精品解析：新疆维吾尔自治区喀什地区莎车县2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题

莎车县2024-2025学年第一学期高二年级期中考试（数学）试卷 满分150分 时长120分钟 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知向量，向量，若，则实数 A. B. C. D. 2. 中国是世界上最古老文明中心之一，中国古代对世界上最重要的贡献之一就是发明了瓷器，中国陶瓷是世界上独一无二的.它的发展过程蕴藏着十分丰富的科学和艺术，陶瓷形状各式各样，从不同角度诠释了数学中几何的形式之美.现有一椭圆形明代瓷盘，经测量得到图中数据，则该椭圆瓷盘的焦距为（ ） A. B. C. D. 4 3. 圆心在上，半径为3的圆的标准方程为（ ） A B. C. D. 4. 如图,在四面体中,是的中点,是的中点,则等于（ ） A. B. C. D. 5. 已知，若点D是AC中点，则 A. 2 B. C. -3 D. 6 6. 过点且垂直于直线的直线方程为（ ） A B. C D. 7. 已知点到直线的距离为1，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 设椭圆的左、右焦点分别为、，P是C上的点，，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 已知正方体，则（ ） A. 直线与所成的角为 B. 直线与所成的角为 C. 直线与平面所成的角为 D. 直线与平面ABCD所成的角为 10. 对于任意非零向量，，以下说法错误的有 A 若，则 B. 若，则 C. D. 若，则为单位向量 11. 已知直线，则下列结论正确的是（ ） A. 直线的倾斜角是 B. 若直线，则 C. 点到直线的距离是2 D. 过与直线平行的直线方程是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 直线的倾斜角为_______；在轴上的截距为_________. 13. 已知、分别是椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于A、B两点，若，则______． 14. 已知正方体的棱长为a，点分别为棱，的中点，下列结论中，正确结论的序号是__________． ①平面； ②平面； ③异面直线与所成角的正切值为； ③四面体的体积等于． 四、解答题：本题共5个小题，共77分． 解答应写出说明文字、演算式、证明步骤． 15. 已知直线l经过点，其倾斜角为. (1)求直线l的方程； (2)求直线l与两坐标轴围成的三角形的面积. 16. 已知空间三点，，，设 （1）求和的夹角的余弦值； （2）若向量与互相垂直，求的值． 17. 已知椭圆C的两焦点分别为，长轴长为6． ⑴求椭圆C的标准方程; ⑵已知过点（0，2）且斜率为1的直线交椭圆C于A 、B两点,求线段AB的长度． 18. 已知圆P过. （1）求圆P的方程； （2）若过点的直线l被圆P所截得的弦长为8，求直线l的方程. 19. 如图，在长方体中，为上一点，已知，，，． （1）求直线和平面的夹角； （2）求点到平面的距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 莎车县2024-2025学年第一学期高二年级期中考试（数学）试卷 满分150分 时长120分钟 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知向量，向量，若，则实数 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 由得出，结合空间向量数量积的坐标运算可得出关于的等式，解出即可. 【详解】，，，，解得. 故选：D. 【点睛】本题考查空间向量垂直的坐标表示，考查计算能力，属于基础题. 2. 中国是世界上最古老的文明中心之一，中国古代对世界上最重要的贡献之一就是发明了瓷器，中国陶瓷是世界上独一无二的.它的发展过程蕴藏着十分丰富的科学和艺术，陶瓷形状各式各样，从不同角度诠释了数学中几何的形式之美.现有一椭圆形明代瓷盘，经测量得到图中数据，则该椭圆瓷盘的焦距为（ ） A. B. C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】 由图形可得椭圆的值，由求得的值即可得到答案. 【详解】因为椭圆的，所以， 因为，所以，则. 故选：C 【点睛】本题考查椭圆的焦距，考查对椭圆方程的理解，属于基础题，求解时注意求的是焦距，而不是半焦距. 3. 圆心在上，半径为3的圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据定义即可求解 【详解】圆心在上，半径为3的圆的标准方程为： 故选： B 【点睛】本题考查圆的标准方程的写法，属于基础题 4. 如图,在四面体中,是的中点,是的中点,则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】因为在四面体中,是的中点,是的中点,,即可求得答案. 【详解】在四面体中,是的中点,是的中点 故选:C. 【点睛】本题主要考查了向量的线性运算,解题关键是掌握向量基础知识和数形结合,考查了分析能力和空间想象能力,属于基础题. 5. 已知，若点D是AC中点，则 A. 2 B. C. -3 D. 6 【答案】D 【解析】 分析】 由已知利用向量的运算求出的坐标,利用数量积公式即可解得. 【详解】, ,, . 故选:D. 【点睛】本题考查空间向量的加减运算,考查数量积的坐标表示,难度较易. 6. 过点且垂直于直线的直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据两直线垂直关系，设出所求直线方程，代入即可求解. 【详解】设所求的直线方程为， 代入方程解得， 所求的直线方程为. 故选：D. 7. 已知点到直线的距离为1，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据点到直线的距离公式列式求解参数即可. 【详解】由题,,因为,故. 故选：D 【点睛】本题主要考查了点到线的距离公式求参数的问题,属于基础题. 8. 设椭圆的左、右焦点分别为、，P是C上的点，，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由三角函数关系得到，，由椭圆定义得到方程，求出离心率. 【详解】因为P是C上点，且，， 所以，， 又， 故，解得. 故选：D 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 已知正方体，则（ ） A. 直线与所成的角为 B. 直线与所成的角为 C. 直线与平面所成的角为 D. 直线与平面ABCD所成的角为 【答案】ABD 【解析】 【分析】数形结合，依次对所给选项进行判断即可. 【详解】如图，连接、，因为，所以直线与所成的角即为直线与所成的角， 因为四边形为正方形，则，故直线与所成的角为，A正确； 连接，因为平面，平面，则， 因为，，所以平面， 又平面，所以，故B正确； 连接，设，连接， 因为平面，平面，则， 因为，，所以平面， 所以为直线与平面所成的角， 设正方体棱长为，则，，， 所以，直线与平面所成的角为，故C错误； 因为平面，所以为直线与平面所成的角，易得，故D正确. 故选：ABD 10. 对于任意非零向量，，以下说法错误的有 A. 若，则 B. 若，则 C. D. 若，则为单位向量 【答案】BD 【解析】 【分析】利用空间向量垂直的坐标表示可判断A选项的正误；取，且可判断B选项的正误；利用空间向量夹角余弦的坐标表示可判断C选项的正误；求得，可判断D选项的正误. 【详解】对于A选项，因为，则，A选项正确； 对于B选项，若，且，，若，但分式无意义，B选项错误； 对于C选项，由空间向量数量积的坐标运算可知，C选项正确； 对于D选项，若，则，此时，不单位向量，D选项错误. 故选：BD. 【点睛】本题考查与空间向量相关的命题真假的判断，考查了空间向量数量积的坐标运算以及空间共线向量的坐标表示，属于基础题. 11. 已知直线，则下列结论正确的是（ ） A. 直线的倾斜角是 B. 若直线，则 C. 点到直线的距离是2 D. 过与直线平行的直线方程是 【答案】CD 【解析】 【分析】由倾斜角的定义判断A，由两直线位置关系判断B，由点到直线距离公式判断C，由平行求得平行线方程判断D． 【详解】对于A，直线的斜率，故直线的倾斜角是，故A错误； 对于B，因为直线的斜率， 故直线与直线不垂直，故B错误； 对于C，点到直线的距离，故C正确； 对于D，过与直线平行的直线方程是， 整理得：，故D正确. 故选：CD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 直线的倾斜角为_______；在轴上的截距为_________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】由斜截式方程可知，直线的斜率为1，由可得；令，从而可得结果. 【详解】由斜截式方程可知，直线的斜率为1， 设倾斜角为，则， 由可得； 令， 所以，直线在轴上的截距为， 故答案为 ， . 【点睛】本题主要考查直线的倾斜角与斜率的关系，以及直线的截距，意在考查对基础知识掌握的熟练程度，属于简单题. 13. 已知、分别是椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于A、B两点，若，则______． 【答案】11 【解析】 【分析】由椭圆定义，，，结合条件数值即可求 【详解】由椭圆定义，，，， 故，又，故． 故答案为：11 14. 已知正方体的棱长为a，点分别为棱，的中点，下列结论中，正确结论的序号是__________． ①平面； ②平面； ③异面直线与所成角的正切值为； ③四面体的体积等于． 【答案】②③ 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量研究线面关系及线线夹角可判定前三个结论；利用正方体及三棱锥的体积公式可判定第四个结论. 【详解】如图所示建立空间直角坐标系， 则， ， ， ， 设平面与平面的法向量分别为， 则，， 不妨令，令， 即， 易知，所以与平面不平行，平面； ， 即异面直线与所成角的余弦值为，所以其正切值为； 易知正方体体积为，， 所以. 综上：②③正确，①④错误. 故答案为：②③ 四、解答题：本题共5个小题，共77分． 解答应写出说明文字、演算式、证明步骤． 15. 已知直线l经过点，其倾斜角为. (1)求直线l的方程； (2)求直线l与两坐标轴围成的三角形的面积. 【答案】(1) (2) 【解析】 【详解】（1）因为直线的倾斜角为60°，所以直线的斜率为， 因为直线过点（0，-2），根据直线方程的斜截式或点斜式可知直线方程为 （2）在直线方程中令，令， 根据三角形的面积公式可知 考点：本小题主要考查直线方程的求解和应用. 点评：直线方程有五种形式，利用时要根据条件灵活选择，还要注意各种直线方程的适用条件. 16. 已知空间三点，，，设 （1）求和的夹角的余弦值； （2）若向量与互相垂直，求的值． 【答案】（1）． （2）或． 【解析】 【分析】（1）利用计算即可； （2）利用求解即可． 【小问1详解】 由已知，， 所以， 【小问2详解】 因为，， 因为与垂直， 所以，即，解得或． 所以或． 17. 已知椭圆C的两焦点分别为，长轴长为6． ⑴求椭圆C的标准方程; ⑵已知过点（0，2）且斜率为1的直线交椭圆C于A 、B两点,求线段AB的长度． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】(1)由焦点坐标可求c值，a值，然后可求出b的值．进而求出椭圆C的标准方程． （2）先求出直线方程然后与椭圆方程联立利用韦达定理及弦长公式求出|AB|的长度． 【详解】解：⑴由，长轴长为6 得：所以 ∴椭圆方程为 ⑵设,由⑴可知椭圆方程为①, ∵直线AB的方程为② 把②代入①得化简并整理得 所以 又 【点睛】本题考查椭圆的方程和性质，考查韦达定理及弦长公式的应用，考查运算能力，属于中档题． 18. 已知圆P过. （1）求圆P的方程； （2）若过点的直线l被圆P所截得的弦长为8，求直线l的方程. 【答案】（1）；（2）或. 【解析】 【分析】(1)设出圆的一般方程，将三点坐标代入得方程组，解出即可. (2) 由半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形可得圆心到直线的距离为3，分直线的斜率存在和不存在进行计算即可. 【详解】（1）设圆P方程为：. ∵A，B，C都在圆上， ∴，解得. ∴所求圆P的方程为. （2）由，知圆心，半径， 由直线l被圆p截得的弦长为8，得圆心距 当直线l与x轴不垂直时，设直线l方程为：， 即， ∴圆心P到直线l距离，化简得，则. ∴直线l方程为：，即 当直线轴时，直线l方程为， 代入圆方程得，解得， ∴弦长仍为8，满足题意. 综上，直线l的方程为或 【点睛】本题考查已知三点求圆的方程，考查由半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形的应用，属于中档题. 19. 如图，在长方体中，为上一点，已知，，，． （1）求直线和平面的夹角； （2）求点到平面的距离． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可得与平面所成夹角为，判断为等腰直角三角形，即可求出， （2）如图建立坐标系，根据向量的关系可得点到平面的距离，求出法向量即可求出． 【小问1详解】 解：依题意，平面，连接，则与平面所成夹角为， ， ∴为等腰直角三角形，则， ∴直线和平面的夹角为， 【小问2详解】 解：以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，、、的方向为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、， ，，， 设平面的法向量， 由，取，可得， ∴点到平面距离. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$