专题62 古典概型、概率的基本性质-2025年高考数学一轮复习讲义（知识梳理+真题自测+考点突破+分层检测）（新高考专用）

专题62 古典概型、概率的基本性质（新高考专用） 目录 【知识梳理】 2 【真题自测】 2 【考点突破】 3 【考点1】古典概型 3 【考点2】概率基本性质的应用 4 【考点3】古典概型的综合应用 6 【分层检测】 7 【基础篇】 7 【能力篇】 9 考试要求： 1.理解古典概型及其概率计算公式. 2.会计算一些随机事件所包含的样本点及事件发生的概率. 3.当直接求某一事件的概率较为复杂时，可转化为求几个互斥事件的概率之和或其对立事件的概率. 知识梳理 1.古典概型 具有以下特征的试验叫做古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型. (1)有限性：样本空间的样本点只有有限个； (2)等可能性：每个样本点发生的可能性相等. 2.古典概型的概率公式 一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率P(A)＝＝. 其中，n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数. 3.概率的性质 性质1：对任意的事件A，都有0≤P(A)≤1； 性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)＝1，P(∅)＝0； 性质3：如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B)； 性质4：如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B)； 性质5：如果A⊆B，那么P(A)≤P(B)，由该性质可得，对于任意事件A，因为∅⊆A⊆Ω，所以0≤P(A)≤1. 性质6：设A，B是一个随机试验中的两个事件，有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B). 概率的一般加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)中，易忽视只有当A∩B＝∅，即A，B互斥时，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，此时P(A∩B)＝0. 真题自测 一、单选题 1．（2024·全国·高考真题）甲、乙、丙、丁四人排成一列，则丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是（    ） A． B． C． D． 2．（2023·全国·高考真题）某学校举办作文比赛，共6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文，则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题概率为（    ） A． B． C． D． 3．（2022·全国·高考真题）从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为（    ） A． B． C． D． 4．（2022·全国·高考真题）从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（2024·天津·高考真题）五种活动，甲、乙都要选择三个活动参加.甲选到的概率为 ；已知乙选了活动，他再选择活动的概率为 ． 6．（2023·天津·高考真题）把若干个黑球和白球（这些球除颜色外无其它差异）放进三个空箱子中，三个箱子中的球数之比为．且其中的黑球比例依次为．若从每个箱子中各随机摸出一球，则三个球都是黑球的概率为 ；若把所有球放在一起，随机摸出一球，则该球是白球的概率为 ． 考点突破 【考点1】古典概型 一、单选题 1．（2024·上海普陀·二模）从放有两个红球、一个白球的袋子中一次任意取出两个球，两个红球分别标记为、，白球标记为，则它的一个样本空间可以是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·山西晋中·模拟预测）有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则下列说法错误的是（    ） A．丙与丁是互斥事件 B．甲与丙是互斥事件 C．甲与丁相互独立 D．（乙丙）（乙）+（丙） 二、多选题 3．（23-24高一上·贵州遵义·期末）不透明盒子里装有除颜色外完全相同的3个红球，2个白球，现从盒子里随机取出2个小球，记事件：取出的两个球是一个红球一个白球，事件：两个球中至少一个白球，事件：两个球均是红球，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（2024·江苏苏州·模拟预测）为了保证掷骰子游戏的公正性，可以用正n面体的骰子来进行游戏．下列数字可以作为n的取值的是（   ） 可能用到的公式：多面体的顶点数、棱数、面数分别为，则. A．4 B．12 C．16 D．20 三、填空题 5．（21-22高二·全国·课后作业）某医院某科室有5名医护人员，其中有医生2名，护士3名．现要抽调2人前往新冠肺炎疫情高风险地区进行支援，则抽调的2人中恰好为1名医生和1名护士的概率是 ． 6．（2024·陕西汉中·二模）继淄博烧烤、哈尔滨冻梨后，最近天水麻辣烫又火了．据了解天水麻辣烫店内菜品一般由竹签串起成捆摆放，人们按照自己的喜好选好后递给老板，进行调制．某麻辣烫店内有西兰花、香菇、豆皮、海带、白菜等菜品，一游客打算从以上5种蔬菜中随机选择不同的3种，则西兰花和海带被选中的概率为 ． 反思提升： 求样本空间中样本点个数的方法 (1)枚举法：适合于给定的样本点个数较少且易一一列举出的问题. (2)树状图法：适合于较为复杂的问题，注意在确定样本点时(x，y)可看成是有序的，如(1，2)与(2，1)不同，有时也可看成是无序的，如(1，2)与(2，1)相同. (3)排列组合法：在求一些较复杂的样本点个数时，可利用排列或组合的知识. 【考点2】概率基本性质的应用 一、单选题 1．（2023·吉林·二模）甲、乙、丙、丁四名教师带领学生参加校园植树活动，教师随机分成三组，每组至少一人，则甲、乙在同一组的概率为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·北京东城·二模）袋中有5个大小相同的小球，其中3个白球，2个黑球.从袋中随机摸出1个小球，观察颜色后放回，同时放入一个与其颜色大小相同的小球，然后再从袋中随机摸出1个小球，则两次摸到的小球颜色不同的概率为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 3．（23-24高三上·黑龙江鸡西·期末）下列说法中，正确的是（    ） A．用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则个体被抽到的概率是0.1 B．一组数据的第60百分位数为14 C．若样本数据的方差为8，则数据的方差为2 D．将总体划分为2层，通过分层抽样，得到两层的样本平均数和样本方差分别为，和，若，则总体方差 4．（23-24高二下·浙江·期中）某中药材盒中共有包装相同的7袋药材，其中党参有3袋，黄芪有4袋，从中取出两袋，下列说法正确的是（    ） A．若有放回抽取，则取出一袋党参一袋黄芪的概率为 B．若有放回抽取，则在至少取出一袋党参的条件下，第2次取出党参的概率为 C．若不放回抽取，则第2次取到党参的概率算法可以是 D．若不放回抽取，则在至少取出一袋党参的条件下，取到一袋党参一袋黄芪的概率为 三、填空题 5．（2024·天津·二模）两个三口之家进行游戏活动，从6人中随机选出2人，则这2人来自同一个家庭的概率为 ；若选出的2人来自同一个家庭，游戏成功的概率为0.6，若来自不同的家庭，游戏成功的概率为0.3，则游戏成功的概率为 ． 6．（2024·四川绵阳·二模）甲、乙二人用7张不同的扑克牌（其中红桃4张，方片3张）玩游戏．他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张．则甲、乙二人抽到花色相同的概率为 ． 反思提升： 复杂事件概率的求解方法 (1)对于一个较复杂的事件，一般将其分解成几个简单的事件，当这些事件彼此互斥时，原事件的概率就是这些简单事件的概率的和. (2)当求解的问题中有“至多”“至少”“最少”等关键词语时，常常考虑其对立事件，通过求其对立事件的概率，然后转化为所求问题. 【考点3】古典概型的综合应用 一、单选题 1．（2024·全国·模拟预测）4个产品中有3个正品，1个次品．现每次取出1个做检查（检查完后不再放回），直到次品被找到为止，则经过3次检查恰好将次品找到的概率是（   ） A． B． C． D． 2．（2024·上海浦东新·三模）有一袋子中装有大小、质地相同的白球k个，黑球.甲、乙两人约定一种游戏规则如下：第一局中两人轮流摸球，摸后放回，先摸到白球者本局获胜但从第二局起，上一局的负者先摸球.若第一局中甲先摸球，记第局甲获胜的概率为，则关于以下两个命题判断正确的是（    ） ①，且； ②若第七局甲获胜的概率不小于0.9，则不小于1992. A．①②都是真命题 B．①是真命题，②是假命题 C．①是假命题，②是真命题 D．①②都是假命题 二、多选题 3．（2023·河北沧州·模拟预测）袋中装有除颜色外完全相同的个红球和个白球，从袋中一次抓出个球，记事件“两球同色”，事件“两球异色”，事件“至少有一红球”，则（    ） A．事件与事件是对立事件 B．事件与事件是相互独立事件 C．若，则 D．若，则 4．（2022·福建福州·三模）一个笼子里关着10只猫，其中有4只黑猫､6只白猫，把笼子打开一个小口，使得每次只能钻出1只猫，猫争先恐后地往外钻，如果10只猫都钻出了笼子，事件表示“第只出笼的猫是黑猫”，，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 5．（2021·天津南开·模拟预测）一个袋中共有10个大小相同的黑球、白球和红球.已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是；从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是，则白球的个数为 ，现采用有放回方式从袋中依次任意摸出3个球，记得到白球的个数为，则 . 6．（2022·浙江嘉兴·模拟预测）在一次投篮训练中，甲同学每次投篮投中的概率为，乙和丙同学每次投篮投中的概率均为，每人各投1次，记为三人投中的总次数，则 ； ． 反思提升： 有关古典概型与统计结合的题型是高考考查概率的一个重要题型.概率与统计的结合题，无论是直接描述还是利用频率分布表、频率分布直方图等给出的信息，准确从题中提炼信息是解题的关键.复杂事件的概率可将其转化为互斥事件或对立事件的概率问题. 分层检测 【基础篇】 一、单选题 1．（23-24高二上·广东清远·期中）从2名男生和3名女生中任选2人参加学校志愿服务，则选中的2人中恰有一名男生的概率为（    ） A．0.6 B．0.5 C．0.4 D．0.3 2．（2021·全国·高考真题）将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·广东广州·模拟预测）一个盒子里装有3个黑球，2个白球，它们除颜色外完全相同.现每次从袋中不放回地随机取出一个球，记事件表示“第次取出的球是黑球”，，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（2024·内蒙古呼和浩特·二模）袋中共有5个除颜色外完全相同的球，其中2个红球、1个白球、2个黑球，从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 5．（23-24高二上·山东潍坊·期末）一个盒子里装有除颜色外完全相同的四个小球，其中黑球有两个，编号为1，2；红球有两个，编号为3，4，从中不放回的依次取出两个球，A表示事件“取出的两球不同色”，B表示事件“第一次取出的是黑球”，C表示事件“第二次取出的是黑球”，D表示事件“取出的两球同色”，则（    ） A．A与D相互独立. B．A与B相互独立 C．B与D相互独立 D．A与C相互独立 6．（2024·重庆·模拟预测）一枚质地均匀的正方体骰子，其中1点和4点所在面为红色，其余各面均为黑色．将这枚骰子抛掷两次，记事件“向上一面的颜色均是红色”，“向上一面的颜色不相同”， “向上一面的点数之和为5”，“向上一面的点数之和为奇数”，则（    ） A．事件A与事件C相互独立 B．事件B与事件D相互独立 C． D． 7．（2024·湖北·二模）甲袋中有20个红球．10个白球，乙袋中红球、白球各有10个，两袋中的球除了颜色有差别外，再没有其他差别．现在从两袋中各换出1个球，下列结论正确的是（    ） A．2个球都是红球的概率为 B．2个球中恰有1个红球的概率为 C．不都是红球的概率为 D．都不是红球的概率为 三、填空题 8．（23-24高三上·四川绵阳·阶段练习）甲、乙二人用4张不同的扑克牌（其中红桃3张，方片1张）玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张.则甲、乙二人抽到的花色相同的概率为 . 9．（2023·江苏·模拟预测）某校有4名同学到三个社区参加新时代文明实践宣传活动，要求每名同学只去1个社区，每个社区至少安排1名同学，则甲、乙2人被分配到同一个社区的概率 ． 10．（2024·山东济宁·三模）甲和乙两个箱子中各装有6个球，其中甲箱子中有4个红球、2个白球，乙箱子中有2个红球、4个白球，现随机选择一个箱子，然后从该箱子中随机取出一个球，则取出的球是白球的概率为 . 四、解答题 11．（23-24高二下·江苏连云港·期中）在一个盒子中有大小与质地相同的10个球，其中5个红球，5个白球，两人依次不放回地各摸个1球，求： (1)在第一个人摸出个红球的条件下，第二个人摸出个白球的概率； (2)第一个人摸出个红球，且第二个人摸出个白球的概率. 12．（21-22高三上·湖北十堰·期末）某6人小组利用假期参加志愿者活动，已知参加志愿者活动次数为2，3，4的人数分别为1，3，2，现从这6人中随机选出2人作为该组的代表参加表彰会． (1)求选出的2人参加志愿者活动次数相同的概率； (2)记选出的2人参加志愿者活动次数之和为X，求X的分布列和期望． 【能力篇】 一、单选题 1．（2024·江西南昌·一模）假设甲袋中有3个白球和2个红球，乙袋中有2个白球和2个红球.现从甲袋中任取2个球放入乙袋，混匀后再从乙袋中任取2个球.已知从乙袋中取出的是2个白球，则从甲袋中取出的也是2个白球的概率为（ ） A． B． C． D． 二、多选题 2．（2024·福建三明·三模）假设甲袋中有3个红球和2个白球，乙袋中有2个白球和2个红球.现从甲袋中任取2个球放入乙袋，混匀后再从乙袋中任取2个球.下列选项正确的是（   ） A．从甲袋中任取2个球是1个红球1个白球的概率为 B．从甲、乙两袋中取出的2个球均为红球的概率为 C．从乙袋中取出的2个球是红球的概率为 D．已知从乙袋中取出的是2个红球，则从甲袋中取出的也是2个红球的概率为 三、填空题 3．（2024·安徽芜湖·二模）从某工厂生产的零件中随机抽取11个，其尺寸值为43，45，45，45，49，50，50，51，51，53，57（单位：mm），现从这11个零件中任取3个，则3个零件的尺寸刚好为这11个零件尺寸的平均数、第六十百分位数、众数的概率为 ． 四、解答题 4．（2023·北京石景山·一模）某高校“植物营养学专业”学生将鸡冠花的株高增量作为研究对象，观察长效肥和缓释肥对农作物影响情况.其中长效肥、缓释肥、未施肥三种处理下的鸡冠花分别对应1,2,3三组.观察一段时间后，分别从1,2,3三组随机抽取40株鸡冠花作为样本，得到相应的株高增量数据整理如下表. 株高增量（单位：厘米） 第1组鸡冠花株数 9 20 9 2 第2组鸡冠花株数 4 16 16 4 第3组鸡冠花株数 13 12 13 2 假设用频率估计概率，且所有鸡冠花生长情况相互独立. (1)从第1组所有鸡冠花中随机选取1株，估计株高增量为厘米的概率； (2)分别从第1组，第2组，第3组的所有鸡冠花中各随机选取1株，记这3株鸡冠花中恰有株的株高增量为厘米，求的分布列和数学期望； (3)用“”表示第组鸡冠花的株高增量为，“”表示第组鸡冠花的株高增量为厘米，，直接写出方差，，的大小关系.（结论不要求证明） 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题62 古典概型、概率的基本性质（新高考专用） 目录 【知识梳理】 2 【真题自测】 2 【考点突破】 7 【考点1】古典概型 7 【考点2】概率基本性质的应用 11 【考点3】古典概型的综合应用 15 【分层检测】 20 【基础篇】 20 【能力篇】 26 考试要求： 1.理解古典概型及其概率计算公式. 2.会计算一些随机事件所包含的样本点及事件发生的概率. 3.当直接求某一事件的概率较为复杂时，可转化为求几个互斥事件的概率之和或其对立事件的概率. 知识梳理 1.古典概型 具有以下特征的试验叫做古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型. (1)有限性：样本空间的样本点只有有限个； (2)等可能性：每个样本点发生的可能性相等. 2.古典概型的概率公式 一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率P(A)＝＝. 其中，n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数. 3.概率的性质 性质1：对任意的事件A，都有0≤P(A)≤1； 性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)＝1，P(∅)＝0； 性质3：如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B)； 性质4：如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B)； 性质5：如果A⊆B，那么P(A)≤P(B)，由该性质可得，对于任意事件A，因为∅⊆A⊆Ω，所以0≤P(A)≤1. 性质6：设A，B是一个随机试验中的两个事件，有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B). 概率的一般加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)中，易忽视只有当A∩B＝∅，即A，B互斥时，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，此时P(A∩B)＝0. 真题自测 一、单选题 1．（2024·全国·高考真题）甲、乙、丙、丁四人排成一列，则丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是（    ） A． B． C． D． 2．（2023·全国·高考真题）某学校举办作文比赛，共6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文，则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题概率为（    ） A． B． C． D． 3．（2022·全国·高考真题）从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为（    ） A． B． C． D． 4．（2022·全国·高考真题）从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（2024·天津·高考真题）五种活动，甲、乙都要选择三个活动参加.甲选到的概率为 ；已知乙选了活动，他再选择活动的概率为 ． 6．（2023·天津·高考真题）把若干个黑球和白球（这些球除颜色外无其它差异）放进三个空箱子中，三个箱子中的球数之比为．且其中的黑球比例依次为．若从每个箱子中各随机摸出一球，则三个球都是黑球的概率为 ；若把所有球放在一起，随机摸出一球，则该球是白球的概率为 ． 参考答案： 题号 1 2 3 4 答案 B A C D 1．B 【分析】解法一：画出树状图，结合古典概型概率公式即可求解. 解法二：分类讨论甲乙的位置，结合得到符合条件的情况，然后根据古典概型计算公式进行求解. 【详解】解法一：画出树状图，如图， 由树状图可得，甲、乙、丙、丁四人排成一列，共有24种排法， 其中丙不在排头，且甲或乙在排尾的排法共有8种， 故所求概率. 解法二：当甲排在排尾，乙排第一位，丙有种排法，丁就种，共种； 当甲排在排尾，乙排第二位或第三位，丙有种排法，丁就种，共种； 于是甲排在排尾共种方法，同理乙排在排尾共种方法，于是共种排法符合题意； 基本事件总数显然是， 根据古典概型的计算公式，丙不在排头，甲或乙在排尾的概率为. 故选：B 2．A 【分析】对6个主题编号，利用列举列出甲、乙抽取的所有结果，并求出抽到不同主题的结果，再利用古典概率求解作答. 【详解】用1，2，3，4，5，6表示6个主题，甲、乙二人每人抽取1个主题的所有结果如下表： 乙甲 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 共有36个不同结果，它们等可能， 其中甲乙抽到相同结果有，共6个， 因此甲、乙两位参赛同学抽到不同主题的结果有30个，概率. 故选：A 3．C 【分析】方法一：先列举出所有情况，再从中挑出数字之积是4的倍数的情况，由古典概型求概率即可. 【详解】[方法一]：【最优解】无序 从6张卡片中无放回抽取2张，共有15种情况，其中数字之积为4的倍数的有6种情况，故概率为. [方法二]：有序 从6张卡片中无放回抽取2张，共有,(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),(6,1),(3,2),(4,2),(5,2),(6,2),(4,3),(5,3),(6,3),(5,4),(6,4),(6,5)30种情况， 其中数字之积为4的倍数有(1,4),(2,4),(2,6),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,5),(4,6),(5,4),(6,2),(6,4)12种情况，故概率为. 故选：C. 【整体点评】方法一：将抽出的卡片看成一个组合，再利用古典概型的概率公式解出，是该题的最优解； 方法二：将抽出的卡片看成一个排列，再利用古典概型的概率公式解出； 4．D 【分析】由古典概型概率公式结合组合、列举法即可得解. 【详解】从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，共有种不同的取法， 若两数不互质，不同的取法有：，共7种， 故所求概率. 故选：D. 5． 【分析】结合列举法或组合公式和概率公式可求甲选到的概率；采用列举法或者条件概率公式可求乙选了活动，他再选择活动的概率. 【详解】解法一：列举法 从五个活动中选三个的情况有： ,共10种情况， 其中甲选到有6种可能性：， 则甲选到得概率为：； 乙选活动有6种可能性：， 其中再选则有3种可能性：， 故乙选了活动，他再选择活动的概率为. 解法二： 设甲、乙选到为事件，乙选到为事件， 则甲选到的概率为； 乙选了活动，他再选择活动的概率为 故答案为：； 6． / 【分析】先根据题意求出各盒中白球，黑球的数量，再根据概率的乘法公式可求出第一空； 根据古典概型的概率公式可求出第二个空． 【详解】设甲、乙、丙三个盒子中的球的个数分别为，所以总数为， 所以甲盒中黑球个数为，白球个数为； 乙盒中黑球个数为，白球个数为； 丙盒中黑球个数为，白球个数为； 记“从三个盒子中各取一个球，取到的球都是黑球”为事件，所以， ； 记“将三个盒子混合后取出一个球，是白球”为事件， 黑球总共有个，白球共有个， 所以，． 故答案为：；． 考点突破 【考点1】古典概型 一、单选题 1．（2024·上海普陀·二模）从放有两个红球、一个白球的袋子中一次任意取出两个球，两个红球分别标记为、，白球标记为，则它的一个样本空间可以是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·山西晋中·模拟预测）有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则下列说法错误的是（    ） A．丙与丁是互斥事件 B．甲与丙是互斥事件 C．甲与丁相互独立 D．（乙丙）（乙）+（丙） 二、多选题 3．（23-24高一上·贵州遵义·期末）不透明盒子里装有除颜色外完全相同的3个红球，2个白球，现从盒子里随机取出2个小球，记事件：取出的两个球是一个红球一个白球，事件：两个球中至少一个白球，事件：两个球均是红球，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（2024·江苏苏州·模拟预测）为了保证掷骰子游戏的公正性，可以用正n面体的骰子来进行游戏．下列数字可以作为n的取值的是（   ） 可能用到的公式：多面体的顶点数、棱数、面数分别为，则. A．4 B．12 C．16 D．20 三、填空题 5．（21-22高二·全国·课后作业）某医院某科室有5名医护人员，其中有医生2名，护士3名．现要抽调2人前往新冠肺炎疫情高风险地区进行支援，则抽调的2人中恰好为1名医生和1名护士的概率是 ． 6．（2024·陕西汉中·二模）继淄博烧烤、哈尔滨冻梨后，最近天水麻辣烫又火了．据了解天水麻辣烫店内菜品一般由竹签串起成捆摆放，人们按照自己的喜好选好后递给老板，进行调制．某麻辣烫店内有西兰花、香菇、豆皮、海带、白菜等菜品，一游客打算从以上5种蔬菜中随机选择不同的3种，则西兰花和海带被选中的概率为 ． 参考答案： 题号 1 2 3 4 答案 B D AC ABD 1．B 【分析】根据样本空间的定义即可求解. 【详解】从放有两个红球、一个白球的袋子中一次任意取出两个球的所有可能结果为， 所以它的一个样本空间为. 故选：B. 2．D 【分析】对于AB：利用互斥的事件的概念判断；对于C：计算（甲）（丁）（甲丁）是否成立来判断；对于D：根据乙丙，乙，丙分别包含的基本事件数来判断. 【详解】对于A：丙与丁不可能同时发生，所以丙与丁是互斥事件，A正确； 对于B：若第一次取出的球的数字是1，则两次取出的球的数字之和不可能是8，所以甲与丙不可能同时发生，是互斥事件，B正确； 对于C：（甲），（丁），（甲丁）， 则（甲）（丁）（甲丁），所以甲与丁相互独立，C正确； 对于D：乙丙包含的基本事件有共10个， 乙包含的基本事件有共6个， 丙包含的基本事件有共5个， 所以P（乙丙）P（乙）+P（丙），D错误. 故选：D. 3．AC 【分析】应用列举法写出随机取出2个小球的事件，根据题设描述列举对应事件，由古典概型的概率求法求概率. 【详解】记3个红球为，2个白球为，随机取出2个小球的事件如下， ， 所以，事件对应事件有 ，概率为，A对； 事件对应事件有 ，概率为； 事件对应事件有 ，概率为； 其中对应事件有，概率为，B错； 对应事件有，概率为，C对； 显然，D错. 故选：AC 4．ABD 【分析】根据题意，要保证游戏的公平性，需要正n面体每个面出现的点数的可能性要要相同，据此选出正确选项. 【详解】第一步，根据题目，我们知道正n面体的骰子有 n个面，每个面的点数分别为1，2，...，n，投掷后每个点数出现的概率相等. 第二步，为了保证游戏的公正性，我们需要保证每个点数出现的概率相等，即每个面的面积相等，这意味着正n面体的每个面都应该是全等的正多边形. 第三步，设正n面体的每个面都是正m边形，每个顶点连接k条棱， 所以，则，所以， 又，且不能同时大于3，所以或， 解得或或或或， 我们可以得出n的取值应该是4 （正四面体）、6 （正六面 体）、8（正八面体）、12（正十二面体）、20 （正二十面体）. 故选：ABD 5．/ 【分析】根据条件列举出所有的情况和满足条件的情况，利用古典概型的概率公式进行求解. 【详解】设2名医生为a，b，3名护士为c，d，e， 则抽调2人的情况有ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de共10种不同结果， 其中恰好为1名医生和1名护士的情况有ac，ad，ae，bc，bd，be共6种不同结果， 则所求概率为. 故答案为：. 6．/0.3 【分析】根据古典概型求解即可. 【详解】由题意，设五种食材分别为，则基本事件空间为 ， 共10个基本事件，其中含有西兰花和海带的有，，，3个基本事件，所以. 故答案为： 反思提升： 求样本空间中样本点个数的方法 (1)枚举法：适合于给定的样本点个数较少且易一一列举出的问题. (2)树状图法：适合于较为复杂的问题，注意在确定样本点时(x，y)可看成是有序的，如(1，2)与(2，1)不同，有时也可看成是无序的，如(1，2)与(2，1)相同. (3)排列组合法：在求一些较复杂的样本点个数时，可利用排列或组合的知识. 【考点2】概率基本性质的应用 一、单选题 1．（2023·吉林·二模）甲、乙、丙、丁四名教师带领学生参加校园植树活动，教师随机分成三组，每组至少一人，则甲、乙在同一组的概率为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·北京东城·二模）袋中有5个大小相同的小球，其中3个白球，2个黑球.从袋中随机摸出1个小球，观察颜色后放回，同时放入一个与其颜色大小相同的小球，然后再从袋中随机摸出1个小球，则两次摸到的小球颜色不同的概率为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 3．（23-24高三上·黑龙江鸡西·期末）下列说法中，正确的是（    ） A．用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则个体被抽到的概率是0.1 B．一组数据的第60百分位数为14 C．若样本数据的方差为8，则数据的方差为2 D．将总体划分为2层，通过分层抽样，得到两层的样本平均数和样本方差分别为，和，若，则总体方差 4．（23-24高二下·浙江·期中）某中药材盒中共有包装相同的7袋药材，其中党参有3袋，黄芪有4袋，从中取出两袋，下列说法正确的是（    ） A．若有放回抽取，则取出一袋党参一袋黄芪的概率为 B．若有放回抽取，则在至少取出一袋党参的条件下，第2次取出党参的概率为 C．若不放回抽取，则第2次取到党参的概率算法可以是 D．若不放回抽取，则在至少取出一袋党参的条件下，取到一袋党参一袋黄芪的概率为 三、填空题 5．（2024·天津·二模）两个三口之家进行游戏活动，从6人中随机选出2人，则这2人来自同一个家庭的概率为 ；若选出的2人来自同一个家庭，游戏成功的概率为0.6，若来自不同的家庭，游戏成功的概率为0.3，则游戏成功的概率为 ． 6．（2024·四川绵阳·二模）甲、乙二人用7张不同的扑克牌（其中红桃4张，方片3张）玩游戏．他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张．则甲、乙二人抽到花色相同的概率为 ． 参考答案： 题号 1 2 3 4 答案 A B AC ABD 1．A 【分析】利用组合可求基本事件的总数，再根据排列可求随机事件含有的基本事件的总数，从而可求对应的概率. 【详解】设“甲、乙在同一组”为事件， 教师随机分成三组，每组至少一人的分法为， 而甲、乙在同一组的分法有，故， 故选：A. 2．B 【分析】分第一次从袋中摸出个白球，一次从袋中摸出个黑球两种情况可求解. 【详解】若第一次从袋中摸出个白球，则放入个白球，第二次摸出黑球的概率为， 若第一次从袋中摸出个黑球，则放入个黑球，第二次摸出白球的概率为， 故两次摸到的小球颜色不同的概率为. 故选：B. 3．AC 【分析】由古典概型的概率可判断A，根据百分位数定义可判断B，由数据的平均数和方差的定义可判断C,D. 【详解】选项A：个体m被抽到的概率为，故A正确； 选项B：由于，第六个数为14，第七个数为16，则第60百分位数为，故B错误； 选项C：设数据的平均数为，方差为， 则数据的平均数为， 方差为 ， 所以，故C正确； 选项D：设第一层数据为，第二层数据为， 则，， 所以， ，， 总体平均数， 总体方差 因为，则， 所以 ，故D错误. 故选：AC. 4．ABD 【分析】选项A，利用相互独立事件同时发生的概率公式，即可解决；选项B，根据条件，利用条件概率公式，即可解决；选项C，根据条件，利用古典概率公式，即可解决；选项D，利用条件概率公式，即可解决，从而求出结果. 【详解】对于选项A，因为是有放回抽取，抽到一袋党参的概率为，抽到一袋黄芪的概率为， 所以取出一袋党参一袋黄芪的概率为，故选项A的正确， 对选项B，第二次抽到党参的概率为，至少抽到一袋党参的概率为， 所以所求概率为，故选项B正确， 对于选项C，因为不放回抽取，抽两次有种取法，第二次抽到党参的取法为，所以C选项的算法是错误的，故选项C错误， 对于选项D，至少取出一袋党参的的概率为，取到一袋党参一袋黄芪的概率为，所以在至少取出一袋党参的条件下，取到一袋党参一袋黄芪的概率为概率为，故选项D正确， 故选：ABD. 5． / 0.42/ 【分析】先计算从6人中选2人的所有种数，再计算同一家庭的种数，求概率即可；由全概率公式计算即可得第二空. 【详解】由题意可知从6人中随机选出2人，则这2人来自同一个家庭的概率为； 而来自不同家庭的概率为， 则游戏成功的概率为. 故答案为：； 6． 【分析】利用互斥事件与古典概型的概率公式即可得解. 【详解】因为一共有7张不同的扑克牌（其中红桃4张，方片3张），甲先抽，乙后抽， 所以甲、乙二人抽到花色相同的情况有： ①甲先抽到红桃，乙后抽到红桃，②甲先抽到方片，乙后抽到方片， 所以甲、乙二人抽到花色相同的概率为. 故答案为：. 反思提升： 复杂事件概率的求解方法 (1)对于一个较复杂的事件，一般将其分解成几个简单的事件，当这些事件彼此互斥时，原事件的概率就是这些简单事件的概率的和. (2)当求解的问题中有“至多”“至少”“最少”等关键词语时，常常考虑其对立事件，通过求其对立事件的概率，然后转化为所求问题. 【考点3】古典概型的综合应用 一、单选题 1．（2024·全国·模拟预测）4个产品中有3个正品，1个次品．现每次取出1个做检查（检查完后不再放回），直到次品被找到为止，则经过3次检查恰好将次品找到的概率是（   ） A． B． C． D． 2．（2024·上海浦东新·三模）有一袋子中装有大小、质地相同的白球k个，黑球.甲、乙两人约定一种游戏规则如下：第一局中两人轮流摸球，摸后放回，先摸到白球者本局获胜但从第二局起，上一局的负者先摸球.若第一局中甲先摸球，记第局甲获胜的概率为，则关于以下两个命题判断正确的是（    ） ①，且； ②若第七局甲获胜的概率不小于0.9，则不小于1992. A．①②都是真命题 B．①是真命题，②是假命题 C．①是假命题，②是真命题 D．①②都是假命题 二、多选题 3．（2023·河北沧州·模拟预测）袋中装有除颜色外完全相同的个红球和个白球，从袋中一次抓出个球，记事件“两球同色”，事件“两球异色”，事件“至少有一红球”，则（    ） A．事件与事件是对立事件 B．事件与事件是相互独立事件 C．若，则 D．若，则 4．（2022·福建福州·三模）一个笼子里关着10只猫，其中有4只黑猫､6只白猫，把笼子打开一个小口，使得每次只能钻出1只猫，猫争先恐后地往外钻，如果10只猫都钻出了笼子，事件表示“第只出笼的猫是黑猫”，，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 5．（2021·天津南开·模拟预测）一个袋中共有10个大小相同的黑球、白球和红球.已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是；从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是，则白球的个数为 ，现采用有放回方式从袋中依次任意摸出3个球，记得到白球的个数为，则 . 6．（2022·浙江嘉兴·模拟预测）在一次投篮训练中，甲同学每次投篮投中的概率为，乙和丙同学每次投篮投中的概率均为，每人各投1次，记为三人投中的总次数，则 ； ． 参考答案： 题号 1 2 3 4 答案 C A AD BCD 1．C 【分析】法一，直接法，第3次抽到次品或前3次抽到的都是正品；法二，求其对立面，经过1次检查恰好将1个次品或经过2次检查恰好将1个次品找到. 【详解】方法一：经过3次检查恰好将1个次品找到包括两种情况： ①第3次抽到次品，前2次抽到2个正品； ②前3次抽到的都是正品， 所以经过3次检查恰好将次品找到的概率是； 方法二：①经过1次检查恰好将1个次品找到的概率是； ②经过2次检查恰好将1个次品找到的概率是， 所以经过3次检查恰好将次品找到的概率是. 故选：C． 2．A 【分析】分别计算在第一局中：摸1次，摸3次，，摸次甲获胜概率，可得，从而求得，由于第局甲获胜包括两种情况：第局甲赢且第局甲后摸球和第局甲输且第局甲先摸球，可得，利用数列求通项公式的构造法，可得是首项为，公比为的等比数列，求出，解不等式即可求解. 【详解】第一局：摸1次甲获胜概率为：，摸3次甲获胜概率为：， 摸5次甲获胜概率：，摸7次甲获胜概率：，， 摸次甲获胜概率： ， 所以， 所以， 第局甲获胜包括两种情况：第局甲赢且第局甲后摸球和第局甲输且第局甲先摸球， 则，故①正确； 由，设，解得， 所以， 所以是首项为，公比为的等比数列， 则，即， 所以，即， 即，即，即， 则，即，解得， 所以不小于1992，所以②正确. 故选：A 【点睛】关键点点睛：本题解题关键是在第一局中求出摸1次，摸3次，，摸次甲获胜概率，可得其概率是等比数列，从而得到，利用数列求和和极限的知识进行求解. 3．AD 【分析】由对立事件的定义可判断A选项；利用独立事件的定义可判断B选项；由古典概型的概率公式可得出关于的等式，解出的值，可判断C选项；利用组合计数原理结合古典概型的概率公式可判断D选项. 【详解】对于A选项，由对立事件的定义可知，事件、互为对立事件，A对； 对于B选项，，，，显然，故B不正确； 对于C，，，由，可得， 即，整理可得，因为，解得，故C不正确； 对于D，由C知，，，故D正确， 故选：AD. 4．BCD 【分析】10只猫先后出笼的顺序为，第只出笼的猫是黑猫，即可先从4只黑猫中选出已知，而其余9个位置的猫们可任意排列，即可得到，对A，事件表示“第1，2只出笼的猫都是黑猫”，即可求解判断；对B，事件表示“第1只或第2只出笼的猫是黑猫”，则根据即可求解判断；对C，D，结合条件概率公式即可求解判断. 【详解】由题， ， 事件表示“第1，2只出笼的猫都是黑猫”，则，故A错误； 事件表示“第1只或第2只出笼的猫是黑猫”，则，故B正确； 则，故C正确； 事件表示“第2，10只出笼的猫是黑猫”，则， 则，故D正确， 故选：BCD 5． 5 /1.5 【分析】设白球的个数为，根据条件得出至少得到1个白球的概率，解出，由题设知ξ服从二项分布，即，由二项分布的期望公式，即得解 【详解】设白球的个数为，又从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是 ， 则 ，即 整理可得： 解得或（舍去） 采用有放回方式从袋中依次任意摸出3个球，从中任意摸一个球为白球的概率为 即服从二项分布 由二项分布的期望公式 故答案为：5， 6． / / 【分析】结合独立事件的概率乘法公式以及概率的加法公式即可求出对应的概率，进而根据期望的公式即可求出结果. 【详解】， ， ， 故， 故答案为： 反思提升： 有关古典概型与统计结合的题型是高考考查概率的一个重要题型.概率与统计的结合题，无论是直接描述还是利用频率分布表、频率分布直方图等给出的信息，准确从题中提炼信息是解题的关键.复杂事件的概率可将其转化为互斥事件或对立事件的概率问题. 分层检测 【基础篇】 一、单选题 1．（23-24高二上·广东清远·期中）从2名男生和3名女生中任选2人参加学校志愿服务，则选中的2人中恰有一名男生的概率为（    ） A．0.6 B．0.5 C．0.4 D．0.3 2．（2021·全国·高考真题）将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·广东广州·模拟预测）一个盒子里装有3个黑球，2个白球，它们除颜色外完全相同.现每次从袋中不放回地随机取出一个球，记事件表示“第次取出的球是黑球”，，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（2024·内蒙古呼和浩特·二模）袋中共有5个除颜色外完全相同的球，其中2个红球、1个白球、2个黑球，从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 5．（23-24高二上·山东潍坊·期末）一个盒子里装有除颜色外完全相同的四个小球，其中黑球有两个，编号为1，2；红球有两个，编号为3，4，从中不放回的依次取出两个球，A表示事件“取出的两球不同色”，B表示事件“第一次取出的是黑球”，C表示事件“第二次取出的是黑球”，D表示事件“取出的两球同色”，则（    ） A．A与D相互独立. B．A与B相互独立 C．B与D相互独立 D．A与C相互独立 6．（2024·重庆·模拟预测）一枚质地均匀的正方体骰子，其中1点和4点所在面为红色，其余各面均为黑色．将这枚骰子抛掷两次，记事件“向上一面的颜色均是红色”，“向上一面的颜色不相同”， “向上一面的点数之和为5”，“向上一面的点数之和为奇数”，则（    ） A．事件A与事件C相互独立 B．事件B与事件D相互独立 C． D． 7．（2024·湖北·二模）甲袋中有20个红球．10个白球，乙袋中红球、白球各有10个，两袋中的球除了颜色有差别外，再没有其他差别．现在从两袋中各换出1个球，下列结论正确的是（    ） A．2个球都是红球的概率为 B．2个球中恰有1个红球的概率为 C．不都是红球的概率为 D．都不是红球的概率为 三、填空题 8．（23-24高三上·四川绵阳·阶段练习）甲、乙二人用4张不同的扑克牌（其中红桃3张，方片1张）玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张.则甲、乙二人抽到的花色相同的概率为 . 9．（2023·江苏·模拟预测）某校有4名同学到三个社区参加新时代文明实践宣传活动，要求每名同学只去1个社区，每个社区至少安排1名同学，则甲、乙2人被分配到同一个社区的概率 ． 10．（2024·山东济宁·三模）甲和乙两个箱子中各装有6个球，其中甲箱子中有4个红球、2个白球，乙箱子中有2个红球、4个白球，现随机选择一个箱子，然后从该箱子中随机取出一个球，则取出的球是白球的概率为 . 四、解答题 11．（23-24高二下·江苏连云港·期中）在一个盒子中有大小与质地相同的10个球，其中5个红球，5个白球，两人依次不放回地各摸个1球，求： (1)在第一个人摸出个红球的条件下，第二个人摸出个白球的概率； (2)第一个人摸出个红球，且第二个人摸出个白球的概率. 12．（21-22高三上·湖北十堰·期末）某6人小组利用假期参加志愿者活动，已知参加志愿者活动次数为2，3，4的人数分别为1，3，2，现从这6人中随机选出2人作为该组的代表参加表彰会． (1)求选出的2人参加志愿者活动次数相同的概率； (2)记选出的2人参加志愿者活动次数之和为X，求X的分布列和期望． 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 A C C B BCD BC ABC 1．A 【分析】 5人中任选2人，基本事件共10种，其中2人中恰有一名男生占6种基本事件，可求概率. 【详解】 设2名男同学为，3名女同学为， 从以上5名同学中任选2人总共有共10种可能， 选中的2人恰好是一男一女的情况共有共6种可能 则选中的2人恰好是一男一女的概率为0.6， 故选：A. 2．C 【详解】将4个1和2个0随机排成一行，可利用插空法，4个1产生5个空， 若2个0相邻，则有种排法，若2个0不相邻，则有种排法， 所以2个0不相邻的概率为. 故选：C. 3．C 【分析】使用古典概率方法即可确定，，然后可以验证选项A和D，最后使用加法公式验证选项B，使用条件概率公式验证选项C即可. 【详解】依次一个一个地往外取球（不放回）的试验，基本事件总数是，它们等可能， 对于A，表示第1次、第2次取出的球都是黑球，，A正确； 对于В，，，В正确； 对于C，有，C错误； 对于D，有，D正确. 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于使用排列组合知识确定基本事件的概率. 4．B 【分析】列出所有可能情况种数及对应颜色为一白一黑的情况种数计算即可得. 【详解】设这五个球中白球为，红球分别为、，黑球分别为、， 则从袋中任取两球，有、、、、、、、、 、共十种可能，其中一白一黑有、共两种可能， 所以一白一黑的概率． 故选：B. 5．BCD 【分析】根据相互独立事件的概念进行判定. 【详解】不放回依次取出两个，基本事件有， 共种， 事件“”； 事件“”； 事件“”； 事件“”. 事件，事件“”， 事件“”， 事件“”， 则，，， ，，，， 所以，所以A与D不相互独立； ，所以A与B相互独立； ，所以B与D相互独立； ，所以A与C相互独立； 故选：BCD 6．BC 【分析】根据独立事件的定义判断A和B；由条件概率公式及全概率公式判断C和D． 【详解】由题可知，,，，， 对于A，，，，所以事件A与事件C不独立，故A错误； 对于B，，，因为，所以事件B与事件D相互独立，故B正确； 对于C，，，所以，故C正确； 对于D，由得，，解得， 由得，，解得，所以，故D错误； 故选：BC． 7．ABC 【分析】设出事件，得到，，A选项，；B选项，求事件的概率即可；C选项，根据对立事件概率公式得到C正确；D选项，. 【详解】记事件：从甲袋中任取1个球为红球，事件：从乙袋中任取1个球为红球， 则，， 对于A选项，即求事件的概率，，所以A正确； 对于B选项，即求事件的概率，．所以B正确， 对于C选项，由于“都是红球”与“不都是红球”互为对立事件， 所以概率为，C正确； 对于D选项，即求事件的概率，，所以D错误． 故选：ABC 8．/0.5 【分析】由题意得到都抽到是红桃，然后利用古典概型的概率求解. 【详解】解：甲、乙二人抽到的花色相同的概率为， 故答案为： 9． 【分析】先根据捆绑法和分步计数乘法原理求得总分法的种数，再结合古典概型概率公式即可求解. 【详解】先将4名同学中的2名同学看作一组，选法有种，另外两组各1人，分配到三个社区， 则总分法有种， 其中甲、乙2人被分配到同一个社区的分法有种， 则甲、乙2人被分配到同一个社区的概率为． 故答案为：. 10．/0.5 【分析】把所求概率的事件分拆成两个互斥事件的和，再利用互斥事件的概率公式及相互独立事件的概率公式求解即得. 【详解】依题意，取出的球是白球的事件是取甲箱并取白球的事件与取乙箱并取白球的事件的和， 显然事件与互斥，，， 所以. 故答案为： 11．(1)； (2). 【分析】（1）根据古典概型的概率公式计算即可； （2）根据概率乘法公式计算即可. 【详解】（1）设事件表示：第一个人摸出红球，表示：第二个人摸出白球， 第一个人摸出个红球后，盒子中还有9个球，其中4个红球，5个白球， 故在第一个人摸出个红球的条件下，第二个人摸出个白球的概率. （2）设事件表示：第一个人摸出红球，表示：第二个人摸出白球， 事件：第一个人摸出个红球，且第二个人摸出个白球即事件， 所以 12．(1)； (2)分布列见解析，. 【分析】（1）利用古典概率公式即求； （2）由题可知X的可能取值为5，6，7，8，然后利用求分布列的步骤及期望公式即得. 【详解】（1）从这6人中随机选出2人，共有种选法， 其中这2人参加志愿者活动次数相同的选法有种．， 故选出的2人参加志愿者活动次数相同的概率为． （2）由题可知，X的可能取值分别为5，6，7，8， ，， ，． 故X的分布列为： X 5 6 7 8 P ∴． 【能力篇】 一、单选题 1．（2024·江西南昌·一模）假设甲袋中有3个白球和2个红球，乙袋中有2个白球和2个红球.现从甲袋中任取2个球放入乙袋，混匀后再从乙袋中任取2个球.已知从乙袋中取出的是2个白球，则从甲袋中取出的也是2个白球的概率为（ ） A． B． C． D． 二、多选题 2．（2024·福建三明·三模）假设甲袋中有3个红球和2个白球，乙袋中有2个白球和2个红球.现从甲袋中任取2个球放入乙袋，混匀后再从乙袋中任取2个球.下列选项正确的是（   ） A．从甲袋中任取2个球是1个红球1个白球的概率为 B．从甲、乙两袋中取出的2个球均为红球的概率为 C．从乙袋中取出的2个球是红球的概率为 D．已知从乙袋中取出的是2个红球，则从甲袋中取出的也是2个红球的概率为 三、填空题 3．（2024·安徽芜湖·二模）从某工厂生产的零件中随机抽取11个，其尺寸值为43，45，45，45，49，50，50，51，51，53，57（单位：mm），现从这11个零件中任取3个，则3个零件的尺寸刚好为这11个零件尺寸的平均数、第六十百分位数、众数的概率为 ． 四、解答题 4．（2023·北京石景山·一模）某高校“植物营养学专业”学生将鸡冠花的株高增量作为研究对象，观察长效肥和缓释肥对农作物影响情况.其中长效肥、缓释肥、未施肥三种处理下的鸡冠花分别对应1,2,3三组.观察一段时间后，分别从1,2,3三组随机抽取40株鸡冠花作为样本，得到相应的株高增量数据整理如下表. 株高增量（单位：厘米） 第1组鸡冠花株数 9 20 9 2 第2组鸡冠花株数 4 16 16 4 第3组鸡冠花株数 13 12 13 2 假设用频率估计概率，且所有鸡冠花生长情况相互独立. (1)从第1组所有鸡冠花中随机选取1株，估计株高增量为厘米的概率； (2)分别从第1组，第2组，第3组的所有鸡冠花中各随机选取1株，记这3株鸡冠花中恰有株的株高增量为厘米，求的分布列和数学期望； (3)用“”表示第组鸡冠花的株高增量为，“”表示第组鸡冠花的株高增量为厘米，，直接写出方差，，的大小关系.（结论不要求证明） 参考答案： 题号 1 2 答案 C ACD 1．C 【分析】根据题意，先分析求解设从甲中取出个球，其中白球的个数为个的事件为，事件的概率为，从乙中取出个球，其中白球的个数为2个的事件为，事件的概率为，再分别分析三种情况求解即可 【详解】设从甲中取出个球，其中白球的个数为个的事件为，事件的概率为，从乙中取出个球，其中白球的个数为2个的事件为，事件的概率为，由题意： ①，； ②，； ③，； 根据贝叶斯公式可得，从乙袋中取出的是2个白球，则从甲袋中取出的也是2个白球的概率为 故选：C 2．ACD 【分析】根据给定条件，结合古典概率公式、条件概率公式及全概率公式逐项计算判断得解. 【详解】从甲袋中取出个球有个红球的事件为，从乙袋中取出个球红球的事件为， ，，， ，，， 对于A，从甲袋中任取2个球是1个红球1个白球的概率为，A正确； 对于B，从甲、乙两袋中取出的2个球均为红球的概率为，B错误； 对于C，从乙袋中取出的2个球是红球的概率，C正确； 对于D，从乙袋中取出的是2个红球，则从甲袋中取出的也是2个红球的概率 ，D正确. 故选：ACD 3． 【分析】分别求出11个零件的平均数49、第六十百分位数50，众数45，然后分别求出取出3个零件有165种，3个零件符合平均数、第六十百分位数、众数有6种情况，再利用古典概率从而可求解. 【详解】由题意知11个零件的平均数为， 第六十百分位数的位置为，即取第7位数50，故第六十百分位数为50， 由题可知众数为45， 所以当从11中取出3个零件共有种情况， 则3个数分别为平均数49、第六十百分位数50，众数45共有种情况， 所以其概率为， 故答案为：. 4．(1) (2)分布列见解析， (3) 【分析】（1）根据表格数据，第1组所有鸡冠花中随机选取1株，得厘米的总数，由古典概型概率公式可得结果； （2）首先估计各组鸡冠花增量为厘米的概率，然后可确定所有可能的取值，根据独立事件概率公式可求得每个取值对应的概率，由此可得分布列；根据数学期望计算公式可求得期望； （3）由两点分布方差计算公式可求得，，的值，由此可得大小关系． 【详解】（1）设事件为“从第1组所有鸡冠花中随机选取1株，株高增量为厘米”， 根据题中数据，第1组所有鸡冠花中，有20株鸡冠花增量为厘米, 所以估计为； （2）设事件为“从第2组所有鸡冠花中随机选取1株，株高增量为厘米”， 设事件为“从第3组所有鸡冠花中随机选取1株，株高增量为厘米”， 根据题中数据，估计为， 估计为， 根据题意，随机变量的所有可能取值为0,1,2.3，且 ； ； ； ， 则的分布列为： 0 1 2 3 所以. （3） 理由如下： ，所以； ，所以； ，所以； 所以. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$