上海市徐汇区董恒甫高级中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题

2024~2025学年董恒甫高级中学高二(上)期中考试数学试卷 一、填空题(第1-6题每题4分,第7-12题每题5分,满分54分) 1. 空间内,两异面直线所成角的取值范围是_. 2. 已知aOB=l,mCa,n二P,mn=P,则点P与直线/的位置关系用相应的符号表示为 3. 设 A和 B的两边分别平行,若乙A=45*},则 B的大小为 4. 分别在两个平行平面内的两条直线的位置关系是__. 5. 已知圆锥的母线长为4,母线与旋转轴的夹角为30*,则该圆锥的表面积为__ 6. 将边长分别为lcm和2cm的矩形,绕边长为2cm的一边所在的直线旋转一周得到一圆柱,则该圆柱的 侧面积为__cm}. 7. 如图,OAB是水平放置的△OAB的斜二测直观图,若OA=3,OB=4,则△OAB的面积 8. 在校长为2的正方体ABCD-A.BCD中,直线B.C到平面AD.C的距离为 9. 如图,已知PA1平面ABC,AC1BC,AB=2,BC=2,PB-6,则二面角P-BC-A的大小 10. 已知正三校锥的底面边长为4,高为2,则三校锥的表面积是 11. 一圆锥侧面展开图为半径为2的半圆,则此圆锥的体积为 12. 如图,圆锥形容器的高为h,圆锥内水面的高为4,且A=.若将圆锥倒置,水面高为,则与等 二、单选题(本大题共4题,满分20分) 13. 当我们停放自行车时,只要将自行车旁的撑脚放下,自行车就稳了,这用到了( ) A.三点确定一平面 B. 不共线三点确定一平面 C. 两条相交直线确定一平面 D. 两条平行直线确定一平面 14. 设a、b是平面M外的两条直线,且a/M,那么al/b是b/M的( )条件 A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充要 D. 既非充分又非必要 15. 已知m,n是两条不同的直线,“,B是两个不同的平面,给出四个命题 ①若aB=m,nca,n1m,则a1B; ②若mIa,m1B,则a//{; ③若mlln,mCa,al/B,则nl/B ④若m1a,n1B,m1n,则a1 其中正确的是( ) A.①② B.③④ C. ①④ D.②④ 16.已知正方体ABCD-A.B.CD,点P在直线AD上,O为线段BD的中点.则下列说法不正确的是( 。 A. 存在点P,使得PQ1AC B. 存在点P,使得PO//A.B C. 直线PO始终与直线CC.异面 D. 直线PO始终与直线BC.异面 三、解答题(本大题共有5题,满分76分) 17. 如图,正四梭柱ABCD-A.B.CD的底面边长AB=2,若BD与底面ABCD所成的角的正切值为2 (1)求正四校柱ABCD-4.B.C.D.的体积 (2)求异面直线4.A与B.C所成的角的大小 18、如图:ABCD是正方形,SD1平面ABCD,SD=AD=2. (1)求证:AC1.SB (2)求二面角S-C-D的大小 19. 如图;在四校锥P-4BCD中:底面4BCD为平行四边形,O是4C与BD的交点;之ADC-45* AD=AC-2.PO1平面ABCD.PO=2.M是PD的中点. (1)证明:PB//平面ACM; (2)求直线4M与平面ABCD所成角的正切值 20. 在意大利,有一座满是“斗笠”的灰白小镇阿尔贝罗贝洛,这些圆锥形屋项的奇特小屋名叫Trullon,于 1996年故入世界文化遗产名景(如图1)现测量一个屋项,得到圆锥SO的底面直径AB长为12m,母 线S4长为18m(如图2)C是母线S4的一个三等分点(靠近点S). (1)现用鲜花铺设屋顶,如果每平方来大约需要鲜花60朵,那么装饰这个屋顶(不含底面)大约需要多 少朵鲜花(此处x取3.14,结果精确到个位) (2)从点A到点C绕屋顶剩面一周安装灯光带,求灯光带的最小长度 21. 如图,AB是圆柱的直径且AB-2,PA是圆柱的母线且PA-3,点C是圆杜底面罔周上的点 (1)求圆柱的侧面积和体积; (2)求三校锥P-ABC体积的最大值 (3)若AC-1,D是PB的中点:点F在线段PA上,求CE+ED的最小值20242025学年董恒甫高级中学高二（上)期中考试数学试卷 一、填空题 1.空间内，两异面直线所成角的取值范围是 【答案】0 【解析】由异面直线所成角的定义知。两异面直线所成角的取值范围是(Q引 2.已知a∩B=1,mCa,ncB,m∩n=P,则点P与直线1的位置关系用相应的符号表示为 【答案】PeI 【解析】由m∩n=P,得Pem,Pen,而mCa,ncB,则Pea,PeB,又a∩B=I,所以Pe1. 3.设∠A和∠B的两边分别平行，若∠A=45°，则∠B的大小为 【答案】45或135 【解析】根据等角定理：一个角的两边平行于另外一个角的两边，则这两个角相等或互补 4.分别在两个平行平面内的两条直线的位置关系是一 【答案】平行或异面 【解析】分别在两个平行平面内的两条直线的位置关系是可以平行，可以异面，但不能相交， 5.己知圆锥的母线长为4，母线与旋转轴的夹角为30°，则该圆锥的表面积为一· 【答案】12元 【解析】，母线长1=4，母线与旋转轴的夹角8=30°， 六底面半径r=1si血30°=4×22，六圆维的表面积S=S%+5%=和+=4怀+8领=12。 6.将边长分别为1cm和2cm的矩形，绕边长为2cm的一边所在的直线旋转一周得到一圆柱，则该圆柱的 侧面积为cm2 【答案】4π 【解析】依题意，圆柱的底面半径为1，母线长为2，所以该圆柱的侧面积为S=2π×2=4π 7.如图，△OAB是水平放置的△OAB的斜二测直观图，若OA=3,OB=4,则△OAB的面积 为 【答案】12 3 【解析】如图，根据斜二测画法，将直观图还原后， 45 4 B 得到的△AOB为直角三角形， 且两条直角边OB=OB=4,OA=20A=6, 第1页共9页 所以，△08的面积为S-=4x6=12 8.在棱长为2的正方体ABCD-AB,CD,中，直线B,C到平面ADC的距离为 【答案】√5 【解析】如图，在棱长为2的正方体ABCD-AB,CD,中， D C A B 取CD,的中点E,连接CE,则CE⊥CD,且CE=√反， 又AD,⊥平面CDD,G,CEC平面CDD,G, 所以AD⊥CE,而A,DnCD,=D, 所以CE⊥平面ADC, 易知B,C/平面ADC,则C,到平面AD,C的距离即为直线BC到平面ADC的距离， 所以直线B1C到平面4DC的距离为√5 9.如图，已知PA⊥平面ABC,AC⊥BC,AB=2,BC=√5，PB=√6，则二面角P-BC-A的大小 为 【答案】子 【解析】：PA⊥平面ABC,BCC平面ABC,则PA⊥BC 又，：AC⊥BC,且PA,ACc平面PAC, ∴.BC⊥平面PAC,而PCC平面PAC,·BC⊥PC, “.PCA是二面角P-BC-A的平面角， ,AC⊥BC,AB=2,BC=2,，AC=VAB-BC=反， PA L AB,PB=6,PA=PB:-AB=. 又：PA⊥AC,∠PCA=45°，.二面角P-BC-A为45° 10.己知正三棱锥的底面边长为4，高为2，则三棱锥的表面积是 【答案】12√5 【解析】如图，正三棱锥O-4ABC,高O2,取BC中点N, 连接N,ON,则M在线段N上，且WN=号AW,由AB=4.BN2, 第2页共9页 由勾股定理得：4N=√16-4=25， 0 所以hN-号N=25,oN=Or+m 4 25 45 3 所以Sac-8C-oN=85,Suc= C.AN=4. 3 2 所以三棱锥的表面积为35 ×3+45=125 3 11.一圆锥侧面展开图为半径为2的半圆，则此圆锥的体积为 【答案】5a 3 【解析】由题意，设圆锥的底面半径为r,母线长为1，高为h, 因为圆锥侧面展开图为半径为2的半圆，可得1=2且2πr=2π，解得r=1, 所以h=P-r产=V2-下=5， 所以圆维的体积为V=写wh-jsxEx5= 3 12.如图，圆锥形容器的高为h,圆锥内水面的高为4，且片=}h,若将圆锥倒置，水面高为4，则，等 于 【答案】 3 【解析】设容器底面半径为，则水的体积为： r-知h-知hxrh号 3 3 27 倒置后水的体积P=hx(色y, 解得h= 3 二、单选题 13.当我们停放自行车时，只要将自行车旁的撑脚放下，自行车就稳了，这用到了( ) A,三点确定一平面 B.不共线三点确定一平面 C.两条相交直线确定一平面 D.两条平行直线确定一平面 【答案】B 【解析】自行车前后轮与撑脚分别接触地面，此时三个接触点不在同一条线上所以可以确定一个平面，即 地面，从而使得自行车稳定，故选B项 第3页共9页 14.设a、b是平面M外的两条直线，且aM,那么aWb是bM的( )条件 A.充分非必要 B,必要非充分 C,充要 D.既非充分又非必要 【答案】A 【解析】充分性：若aib,结合aM,且b在平面M外，可得bM,是充分条件： 必要性：若bM,结合aM,且a,b是平面M外，则a,b可以平行，也可以相交或者异面，所以不是 必要条件 故a1b是bM的“充分非必要”，故选：A. 15.已知m,n是两条不同的直线，a,B是两个不同的平面，给出四个命题： ①若a∩B=m,nCa,n⊥m,则a⊥B: ②若m⊥a,m⊥B,则a川B: ③若mln,mCa,a"p,则nlMp: ④若m⊥a,n⊥B,m⊥n,则&⊥B 其中正确的是( ) A.①② B.③④ C.①④ D.②④ 【答案】D 【解析】对于①，若a∩B=m,nCa,n⊥m,a,B两平面相交，但不一定垂直，故①错误； 对于②，若m⊥a,m⊥B,则ap,故②正确： 对于③，若mm,mCa,alp,当ncp,则n与B不平行，故③错误： 对于④，若m⊥a,n⊥B,m⊥n,则a⊥B,故④正确： 故选：D 16.已知正方体ABCD-AB,CD,点P在直线AD上，Q为线段BD的中点.则下列说法不正确的是() A.存在点P,使得PQ⊥AC B.存在点P,使得POIIAB C.直线PQ始终与直线CC,异面 D.直线PQ始终与直线BC异面 【答案】C 【解答】在正方体ABCD-AB,CD,中，可得4C⊥BD, 又由BB⊥平面4BCD,且AGC平面AB,CD,所以AC⊥BB, 第4页共9页 因为B,D∩BB=R,且BD,BBC平面BDD,B,所以4G⊥平面BDD,B, 由点P在直线AD上，Q为线段BD的中点， 当点P和D重合时，可得PQC平面BDD,B,所以AC⊥PQ,所以A正确： 连接4D,如图所示， 当点P为线段AD的中点时，P2为△4，BD的中位线，即PQ/A,B,所以B正确： 因为CC,C平面ACCA,当点P和点A重合时，PQc平面ACC4, 则直线PQ和CC,在同一平面内，所以C错误： B 由BCC平面ABCD,PQ∩平面ABCD=P,且PEBC, D 所以直线PQ始终与直线BC不相交，且不平行， 所以PQ与BC是异面直线，所以D正确. 故选：C 三、解答题 17.如图，正四棱柱ABCD-ABCD的底面边长AB=2,若BD与底面ABCD所成的角的正切值为√互 (1)求正四棱柱ABCD-AB,CD,的体积： C (2)求异面直线AA与B,C所成的角的大小 【答案】()16：(2)acam2 【解析】(1)如图，连接BD :正四棱柱ABCD-AB,C,D,的底面边长AB=2 ∴BD=2N5 :DD⊥面ABCD ·∠D,BD是BD与底面ABCD所成的角 在RaD,BD中，tan∠D,BD=D0_D2 BD2√5 ..DD=4 第5页共9页 VC0-44GA=Sh=4×2×2=16 正四棱柱ABCD-AB,CD,的体积为：l6. (2)正四棱柱ABCD-AB,CD .AA//BB ∴∠BBC是异面直线AA与B,C所成的角 六在RtaB.BC中，tam∠CRB=BC_2-」 “.异面直线4A与BC所成的角为：arctan2 18、如图，ABCD是正方形，SD⊥平面ABCD,SD=AD=2. (I)求证：AC⊥SB: (2)求二面角S-AC-D的大小 【答案】(1)见解析：(2)arctan√互， D 【解析】(1)连接AC,BD,如图， 因ABCD是正方形，则AC⊥BD, 又SD⊥平面ABCD,ACC平面ABCD, 则AC⊥SD, 而BDSD=D,且BD,SDC平面SBD, 于是得AC⊥平面SBD,又SBc平面SBD, 所以AC⊥SB: (2)取线段AC中点O,连接DO、SO, 由题意易知，SD⊥AD,SD⊥CD,且ABCD是正方形，SD=AD=2, 故AD=CD=2,DO⊥AC, SM=SC=25,S0⊥AC, 故∠SOD为二面角S-AC-D的平面角， 由SD⊥平面ABCD,可知SD⊥DO, 放m00品后6， 故二面角S-AC-D的大小为arctan√2 第6页共9页 19.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，O是AC与BD的交点，∠ADC=45°， AD=AC=2,P0⊥平面ABCD,PO=2,M是PD的中点， (1)证明：PB//平面ACM: (2)求直线AM与平面ABCD所成角的正切值. 【答案】(1)见解析：(2)25 C 【解析】(1)连接OM,在平行四边形ABCD中， D B O为AC与BD的交点，O为BD的中点， 又M为PD的中点，·.PB∥MO, 又PBa平面ACM,MOC平面ACM,,PB//平面ACM: (2)取DO的中点N,连接MN,AN, M ~M为PD的中点，MN∥PO,且N=PO=l, 由PO⊥平面ABCD,得N⊥平面ABCD, ·.∠MN是直线AM与平面ABCD所成的角， ∠ADC=45°，AD=AC=2,∴∠ACD=∠ADC=45°，∴.∠CAD=90°， 在R1△DA0中，AD=2A0=2AC= D0=5,从而aN=D0= 2 在R△NM中，an∠aaN==1=25 N 55, 2 直线4M与平面ABCD所成角的正切值为25 5 20.在意大利，有一座满是“斗笠"的灰白小镇阿尔贝罗贝洛，这些圆锥形屋顶的奇特小屋名叫Tulo,于 1996年故入世界文化遗产名景（如图1）现测量一个屋顶，得到圆锥S0的底面直径AB长为12m,母 线S4长为18m(如图2).C是母线SA的一个三等分点（靠近点S), 第7页共9页 (1)现用鲜花铺设屋顶，如果每平方米大约需要鲜花60朵，那么装饰这个屋项（不含底面）大约需要多 少朵鲜花（此处π取3.14，结果精确到个位）： (2)从点A到点C绕屋顶侧面一周安装灯光带，求灯光带的最小长度 【答案】(1)20347朵：(2)63m 【解析】(1)因圆锥S0的底面直径AB长为12m,母线SA长为18m, 则此圆维的侧面积为S=.BS4*3.14x6×18=39,12(m) 又每平方米大约需要鲜花60朵，于是得339.12×60≈20347（朵）： 所以装饰这个屋顶大约需要20347朵鲜花 (2)将圆锥S0沿母线SA剪开展在同一平面内得如图所示的扇形SAA',点A到点A', 连接A'C,则AC为最小长度， 扇形弧A4长等于圆锥S0底面圆周长π·AB=12π， 于是得扇形圆心角∠4S4=12r-2江 183 在△fc中，5M=185c=M=6, 由余弦定理得AC2=Sf+SC2-2S.SCcos∠A'SC, 即4C=18+6-2×18x6cos2=468,解得HC=6厅， 所以灯光带的最小长度为63m. 21.如图，AB是圆柱的直径且AB=2,PA是圆柱的母线且PA=3,点C是圆柱底面圆周上的点. (1)求圆柱的侧面积和体积： (2)求三棱锥P-ABC体积的最大值： (3)若AC=1,D是PB的中点，点E在线段PA上，求CE+ED的最小值. D 【答案】(1)S=6,=3x:(2)1:(6)月 【解析】(1)圆柱的底面半径r4B=山，高为=PA=3, B 圆柱的侧面积S侧=2π×1×3=6r, 圆柱的体积V=π×1P×3=3z (2)三棱锥P-ABC的高h=3,底面三角形ABC中，AB=2, 则当点C到AB的最大值等于底面圆的半径1， 第8页共9页 1】 所以三棱锥P-ABC体积的最大值ac=写9，ch=写××2xlx3=l 32 (3)将△PAC绕若PA旋转到PAC'使其共面，且C在AB的反向延长线上， AB=2,PA=3, ∴cos∠PBA= i店，BD=B即=E】 2 BC'=BA+AC'=3, 2 2 ∴CD=VCB2+BD2-2CB·BD-cos∠PBA, D 6+(9-2×3x项三-3 B 即CE+ED的最小值为CD等于} 第9页共9页