 (2)有四种购买方案 (3)购买A种树苗50棵、B种树苗50棵时所付的种植工钱最少，最少工钱是2500元 【分析】本题主要考查一元一次不等式组、二元一次方程组的应用以及一次函数的应用． （1）设种树苗每棵元，种树苗每棵元，根据“购买种树苗8棵，种树苗3棵，需要950元；若购买种树苗5棵，种树苗6棵，则需要800元”列二元一次方程组求解可得； （2）设购进种树苗棵，则购进种树苗棵，根据“种树苗不能少于50棵，且用于购买这两种树苗的资金不能超过7650元”列不等式组求解可得； （3）设种植工钱为，得到关于的一次函数，利用一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设种树苗每棵元，种树苗每棵元， 根据题意，得：， 解得：， 答：种树苗每棵100元，种树苗每棵50元； （2）解：设购进A种树苗m棵，则购进B种树苗（100﹣m）棵， 根据题意，得：， 解得：， 故有四种购买方案； （3）解：设种植工钱为，由已知得：， ∵， 随的增大而增大， ∴当时，最小，最小值为2500元； 故购买A种树苗50棵、B种树苗50棵时所付的种植工钱最少，最少工钱是2500元． 22．(1) (2) 【分析】（1）依据题意构建方程组求解即可； （2）依据题意构建不等式组解决问题即可． 【详解】（1）解：由题意可得： ， 解得：， 点的坐标为； （2）解：由题意可得： ， 解得：． 【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，坐标与图形变化——平移，已知点所在的象限求参数，解一元一次不等式组等知识点，理解题意，学会构建方程组或不等式组解决问题是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$