期中复习卷-2024-2025学年苏科版数学九年级上册

期中复习卷-2024-2025学年数学九年级上册苏科版 一．选择题（共8小题） 1．下列方程，属于一元二次方程的是（　　） A．x2﹣xy＝1 B．x2﹣2x+3＝0 C． D．2（x+1）＝x 2．一元二次方程x2﹣3＝2x的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　） A．1，﹣2，﹣3 B．1，﹣2，3 C．1，2，3 D．1，2，﹣3 3．若m、n是关于x的方程2x2﹣4x+1＝0的两个根，则的值为（　　） A．4 B．﹣4 C． D． 4．电影《志愿军》不仅讲述了中国人民志愿军抗美援朝的故事，更是通过鲜活生动的人物塑造，让观众体会到历史事件背后的人性和情感，一上映就获得全国人民的追捧．某地第一天票房约3亿元，若以后每天票房按相同的增长率增长，三天后票房收入累计达18亿元，若把增长率记作x，则方程可以列为（　　） A．3（1+x）＝18 B．3（1+x）2＝18 C．3+3（1+x）2＝18 D．3+3（1+x）+3（1+x）2＝18 5．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB交于点E．若CD＝8，AE＝2，则⊙O的半径为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 6．如图，AB是⊙O的直径，点C在圆上，将沿AC翻折与AB交于点D．若OA＝3cm，的度数为30°，则＝（　　）° A．100 B．120 C．60 D．30 7．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝2．以A为圆心AC为半径画圆，交AB于点D，则阴影部分面积是（　　） A． B． C． D． 8．如图，点A、B、C在⊙O上，∠ACB＝55°，则∠ABO的度数是（　　） A．30° B．35° C．40° D．55° 二．填空题（共8小题） 9．若关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣2m＝0有一个根为﹣2，则m的值为 　 　． 10．已知a，b是一元二次方程x2+3x﹣6＝0的两个实数根，则（a﹣2）（b﹣2）的值为 　 　． 11．某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙（墙足够长），中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留1m宽的门．已知计划中的材料可建墙体（不包括门）总长为27m，则当建成的饲养室总占地面积为75m2时，垂直于墙的一边长为 　 　m． 12．实数a，b，c，d满足：一元二次方程x2+cx+d＝0的两根为a，b，一元二次方程x2+ax+b＝0的两根为c，d，则所有满足条件的数组（a，b，c，d）为　 　． 13．如图，A、B、C是⊙O上的三点，则∠AOB＝78°，则∠ACB＝ 　 　度． 14．如图，⊙O的半径为3，四边形ACBD内接于⊙O，连接OB、OA，若∠ACB＝∠AOB，则劣弧的长为 　 　． 15．如图，正方形ABCD的边长为2，以AB边上的动点O为圆心，OB为半径作圆，将△AOD沿OD翻折至△A′OD，若⊙O过△A′OD一边上的中点，则⊙O的半径为 　 　． 16．高速公路的隧道和桥梁较多，如图是一个隧道的横截面，若它的形状是以O为圆心的圆的一部分，路面AB＝6米，拱高CD＝8米，则此横截面所在圆的半径OA＝ 　 　米． 三．解答题（共8小题） 17．解下列一元二次方程： （1）36x2﹣1＝0； （2）x2+10x+21＝0； （3）； （4）3x2+6x﹣4＝0． 18．阅读材料，解答问题． 解方程：（4x﹣1）2﹣10（4x﹣1）+24＝0． 解：把4x﹣1视为一个整体，设4x﹣1＝y， 则原方程可化为y2﹣10y+24＝0． 解得y1＝6，y2＝4． ∴4x﹣1＝6或4x﹣1＝4． ∴，． 以上方法就叫换元法，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想． 请仿照材料解下列方程：（1）x4﹣x2﹣6＝0； （2）（x2﹣2x）2﹣5x2+10x﹣6＝0． 19．如图，是一块长为100cm，宽为60cm的矩形铁皮，按照如图所示方式剪去两个长方形和两个正方形，沿着虚线部分折起，就能制作一个有盖方盒，若该方盒的底面面积为1600cm2，则剪去正方形的边长为多少？ 20．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，点P从点A开始沿边AB向点B以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动．如果点P，Q分别从点A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动，问： （1）经过多长时间，△PBQ的面积等于5cm2？ （2）经过多长时间，△PBQ的面积等于△ABC面积的？ 21．如图，AB是⊙O的直径，点D为AB下方⊙O上一点，点C为的中点，连结CD，CA，AD．延长AC，DB相交于点E． （1）求证：OC∥BE． （2）若，BD＝6，求⊙O的半径． 22．如图，△ABC内接于⊙O． （1）若∠C＝45°，⊙O的半径是2cm，求AB的长； （2）过A点作⊙O的切线DE，求证：∠BAE＝∠C． 23．如图，AB为⊙O的直径，过圆上一点D作⊙O的切线CD交BA的延长线于点C，过点O作OE∥AD交CD于点E，连接BE． （1）求证：直线BE是⊙O的切线； （2）若CA＝2，CD＝4，求⊙O的半径及DE的长． 24．“筒车”是一种以水流作动力，取水灌田的工具，据史料记载，它发明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的历史，是我国古代劳动人民的一项伟大创造． 如图，“筒车”盛水筒的运行轨迹是以轴心O为圆心的圆，已知圆心O在水面上方，且当圆被水面截得的弦AB为6米时，水面下盛水筒的最大深度为1米（即水面下方圆上部分一点距离水面的最大距离）． （1）求该圆的半径； （2）若水面上涨导致圆被水面截得的弦AB从原来的6米变为8米时，则水面上涨的高度为多少米？ 期中复习卷-2024-2025学年数学九年级上册苏科版 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 1．下列方程，属于一元二次方程的是（　　） A．x2﹣xy＝1 B．x2﹣2x+3＝0 C． D．2（x+1）＝x 【解答】解：A．x2﹣xy＝1只含有2个未知数，所以不是一元二次方程，故该选项不符合题意； B．x2﹣2x+3＝0，含有一个未知数且最高次数为2，所以是一元二次方程，故该选项符合题意； C．为分式方程，故该选项不符合题意； D．2（x+1）＝x是一元一次方程，故该选项不符合题意． 故选：B． 2．一元二次方程x2﹣3＝2x的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　） A．1，﹣2，﹣3 B．1，﹣2，3 C．1，2，3 D．1，2，﹣3 【解答】解：将方程化为一般式为：x2﹣2x﹣3＝0， ∴一元二次方程x2﹣3＝2x的二次项系数、一次项系数、常数项分别是1，﹣2，﹣3． 故选：A． 3．若m、n是关于x的方程2x2﹣4x+1＝0的两个根，则的值为（　　） A．4 B．﹣4 C． D． 【解答】解：根据根与系数的关系得m+n＝2，mn＝， 所以+＝＝＝4． 故选：A． 4．电影《志愿军》不仅讲述了中国人民志愿军抗美援朝的故事，更是通过鲜活生动的人物塑造，让观众体会到历史事件背后的人性和情感，一上映就获得全国人民的追捧．某地第一天票房约3亿元，若以后每天票房按相同的增长率增长，三天后票房收入累计达18亿元，若把增长率记作x，则方程可以列为（　　） A．3（1+x）＝18 B．3（1+x）2＝18 C．3+3（1+x）2＝18 D．3+3（1+x）+3（1+x）2＝18 【解答】解：由题意可得， 3+3（1+x）+3（1+x）2＝18， 故选：D． 5．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB交于点E．若CD＝8，AE＝2，则⊙O的半径为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【解答】解：连接OC， 设⊙O的半径为R，则OE＝R﹣2， ∵CD⊥AB，AB过圆心O， ∴∠OEC＝90°，CE＝DE＝4， 由勾股定理得：OC2＝CE2+OE2， 即R2＝42+（R﹣2）2， 解得：R＝5， 即⊙O的半径长是5， 故选：C． 6．如图，AB是⊙O的直径，点C在圆上，将沿AC翻折与AB交于点D．若OA＝3cm，的度数为30°，则＝（　　）° A．100 B．120 C．60 D．30 【解答】解：如图，作D关于AC的对称点E，连接AE，BE，OE， ∵的度数为30°， ∴∠CAB＝15°， ∴∠EAB＝2∠CAB＝30°， ∴∠EOB＝2∠EAB＝60°， ∴∠AOE＝180°﹣60°＝120°， ∴的度数为120°． 故选：B． 7．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝2．以A为圆心AC为半径画圆，交AB于点D，则阴影部分面积是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝2． ∴AB＝2AC＝4，∠A＝60°， 由勾股定理得BC＝＝2， ∴S阴影＝S△ABC﹣S扇形ACD＝． 故选：D． 8．如图，点A、B、C在⊙O上，∠ACB＝55°，则∠ABO的度数是（　　） A．30° B．35° C．40° D．55° 【解答】解：∵∠ACB＝55°， ∴∠AOB＝2∠ACB＝110°， ∵OB＝OA， ∴∠ABO＝∠BAO＝（180°﹣∠AOB）＝35°， 故选：B． 二．填空题（共8小题） 9．若关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣2m＝0有一个根为﹣2，则m的值为 　4　． 【解答】解：将x＝﹣2代入原方程得：22﹣2×（﹣2）﹣2m＝0， 解得：m＝4， ∴m的值为4． 故答案为：4． 10．已知a，b是一元二次方程x2+3x﹣6＝0的两个实数根，则（a﹣2）（b﹣2）的值为 　4　． 【解答】解：∵a，b是一元二次方程x2+3x﹣6＝0的两个实数根， ∴a+b＝﹣3，ab＝﹣6， ∴（a﹣2）（b﹣2） ＝ab﹣2a﹣2b+4 ＝ab﹣2（a+b）+4 ＝﹣6﹣2×（﹣3）+4 ＝﹣6+6+4 ＝4， 故答案为：4． 11．某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙（墙足够长），中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留1m宽的门．已知计划中的材料可建墙体（不包括门）总长为27m，则当建成的饲养室总占地面积为75m2时，垂直于墙的一边长为 　5　m． 【解答】解：设垂直于墙的材料长为x m，则平行于墙的材料长为（27+3﹣3x）m＝（30﹣3x）m， 根据题意，得x（30﹣3x）＝75． 解得：x1＝x2＝5， 故答案为：5． 12．实数a，b，c，d满足：一元二次方程x2+cx+d＝0的两根为a，b，一元二次方程x2+ax+b＝0的两根为c，d，则所有满足条件的数组（a，b，c，d）为　（1，﹣2，1，﹣2）或（a，0，﹣a，0）（a为任意实数）　． 【解答】解：∵实数a、b、c、d满足：一元二次方程x2+cx+d＝0的两根为a、b，一元二次方程x2+ax+b＝0的两根为c、d， ∴， 解得或（a为任意实数）． 故答案为：（1，﹣2，1，﹣2）或（a，0，﹣a，0）（a为任意实数）． 13．如图，A、B、C是⊙O上的三点，则∠AOB＝78°，则∠ACB＝ 　39　度． 【解答】解：∵弧AB＝弧AB， ∴， 故答案为：39． 14．如图，⊙O的半径为3，四边形ACBD内接于⊙O，连接OB、OA，若∠ACB＝∠AOB，则劣弧的长为 　2π　． 【解答】解：设∠ADB＝x°，则∠AOB＝2x°， ∵四边形ACBD内接于⊙O，∠ACB＝∠AOB， 则∠ACB＝∠AOB＝2x°， ∴∠ACB+∠ADB＝180°， ∴2x+x＝180°， 解得x＝60， ∴∠AOB＝2x°＝120°， ∵⊙O的半径为3， ∴＝2π， 故答案为：2π． 15．如图，正方形ABCD的边长为2，以AB边上的动点O为圆心，OB为半径作圆，将△AOD沿OD翻折至△A′OD，若⊙O过△A′OD一边上的中点，则⊙O的半径为 　或或　． 【解答】解：如图1，当以OB为半径的⊙O过△A′OD的边OA′的中点时， 由折叠可知OA＝OA′，而OA′＝2OB， ∴AB＝3OB， ∴OB＝AB＝； 如图2，当以OB为半径的⊙O过△A′OD的边OD的中点时，则OD＝2OB， 设OB＝x，则OD＝2x，OA＝2﹣x， 在Rt△AOD中，由勾股定理得， OA2+AD2＝OD2， 即（2﹣x）2+22＝（2x）2， 解得x＝或x＝＜0舍去， 即半径OB＝； 如图3，当以OB为半径的⊙O过△A′OD的边A′D的中点时，则A′E＝AD＝1， 设OB＝y，则OE＝y，OA′＝OA＝2﹣y， 在Rt△A′OE中，由勾股定理得， OA′2+A′E2＝OE2， 即（2﹣y）2+12＝y2， 解得y＝， 即半径OB＝， 综上所述，半径OB的长为或或． 故答案为：或或． 16．高速公路的隧道和桥梁较多，如图是一个隧道的横截面，若它的形状是以O为圆心的圆的一部分，路面AB＝6米，拱高CD＝8米，则此横截面所在圆的半径OA＝ 　　米． 【解答】解：设圆的半径OA＝R米，则OA＝OC＝R米， ∵CD＝8米，AB＝6米，CD⊥AB， ∴OD＝CD﹣OC＝（8﹣R）米，AD＝AB＝3米， 在Rt△OAD中，由勾股定理得：OA2＝AD2+OD2， ∴R2＝32+（8﹣R）2， 解得：R＝， ∴此横截面所在圆的半径OA＝米． 故答案为：． 三．解答题（共8小题） 17．解下列一元二次方程： （1）36x2﹣1＝0； （2）x2+10x+21＝0； （3）； （4）3x2+6x﹣4＝0． 【解答】解：（1）36x2﹣1＝0， 36x2＝1， ， 解得，； （2）x2+10x+21＝0， x2+10x＝﹣21， x2+10x+25＝﹣21+25，即（x+5）2＝4， x+5＝±2， 解得x1＝﹣3，x2＝﹣7； （3）， ， x＝0或， 解得x1＝0，； （4）3x2+6x﹣4＝0， ∴a＝3，b＝6，c＝﹣4， ∴Δ＝b2﹣4ac＝62﹣4×3×（﹣4）＝84， ∴， ∴，． 18．阅读材料，解答问题． 解方程：（4x﹣1）2﹣10（4x﹣1）+24＝0． 解：把4x﹣1视为一个整体，设4x﹣1＝y， 则原方程可化为y2﹣10y+24＝0． 解得y1＝6，y2＝4． ∴4x﹣1＝6或4x﹣1＝4． ∴，． 以上方法就叫换元法，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想． 请仿照材料解下列方程：（1）x4﹣x2﹣6＝0； （2）（x2﹣2x）2﹣5x2+10x﹣6＝0． 【解答】解：（1）设x2＝y，则原方程可化为y2﹣y﹣6＝0， 整理，得（y﹣3）（y+2）＝0， 解得y1＝3，y2＝﹣2． 当y＝3时，即x2＝3， ∴； 当y＝﹣2时，x2＝﹣2无解． ∴原方程的解为，． （2）设x2﹣2x＝y，则原方程可化为y2﹣5y﹣6＝0， 整理，得（y﹣6）（y+1）＝0， 解得y1＝6，y2＝﹣1． 当y＝6时，即x2﹣2x＝6， 解得，； 当y＝﹣1时，即x2﹣2x＝﹣1， 解得x3＝x4＝1． 综上所述，原方程的解为，，x3＝x4＝1． 19．如图，是一块长为100cm，宽为60cm的矩形铁皮，按照如图所示方式剪去两个长方形和两个正方形，沿着虚线部分折起，就能制作一个有盖方盒，若该方盒的底面面积为1600cm2，则剪去正方形的边长为多少？ 【解答】解：正方形的边长为x cm， ， 解得：x1＝10，x2＝70（舍去）， 答：剪去正方形的边长为10cm． 20．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，点P从点A开始沿边AB向点B以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动．如果点P，Q分别从点A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动，问： （1）经过多长时间，△PBQ的面积等于5cm2？ （2）经过多长时间，△PBQ的面积等于△ABC面积的？ 【解答】解：（1）由题中所给的数据分析可得： 点P从点A到点B的时间为6÷1＝6秒， 点Q从点B到点C的时间为8÷2＝4秒， Q运动的时间为t（0＜t≤4）， ∴AP＝t，BQ＝2t， ∴， 即t2﹣6t+5＝0， ∴t1＝1，t2＝5（舍去）， ∴经过1s时，△PBQ的面积等于5cm2； （2）∵， 设运动时间为a秒， ， ∴a2﹣6a+8＝0． ∴a＝2或a＝4， ∴当经过2s或4s时，△PBQ的面积等于△ABC面积的． 21．如图，AB是⊙O的直径，点D为AB下方⊙O上一点，点C为的中点，连结CD，CA，AD．延长AC，DB相交于点E． （1）求证：OC∥BE． （2）若，BD＝6，求⊙O的半径． 【解答】（1）证明：延长CO交⊙O于F，连接BC，如图所示： ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， 即BE⊥AD， ∵点C为的中点， ∴根据垂径定理得：CF⊥AD， ∴OC∥BE， （2）解：设⊙O的半径为R，则AB＝2R，OC＝R， ∵OA＝OB，OC∥BE， ∴OC是△ABE的中位线， ∴AC＝CE＝，BE＝2OC＝2R， ∴AE＝，DE＝BD+BE＝2R+6， 在Rt△ABD中，由勾股定理得：AD2＝AB2﹣BD2， 在Rt△AED中，由勾股定理得：AD2＝AE2﹣DE2， ∴AB2﹣BD2＝AE2﹣DE2， ∴（2R）2﹣62＝（）2﹣（2R+6）2， 整理得：R2+3R﹣40＝0， 解得：R1＝5，R2＝﹣8（不合题意，舍去）， ∴⊙O的半径为5． 22．如图，△ABC内接于⊙O． （1）若∠C＝45°，⊙O的半径是2cm，求AB的长； （2）过A点作⊙O的切线DE，求证：∠BAE＝∠C． 【解答】（1）解：如图，连接OA，OB，则OA＝OB＝2， ∵∠C＝45°， ∴∠AOB＝2∠C＝90°， ， ∴AB的长为； （2）证明：∵过A点作⊙O的切线DE， ∴∠OAE＝90°，则∠OAB+∠BAE＝90°， 同理（1）∠AOB＝2∠C， ∵OA＝OB， ∴， ∴∠BAE＝90°﹣∠OAB＝90°﹣（90°﹣∠C）＝∠C， ∴∠BAE＝∠C． 23．如图，AB为⊙O的直径，过圆上一点D作⊙O的切线CD交BA的延长线于点C，过点O作OE∥AD交CD于点E，连接BE． （1）求证：直线BE是⊙O的切线； （2）若CA＝2，CD＝4，求⊙O的半径及DE的长． 【解答】（1）证明：∵CD与⊙O相切于点D， ∴∠ODE＝90°， ∵OE∥AD， ∴∠ADO＝∠DOE，∠DAO＝∠BOE， ∵OD＝OA， ∴∠ADO＝∠DAO， ∴∠DOE＝∠BOE， ∵OD＝OB，OE＝OE， 在△DOE和△BOE中， ， ∴△DOE≌△BOE（SAS）， ∴∠OBE＝∠ODE＝90°， ∴OB⊥BE， ∵OB为⊙O的半径， ∴直线BE是⊙O的切线； （2）解：设⊙O的半径为r， ∵OD2+DC2＝OC2， ∴r2+42＝（r+2）2， ∴r＝3， ∴AB＝2r＝6， ∴BC＝AC+AB＝8， 由（1）得△DOE≌△BOE， ∴DE＝BE， ∵BC2+BE2＝CE2， ∴82+DE2＝（4+DE）2， 解得DE＝6． 24．“筒车”是一种以水流作动力，取水灌田的工具，据史料记载，它发明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的历史，是我国古代劳动人民的一项伟大创造． 如图，“筒车”盛水筒的运行轨迹是以轴心O为圆心的圆，已知圆心O在水面上方，且当圆被水面截得的弦AB为6米时，水面下盛水筒的最大深度为1米（即水面下方圆上部分一点距离水面的最大距离）． （1）求该圆的半径； （2）若水面上涨导致圆被水面截得的弦AB从原来的6米变为8米时，则水面上涨的高度为多少米？ 【解答】解：（1）如图，过点O作OD⊥AB，垂足为点C，交⊙O以点D，由题意可知，CD＝1m，AB＝6m， ∴OC⊥AB，AB＝6m， ∴AC＝BC＝AB＝3m， 设圆的半径为r m，即OA＝OD＝r m，OC＝（r﹣1）m， 在 Rt△AOC中， OC2+AC2＝OA2，即 （r﹣1）2+32＝r2， 解得r＝5， 即该圆的半径为5m； （2）设水面升到如图EF的位置，则EF∥AB，OD与EF相交于点G， ∵OD⊥EF， ∴EG＝FG＝EF＝m， 连接OE，在Rt△EOG中，OE＝5m，EG＝4m， ∴OG＝＝3m， ∴CG＝OC﹣OG＝4﹣3＝1（m）， 即水面上涨的高度为 1 米． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$