重庆市名校联盟2024-2025学年高三上学期第一次联合考试数学试题

秘密＊启用前 【考试时间： 2024 年 10 月 31 日 15:00-17:00】 口 口 中 起 钜 重庆市名校联盟 2024-2025 学年度第一期第一次联合考试 数学试卷（高2025届） 口 口 中 泻 将 扣 蒙 本试卷共4页，满分150分。考试用时120分钟。 注意事项： 1. 作答前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号填写在试卷的规定位置上。 2. 作答时，务必将答案写在答题卡上，写在试卷及草稿纸上无效。 3. 考试结束后，须将答题卡、试卷、草稿纸一并交回（本堂考试只将答题卡交回）。 一、 选择题：本题共8小题， 每小题5分， 共40分，在每小题给出的四个选 项中， 只有一项是符合题目要求的。 1. 若集合A={x EN Ix :s; .Ji面， a=2五，则下面结论中正确的是 A. 伈｝己 A C. 伈} EA 2. 记S"为数列{a11 } 的前 n 项和，则 ”任意正整数n, 均有 a11>0"是 ＂ ｛凡｝是递增数列 ”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知向量 OA=(l, —3),2了�(2, 一1),0C=(m十l, m—2)' 若点A,B,C 能构成三 角形，则实数m 不可以是 B. -2 A. -2 B. a�A D. a 茫 A C. 1 D. -1 1 4. 已知 cos(75°+ a)=-, 则sin(a-15°)十 cos(l05°- a)的值是 3 1_ 3 ． A 1 B. -- 2- 3 ． c 2- 3 ． D 5. 已知函数 f(x)=lnx-丿在点(1, —1)处的切线与曲线 y=ax气 (a-l)x-2 只有一个公共 点，则实数a的取值的集合为 A. {1,9} B. {0,1,9} C. {-1,-9} 第 1 页共 4 页（高 2025 届数学） D. {0,-1,-9} 第 1 页 共 7 页（高 2025 届数学） 重庆市名校联盟 2024-2025 学年度第一期第一次联合考试 数学解析（高 2025 届） 一、选择题：本大题共 8小题，每小题 5分，共 40分。 1—8 DACD BCBA 1.解析：选 D 因为2 2 不是自然数，所以a A . 2.解析：选 A ∵“ 0na ＞ ”⇒“ nS 是递增数列”， ∴“ 0na ＞ ”是“ nS 是递增数列”的充分条件． 如数列 na 为－1,1,3,5,7,9，…，显然数列 nS 是递增数列，但是 na 不一定大于零， 还有可能小于零， ∴“数列 nS 是递增数列”不能推出“ 0na ＞ ”． ∴“ 0na ＞ ”是“数列 nS 是递增数列”的不必要条件． ∴“ 0na ＞ ”是“数列 nS 是递增数列”的充分不必要条件． 3.解析：选 C 各选项代入验证，若 A，B，C 三点不共线即可构成三角形．因为 (2, 1) (1, 3) (1,2)AB OB OA       ， ( 1, 2) (1, 3) ( , 1)AC OC OA m m m m         ．假设 A，B，C 三点共线，则 1 ( 1) 2 0m m    ，即 1m  .所以只要 1m  ，则 A，B，C 三点即可构成三角形， 故选 C. 4.解析：选 D    sin( 15 ) cos(105 ) sin 75 90 cos 180 75                － ＋ －       2cos 75 cos 75 2cos 75 3             ，故选 D. 5.解析：选 B，函数 1 ( )f x lnx x   的导数为 2 1 1 ( )f x x x    ， 可得在点 (1, 1) 处的切线的斜率为 1 1 2k    ， 切线的方程为 1 2( 1)y x   ，即 2 3y x  ， 由切线 2 3y x  与曲线 2 ( 1) 2y ax a x    只有一个公共点， 可得 0a  时，由 2 3 2 y x y x       ，解得 1 3 7 3 x y        ，成立； 第 2 页 共 7 页（高 2025 届数学） 当 0a  时，可得 2 ( 1) 2 2 3ax a x x     ，即 2 ( 3) 1 0ax a x    有两个相等的实数 根，即△ 2( 3) 4 0a a    ，解得 1a  或 9， 综上，可得 0a  ，1，9． 6.解析： 方法一 首先将 12 名同学平均分成四组，有 3 3 3 12 9 6 4 4 C C C A 种分法，然后将这四组同学分 配到四个不同的课题组，有 4 4A 种分法，并在各组中选出 1 名组长，有 43 种选法，根据分 步计数原理，满足条件的不同分配方案有 3 3 3 4 4 3 3 3 412 9 6 4 12 9 64 4 3 3 C C C A C C C A    (种)，故选 C. 方法二 根据题意可知，第一组分 3 名同学有 3 12C 种分法，第二组分 3 名同学有 3 9C 种 分法，第三组分 3 名同学有 3 6C 种分法，第四组分 3 名同学有 3 3C 种分法．第一组选 1 名组 长有 3 种选法，第二组选 1 名组长有 3 种选法，第三组选 1 名组长有 3 种选法，第四组选 1 名组长有 3 种选法．根据分步计数原理可知，满足条件的不同分配方案有 3 3 3 3 4 12 9 6 3 3C C C C 种，故选 C. 7.解析：设使得血氧饱和度达到正常值，给氧时间至少需要 t－1 小时， 由题意可得60 80,60 90 K Kte e  ， 两边同时取自然对数并整理，得 80 4 ln ln ln 4 ln 3 2ln 2 ln 3, 60 3 K       90 3 ln ln ln 3 ln 2, 60 2 Kt     则 ln 3 ln 2 1.10 0.69 1.5, 2ln 2 ln 3 2 0.69 1.10 t         则给氧时间至少还需要 t－1＝0.5(小时)，故选 B. 8.解析 sin sin 2sin , 2 .B C A b c a     由余弦定理知 2 2 2 2 22 2 2 ( ) 3( ) 2 6 2 14cos 2 2 8 8 2 b c b c b c bcb c a bc bc A bc bc bc bc             ，当且 仅当b c 时取等号． 又 (0, ), 0 3 A A     ，即 A 的最大值为 3  ,故选 A. 二、多选题：本大题共 3小题，每小题 6分，共 18分。 9．ABD 10．AC 11．ABC 9.解析 由 3 5 n x x       的二项式系数之和为2 64 n  ， 得 n＝6，得 2,6,10 成等差数列，A 正确； 第 3 页 共 7 页（高 2025 届数学） 令 6 631, 5 2 64x x x          ， 则 6 3 5x x       的各项系数之和为 64，B 正确； 6 3 5x x       的展开式共有 7 项，则二项式系数最大的项是第 4 项，C 不正确； 6 3 5x x       的展开式中的第 5 项为 4 4 2 6 3 (5 ) 15 25 81C x x          为常数项，D 正确． 10.解析 由题意可知 60x 甲 ， 甲队队员在所有队员中所占权重为 1 1＋4 ＝ 1 5 ， 70x 乙 ，乙队队员在所有队员中所占权重为 4 1＋4 ＝ 4 5 ， 则甲、乙两队全部队员的平均体重为 x ＝ 1 5 ×60＋ 4 5 ×70＝68， 甲、乙两队全部队员的体重方差为 2s ＝ 1 5 ×[200＋(60－68)2]＋ 4 5 ×[300＋(70－68)2]＝296. 11.解析:考虑到 2 31 4 x x   ，讨论最大值时只需研究sin 0x  的情景 2 sin 4 4 ( ) sin 3 31 x f x x x x       ，当且仅当 1 2 x  等号取得，所以 A 正确； 当 0x  时， 2 2 ( ) sin 4 5 31 1 f x x x x x x x x              ，所以 B 正确； 容易验证 ( ) (1 )f x f x  ，所以 C 正确； 假设 ( )y f x 存在对称中心，由 C 正确可知， ( )y f x 存在周期性， 这与当且仅当 1 2 x  取得最大值矛盾，所以 D 不正确。 三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。 12. －4 13. 1 3 k 2 4   14. 12 , 4 13 12. 解析： (3 )(1 4 ) 3 12 4 7 11z i i i i i         ，故实部和虚部之和为 7－11＝－4. 13.解析： 函数 ( )f x 的定义域为(0，＋∞)， 则 2 1 0,k   即 1 2 k  . 2 (2 1)(2 1)1 4 1 ( ) 4 x xx f x x x x x       ， 令 ( ) 0f x  ，得 1 2 x  或 1 2 x   (舍去)， 第 4 页 共 7 页（高 2025 届数学） 因为 ( )f x 在其定义域的一个子区间 (2 1, 2 1)k k  内不单调， 所以 1 2 1 2 1 2 k k    ，得 1 3 4 4 k   ，综上， 1 3 2 4 k  . 14.解析：显然 12OA OB   以O为坐标原点，建立平面直角坐标系， 设 | (2 3OA  ， 0) ，由题知 cos OA ， 3 2 OB   ，则 sin OA ， 1 2 OB  ， 设 ( 2 3OB   ， 2) ， 设 ( , )C x y ，则 ( ) ( ) ( 2 3OC OA OC OB x     ， ) ( 2 3y x  ， 2 22) 2 12 3y x y y      ， 点C 在圆 2 2( 1) 16x y   上运动，令 4cos 1 4sin x y       ， 0 2  ， 2 2| | (4cos 2 3) (4sin 1) 29 8sin 16 3cosAC           29 8 13sin( ) 29 8 13 4 13       . 四、解答题：本大题共 6 小题，共 77 分。 15 .（13 分） (1)设等差数列 na 的公差为 d ,等比数列 nb 的公比为q . 由题意得 1 1 1 1 1 2 1 1 3 3 12, (1 ) 7 0 0 a d a b a d b q b q q b q d                 解得 1 1 2 2, 2, 2, a d b q        ， 所以 2 , 2nn na n b  . (2)由题知数列 nc 的前 20 项和 1 3 19 2 4 20S a a a b b b        ， 即 102 (1 2 )2 38 10 2246 2 1 2 S        . 16 .（15 分） 解 (1) 2 1( ) sin ( ) 2 sin( ) cos( ) 8 4 4 2 f x x x x           1 cos(2 ) 2 14 sin(2 ) 2 2 2 2 x x         第 5 页 共 7 页（高 2025 届数学） 1 2 2 2 1 cos 2 sin 2 cos 2 2 4 4 2 2 x x x     2 2 sin 2 cos 2 4 4 x x  1 sin(2 ) 2 4 x    ， 结合正弦函数的图象与性质，可得当 2 2 2 ( ) 2 4 2 k x k k Z           ， 即 3 ( ) 8 8 k x k k Z         时，函数单调递增， ∴函数 ( )y f x 的单调递增区间为 3 , ( ) 8 8 k k k Z           . (2)①令 2 , 4 t x    当 5 3 , 24 8 x        时， 1 1 1 , , sin , 6 2 4 2 t t                ， 1 1 sin 0, 2 2 y t        (如图)． ∴要使 ( )y f x m  在区间   － 5π 24 ， 3π 8 上恰有两个零点，m 的取值范围为 1 1 0 4 2 m m  或 . ②设 1 2,t t 是函数 1 sin 2 y t m  的两个零点（即 1 1 2 22 , 24 4 t x t x       ）， 由正弦函数图象性质可知 21 t t   ， 即 1 22 24 4 x x       , 1 2 4 x x     . 17.（15 分） （1）设学员小张恰第 i 次通过模拟考试的概率为 iP ，则 1 2 3 P  ， 2 1 2 2 3 3 9 P    所以，学员小张最多利用两次机会就通过的概率为 2 2 8 3 9 9 P    （2）设 表示一天内模拟考试的次数，则 1,2,3,4,5  由题意知：   21 3 P      1 2 22 3 3 9 P          2 1 2 2 3 3 3 27 P      第 6 页 共 7 页（高 2025 届数学）   81 2 3 2 3 1 4 3       P   81 1 3 1 5 4       P ∴   2 2 2 2 1 1211 2 3 4 5 3 9 27 81 81 81 E             ∵ 10X  ∴     1210 10 81 E X E   所以，小张一天内模拟考试花费的时间 X 的期望为 1210 81 分钟。 18. （17 分） （1）在 ABD△ 中，∵ 4AB AD  ， 2π 3 A  ，则 π 6 ADB  ∴ π2 cos 2 4 cos 4 3 6 BD AD ADB      ． 在 BCD△ 中，由正弦定理得， sin sin BC BD BDC C   ， ∴ π 6sin sin 33sin 44 3 BC C BDC BD     ． 由 6, 4 3BC BD  ，得BC BD ， ∴ π0 3 BDC BCD    ， ∴   2 2 73cos 1 sin 1 4 4 BDC BDC       ． （2）在 ABD△ 、 CBD△ 中，由余弦定理得， 2 2 2 2 22 cos 4 4 2 4 4 cos 32 32cosBD AB AD AB AD A A A            ， 2 2 2 2 22 cos 6 2 2 6 2 cos 40 24cosBD CB CD CB CD C C C            ， 从而 4cos 3cos 1A C   ①， 由 1 14 4 sin 6 2 sin 4 2 2ABD CBD S S A C         △ △ 得， 4sin 3sin 2A C  ②， 2 2① ② 得，      2 2 2 216 sin cos 9 sin cos 24 cos cos sin sin 5A A C C A C A C      ， 即 25 24cos( ) 5A C   ，∴   5cos 6 A C  ． 19.（17 分） 第 7 页 共 7 页（高 2025 届数学） 解：（1）当 0, 0a b  时，     3 1 1 2 2 1 2 2 1 2 1 x x x f x ax b x ax            ， 因为   1 2 2 ln 2 0 (2 1) x x f x a       ， （2）解：因为 (2 ) ( )f x f x  2 3 3 1 1 2 2 (2 ) (1 ) ( 1) 2 1 2 1 x x x x a x b x ax b x               1 1 2 2 2 2(1 ) 1 2 2 1 x x x a a          所以曲线 ( )y f x 关于点 (1,1 )a 对称，曲线 ( )y f x 是中心对称图形. (3)解：易得 ( ) 1, ( ) , x xg x e ax b g x e a      当 0 ( ) 0, ( )a g x g x 时， 在 R 上单调递增，当 ( ) ,x g x 时， 不符合题 意； 当 0 ( ) 0, ln , ( ) (ln , )a g x x a g x a   时，令 得 在 上单调递增； 令 ( ) 0, ln , ( ) ( , ln )g x x a g x a   解得 在 上单调递减； 所以 ( )g x 在 lnx a 处取得最小值，且 min( ) (ln ) ln 1g x g a a a a b     ， 结合题意，当且仅当 ln 1 0 ln 1,a a a b b a a a       成立，即 所以 ln 1 1 ln b a a a a a a a      ， 设 2 2 1 1 1 1 ( ) ln , ( ) a a a a a a a a        ， 易得 ( )a 在（0，1）上单调递减，在 (1, ) 上单调递增， 所以 min( ) (1) 1a   所以 1 b a a   ，当且仅当 1, 0a b  时取等号， 所以 b a a  的最小值为 1.