上海市第二中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题

2024~2025学年市二中学高一(上)期中考试数学试卷 一、填空题 (第1-6题每题4分,第7-12题每题5分,满分54分) 1. 若A={xlx-3>1,B=(xll<$<5,则AB= 2. 不等式3-5o的解集是 x+4 4. 不等式“x”3x”是“x-21”的 条件. 5. 已知集合4=(2.3.5.8,集合B={2.3.5.8.13.21l:若集合M满足ACMCB,则这样的集合M共 个. 6. 已知-5(xo),那么等于 7. 已知log。5=m,log,7=n,则用m,n表示log9=__ 8. 若关于x的不等式x-(2a+1)x+2a<0恰有两个整数解,则a的取值范围是 9. 命题“任意xeR,(a-2)x+2(a-2)x-4<0“为真命题.则实数a的取值范围是 10. 碳14是透过字审射线撞击空气中的氧14原子所产生.碳14原子经过衰变转变为氢原子,由于其半刻 期达5730年,经常用于考古年代鉴定,半衰期(Hof-if)是指放射性元素的原子核有半数发生衰变时所 需要的时间.对北京人遗址中某块化石鉴定时,碳14含量约为原来的1%,则这块化石距今约为 万 年.(四舍五入到0.1万年) 11. 已知A=....B=a..a..<a.<a<a.<.ez,i=1.2.3.4.5若 AB={n.a.)且q+a=10,a.>2,AUB中各元素的和为256,则集合A=_ b-1 二、单选题(本大题共4题,满分20分) ) A.1.2.4 B.(0.1.3) C.(xi0sxs3) D. (x-1<xs4 14. 关于x的不等式x<ax-b的解集是{4,那么log.b=( A B D. A.1 C.12 15. 若x-a<m,y-akn,则下列不等式中一定成立的是( ). A. br-H<2m B. -y2n c. x-n-m D. -n4m 16. 定义集合运算A-B=fxxEA且x&B:将AAB-(A-B)U(B-A)称为集合A与集合B的对称差,命 题甲:AO(BAC)=(AOB)A(AOC):命题乙:AU(BAC)=(AUB)A(AUC)则下列说法正确的是 ) A. 甲乙都是真命题 B. 只有甲是真命题 C. 只有乙是真命题 D. 甲乙都不是真命题 三、解答题 (本大题共有5题,满分76分) $7. 知集合A=xx’+ax+b= .B={xl+cx+15=o,若AUB=3.5$,AB=3),则实数a、b、$ 的值为. 18. 设关于x的方程lg}x-lx?+3p=0的两个实根分别是a.$ (1)求实数刀的取值范围 (2)求log.B+log“的取值范围 19. 近几年来,“盲盒文化”广为流行,这种文化已经在中国落地生根,并发展处具有中国特色的盲盒经济 某盲盒生产及销售公司今年初用98万购进一批盲盒生产线,每年可有50万的总收入,已知生产此盲盒 x年(x为正整数)所用的各种费用总计为2x+10x万元 (1)该公司第几年首次盈利(总收入超过总支出,今年为第一年)? (2)该公司第1年年平均利润最大,最大是多少 20. 某天数学课上,你突然惊醒,发现黑板上有如下内容 例:求x-3xxE(0.+)的最小值 解:利用a+b+c32abc,得到x+1+1>3x. 于是,x-3x-x+1+1-3x-2>3x-3x-2--2- 当且仅当x=1时,取到最小值-2. (1)老师请你模仿例题,研究x-4x.xe(0.+c)上的最小值:(提示:a+b+c+d>4Vabed,当且仅当 a=b-c:d时,等号成立): (2)研究-3x,xe(0.t)上的最小值; (3)当g0时,求x-ax.xe(0.+oc)的最小值 21. 已知有限集A=f,aa.)(n>2.neN),如果A中的元素a(i=1.2n)满足 a.+a.+..+a.三a.xa.x.xa.,就称A为“完美集”. (1)判断:集合-1-3.-1+3是否是“完美集”并说明理由; (2)、a.是两个不同的正数,且(a.a)是“完美集”,求证:2、a.至少有一个大于2 (3)若a为正整数,求:“完美集”A。20242025学年市二中学高一(上)期中考试数学试卷 一、填空题 1. 若A={xlx-3>1,B=(xl<x<5,则A0B= 【答案】(1.4) 【解析】由题意知,A=(-o,4),所以40B=(1.4). 【答案】(-o-4)3,+) 3-x0~ 【解析】 (3-x)(x+4)0 +4 ,解得x-4或x>3,所以不等式的解集为(-.-4)[3.+) 1x+4z0 【答案】-1 【解析】若2*=5*-1 ,可得a=-log,10,b=-log 10. 0' --(lg5+lg2)=-lg10=-1. 4. 不等式“<3x”是“x-2<1”的 条件 【答案】必要不充分 【解析】x* 3x=(x0<xs3],xlx-21=x1x 3} 由于(1<x<3是{x0<x3}的真子集,所以“xs3x”是“x-2<1”的必要不充分条件 5. 已知集合A={2.3.5.8),集合B={2.3.5.8.13.21,若集合M满足ACMCB,则这样的集合M共 有。 个. 【答案】3 【解析】因为集合AcMcB,所以集合M中包含2,3,5,8且至少包含13,21中的一个元素 所以M=(2.3.5.8.13或(2.3.5.8.21j或2.3.5.8.13.21,所以满足条件的M个数为3 6. 知,-5(x→o),那么-等于 【答案】7 第1页共9页 【解析】由)-+=5+=7 因x>0,故,即得,-、 7. 已知log$5=m,log,7=n,则用m,n表示logss9=__ 【答案】 【解析】由log,$5=m,log,7=n,可得m= log, 5.n=log,7, 又由logo-log_92 log, 35 log,5+log;72m+n 8. 若关于x的不等式x-(2a+1)x+2a<0恰有两个整数解,则a的取值范围是 【答案】 #1s-#或}<a=2# 【解析】令x*-(2a+1)x+2a=0,解得x=1或x=2a 当2a<1,即a<时,不等式x*-(2a+1)x+2a<0解得2a<x<1, 1 则不等式中的两个整数解为0和-1,有-2<2a<-1,解得-1<a<- 2 #0#15}a2# 综上,a的取值范围是 9. 命题“任意xcR:(a-2)x*+2(a-2)x-4<0”为真命题,则实数a的取值范围是 【答案】(-22] 【解析】因为“任意xeR,(a-2)x3+2(a-2)x-4<0”为真命题 所以不等式(a-2)x2+2(a-2)x-4<0在R上恒成立 当a=2时,-4<0,显然成立, 第2页共9页 [a-2<。 当a;2时,有, △=4(a-2)*+16(a-2)<0' 解得-2<a<2, 综上所述,实数a的取值范围是(-2.2 10. 碳14是透过宇审射线撞击空气中的氢14原子所产生.碳14原子经过衰变转变为氢原子,由于其半衰 期达5730年,经常用于考古年代鉴定.半衰期(Half-life)是指放射性元素的原子核有半数发生衰变时所 需要的时间.对北京人遗址中某块化石鉴定时,碳14含量约为原来的1%,则这块化石距今约为 万 年.(四舍五入到0.1万年) 【答案】3.8 【解析】设第n个半衰期结束时,碳14含量为。 令a.-(1)”-19%,解得_”=log10-110 _ r-0.301 所以这块化石距今约为5730x6.64=38047.2年,即约为3.8万年 $1. 已知A=.a,a,a,a,B=a,a,a,a...<a.<a.<a.<a, Ez,i=1,2,3,4,5.若 AB={a,a且a+a.=10,a>2,AUB中各元素的和为256,则集合A=_. 【答案】(1,3,5.9,11 【解析】由AoB=fa,a),且a.<a.<a;<a<as, 得到只可能a.=a,即a=1或0 当a=0时,a=10,而4oB=f.),则=10ez,故舍去. 则a=1,又a+a=10, .a=9,且a.=9=a(2<i<3),a,=3或a:=3. 第3页共9页 ①若a,=3时,a.=2,不合题意; ②若a=3时,此时4=(1.3.a,9.a.},B=(1,9.a,81,a} 因1+3+9+++81+a{+=256,从而+a+^{+-162= 又a<;<a,则3<a<9,当a;=4.6.7.8时,a无整数解 当a=5时,a=11, 所以4=(1.3.5.9,11. 综上:4=(1.3.5.9.11 12. 已知实数a,b满足-1<a<1cb,且a+b-2,则.3 -的最小值为___. a+1b-1 【答案】5-1 【解析】因为-l<a<l<b,所以a+1>0,b-1>0, 因为a+b=2,所以(a+1)+(b-1)=2 +1 b-1=+1 b-1=a+1 b-1 “1.))---1 a1=b-1 二、单选题 A. 1.2.4) B. (0.1.3 C. (xi0xs3 D. (x-1x4 【答案】B 所以p-({axy--y-01). 第4页共9页 因为={x-1$x$4,所以PO=0,1,3),故选:B. 14. 关于x的不等式x<ax-b的解集是(4,那么log。b=( 。 B} C. 12 +1( A.1 D. 【答案】D 【解析】x<ar-b即x*-ax+b<0,因为解集为(4 [a=4x2 fa=8 则根据韦达定理知 15. 若x-al<m,ly-akn,则下列不等式中一定成立的是( ). A. x-<2m B. x-H<2n C. x-<n-m D. x-<n+m 【答案】D 【解析】运用绝对值三角不等式lx-yx-a+a-yx-al+la-y. 由于x-a<m,|y-a<n,运用不等式性质得到lx-al+la-ykm+n 故x-H<n+m,故选:D. 16. 定义集合运算A-B={xxEA且xB:将AAB=(A-B)U(B-A)称为集合A与集合B的对称差,命 题甲:AO(BAC)=(AOB)A(AOC):命题乙:AU(BAC)=(AUB)A(AUC)则下列说法正确的是 ) A. 甲乙都是真命题 B. 只有甲是真命题 C. 只有乙是真命题 D. 甲乙都不是真命题 【答案】B 【解析】对于甲,Ao(BAC)=Ao(BUC-BoC)=Ao(BUC)-Ao(BoC) =(AoB)(AoC)-(A。B)o(A。C)=(AoB)A(AoC) 故命题甲正确: 对于乙,如图所示: 所以,A(B△C):(AB)A(AC),故命题乙不正确 AU(B△C) (4UB)△(AUC) 第5页共9页 故选:B. 三、解答题 $ . 知集合A={x$+ax+b=0,B={xx+cx+15=,若AUB=(3.5}.AB=(3),则实数$a 、b、 的值为. 【答案】a=-6,b=9,c=-8 【解析】因为AoB={3),所以3EB,所以9+3c+15=0,得c=-8 所以B={x1x-8x+15=o=(3.5. 所以A=(3,即+x+b=0有且只有一个实根x=3$ 所以3+3=-a,3x3=b,解得a=-6,b=9$ 综上可得,a=-6,b=9,c=-8 18. 设关于x的方程lg{x-lgx2}+3p=0的两个实根分别是g.B (1)求实数P的取值范围 (2)求log。B+log。“的取值范围 【答案】(1)(~]) (2)(-,-2)[2,~) 【解析】(1)因为lg$x-lgx*+3p=0,即lg$x-2lgx+3p=0 设1=lgx,则关于1的方程r*-2r+3p=0的两根为lgg和lgB 所以△=(-2)-12p=0,解得p=: (2)由韦达定理,得{ [lga+lgB=2 $lglgB=3p' lgB.lgglg}B+lga 所以log。B+log。a= lga lgB=lgalgB .(lgB+tg)-2lgalg 4-64-2, lgalg/B 3p3p 第6页共9页 所以log。B+log。“的取值范围为(-o.-2)[2.+o) 19. 近几年来,“盲盒文化”广为流行,这种文化已经在中国落地生根,并发展处具有中国特色的盲盒经济 某盲盒生产及销售公司今年初用98万购进一批盲盒生产线,每年可有50万的总收入,已知生产此盲盒 x年(x为正整数)所用的各种费用总计为2x+10x万元 (1)该公司第几年首次盈利(总收入超过总支出,今年为第一年)? (2)该公司第几年年平均利润最大,最大是多少? 【答案】(1)第3年;(2)第7年平均利润最大,为12万元 【解析】(1)设利润为y,则y=50x-(98+2x2+10x)=-2x*+40x-98(xeN) 由-2x*+40x-98>0整理得x2-20x+49<0 解得10-、51<x10+5,由于x-N. 所以xe{xeN13<xs17).所以第3年首次盈利. (2)首先xefxeN'13sxs17. 当且仅当:-4 综上,第7年,平均利润最大,为12万元 20. 某天数学课上,你突然惊醒,发现黑板上有如下内容 例:求x-3x,xE(0,+o)的最小值 解:利用a+b+c>3vabc,得到x+1+1>3x. 于是,-3x-x+1+1-3x-2>3x-3x-2--2, 当且仅当x三1时,取到最小值-2 (1)老师请你模仿例题,研究x-4x.xe(0,+o)上的最小值:(提示:a+b+c+d>4Vabcd,当且仅当 a=b=c=d时,等号成立); (3)当a>0时,求x-ax,xE(0.+)的最小值 第7页共9页 【答案】(1)-3:(2)-6:(3)-2a\3 【解析】(1)因为x>0. 利用a+b+c+d>4vabcd,得到x+1+1+1>4x 于是,-4=$+1+1+1-4x-3>4-4-3=-3 当且仅当x三1时,取得最小值-3 (2)因为x>0. 于是, 当且仅当x=3时,取得最小值-6. (3)因为x>0, 利用a+b+c>3abc,得到x# 于是,-ax=2aG 3-2 2. 9 21. 已知有限集A=a.aa.(n>2.neN),如果A中的元素a(i=1.2.,n)满足 2.+a.+.+a.三axa.xlxa,就称A为“完美集”. (1)判断:集合-1-3.-1+3是否是“完美集”并说明理由: (2)、a.是两个不同的正数,且{a,a是“完美集”,求证:、a至少有一个大于2; (3)若a为正整数,求:“完美集”A。 【解析】(1)由(-1-)+-1+)=-2,(-1-)(-1+)=-2,则集合 -1-,-1+ 是“完美集”, (2)若a、a.是两个不同的正数,且faa是“完美集” 设a+a:=a.=f>0. 根据根和系数的关系知,a和a,相当于一故+1三0的两根 第8页共9页 由△=r^-4t>0:解得/>4或(<0(舍去); 所以aa:>4,又a,a均为正数 所以a、a至少有一个大于2 (3)不妨设A中a<a.<a;<...<a., 由a.a.=a+a+...+a.<na,得a...,n, 当n=2时,即有a<2,又a为正整数,所以a.=l. 于是l+a、=lxa。,则a,无解,即不存在满足条件的“完美集”; 当n=3时,aa<3,故只能a=1,a.=2,求得a;=3 于是“完美集”A只有一个,为1.2.3) 当n>4时,由a.0..-,>1x2x3x.lx(n-1),即有n>1x2x3x..x(n-1). 面n-(n-1)(n-2)=-n}+4n-2=-(n-2)*+2<0, 又(n-1)(n-2)<1x2x3x..x(n-1),因此n<1x2x3x..x(n-1),故矛盾 所以当n>4时不存在完美集A, 综上知,“完美集”A为1.2.3 第9页共9页