专题4 巧构全等三角形解决问题-【宝典训练】2024-2025学年八年级上册数学高效课堂(人教版)

数学·八年级·上册(R) 微专题4巧构全等三角形解决问题 新课学司 ---☑0 两组等边连共边 作垂直构一线三等角 作磨直 作对称（藏长补短） 按©讲练 类型1：两组等边连共边构全等 1.如图，AB=CD,AC=BD,求证：∠A=∠D 2.如图，AC=BD,∠BAC=∠BDC=90°，求证： AB=CD. 类型2：作垂直构一线三等角 3.如图，△ABC为等腰直角三角形，AC=BC,4.如图，△ABC为等腰直角三角形，AC=BC,若 AC⊥BC,A(0,3),C(1,0),求点B的坐标. A(-3,0),C(0,2),求点B的坐标. ●p504 第十二章全等三角形 类型3：角平分线作垂直构全等 5.如图，D为△ABC外一点，DA=DB,过点D作6.如图，BC平分∠ABD,AC=CD,CE⊥BD. DE⊥BC交BC的延长线于点E,∠DAC= (1)求证：∠A+∠D=180°： ∠DBE. (2)求证：AB十BD=2BE. (1)求证：CD平分∠ACE; (2)若EC=1,BC=4,求AC的长. 类型4：角平分线截长补短构全等 7.如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB,BC=8.如图，AC平分∠DAB,∠ADC+∠B=180°， CD.求证：∠ADC+∠B=180° 求证：CD=CB. ●p514高效课业宝典川练数学入年皴上册(【) ∴.Rt△BDE≌R1△CDF(HL) PE∥AB,PF∥AC, AD-AD. ∴∠EPD=∠BAD,∠FPD=∠CAD. 5.证明：在△ABD和△ACD中，BD=CD: ∠EPD=∠FPD,∴点D到PE,PF的距离相等. (AB-AC. ∴.△ABD≌△ACD(SSS)..∠BAD=∠CAD. 六点D到PF的距商为3Smr=立×6×3=9. DE⊥AB,DF⊥AC,.DE=DF 6.证明：：DE⊥AB,DF⊥AC 过关检测 ∴∠DEB=∠DC=90°， 6.37.35 ,D是BC的中点，，BD=CD, 8.(1)证明：DE⊥AB,DF⊥BC,.∠BED=∠BFD=90, ∠BDE=∠CDF, :BD是△ABC的角平分线，DE=DF: 在△BED和△CFD中，∠BED=∠CFD, (2)解：BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB.DF⊥BC, BD=CD. ÷DF=DE=5S=2AB,DE=40 ∴.△BED≌△CFD(AAS), ∴.DE=DF, ÷5am-2BC·DF-70-40-30.∴Bc-12. ,DE⊥AB于E,DF⊥AC于点F, 点D在∠BAC的平分线上，.AD平分∠BAC 9.证明：OP是∠AOB的平分线，PD⊥OA,PELOB. 7,解：(1)点A在∠CBD的平分线上， ..PD=PE. OP=OP 理由是：∠ACB=∠ADB=90,∴AC⊥BC.AD⊥BD 在R△OPD和R△OPE中，PD=PE ,AC=AD,.BA平分∠CBD,.点A在∠CBD的平分线上： (2),∠ACB=∠ADB=90°，∠CBA=∠DBA. ∴.Rt△OPD≌Rt△OPE(HL),.OD■OE, ,OC是∠AOB的平分线，.∠DOF=∠EOF, (AC=AD. ∴.∠DAB=∠CAB.在△DAE和△CAE中，∠DAE=∠CAE OD=OE. AE-AE. 在△ODF和△OEF中，∠DOF=∠E)F, OF=OF. .△DAE≌△CAE(SAS), ..DE=CE..CE=8...DE=8. .△ODF≌△OEF(SAS),.DF=EF 8.证明：(1)过点E作EF⊥DA于点F,如答图 10证明：如答图， 过M作ME⊥AD于点E, 所示： :∠B=∠C=90°.DM平分∠ADC,AM平分∠DAB, ,∠C=90°，DE平分∠AIDC,EF⊥DA ∴.CE=EF, '.∠C=∠DEM=90°，∠B=∠AEM=90°，∠CDM= ∠EDM,CM=EM,∠EAM=∠BAM,BM=ME. E是BC的中点，∴BE=CE,BE=EF, 答园 ∠CDM=∠EDM, 又∠B=90°，EF⊥AD..AE平分∠BAD: 在△MCD和△MED中， ∠C=∠DEM, (2):∠B=∠C=90,即∠B+∠C=180°， CM-EM. ∴.AB∥CD,∴.∠ADC+∠BAD=180°， .△MCD≌△MED(AAS), :DE平分∠ADC,AE平分∠BAD, .CD=DE. &∠ADE=号∠ADC,∠DAE=号∠BAD, 同理：AE=AB, 答图 .AD-AE+DE=CD+AB. ∴∠ADE+∠DAE=∠ADC+t∠BAD=90, 第18课时角的平分线的性质与判定(2) ∴∠AED=90°，△ADE是直角三角形. 新课学习 (PE=PF. 1.证明：在R△POE和R△POF中，OP=OP, 微专题4巧构全等三角形解决问题 核心讲练 ∴Rt△POE≌RL△POF,∴∠EOP=∠FOP, 1.证明：如容图，连接BC, 点P在∠AOB的平分线上， 在△ABC和△DCB中， 核心讲练 (AB=CD, PB=PC PBLAB PC⊥AC1.25 AC=BD, 2.(1)证明：∠C-90°，DELAB于E,DE-D BC-CB. .BD平分∠ABC: .△ABC≌△DCB(SSS), (2)解：∠C=90°，∠A=38,∴∠ABC-52, ∴.∠A=∠D :BD平分∠ABC.∠DBC-号∠ABC-26 2.证明：如答图，延长BA,CD交于点E, 可得△EBD≌△ECA(AAS).,BE 3.证明：CD⊥AB.BE⊥AC.∴.∠ADC=∠AEB=90°， CE.AE=DE. ∠B=∠C(同角的余角相等). ..AB=CD. ∠ODB=∠OEC, 答图 3,解：如答图，作BDLx轴于D点， .在△BDO与△CEO中，∠B=∠C, :BD⊥x轴于D点，∴∠AOC=∠CDB OB=OC. 90°， ∴.△BDO2△CEO(AAS),.OD=OE.∠1=∠2. '∠ACB=90°..∠ACO+∠BCD=90 过关检测 :∠ACO+∠OAC-90°， 4.B .∠OAC=∠BCD, 5.解：：AD是△ABC的角平分线，∴∠BAD=∠CAD, 在△AOC和△CDB中， 10 ∠AOC=∠CDB, 又，'∠ALC+∠DF=180,∴.∠B=∠CDF, ∠OAC=∠BCD, 在△BEC和△DFC中， AC=BC. ∠B=∠CDF, ∴.△AOC≌△CDB(AAS) ∠BEC=∠DFC ..CD-AO.OC-BD. CE=CF. 点C(1,0),A(0,3).OC=1,BD=1,CD=3 ∴.△BE≌△DFC(AAS),.BC=CD. .OD=4,.点B的坐标为(4,1). 第19课时章末复习 4.解：如答图，过点B作BT⊥y轴于点T 核心讲练 A(-3.0).C(0.2) 1.B2.D3.100°4.5 .0A=3,0C=2, 5.(I)证明：，BE=CF,,BE+EC=CF+EC,.BC=EF '∠AOC=∠ACB=∠CTB=g0, (AB=DE, .∠ACO+∠BCT=90°，∠BCT+ 在△ABC和△DEF中，〈AC'=DF ∠CBT=90°， BC=EF. .∠ACO=∠CBT, ∴.△ABC2△DEF(SSS): 在△AOC和△CTB中， (2)解：，△ABC≌△DEF,∠D=55, ∠AOC=∠CTB. ∴.∠A=∠D=55,∠B=∠DEF. ∠AC)=∠CBT, .AB∥DE,.∠EGC=∠A=55 AC=BC. 6.证明：△ABC≌△A'B'C'.∴.AC=A'C,∠C=∠C, .△AO2△CTB(AAS),AO=CT=3,BT=O=2, :AD,A'D'分别是△ABC和△A'B'C'的高， ,.0T=CT-C0=1,.B(2,-1), ∴∠ADC=∠A'D'C', 5.(1)证明：如答图，过点D作DF⊥AC于点F, ∠C=∠C, DE⊥BC.∴.∠DFA-∠DEB=90°， 在△ADC和△A'D'C'中∠ADC=∠AD'C', ∠DAC=∠DBE, AC-A'C. 在△DAF与△DBE中， ∠DFA=∠DEB ∴△ADC≌△A'D'C(AAS).∴DC=D'C. DA=DB. 7.A ∴.△DAF≌△DBE(AAS),.DF=DE 8.解：如答图，OF为所求。 :DF⊥AC,DE⊥BC,∴.CD平分∠ACE: 答图 (2解：在R△DCF与R△DCE中，DE-DF, DC=DC. .Rt△DCFRU△DCE(HL),.CF=CE=1. ,△DAF≌△DBE,∴.AF=BE=BC+CE=5, 答图 ,∴.AC=AF+CF=6. 9.证明：D,E分别是AB.AC的中点， 6,证明：(1)如答图，过点C作CF⊥AB交BA的延长线于点F, 六AD=AB,AE=AC, BC平分∠ABD,CE⊥BD, AB=AC,∴.AD=AE, .CF=CE,∠CFA=∠CED=90°， MD=ME.AM=AM.∴.△ADM2△AEM(SSS). 在R△1和△CD中ACCD, ∴.∠MAD=∠MAE,.AM平分∠BAC CF=CE, .Rt△CFA≌RI△CED(HI,), 10.解：∠CPD=20°，∠APB=70',∠CDP=∠ABP=90°， .∠DCP=∠APB=70°. ∠CAF=∠D, :∠BAC+∠CAF-180°， 在△CPD和△PAB中， ∴.∠BAC+∠D=180°： f∠CDP=∠ABP DC-PB. ,∴.△CPD≌△PABCASA), (2)由(1)得：R1△CFA≌Rt△CED, ..AF=DE. ∠DCP=∠APB, :DP=AB. (BC=BC, 在R△CBF和R△CBE中， CF=CE. DB=11.2,PB=3,.AB=11.2-3=8.2(m) 答：路灯的高度AB是8.2米。 'Rt△CBF≌Rt△CBE(HL),.BF=BE, 1.(1)证明：CE⊥AB,BFLAC,∴∠DEB=∠DFC=90° BF-AB+AF-AB+DE. ∠BDE=∠CDF, .AB++BD=AB+BE+DE 在△DEB和△DFC中，∠DEB=∠DFC. =BF十BE=BE+BE=2BE, 7.证明：如答图，在AB上截取AE=AD,连接CE,则△ACE☑ BD-=DC. ,△DEB2△DFC(AAS), △ACD(SAS), DE=DF,CE⊥AB,BF⊥AC ∴.∠ADC=∠AEC,CE=CD=BC. .点D在∠BAC的平分线上： 易证∠CEB=∠B. :∠AEC+∠CEB=180°， (2)解：成立，理由是：点D在∠BAC的平分线上，CE⊥ AB,BF⊥AC,.DE=DF, ∴∠ADC+∠B=180°. 答图 I∠BDE=∠CDF, 8.证明：如答图，作CF⊥AD,交AD的延长线于F,作CELAB于E, 在△DEB和△DFC中，DE=DF, AC平分∠BAD,CE⊥AB,CF⊥AD,.CE=CF :∠ADC+∠B=180, ∠DEB=∠DFC. .△DEB2△DFC(ASA),∴.BD=CD. 11