2024-2025学年九年级中考数学一轮复习小专题特训：一元二次方程

备战2025年中考数学一轮复习小专题特训：一元二次方程 一、单选题 1．方程的解为（   ） A．或 B． C．或 D． 2．对于任意实数，关于的一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个不等的实数根 B．无实数根 C．有两个相等的实数根 D．无法确定 3．将方程化为一元二次方程的一般形式，其中二次项系数为1，一次项系数、常数项分别是（     ） A．， B．， 10 C．8， D．8，10 4．已知一元二次方程的两根分别为，，则的值是（    ） A．6 B．1 C． D． 5．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（   ） A． B．且 C． D． 6．如图，某小区计划在一块长为，宽为的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为．若设道路的宽为，则下面所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 7．用米长的围栏围成一边靠墙（墙足够长）的菜园，为了让菜园面积尽可能大，小红提出了围成矩形、等腰三角形（底边靠墙）、半圆形这三种方案，最佳方案是（　　） A．方案 B．方案 C．方案 D．都一样 8．要组织一次篮球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，计划安排15场比赛，设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的关系式为（       ）． A． B． C． D． 二、填空题 9．若方程是关于x的一元二次方程，则m倒数的值为 ． 10．一元二次方程的根是 ． 11．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为 ． 12．已知m，n是方程的两根，则的值为 ． 13．一种药品原价每盒100元，经过两次降价后售价为每盒64元，两次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为x，则可列方程为 ． 14．某工程队计划将一块长20米宽15米的矩形场地建设成绿化广场如图，广场内部修建三条宽相等的小路其余区域进行绿化，若使绿化区域的面积为208平方米，则小路的宽为 ． 15．我市某工艺厂设计了一款成本为20元/件的工艺品投放市场进行试销．经过调查，发现每天的销售量（件）与销售单价（元）存在一次函数关系：．当地物价部门规定，该工艺品销售单价最高不能超过40元/件，则销售单价定为 时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大为 ．（利润销售总价成本总价） 16．如果关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的倍，则称这样的方程为“倍根方程”． （1）方程 “倍根方程”（填“是”或“不是”）； （2）若是“2倍根方程”，则代数式的值为 ． 三、解答题 17．用适合的方法解下列方程： (1)； (2)； (3)． 18．已知关于x的一元二次方程．求证：无论m取何值，这个方程总有实数根． 19．请认真阅读下面材料，并完成相应任务： 利用多项式乘法法则可知，所以因式分解． 利用以上的因式分解可以解方程： 解：， ∴或， ∴． 任务： (1)利用因式分解解方程：； (2)解方程； (3)若菱形的一条对角线长是，边长是方程的一个根，则这个菱形的面积为______． 20．商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件． (1)若某天该商品每件降价3元，当天可获利多少元？ (2)设每件商品降价元，请写出盈利与的函数关系式（将函数关系式化简，不必写出自变量的取值范围）； (3)在上述销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2000元？ 21．若一元二次方程有两个实数根，且这两个实数根为相邻的偶数，则称此方程为“对偶方程”．例如：方程的两个根为，，则方程是“对偶方程”．如果关于的一元二次方程是“对偶方程”，求的值． 22．如图，在中，，，，点P从点A开始向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，当P、Q两点中有一点到达终点时，则同时停止运动． (1)如果P、Q分别从A、B同时出发，那么经过几秒时，的面积等于？ (2)如果P、Q分别从A、B同时出发，那么经过几秒时，的长度等于？ (3)几秒钟后，与相似？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A A A A B A C B 1．A 【分析】本题主要考查一元二次方程的解，熟练掌握以上知识是解题的关键． 利用因式分解解一元二次方程即可． 【详解】解：当求方程的解时， 原方程可化为， 提公因式可得， 即或， 解得：，， 故选A． 2．A 【分析】此题考查了根据一元二次方程的根的判别式判断一元二次方程的根的情况，计算一元二次方程根的判别式，进而即可求解，熟练掌握一元二次方程根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根是解题的关键． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：． 3．A 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴一次项系数、常数项分别是，， 故选：A． 4．A 【分析】本题考查根与系数的关系，根据一元二次方程的系数结合根与系数的关系即可得出的值，由此即可得出结论． 【详解】解：∵一元二次方程的两根分别为m、n， ∴． 故选：A． 5．B 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到且，由此即可求得答案． 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴， ∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， ∵，，， ∴， 解得：， ∴的取值范围为且． 故选：B． 6．A 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，平移的性质，设道路的宽为，利用平移可将草坪拼成一个长为、宽为的长方形，再根据长方形的面积公式列出方程即可求解，掌握平移的性质是解题的关键． 【详解】解：设道路的宽为， 由题意得，， 故选：． 7．C 【分析】本题主要考查了用二次函数求图形面积的最大值，求弧的半径，熟练掌握以上知识是解题的关键． 先分别算出各种方案中图形的面积，再比较大小求解． 【详解】解：设围成的图形的面积为， 方案一：设与墙相邻的边长为米，则另一边为米， 由题意得：， 当时，有最大值为； 方案二：如图： 设等腰三角形底边长为，高为， ∵为等腰三角形， ∴，， ∴，即，整理得：， ∵， ∴， 令，则， ∴当时，有最大值，最大值为， ∴当时，有最大值，最大值为； 方案三：设圆的半径为米，则：， 解得：， ∴， ∵， 故选：C． 8．B 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解决本题的关键是得到比赛总场数的等量关系，注意2队之间的比赛只有1场，最后的总场数应除以2．关系式为：球队总数每支球队需赛的场数，把相关数值代入即可． 【详解】解：每支球队都需要与其他球队赛场，但2队之间只有1场比赛， 所以可列方程为：． 故选：B 9．1 【分析】本题主要考查的是一元二次方程的定义（只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，同时需要注意未知数的二次项系数不为0），以及倒数的定义，根据一元二次方程的定义，建立等式求出m的值，再根据倒数的定义求解，即可解题． 【详解】解：方程是关于x的一元二次方程， ，， 整理得，或， 解得， m倒数的值为1， 故答案为：1． 10．， 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，掌握因式分解法解一元二次方程成为解题的关键． 直接运用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解：， ， ， 所以该方程的解为：，． 故答案为：，． 11．4 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．根据判别式的意义得到，然后解一次方程即可． 【详解】解：根据题意得， 解得． 故答案为4． 12．2 【分析】本题考查了根与系数的关系：若是一元二次方程的两根时，． 先根据根与系数的关系得到，再把展开整理得到，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：根据题意得， 所以 ． 故答案为：2． 13． 【分析】本题考查了一元二次方程实际应用题，设每次降价的百分率为x，根据原价及经过两次降价后的价格，即可得出关于x的一元二次方程． 【详解】解：设每次降价的百分率为x， 根据题意得：， 故答案为：． 14．2米 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，根据矩形的面积公式结合绿化区域的面积即可得出关于x的一元二次方程，求解方程即可． 【详解】解：设小路的宽为x米，则绿化区域的长为米，宽为米， 根据题意得，， 整理得，， 解得，（不合题意，舍去） 即小路的宽为2米， 故答案为：2米． 15． 40元/件 8000元 【分析】本题考查了二次函数的应用，设销售单价定为x元/件，则此时的销量为件，设利润为w元，根据利润=销量×单件利润，即可得出利润表达式，利用配方法求最值即可． 【详解】解：设销售单价定为x元/件，则此时的销量为件，设利润为w元， 根据题意，得 ， ∵， ∴抛物线开口向下， 当时，w随x的增大而增大， 又， ∴当时，w有最大值，最大值为， 即销售单价定为40元/件时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大为8000元． 故答案为：40元/件，8000元． 16． 是 或 【分析】（）先利用因式分解法解方程得到，，再由即可求解； （）解方程得到，，再由“倍根方程”的定义得到或，即或据此代值计算即可； 本题主要考查了解一元二次方程，分式的求值，熟练掌握知识点的应用是解题关键． 【详解】解：（）， ∴ ∴或 ， 解得，， ∵ ∴方程是“倍根方程”， 故答案为：是； （）∵ ∴ ∴， 解得， ∵是“倍根方程”， ∴或， ∴或， ∴或 ， 故答案为：或． 17．(1)， (2)， (3)， 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法是解题的关键． （1）采用直接开平方法解答即可 （2）利用配方法求解即可 （3）利用因式分解法对所给一元二次方程进行求解即可 【详解】（1） 解∶ ， （2） 解∶ ， （3） 解∶ 则或， 所以， 18．见解析 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式．熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 由题意知，，进而结论得证． 【详解】证明：∵， ∴， ∴无论m取何值，这个方程总有实数根． 19．(1)； (2)； (3) 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，菱形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握因式分解法是解题的关键． （1）利用因式分解法解方程即可； （2）利用换元法解方程即可； （3）先利用因式分解法求出方程的根，再根据菱形的性质即可求解． 【详解】（1）解： ∴， ∴或， ； （2）解：设，则原方程化为：， ∴， ∴或， 当时， ，解得：， 当时， ，解得：， ∴原方程的解为：； （3）解： ∴， ∴或， ∵菱形的一条对角线长是， ∴菱形的一条对角线长的一半是， ∵菱形的边长是对角线所分直角三角形的斜边， ∴菱形的边长为， ∴菱形的另一条对角线长为： ∴菱形的面积． 故答案为：． 20．(1)当天可获利1692元 (2) (3)每件商品降价25元时，商场日盈利可达到2000元 【分析】本题主要考查一元二次方程及二次函数的应用，解题的关键是理解题意； （1）由题意可知每天的销售量为36件，利润为47元，然后问题可求解； （2）由题意易得商场每天销售的件数为件，然后根据利润=单个利润×销售量可进行求解； （3）根据（2）及题意可进行求解． 【详解】（1）解：由题意得：（元）； 答：当天可获利1692元． （2）解：由题意得： ， ∴盈利与的函数关系式； （3）解：由（2）即题意得： ， 解得：， ∵为了尽快减少库存， ∴， 答：每件商品降价25元时，商场日盈利可达到2000元． 21．0 【分析】本题考查了根与系数的关系：若是一元二次方程的两根时，，．也考查了阅读理解能力．根据题意设两根为，则由根与系数的关系得到，消去得到关于得一元二次方程，再求解即可． 【详解】解：根据题意设两根为， 则， 消去得：， 化简得：， ∴ 解得：， ∴． 22．(1)1秒 (2)2秒 (3)或 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，勾股定理，相似三角形的性质和判定，熟练掌握各知识点是解题的关键． （1）设x秒后，的面积为，表示出，，，根据三角形面积公式表示出的面积，令其等于即可求解； （2）由勾股定理得：，即可求解； （3）根据相似三角形的性质列出方程求解即可． 【详解】（1）解：设经过秒以后，面积为（） 此时，，， 由，得， 整理得：， 解得：，（舍）． （2）解：设经过秒后，的长度等于， 由，得， 解得：（舍去），． 答：2秒后，的长度为． （3）解：当时， 即，解得 当时， ， 即， 解得， 或． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$