精品解析：广东省梅州市梅雁中学2025届高三上学期10月期中考试数学试题

2024-2025学年度第一学期期中考试卷（高三数学） 一、单选题 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出集合B，再取交集，即可求解. 【详解】可得，即， 所以. 故选：B. 2. 若命题“”为真命题，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据存在性命题真假性可得，运算求解即可. 【详解】若命题“”为真命题， 则，解得， 所以a的取值范围是. 故选：A. 3. 已知，则 （ ） A. 0 B. 1 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的乘法求出，再求出复数的模. 【详解】依题意，，则. 故选：C 4. 已知. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由向量垂直及数量积的运算律得，结合向量数量积的定义求夹角余弦值. 【详解】由题设，可得. 故选：A 5. 若，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据对数函数和正弦函数的性质进行比较即可. 【详解】因为， 而，则， 又，即，即， 所以. 故选：A. 6. 已知函数在R上单调递减，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分段函数单调递减，需满足每一段函数均单调递减，且分段处左端点函数值大于等于右端点函数值，从而得到不等式，求出答案. 【详解】显然在上单调递减， 要想在R上单调递减， 则，解得. 故选：D 7. 已知为第一象限角，为第四象限角，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正切的差角公式可得，即可结合角的范围，根据同角关系求解. 【详解】因为，， 所以，故， 又是第一象限角，为第四象限角， 故， 因此， 因此，由于， 则，故. 故选：C. 8. 已知函数的图象关于直线对称，则当时，曲线与的交点个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】借助辅助角公式结合正弦型函数对称性可得，再画出与图象在同一坐标系中即可得解. 【详解】，其中，且， 则有，解得，即， 则，即， 画出与图象如图所示： 由图可知，曲线与的交点个数为. 故选：B. 二、多选题 9. 已知数列的前项和为，若，则（ ） A. 4是数列中的项 B. 当最大时，的值只能取5 C. 数列是等差数列 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由等差数列的基本量法求出通项，令可得A正确；由可得B错误；求出，再表达出、，作差可得C正确；求出可得D正确； 【详解】因为，， 所以数列是公差为，首项是20的等差数列， 即， 对于A，，所以4是数列中的项，故A正确； 对于B，令，即，前五项大于零， 所以当最大时，的值可以取5或6，故B错误； 对于C，， 所以，， ， 所以数列是等差数列，故C正确； 对于D，，，所以，故D正确； 故选：ACD. 10. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 是周期为的奇函数 B. 的图象关于点对称 C. 在上单调递增 D. 的值域是 【答案】CD 【解析】 【分析】先化简，，A选项利用奇函数若，则，验证；B选项令，求出对称中心的坐标；C选项通过令，求出的增区间，再判断是否正确；D选项通过，确定的值域. 【详解】. 对于A，周期为，，因此不是奇函数，故A错误； 对于B，令，，解得：, 当时，，所以关于对称， 则关于对称，故B错误； 对于C，令，，解得:， 所以增区间为，, 当时，则，故C正确； D选项：，则，则，故D正确. 故选：CD. 11. 已知奇函数的定义域为，其导函数为，若，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】应用赋值法判断A，B选项；对求导，得到，赋值法得到，判断C；根据函数的周期性结合赋值法得出再计算即可求解判断D. 【详解】由已知有为R上的奇函数，所以， 令时，， 故，故A选项正确； 令时，， 故，故B选项错误； 由已知有：在R上可导， 对求导有：， 即，， 令时，，则， 又因为是奇函数，故是偶函数，所以 故， 所以也是一个周期为4的周期函数，，C选项错误； 令，则恒成立， 由已知是奇函数，故， 故，则， 所以是一个周期为4的周期函数， 又因为，奇函数的定义域为，所以， 令时，，，所以， 令时，，所以， 令时，，所以, ，故D选项正确. 故选：AD 【点睛】结论点睛：函数的对称性与周期性： （1）若，则函数关于中心对称； （2）若，则函数关于对称； （3）若，则函数的周期为2a； （4）若，则函数的周期为2a. 三、填空题 12. 已知，若不等式恒成立，则的最大值是________. 【答案】6 【解析】 【分析】根据，，得到，利用“1”的代换转化为，再用基本不等式求解即可 【详解】因为，， 所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以，即，所以的最大值是. 故答案为：. 13. 在边长为2的正三角形中，D为BC的中点， ，则______________. 【答案】 【解析】 【分析】以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，根据题意求出的坐标，再根据数量积的坐标运算即可求解. 【详解】根据题意，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴， 由题意得， 所以，， ，， 设，则， 可得，所以， 所以， . 故答案为：. 14. 若过点的直线是曲线和曲线的公切线，则________． 【答案】 【解析】 【分析】设该公切线在的切点为，借助导数的几何意义可得切线，再与曲线切于，计算即可得解. 【详解】设直线与曲线的切点为， 由，得切线方程为，又， 所以，将点代入，有， 解得（负值舍去），所以切线方程为， 设切线与曲线的切点为， 又，所以，，， 消去、，得， 令，， 当且仅当时，等号成立， 即函数在上单调递增，又， 所以方程的实数解为， 故有，解得. 故答案为：. 四、解答题 15. 记的内角，，的对边分别为，，，已知. （1）求锐角的大小； （2）若，且的周长为，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式及诱导公式计算可得； （2）首先求出，即可得到，再由正弦定理得到，，，由周长求出，即可得到，，再由面积公式计算可得. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理可得， 因， 代入得， 又因，则，又为锐角，故； 【小问2详解】 由可得，因为，则. 由（1）可得， 由正弦定理， 其中， 设比值为，则，，， 因的周长为，即， 即，则，， 故的面积. 16. 已知函数的最小值为. （1）求的值； （2）求在上的单调递增区间； （3）若，求的值. 【答案】（1）1 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，由二倍角的正余弦公式化简得到，由的最小值为，列出方程，即可求解； （2）由，可得，结合正弦函数的性质，列出不等式，即可求解； （3）由，求得，进而得到，结合正弦的倍角公式，得到，即可求解. 【小问1详解】 由函数， 因为函数的最小值为，可得，解得. 【小问2详解】 由（1）知：， 因为，可得， 令和，解得和， 所以函数在上的单调递增区间为. 【小问3详解】 由（1）知，， 因为，可得，所以， 又因为，可得， 因为，可得，所以， 则 . 17. 已知为实数，函数（其中是自然对数的底数）. （1）讨论函数的单调性； （2）若对任意的恒成立，求的最小值. 【答案】（1） 时，在上单调递增， 时，的减区间为，增区间为. （2） 【解析】 【分析】（1）对求导，得到，再分和两种情况，利用导数与函数单调性间的关系，即可求解； （2）根据条件，利用（1）中结果得到，构造函数，利用导数与函数单调性间的关系，求出的单调区间，进而求出的最小值，即可求解. 【小问1详解】 易知，因为，所以， 当时，恒成立，此时在上单调递增， 当时，由，得到， 当时，，当时，，即在区间上单调递减，在区间上单调递增， 综上，时，在上单调递增， 时，的减区间为，增区间为. 【小问2详解】 因为当时，时，， 由（1）知，要使对任意的恒成立，则，且恒成立， 即恒成立，得到， 所以， 令，则，由，得到， 当时，，时，， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以，故的最小值为. 18. 定义函数． （1）求曲线在处的切线斜率； （2）若对任意恒成立，求的取值范围； （3）讨论函数的零点个数，并判断是否有最小值．（注：是自然对数的底数） 【答案】（1） （2） （3） 当为奇数时，有唯一零点，无最小值； 当为偶数时，没有零点，存在最小值. 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可； （2）通过参变分离以及求解函数的最值得出结果； （3）分成为奇数，为偶数两种情况，并借助导数不等式分别讨论函数的零点个数及最值. 【小问1详解】 由， 可得, 所以曲线在处的切线斜率. 【小问2详解】 若对任意恒成立， 所以对任意恒成立， 令，则， 由解得，或；由解得， 故在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 又，且当时，， 故的最小值为， 故，即的取值范围是. 【小问3详解】 ， 当时，， 因此当为奇数时，， 此时 则，所以单调递减， 此时，显然有唯一零点，无最小值， 当时， ， 且当时， ， 由此可知此时不存在最小值， 从而当为奇数时，有唯一零点，无最小值， 当时，即当为偶数时，， 此时， 由，解得；由，解得， 则在上单调递减，在上单调递增， 故的最小值为， 即，所以当为偶数时，没有零点， 即当为偶数时，没有零点，存在最小值， 综上所述，当为奇数时，有唯一零点，无最小值； 当为偶数时，没有零点，存在最小值. 【点睛】方法点睛：恒成立问题的等价转化法则： （1）恒成立恒成立； （2）恒成立恒成立； （3）恒成立，恒成立； （4）恒成立． 19. 若至少由两个元素构成的有限集合，且对于任意的，都有，则称为“集合”． （1）判断是否为“集合”，说明理由； （2）若双元素集为“集合”，且，求所有满足条件的集合； （3）求所有满足条件的“集合”． 【答案】（1）不是，理由见解析； （2）； （3），其中. 【解析】 【分析】（1）根据集合新定义直接判断即可； （2）设，进而研究或是否存在正整数解即可； （3）讨论“集合”为双元素集或含有两个以上的元素，同（2）分析及反证法研究是否存在正整数解. 【小问1详解】 因为，所以不是“一集合”． 【小问2详解】 设． 若，则或． 由，解得（舍去），此时； 由化为，而，故方程无正整数解． 若，则或， 由，解得，此时； 由化为，而，故方程无正整数解． 综上，所有满足条件的集合为． 【小问3详解】 若“集合”为双元素集， 不妨设，则或， 由，则，而，故，此时； 由，则，而，显然不存在正整数解； 所以，“集合”为，其中． 若“集合”含有两个以上的元素， 设最小的元素为，最大的元素为，第二大的元素为， 则是“集合”中的元素， 若，解得， 若，则，矛盾， 若，该方程的解为，则n，a不可能同时为整数，无解． 故所有满足条件的“集合”为，其中． 【点睛】关键点点睛：对于第二、三问，根据集合新定义给定公式，将问题化为研究相关方程是否存在正整数解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第一学期期中考试卷（高三数学） 一、单选题 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若命题“”为真命题，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则 （ ） A. 0 B. 1 C. D. 2 4. 已知. 若，则（ ） A. B. C. D. 5. 若，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数在R上单调递减，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知为第一象限角，为第四象限角，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的图象关于直线对称，则当时，曲线与的交点个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 二、多选题 9. 已知数列的前项和为，若，则（ ） A. 4是数列中的项 B. 当最大时，的值只能取5 C. 数列是等差数列 D. 10. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 是周期为的奇函数 B. 的图象关于点对称 C. 在上单调递增 D. 的值域是 11. 已知奇函数的定义域为，其导函数为，若，且，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题 12. 已知，若不等式恒成立，则的最大值是________. 13. 在边长为2的正三角形中，D为BC的中点， ，则______________. 14. 若过点的直线是曲线和曲线的公切线，则________． 四、解答题 15. 记的内角，，的对边分别为，，，已知. （1）求锐角的大小； （2）若，且的周长为，求的面积. 16. 已知函数的最小值为. （1）求的值； （2）求在上的单调递增区间； （3）若，求的值. 17. 已知为实数，函数（其中是自然对数的底数）. （1）讨论函数的单调性； （2）若对任意的恒成立，求的最小值. 18. 定义函数． （1）求曲线在处的切线斜率； （2）若对任意恒成立，求的取值范围； （3）讨论函数的零点个数，并判断是否有最小值．（注：是自然对数的底数） 19. 若至少由两个元素构成的有限集合，且对于任意的，都有，则称为“集合”． （1）判断是否为“集合”，说明理由； （2）若双元素集为“集合”，且，求所有满足条件的集合； （3）求所有满足条件的“集合”． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $