专题07 一元一次方程易错必刷题型专训（75题22个考点）-2024-2025学年七年级数学上册重难点专题提升精讲精练 （湘教版2024）

专题07 一元一次方程易错必刷题型专训（75题22个考点） 【易错必刷一 判断各式是否是方程】（共3小题） 1．（23-24七年级上·河南周口·阶段练习）下列四个式子中，是方程的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·全国·课后作业）在①；②；③；④中，是方程的是 ．（填序号即可） 3．（2024七年级上·全国·专题练习）下面式子中，是方程的是______；①；②；③；④． 【易错必刷二 列方程】（共3小题） 1．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，根据图形中标出的量及其满足的关系，列出的方程，正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·广东河源·开学考试）一个长方形场地的周长为米，长比宽的倍少米．如果设这个场地的宽为米，那么可以列出方程为 ． 3．（23-24七年级上·浙江丽水·期末）如图，一个瓶子的容积为（立方厘米）且瓶子内底面半径为r，瓶内装着一些溶液．当瓶子正放时，瓶内溶液的高度为20厘米；倒放时，空余部分的高度为5厘米．根据愿意回答下列问题： (1)用两种不同的代数式表示瓶内溶液的体积；（含r的代数式） (2)求瓶子内底面面积． 【易错必刷三 方程的解】（共3小题） 1．（23-24七年级上·湖北荆门·单元测试）在下列方程中，解是的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·全国·单元测试）阅读材料：整体代值是数学中常用的方法．例如“已知，求代数式的值．”可以这样解：．根据阅读材料，解决问题：若是关于x的一元一次方程的解，则代数式的值是 ． 3．（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）方程的解的定义：使方程两边相等的未知数的值．如果一个方程的解都是整数，那么这个方程叫做“立信方程” (1)若“立信方程”的解也是关于x的方程的解，则____________； (2)若关于x的方程的解也是“立信方程”的解，求n的值． (3)关于x的方程是“立信方程”，直接写出符合要求的正整数k的值． 【易错必刷四 一元一次方程的定义】（共3小题） 1．（24-25七年级上·全国·假期作业）等式和方程的关系可以用如图表示，下面（ ）的关系也可以用这样的图来表示． A．质数和合数 B．奇数和偶数 C．四边形和三角形 D．长方形和正方形 2．（24-25七年级上·全国·期末）写出一个满足下列条件的一元一次方程：①未知数的系数是；②方程的解是2．这样的方程是 ． 3．（23-24七年级上·福建泉州·期中）关于的方程是一元一次方程，求的值． 【易错必刷五 等式的性质】（共3小题） 1．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）运用等式性质进行的变形，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．（23-24七年级上·湖南怀化·期末）下列等式变形：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则；⑤若，则．其中一定正确是 （填正确的序号） 3．（23-24七年级上·湖南张家界·开学考试）解方程 (1)（5x+6）÷7 = 8 (2)13.2 + x = 2x－6.8 【易错必刷六 一元一次方程的解法】（共12小题） 1．（23-24七年级上·福建泉州·期末）解方程：． 2．（23-24七年级上·湖南·期中）解方程： (1) (2) 3．（23-24七年级上·四川眉山·期中）解下列方程 (1)． (2)． 4．（23-24七年级上·湖南衡阳·期末）解方程 (1) (2) (3) 5．（23-24七年级上·湖南湘潭·阶段练习）解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)： 6．（23-24七年级上·湖南长沙·阶段练习）解方程： (1) (2) (3) (4) 7．（23-24七年级上·湖南长沙·期末）方程与方程的解相同，求代数式的值． 8．（23-24七年级上·陕西汉中·阶段练习）若关于的一元一次方程的解是正整数，其中是正整数．求的值． 9．（23-24七年级上·河南许昌·期末）已知关于的方程的解与方程的解互为相反数，求的值． 10．（24-25七年级上·贵州遵义·开学考试）一种数学游戏的规则是：，例如：，如果，求x的值． 11．（23-24七年级上·湖南衡阳·期中）对于整数，，，，定义，如：； (1)计算：的值； (2)当时，求的值． 12．（23-24七年级上·河南郑州·阶段练习）我们规定：若关于x的一元一次方程的解满足，则称该方程为“完美方程”．根据上面的规定解答下列问题： (1)判断方程是否为“完美方程”并说明理由； (2)若关于x的一元一次方程是“完美方程”，求m的值． 【易错必刷七 一元一次方程解法的拓展】（共3小题） 1．（23-24七年级上·湖南娄底·阶段练习）方程的解是（） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·湖南娄底·期末）已知关于的一元一次方程的解为，那么关于的一元一次方程的解为 ． 3．（23-24七年级上·湖南郴州·阶段练习）将4个数a、b、c、d排成2行2列，两边各加一条竖直线记成，定义，例如：，解方程：． 【易错必刷八 行程问题】（共3小题） 1．（23-24七年级上·湖南娄底·阶段练习）方程的解是（） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·湖南郴州·阶段练习）某体育场的环形跑道长400米，甲、乙二人在跑道上练习跑步，已知甲平均每分钟跑250米，乙平均每分钟跑290米，现在两人同时从同一地点同向出发，经过 分钟两人才能首次相遇． 3．（23-24七年级上·湖南郴州·期末）已知A、B两地相距450千米，甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，已知甲车速度为115千米/时，乙车速度为85千米/时． (1)两车同向而行，快车在后，求经过几小时快车追上慢车？ (2)两车相向而行，求经过几小时两车相距50千米？ 【易错必刷九 配套问题】（共3小题） 1．（23-24七年级上·湖北武汉·期中）在目前的疫情环境下，口罩成了人们生活中的必需品，现某口罩厂共有30名员工，每名员工每天可以生产150个罩面或600个耳绳．已知一个罩面需要配两个耳绳，为使每天生产的罩面和耳绳刚好配套，设安排名员工生产耳绳，则下面所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·湖南张家界·期末）某车间有22名工人，每人每天可以生产1200个螺钉或2000个螺母，1个螺钉需要配2个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，则有 名工人生产螺钉． 3．（23-24七年级上·湖南长沙·期末）“卡塔尔世界杯”期间，某工厂接到一批紧急订单，要按期生产两种款式的球衣共万套，已知名工人能按期生产一万套款球衣，名工人能按期生产一万套B款球衣．工厂通过调度，安排名工人按期同时完成了两种款式球衣的生产任务． (1)生产款球衣和款球衣的工人各多少人？ (2)工厂生产一套款球衣的利润是元，生产一套款球衣的利润是元，工厂完成该订单的总利润是多少？ 【易错必刷十 工程问题】（共3小题） 1．（23-24七年级上·湖南长沙·期末）某学校教学楼扩建工程甲单独做9天完成，乙单独做15天完成．现在乙先做3天，甲再加入合做．设完成此工程一共用了x天，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·湖南长沙·期末）整理一批图书，由一个人做要40小时完成．现计划由一部分人先做4小时，然后增加2人与他们一起做8小时，完成这项工作．假设这些人的工作效率相同，那么应先安排做4小时的人数为 ． 3．（23-24七年级上·湖南湘西·阶段练习）现甲、乙工作队接下了一个修水沟的工作，如果让甲单独做需要12天完成，让乙单独做需要8天完成，现在要求甲、乙合作一起先做2天，然后剩下的由甲单独完成，问甲还需要单独做几天可以完成？ 【易错必刷十一 销售盈亏问题】（共3小题） 1．（23-24七年级上·湖南永州·期末）一件夹克衫先按成本提高标价，再以7折出售，结果获利28元．若这件夹克衫的成本为x元，根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·湖南衡阳·阶段练习）某家具的标价为132元，若降价以九折出售（优惠）仍可获利（相对于进货价），则该家具的进货价是 元． 3．（23-24七年级上·湖南常德·期末）常德市某服装厂加工A、B两种款式的衣服共160件，加工A种衣服的成本为每件50元，加工B种衣服的成本为每件80元，加工两种衣服的成本共用去11000元． (1)A，B两种衣服各加工多少件？ (2)将这160件衣服送到商场销售，A种衣服售价100元，B种衣服售价150元．若销售过程中发现A种衣服的销量不好，A种衣服卖出一定数量后，服装厂决定余下的部分按原价的八折出售，两种农服全部卖出后，共获利8960元，则A种衣服卖出多少件后打折销售？ 【易错必刷十二 比赛积分】（共3小题） 1．（23-24七年级上·湖南湘西·期末）国际足联世界杯（FIFA World Cup）简称“世界杯”，是世界上最高荣誉、最高规格、最高竞技水平、最高知名度的足球比赛，与奥运会并称为全球体育两大最顶级赛事，影响力和转播覆盖率超过奥运会的全球最大体育盛事．已知在足球比赛中，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，某队共踢了30场比赛，负了9场，共得47分，那么这个队胜了（    ） A．10场 B．11场 C．12场 D．13场 2．（23-24七年级上·湖南邵阳·期末）某县举行七年级数学知识抢答竞赛，共12个学校的代表参加比赛，比赛采取双循环赛制，共比赛22场，（胜一场得2分，负一场得1分），最终甲学校以总分40分获得第一名，那么甲学校的胜场数为 ． 3．（23-24七年级上·湖南长沙·期末）足球比赛的规则为胜一场得3分，平一场得1分，负一场是0分．某队踢了17场比赛，负了5场，共得28分，那么这个队胜了多少场？ 【易错必刷十三 方案选择】（共3小题） 1．（2024·湖南岳阳·二模）《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题：今有共买物，人出八，盈三：人出七，不足四．问物价几何？意思是：几个人一起去购买某物品，如果每人出8钱，则多了3钱：如果每人出7钱，则少了4钱，问该物品的价值多少钱？在这个问题中，该物品价值的钱数为（    ） A．53 B．56 C．59 D．62 2．（23-24七年级上·甘肃武威·期末）某班全体同学参加义务植树活动，如果每人种6棵树，那么剩余15棵，如果每人种7棵树，那么还差33棵，问这个班共有人，树苗共有 棵． 3．（23-24七年级上·湖南永州·阶段练习）10名老师带领若干名学生研学(研学费统一支付)，他们联系了标价相同的两家旅行社，经洽谈，A旅行社给的优惠条件是教师全额付费，学生按六折付费；B旅行社给的优惠条件是全体师生按七折付费． (1)学生有多少人时，两家旅行社收费相等？ (2)现有学生 40人，那么他们选哪一家旅行社研学费用少些呢？ 【易错必刷十四 数字问题】（共3小题） 1．（23-24七年级上·山东济南·期中）如图，均为有理数，图中各行，各列及两条对角线上三个数的和都相等，则的值为（    ） A．1 B． C．7 D．8 2．（23-24七年级上·湖南湘西·期末）幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载最早的幻方-九宫图．将数字分别填入如图所示的幻方中，要求每一横行、每一竖行以及两条对角线上的数字之和都是15，则m的值为 ． m 5 7 6 3．（24-25七年级上·山东淄博·阶段练习）“九宫图”源于我国古代夏禹时期的“洛书”（图1），是世界上最早的矩阵，又称“幻方”，用今天的数学符号翻译出来，“洛书”就是一个三阶“幻方”（图2）．观察图1、图2，我们可以归纳出“九宫图”中各数字之间的关系．在新“幻方”（图3）中，求、的值． 【易错必刷十五 几何问题】（共3小题） 1．（23-24七年级上·湖南湘西·期末）如图，将一个正方形纸片剪去一个宽为的长条后，再从剩下的长方形纸片上剪去一个宽为的长条，如果两次剪去的长条的面积正好相等，那么每一个长条的面积为（     ）． A．20 B．24 C．48 D．144 2．（23-24七年级上·湖南怀化·期末）如图，在平面内，点O是直线上一点，，射线不动，射线同时开始绕点O顺时针转动，射线首次回到起始位置时两线同时停止转动，射线的转动速度分别为每秒和每秒．若转动t秒时，射线中的一条是另外两条组成角的角平分线，则 秒． 3．（23-24七年级上·湖南株洲·期末）如图所示，线段，点为线段上的一点，点是线段的中点，点是线段的中点， (1)求的长； (2)如果，求线段的长． 【易错必刷十六 和差倍分问题】（共3小题） 1．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）安徽某中学开展校运动会，参加跳高的学生是参加立定跳远的学生的2倍少3人，已知参与这两项运动的人数共86人．设参加立定跳远的学生有人，则下列方程中正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·重庆·阶段练习）某厂会计发现现金多了273.6元，经查账发现原来是一笔支出款的小数点错了一位，则这笔款是 元． 3．（23-24七年级上·湖南长沙·期末）为积极响应“文明城区”创建工作，我校七年级学生组建了一支“垃圾分类”志愿者服务队．报名时男生人数是女生人数的3倍，活动时又有3名男生加入，同时有3名女生有事离开，此时男生人数是女生人数的4倍，那么原来报名时志愿者服务队中男生、女生各有多少人？ 【易错必刷十七 电费和水费问题】（共3小题） 1．（23-24七年级上·全国·期末）如表是小刘的手机套餐资费标准． 月基础费 （元） 套餐内免费主叫（） 套餐外主叫费用（元） 被叫 套餐 58 150 0.25 免费 若小刘某月通话费用为98元，设小刘在该月的主叫通话时间为，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·湖南岳阳·期末）华容县为提倡节约用水，采取分段收费．若每户每月用水不超过20吨，每吨收费2元；若用水超过20吨，超过部分每吨加收1元．小明家5月份交水费52元，则他家该月用水 吨． 3．（23-24七年级上·湖南长沙·阶段练习）列方程解应用题： 为鼓励市民节约用水，某地自来水公司推出如下收费标准：若每户每月用水不超过50立方米，则每立方米收费2元；若每户每月用水超过50立方米，则超过部分每立方米收费元，已知小明家本月水费为200元，则小明家本月用水量是多少立方米？ 【易错必刷十八 比例分配】（共3小题） 1．（23-24七年级上·广东江门·期末）程大位是我国珠算发明家，他完成杰作《直指算法统宗》是东方古代数学名著，在书中记载了一道趣题：一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚得几丁？意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完，试问大、小和尚各多少人？如果设大和尚有人，根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·江苏南京·阶段练习）有m辆客车n个人，若每辆客车乘40人，则还有10人不能上车，若每辆客车乘43人，则只有1人不能上车，有下列四个等式：①；②；③；④，其中正确的是 ． 3．（23-24七年级上·广东惠州·阶段练习）有甲乙丙三个仓库存放货物，已知甲乙两仓库存货吨数比为 ，乙丙两仓库存货吨数比为 ，若甲仓库向丙仓库运 吨货物，则两个仓库货物吨数相同，求甲仓库原来存货吨数是多少吨？ 【易错必刷十九 日历问题】（共3小题） 1．（23-24七年级上·山西临汾·期末）如图是某年1月份的日历表，在此表上可以用正方形圈出3×3个位置的9个数（如3，4，5，10，11，12，17，18，19），若圈出的9个数中，最大数与最小数的和为42，则这9个数的和为（    ） A．69 B．207 C．84 D．189 2．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在一张普通的月历中，任意圈出一竖列上的相邻的三个数，用方程的思想来研究，中间日期数为 时，三个日期数之和为69． 3．（23-24七年级上·吉林·开学考试）将整数1，2，3，…，2009按下列方式排列成数表，用斜十字框“”框出任意的5个数（如图），如果用，，，，（处于斜十字中心）表示类似“”形框中的5个数． (1)记，若最小，那么______，若S最大，那么______； (2)用等式表示，，，与之间的关系：______________； (3)若，求的值； (4)框出的五个数中，，，，的和能等于308吗？若能，求出的值；若不能，请说明理由． 【易错必刷二十 古代问题】（共3小题） 1．（23-24七年级上·山东临沂·开学考试）我国古代数学名著《张邱建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗．今持粟三斛，得酒六斗，问清、醑酒各几何？”意思是：现在一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值4斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了6斗酒，问清、醑酒各几斗？如果设醑酒x斗，那么可列方程组为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·山西大同·阶段练习）据我国古代《易经》记载，远古时期人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图，一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结，满五进一，用来记录采集到的野果的个数．她一共采集到了38个野果，则在第2根绳子上的打结数是 个． 3．（2024·安徽合肥·模拟预测）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作之一，书中记载：“今有人共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三，问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出五钱，还差四十五钱；若每人出七钱，还差三钱．问合伙人数和羊价各是多少？ 【易错必刷二十一 一元一次方程的含参问题】（共3小题） 1．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知关于的方程的解是，则的值为（    ） A． B．3 C． D． 2．（23-24七年级上·贵州铜仁·期末）已知是方程解，则 ． 3．（23-24七年级上·四川宜宾·阶段练习）若代数式的值比的值大3，求a的值， 【易错必刷二十二 一元一次方程的新定义问题】（共3小题） 1．（23-24七年级上·湖南衡阳·阶段练习）定义运算“*”，其规则为，则方程的解为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·江苏扬州·期中）我们定义一种新的运算：，其中等号右边的运算为正常的加减乘除运算，例如 ． (1)在上述运算法则下， ． (2)在上述运算法则下，若，则 ． (3)在上述运算法则下，若不论取何值时，等式总成立，则的值为 ． 3．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知a、b为有理数，且，若关于x的一元一次方程的解为，则此方程为“合并式方程”．例如：，∴此方程为“合并式方程”，请根据上述定义解答下列问题： (1)一元一次方程是否是“合并式方程”？并说明理由； (2)若关于x的一元一次方程是“合并式方程”，且它的解为，求a、b的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 一元一次方程易错必刷题型专训（75题22个考点） 【易错必刷一 判断各式是否是方程】（共3小题） 1．（23-24七年级上·河南周口·阶段练习）下列四个式子中，是方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据含有未知数的等式叫做方程，判断即可，本题考查了方程的定义，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】根据含有未知数的等式叫做方程，判断是方程，其余不是， 故选：B． 2．（23-24七年级上·全国·课后作业）在①；②；③；④中，是方程的是 ．（填序号即可） 【答案】②④/④② 【分析】本题考查了方程的定义，解决本题的关键是对概念的理解．根据含有未知数的等式是方程求解即可． 【详解】在①；②；③；④中， 是方程的是②④． 故答案为：②④． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）下面式子中，是方程的是______；①；②；③；④． 【答案】①④ 【分析】本题考查了方程的概念．含有未知数的等式叫作方程，据此判断即可． 【详解】解：①，④符合方程的概念，是方程． ②不是等式，③不含未知数，都不是方程． 故答案为：①④． 【易错必刷二 列方程】（共3小题） 1．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，根据图形中标出的量及其满足的关系，列出的方程，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查列方程，根据三角形面积公式列出方程即可． 【详解】解：根据题意直角三角形两直角边的边长分别为，面积为6， 则， 故选：D． 2．（23-24七年级上·广东河源·开学考试）一个长方形场地的周长为米，长比宽的倍少米．如果设这个场地的宽为米，那么可以列出方程为 ． 【答案】 【分析】设这个场地的宽为米，则长为米，然后根据长方形的周长公式即可解答． 【详解】解：设这个场地的宽为米，则长为米， 由题意可得：． 故答案为． 【点睛】本题主要考查了列一元一次方程，审清题意、设出未知数、明确等量关系是解答本题的关键． 3．（23-24七年级上·浙江丽水·期末）如图，一个瓶子的容积为（立方厘米）且瓶子内底面半径为r，瓶内装着一些溶液．当瓶子正放时，瓶内溶液的高度为20厘米；倒放时，空余部分的高度为5厘米．根据愿意回答下列问题： (1)用两种不同的代数式表示瓶内溶液的体积；（含r的代数式） (2)求瓶子内底面面积． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）瓶内溶液的体积＝圆柱的体积；瓶内溶液的体积＝总的体积﹣图中空白部分的体积； （2）利用瓶内溶液的体积不变列出方程，求得πr2＝40即可． 【详解】（1）解：根据题意知，瓶内溶液的体积＝20πr2或瓶内溶液的体积＝1000﹣5πr2； （2）解：根据题意，得20πr2＝1000﹣5πr2． 解得πr2＝40． 答：瓶子内底面积为40cm2． 【点睛】本题主要考查了方程的应用，数学常识以及列代数式，解题的关键是掌握圆柱的体积公式． 【易错必刷三 方程的解】（共3小题） 1．（23-24七年级上·湖北荆门·单元测试）在下列方程中，解是的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了方程解的概念，熟练掌握方程解的概念以及方程解的检验方法是解题的关键．把分别代入各选项的方程中进行检验即可得答案． 【详解】解：A、把分别代入方程的左右两边，左边，右边，左边右边，所以不是方程的解，此选项不符合题意； B、把分别代入方程的左右两边，左边，右边，左边右边，所以不是方程的解，此选项不符合题意； C、把分别代入方程的左右两边，左边，右边，左边右边，所以不是方程的解，此选项不符合题意； D、把分别代入方程的左右两边，左边，右边，左边右边，所以是方程的解，此选项符合题意． 故选：D． 2．（24-25七年级上·全国·单元测试）阅读材料：整体代值是数学中常用的方法．例如“已知，求代数式的值．”可以这样解：．根据阅读材料，解决问题：若是关于x的一元一次方程的解，则代数式的值是 ． 【答案】7 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解的定义，代数式求值，先根据一元一次方程解的定义是使方程左右两边相等的未知数的值得到，再根据进行求解即可． 【详解】解：∵是关于x的一元一次方程的解， ∴， ∴， 故答案为：7． 3．（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）方程的解的定义：使方程两边相等的未知数的值．如果一个方程的解都是整数，那么这个方程叫做“立信方程” (1)若“立信方程”的解也是关于x的方程的解，则____________； (2)若关于x的方程的解也是“立信方程”的解，求n的值． (3)关于x的方程是“立信方程”，直接写出符合要求的正整数k的值． 【答案】(1)1 (2) (3)8，10，26 【分析】（1）求出的解，将之代入求出m值即可． （2）将转化为 代入即可求处n的值． （3）先求解的表达式，然后利用“立信方程”的解都是整数的定义找出正整数解即可． 【详解】（1）解：∵ ∴x = 0 把x = 0代入得 ，即 解得：m = 1 （2）解：∵ ∴ ∵ 由题意可知，关于x的方程的解也是“立信方程”的解． 将代入得 ，解得n = 5 （3）解：解关于x的方程得， 当取1， ，17，时，即k取8，10，－8，26时，x的值为整数． ∴符合要求的正整数k的值为8，10，26． 【点睛】本题主要考查一元一次方程的解的应用，能根据立信方程的定义是解本题的关键． 【易错必刷四 一元一次方程的定义】（共3小题） 1．（24-25七年级上·全国·假期作业）等式和方程的关系可以用如图表示，下面（ ）的关系也可以用这样的图来表示． A．质数和合数 B．奇数和偶数 C．四边形和三角形 D．长方形和正方形 【答案】D 【分析】含有未知数的等式叫方程，等式包含方程，根据质数与合数，奇数与偶数，三角形与四边形，长方形与正方形的定义逐一判断即可． 【详解】等式和方程的关系是包含与被包含的关系： A．质数和合数是并列关系，不是包含与被包含的关系； B．奇数和偶数是并列关系，不是包含与被包含的关系； C．三角形和四边形都是多边形，是并列关系，不是包含与被包含的关系； D．正方形是特殊的长方形，长方形包含正方形，是包含与被包含的关系 故选：D． 【点睛】本题考查了等式与方程的包含关系，质数与合数，奇数与偶数，三角形与四边形，长方形与正方形之间的关系，熟练掌握相关的定义是解题的关键． 2．（24-25七年级上·全国·期末）写出一个满足下列条件的一元一次方程：①未知数的系数是；②方程的解是2．这样的方程是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程，它的一般形式是，是常数且；根据题意只要求得即可求得方程．本题主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一个未知数，未知数的指数是1，一次项系数不是0，这是这类题目考查的重点． 【详解】解：∵一元一次方程形式是，是常数且； 由题意可知，． 则将与的值代入中得： ， 解得：， 所以该一元一次方程为：． 故答案为：（答案不唯一）． 3．（23-24七年级上·福建泉州·期中）关于的方程是一元一次方程，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的知识，由一次方程的定义，列关于的方程，通过求解即可得到答案．解题的关键是熟练掌握一元一次方程的定义，从而完成求解． 【详解】解：∵关于的方程是一元一次方程 ∴且， 由得：或 ∵，即， ∴． 【易错必刷五 等式的性质】（共3小题） 1．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）运用等式性质进行的变形，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】本题考查了等式的性质，性质1：等式两边同时加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等；性质2：等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等，根据对应性质逐一判断，即可得到答案． 【详解】解：A、若，当时，，原变形错误，不符合题意； B、若，则，原变形正确，符合题意； C、若，则，原变形错误，不符合题意； D、若，则，原变形错误，不符合题意； 故选：B． 2．（23-24七年级上·湖南怀化·期末）下列等式变形：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则；⑤若，则．其中一定正确是 （填正确的序号） 【答案】①④⑤ 【分析】本题考查的是等式的基本性质，等式两边同时加(减)同一个数(式子)，结果仍相等；等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等；应用等式的性质对等式进行变形时，必须注意“同”字，要对等式进行变形，就要保证等式两边始终相等，也就是说，运用等式的性质时，等式两边必须同时进行变形．根据等式的基本性质逐一判断即可． 【详解】解：∵， ∴，符合等式性质1，故①符合题意； ∵，， ∴，故②不符合题意； ∵， ∴，故③不符合题意； ∵， ∴，符合等式性质2，故④符合题意； ∵， ∴，符合等式性质2，故⑤符合题意； 故答案为：①④⑤ 3．（23-24七年级上·湖南张家界·开学考试）解方程 (1)（5x+6）÷7 = 8 (2)13.2 + x = 2x－6.8 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等式的性质，两边同时乘以7，得5x＋6＝56，两边同时减去6，再同时除以5，即可解答； （2）根据等式的性质，两边同减去x，得13.2＝x−6.85，两边同是加上6.85，即可解答． 【详解】（1）解：（5x＋6）÷7＝8 方程两边同乘以7得：5x＋6＝8×7， 方程两边同减去6得：5x＝56-6， 方程两边同除以5得：5x÷5＝50÷5， 即：x＝10． （2）解：13.2＋x＝2x−6.8 方程两边同减x得：13.2＋x−x＝2x−x−6.8， 即x−6.8＝13.2， 方程两边同加上6.8得： x−6.8＋6.8＝13.2＋6.8， 即 x＝20． 【点睛】本题主要考查了运用等式的性质解方程，解题的关键是熟练掌握等式的性质，等式两边同加上或同减去、同乘上或同除以一个数（0除外），等式两边仍相等． 【易错必刷六 一元一次方程的解法】（共12小题） 1．（23-24七年级上·福建泉州·期末）解方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查解一元一次方程，掌握去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的解题方法是解题的关键． 【详解】解： 去分母得，， 去括号得，， 移项、合并同类项得，， 系数化为1得，． 2．（23-24七年级上·湖南·期中）解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程： （1）按照移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可； （2）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可． 【详解】（1）解： 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：； （2）解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：． 3．（23-24七年级上·四川眉山·期中）解下列方程 (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解法，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程的基本步骤，准确计算． （1）先去分母，再去括号，然后移项并合并同类项，最后系数化为1即可得解； （2）先将方程变形，分子、分母化为整数，然后去分母，去括号，移项并合并同类项，最后系数化为1即可得解． 【详解】（1）解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：． （2）解：， 原方程可变为：， 去分母得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：． 4．（23-24七年级上·湖南衡阳·期末）解方程 (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程的基本步骤，先去分母，再去括号，然后移项合并同类项，最后未知数系数化为1即可． （1）先移项合并同类项，再未知数系数化为1即可． （2）先去括号，然后移项合并同类项，最后未知数系数化为1即可． （3）先去分母，再去括号，然后移项合并同类项，最后未知数系数化为1即可． 【详解】（1）解：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：； （2）解：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：； （3）解：， 去分母得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：． 5．（23-24七年级上·湖南湘潭·阶段练习）解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)： 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要查了解一元二次方程： （1）移项、合并同类项，系数化成1即可求解； （2）移项、合并同类项、系数化成1即可求解； （3）去括号、移项、合并同类项、系数化成1即可求解； （4）去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化成1即可求解． 【详解】（1）解： 合并同类项得：， 解得：； （2）解： 移项合并同类项得：， 解得：； （3）解： 去括号得：， 移项合并同类项得：， 解得：； （4）解： 去分母得：， 去括号得：， 移项合并同类项得：， 解得：． 6．（23-24七年级上·湖南长沙·阶段练习）解方程： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． （1）按照解一元一次方程的步骤：移项，合并同类项，系数化为1，进行计算即可解答； （2）按照解一元一次方程的步骤：去括号，移项，合并同类项，系数化为1，进行计算即可解答； （3）按照解一元一次方程的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，进行计算即可解答； （4）按照解一元一次方程的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，进行计算即可解答． 【详解】（1）解：， 移项得：， 合并得：， ∴； （2）， 去括号得：， 移项得：， 合并得：， ∴； （3）， 去分母得：， 去括号得：， 整理得：， ∴； （4）， 整理得：， 去分母得：， 去括号得：， 解得：． 7．（23-24七年级上·湖南长沙·期末）方程与方程的解相同，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了同解方程，代数式求值，先解，把代入，求出k的值，然后再代入代数式求值即可． 【详解】解： 又∵方程与方程的解相同 ∴ 8．（23-24七年级上·陕西汉中·阶段练习）若关于的一元一次方程的解是正整数，其中是正整数．求的值． 【答案】或 【分析】本题考查了解一元一次方程；先解一元一次方程，根据方程的解是正整数，是正整数，即可求解． 【详解】解：去分母，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为1，得． 又因为是正整数，且方程的解是正整数， 所以或． 9．（23-24七年级上·河南许昌·期末）已知关于的方程的解与方程的解互为相反数，求的值． 【答案】的值为 【分析】本题主要考查根据一元一次方程的解求参数，掌握解一元一次方程的方法，相反数的定义是解题的关键． 根据去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的方法分别解两个方程，用含的式子表示方程的解，再根据两个方程的解互为相反数，即可求解． 【详解】解： 去分母得，， 移项得，； 去分母得， 移项得，， 合并同类项得， 移项得，； ∵两个方程的解互为相反数， ∴， 解得，， ∴的值为． 10．（24-25七年级上·贵州遵义·开学考试）一种数学游戏的规则是：，例如：，如果，求x的值． 【答案】 【分析】本题考查了新定义下的运算和解一元一次方程，理解新定义的运算性质是解题的关键．根据题中新定义的运算可知，的值等于对角线上与的积减去与的积，由此进行计算即可． 【详解】解： ， 即， 整理得：， 解得：． 11．（23-24七年级上·湖南衡阳·期中）对于整数，，，，定义，如：； (1)计算：的值； (2)当时，求的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了解一元一次方程，能根据新定义得出方程是解此题的关键． （1）根据新定义得出，进一步计算即可求解； （2）根据新定义得出，再解一元一次方程即可． 【详解】（1）解：； （2）解：∵， ∴， 解得． 12．（23-24七年级上·河南郑州·阶段练习）我们规定：若关于x的一元一次方程的解满足，则称该方程为“完美方程”．根据上面的规定解答下列问题： (1)判断方程是否为“完美方程”并说明理由； (2)若关于x的一元一次方程是“完美方程”，求m的值． 【答案】(1)不是为“完美方程”，理由见解析 (2) 【分析】本题考查一元一次方程的解法及新定义方程解法，理解新定义及掌握一元一次方程解法是解题的关键． （1）根据“完美方程”定义判断即可得到答案； （2）求出含参数的方程的解，再由“完美方程”求出方程的解，两个列等式即可得到答案． 【详解】（1）解：不是为“完美方程”，理由为： 解方程得， ∵， ∴方程不是为“完美方程”； （2）解：∵一元一次方程是“完美方程”， ∴， 解得：． 【易错必刷七 一元一次方程解法的拓展】（共3小题） 1．（23-24七年级上·湖南娄底·阶段练习）方程的解是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考点一元一次方程的解，熟练掌握一元一次方程的解法是解题的关键． 先将方程化为，再求解即可． 【详解】解：， ∴， ， ， 即， 解得：， 故选：B． 2．（23-24七年级上·湖南娄底·期末）已知关于的一元一次方程的解为，那么关于的一元一次方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了换元法解一元一次方程，熟练掌握解方程的方法是解决问题的关键． 利用换元法可求得，即可求解． 【详解】解：设，原方程可变为：， ∵关于的一元一次方程的解为， ∴， ∴． 故答案为：． 3．（23-24七年级上·湖南郴州·阶段练习）将4个数a、b、c、d排成2行2列，两边各加一条竖直线记成，定义，例如：，解方程：． 【答案】x=1 【分析】根据新定义运算列方程，故可求解． 【详解】解：∵ ∴-5（x-3）-2（-3x+5）=6 -5x+15+6x-10=6 x=1． 【点睛】此题主要考查解一元一次方程，解题的关键是根据题意列出方程求解． 【易错必刷八 行程问题】（共3小题） 1．（23-24七年级上·湖南娄底·阶段练习）方程的解是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考点一元一次方程的解，熟练掌握一元一次方程的解法是解题的关键． 先将方程化为，再求解即可． 【详解】解：， ∴， ， ， 即， 解得：， 故选：B． 2．（23-24七年级上·湖南郴州·阶段练习）某体育场的环形跑道长400米，甲、乙二人在跑道上练习跑步，已知甲平均每分钟跑250米，乙平均每分钟跑290米，现在两人同时从同一地点同向出发，经过 分钟两人才能首次相遇． 【答案】 【分析】设经过分钟后甲，乙两人再次相遇，则甲跑的路程是米，乙路的路程为米．根据等量关系“乙路程甲路程”，列出方程解方程即可． 【详解】设经过分钟后甲，乙两人再次相遇． 则甲跑的路程是米，乙路的路程为米． 由题意得． 解得． 答：经过分钟后两人再次相遇． 故答案为：． 【点睛】本题考查了环形跑道上的追及问题．正确找出等量关系“乙路程-甲路程=环形跑道的长度”是解题关键． 3．（23-24七年级上·湖南郴州·期末）已知A、B两地相距450千米，甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，已知甲车速度为115千米/时，乙车速度为85千米/时． (1)两车同向而行，快车在后，求经过几小时快车追上慢车？ (2)两车相向而行，求经过几小时两车相距50千米？ 【答案】(1)经过15小时快车追上慢车 (2)经过2或小时两车相距50千米 【分析】（1）根据快车路程减慢车路程等于450解题， （2）根据快车路程+慢车路程或快车路程+慢车路程解题， 【详解】（1）解：设求经过x小时快车追上慢车． ， 解得 答：经过15小时快车追上慢车； （2）解：设经过a小时两车相距50千米． 两种情况： ①相遇前两车相距50千米，根据题意得： ， 解得：； ②相遇后两车相距50千米，根据题意得： ， 解得 答：经过2或小时两车相距50千米． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 【易错必刷九 配套问题】（共3小题） 1．（23-24七年级上·湖北武汉·期中）在目前的疫情环境下，口罩成了人们生活中的必需品，现某口罩厂共有30名员工，每名员工每天可以生产150个罩面或600个耳绳．已知一个罩面需要配两个耳绳，为使每天生产的罩面和耳绳刚好配套，设安排名员工生产耳绳，则下面所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，找出等量关系即可列出方程．生产的罩面数量×2=生产的耳绳数量． 【详解】解：设安排名员工生产耳绳，则安排名员工生产罩面， 根据题意可列方程∶ ． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意找出等量关系列出方程． 2．（23-24七年级上·湖南张家界·期末）某车间有22名工人，每人每天可以生产1200个螺钉或2000个螺母，1个螺钉需要配2个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，则有 名工人生产螺钉． 【答案】10 【分析】此题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是建立等量关系．设分配x名工人生产螺母，则人生产螺钉，由一个螺钉配两个螺母可知螺母的个数是螺钉个数的2倍从而得出等量关系，就可以列出方程求出即可． 【详解】解：设分配x名工人生产螺母，则人生产螺钉， 由题意得：， 解得：， 则， 故答案为：10． 3．（23-24七年级上·湖南长沙·期末）“卡塔尔世界杯”期间，某工厂接到一批紧急订单，要按期生产两种款式的球衣共万套，已知名工人能按期生产一万套款球衣，名工人能按期生产一万套B款球衣．工厂通过调度，安排名工人按期同时完成了两种款式球衣的生产任务． (1)生产款球衣和款球衣的工人各多少人？ (2)工厂生产一套款球衣的利润是元，生产一套款球衣的利润是元，工厂完成该订单的总利润是多少？ 【答案】(1)安排人生产款球衣，人生产款球衣 (2)订单总利润为万元 【分析】(1)根据题意找数量关系和等量关系列方程求解； (2)根据题意列出式子计算即可． 【详解】（1）解：设安排人生产款球衣，人生产款球衣，则 ， 解得 答：安排人生产款球衣，人生产款球衣． （2）解：∵生产一套款球衣的利润是元，生产一套款球衣的利润是元， ∴（万元）， 答：订单总利润为万元． 【点睛】本题考查了一元一次方程与实际问题，审清题意找出等量关系是解题的关键． 【易错必刷十 工程问题】（共3小题） 1．（23-24七年级上·湖南长沙·期末）某学校教学楼扩建工程甲单独做9天完成，乙单独做15天完成．现在乙先做3天，甲再加入合做．设完成此工程一共用了x天，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了由实际问题抽象出一元一次方程的知识，解题的关键是根据工作量之间的关系列出方程．根据乙先做3天，甲再加入合做找到等量关系列出方程即可． 【详解】解：由题意可得：， 故选：． 2．（23-24七年级上·湖南长沙·期末）整理一批图书，由一个人做要40小时完成．现计划由一部分人先做4小时，然后增加2人与他们一起做8小时，完成这项工作．假设这些人的工作效率相同，那么应先安排做4小时的人数为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设先安排x人做4小时完成，根据题意，求解即可． 【详解】设先安排x人做4小时完成，根据题意，得 ， 解得， 故答案为：2． 3．（23-24七年级上·湖南湘西·阶段练习）现甲、乙工作队接下了一个修水沟的工作，如果让甲单独做需要12天完成，让乙单独做需要8天完成，现在要求甲、乙合作一起先做2天，然后剩下的由甲单独完成，问甲还需要单独做几天可以完成？ 【答案】甲还需要7天可以完成． 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用．设甲还需要单独做x天可以完成，根据总工作量等于甲和乙共同做的加上甲单独做的，列出方程，进行求解即可．找准等量关系，正确的列出方程是解题的关键．在总工作量未知时，通常设总工作量为“1”． 【详解】．解：设甲还需要单独做x天可以完成， 由题意得方程：， 解得：， 答：甲还需要7天可以完成． 【易错必刷十一 销售盈亏问题】（共3小题） 1．（23-24七年级上·湖南永州·期末）一件夹克衫先按成本提高标价，再以7折出售，结果获利28元．若这件夹克衫的成本为x元，根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程在销售问题中的应用，根据打折销售的题型，成本价成本利润，设成本为元，由等量关系即可列出方程． 【详解】解：设成本价是元，根据题意知， ， 故选：A． 2．（23-24七年级上·湖南衡阳·阶段练习）某家具的标价为132元，若降价以九折出售（优惠）仍可获利（相对于进货价），则该家具的进货价是 元． 【答案】108 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，熟练掌握利润、售价、进价之间的关系是解题的关键．设商品的进货价是x元，根据“标价为132元，以九折出售（优惠）仍可获利”列方程求解即可． 【详解】解：设商品的进货价是x元， 根据题意，得， 解得， 故答案为：108． 3．（23-24七年级上·湖南常德·期末）常德市某服装厂加工A、B两种款式的衣服共160件，加工A种衣服的成本为每件50元，加工B种衣服的成本为每件80元，加工两种衣服的成本共用去11000元． (1)A，B两种衣服各加工多少件？ (2)将这160件衣服送到商场销售，A种衣服售价100元，B种衣服售价150元．若销售过程中发现A种衣服的销量不好，A种衣服卖出一定数量后，服装厂决定余下的部分按原价的八折出售，两种农服全部卖出后，共获利8960元，则A种衣服卖出多少件后打折销售？ 【答案】(1)A、B两种衣服各加工60件和100件 (2)A种衣服卖出8件后打折销售 【分析】本题考查一元一次方程的应用．读懂题意，正确的列出方程，是解题的关键． （1）设A种衣服加工件，则种衣服加工件，加工两种衣服的成本共用去11000元，列出方程进行求解即可； （2）设A种衣服卖出件后打折销售，根据总利润等于总售价减去总成本，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：设A种衣服加工件，则种衣服加工件，由题意，得： ， 解得：， ∴（件）； 答：A、B两种衣服各加工60件和100件； （2）解：设A种衣服卖出件后打折销售，由题意，得： ， 解得：； 答：A种衣服卖出8件后打折销售． 【易错必刷十二 比赛积分】（共3小题） 1．（23-24七年级上·湖南湘西·期末）国际足联世界杯（FIFA World Cup）简称“世界杯”，是世界上最高荣誉、最高规格、最高竞技水平、最高知名度的足球比赛，与奥运会并称为全球体育两大最顶级赛事，影响力和转播覆盖率超过奥运会的全球最大体育盛事．已知在足球比赛中，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，某队共踢了30场比赛，负了9场，共得47分，那么这个队胜了（    ） A．10场 B．11场 C．12场 D．13场 【答案】D 【分析】设这个队胜了x场，则平了（场），根据共得47分列出关于x的方程，解之可得． 【详解】解：设这个队胜了x场，则平了（场）， 根据题意，得：， 解得：， 即这个队胜了13场， 故选：D． 【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，属于基础题，解答本题的关键是要掌握胜的场数平的场数负的场数总得分，难度一般． 2．（23-24七年级上·湖南邵阳·期末）某县举行七年级数学知识抢答竞赛，共12个学校的代表参加比赛，比赛采取双循环赛制，共比赛22场，（胜一场得2分，负一场得1分），最终甲学校以总分40分获得第一名，那么甲学校的胜场数为 ． 【答案】18 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，12个学校的七年级数学知识抢答竞赛，也就是说每个学校要和其余11个学校比赛，根据总比赛场数为22，设甲学校赢了x场，总分数为40即可列出方程，即可解题． 【详解】解：12个学校的七年级数学知识抢答竞赛，也就是说每个学校要和其余11个学校比赛，根据总比赛场数为22， 设甲学校赢了x场，则， ， 解得：． 即甲学校赢了18场， 故答案为：18． 3．（23-24七年级上·湖南长沙·期末）足球比赛的规则为胜一场得3分，平一场得1分，负一场是0分．某队踢了17场比赛，负了5场，共得28分，那么这个队胜了多少场？ 【答案】这个队胜了8场 【分析】设这个队胜的场数是，根据题意列出方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：设这个队胜的场数是， 根据题意可得： ， 解得：， 答：这个队胜了8场． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程解决问题． 【易错必刷十三 方案选择】（共3小题） 1．（2024·湖南岳阳·二模）《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题：今有共买物，人出八，盈三：人出七，不足四．问物价几何？意思是：几个人一起去购买某物品，如果每人出8钱，则多了3钱：如果每人出7钱，则少了4钱，问该物品的价值多少钱？在这个问题中，该物品价值的钱数为（    ） A．53 B．56 C．59 D．62 【答案】A 【分析】设人数为x，再根据两种付费的总钱数一样即可求解． 【详解】解：设人数为x， 由题意得： 解得：， ∴该物品价值的钱数为， 故答案选：A． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用，难度不大，属于基础题型．解题的关键是找准等量关系并准确表示． 2．（23-24七年级上·甘肃武威·期末）某班全体同学参加义务植树活动，如果每人种6棵树，那么剩余15棵，如果每人种7棵树，那么还差33棵，问这个班共有人，树苗共有 棵． 【答案】303 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是找出合适的等量关系列出方程，再求解．设这个班共有x名同学，根据等量关系：如果每人种6棵树，那么剩余15棵树苗；如果每人种7棵树，那么还差33棵树苗，列出方程求解即可． 【详解】解：设这个班共有x名同学，依题意有 ， 解得， 棵． 故答案为：303． 3．（23-24七年级上·湖南永州·阶段练习）10名老师带领若干名学生研学(研学费统一支付)，他们联系了标价相同的两家旅行社，经洽谈，A旅行社给的优惠条件是教师全额付费，学生按六折付费；B旅行社给的优惠条件是全体师生按七折付费． (1)学生有多少人时，两家旅行社收费相等？ (2)现有学生 40人，那么他们选哪一家旅行社研学费用少些呢？ 【答案】(1)个学生 (2)选A旅行社研学费用少些，理由见解析 【分析】本题考查列方程解决实际问题，解题的关键是首先表示出两家旅行社对未知学生数的收费状况，然后建立一元一次方程解答． （1）设学生有x人，每人的研学经费为y元，根据两个旅行社不同的收费方式列出方程求解即可． （2）根据旅行社的收费标准分别求得他们的收费总额，然后比较即可得到答案． 【详解】（1）设有x个学生，每人的研学经费为单位y． ， ， 答：有个学生研学． （2）设研学经费为y元， A旅行社∶ B旅行社： ∵， 答：选旅行社研学费用少些． 【易错必刷十四 数字问题】（共3小题） 1．（23-24七年级上·山东济南·期中）如图，均为有理数，图中各行，各列及两条对角线上三个数的和都相等，则的值为（    ） A．1 B． C．7 D．8 【答案】C 【分析】先根据其每一行、每一列以及两条对角线上的三个数之和都相等，寻找具有已知量最多且含有公共未知量的行或列，只能是，此时可解得；再以为等式，可知，依此类推求出各字母代表的值即可解答． 【详解】解：依题意知：， 解得：， 又， ， 又∵， ， ∴各行，各列及两条对角线上三个数的和都为 ，，， ，故C正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，本题的解决首先把求的值作为入手点，因，等式左右两边含有公共，可相互抵消，即可求得． 2．（23-24七年级上·湖南湘西·期末）幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载最早的幻方-九宫图．将数字分别填入如图所示的幻方中，要求每一横行、每一竖行以及两条对角线上的数字之和都是15，则m的值为 ． m 5 7 6 【答案】9 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据题意可得左上角的数为，再根据每一竖行和每一横行的数字之和相等建立方程求解即可． 【详解】解：由题意得，， 解得， 故答案为：9． 3．（24-25七年级上·山东淄博·阶段练习）“九宫图”源于我国古代夏禹时期的“洛书”（图1），是世界上最早的矩阵，又称“幻方”，用今天的数学符号翻译出来，“洛书”就是一个三阶“幻方”（图2）．观察图1、图2，我们可以归纳出“九宫图”中各数字之间的关系．在新“幻方”（图3）中，求、的值． 【答案】， 【分析】本题考查了一元一次方程、组的应用以及数学常识．根据新“幻方”每行、每列及对角线的和相等，即可得出关于a，b的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：根据题意得：新“幻方”每行、每列及对角线的和相等， ∴，， 解得：，． 故答案为：，． 【易错必刷十五 几何问题】（共3小题） 1．（23-24七年级上·湖南湘西·期末）如图，将一个正方形纸片剪去一个宽为的长条后，再从剩下的长方形纸片上剪去一个宽为的长条，如果两次剪去的长条的面积正好相等，那么每一个长条的面积为（     ）． A．20 B．24 C．48 D．144 【答案】D 【分析】此题主要考查了长方形、正方形的性质、一元一次方程的应用，正确理解题意列出方程是解题的关键．设原来正方形纸的边长是，则第一次剪下的长条的长是，宽是，第二次剪下的长条的长是，宽是；然后根据第一次剪下的长条的面积=第二次剪下的长条的面积，列出方程，求出x的值是多少，即可求出每一个长条面积为多少． 【详解】解：设原来正方形纸的边长是，则第一次剪下的长条的长是，宽是，第二次剪下的长条的长是，宽是， 由题意得：， 解得：， ∴， 故选：D． 2．（23-24七年级上·湖南怀化·期末）如图，在平面内，点O是直线上一点，，射线不动，射线同时开始绕点O顺时针转动，射线首次回到起始位置时两线同时停止转动，射线的转动速度分别为每秒和每秒．若转动t秒时，射线中的一条是另外两条组成角的角平分线，则 秒． 【答案】4或5/5或4 【分析】题主要考查角的和、差关系，难点是找出变化过程中的不变量，需要结合图形来计算，在计算分析的过程中注意动手操作，在旋转的过程中得到不变的量．根据已知条件可知，在第t秒时，射线转过的角度为，射线转过的角度为然后按照三条射线构成相等的角分三种情况讨论：①当平分；②当平分；③当平分，分别列方程即可求出t的值． 【详解】解：根据题意，在第t秒时，射线转过的角度为，射线转过的角度为， ①当转到的位置时，如图①所示，，    ∵， ∴， 即； ②当转到的位置时，如图②所示，，    ∵， ∴， 即； ③当转到的位置时，如图③，，    ∵， ∴，此时方程不成立． 综上所述：t的值为4或5． 故答案：4或5． 3．（23-24七年级上·湖南株洲·期末）如图所示，线段，点为线段上的一点，点是线段的中点，点是线段的中点， (1)求的长； (2)如果，求线段的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了线段的和差，中点，一元一次方程与线段数量关系的计算，掌握线段中点，一元一次方程的运用是解题的关键． （1）根据中点的性质可得，由即可求解； （2）设，则，根据题意可得，，解得，由此即可求解的长． 【详解】（1）解：∵点是线段的中点， ∴， ∵点是线段的中点， ∴， ∴； （2）解：设，则， ∵点是的中点， ∴，则， ∵， ∴， 解得，，即， ∴． 【易错必刷十六 和差倍分问题】（共3小题） 1．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）安徽某中学开展校运动会，参加跳高的学生是参加立定跳远的学生的2倍少3人，已知参与这两项运动的人数共86人．设参加立定跳远的学生有人，则下列方程中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，设参加立定跳远的学生有人，则参加跳高的学生有人，根据“参加跳高的学生是参加立定跳远的学生的2倍少3人，已知参与这两项运动的人数共86人”即可求解．解题的关键是找到正确的等量关系． 【详解】解：设参加立定跳远的学生有人，则参加跳高的学生有人， 由题意可得，， 故选：D． 2．（24-25七年级上·重庆·阶段练习）某厂会计发现现金多了273.6元，经查账发现原来是一笔支出款的小数点错了一位，则这笔款是 元． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的应用，设笔款是元，根据现金多了273.6元列方程即可． 【详解】解：设笔款是元，则现在数量为（元）， 由题意可得，， 解得， 答：这笔款是元， 故答案为：． 3．（23-24七年级上·湖南长沙·期末）为积极响应“文明城区”创建工作，我校七年级学生组建了一支“垃圾分类”志愿者服务队．报名时男生人数是女生人数的3倍，活动时又有3名男生加入，同时有3名女生有事离开，此时男生人数是女生人数的4倍，那么原来报名时志愿者服务队中男生、女生各有多少人？ 【答案】男生45人、女生15人． 【分析】设原来报名时志愿者服务队中女生有x人，则男生有人；再根据“男生增加3人、女生减少3人时，男生人数是女生人数的4倍”列方程求解即可． 【详解】解：设原来报名时志愿者服务队中有女生x人，则男生有人， 由题意得：， 解得， （人）． 答：原来报名时志愿者服务队中有男生45人、女生15人． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据题意设出未知数、表示出相关量、根据等量关系列出方程成为解答本题的关键． 【易错必刷十七 电费和水费问题】（共3小题） 1．（23-24七年级上·全国·期末）如表是小刘的手机套餐资费标准． 月基础费 （元） 套餐内免费主叫（） 套餐外主叫费用（元） 被叫 套餐 58 150 0.25 免费 若小刘某月通话费用为98元，设小刘在该月的主叫通话时间为，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，正确地理解题意是解题的关键．设小刘在该月的主叫通话时间为，根据题意列方程即可得到结论． 【详解】解：设小刘在该月的主叫通话时间为， 则可列方程为， 故选：A． 2．（23-24七年级上·湖南岳阳·期末）华容县为提倡节约用水，采取分段收费．若每户每月用水不超过20吨，每吨收费2元；若用水超过20吨，超过部分每吨加收1元．小明家5月份交水费52元，则他家该月用水 吨． 【答案】24 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，设他家该月用水x吨，先推出小明家5月份用水超过20吨，进而根据小明家5月份交水费52元得到方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：设他家该月用水x吨， ∵， ∴小明家5月份用水超过20吨， 由题意得， 解得， ∴他家该月用水24吨， 故答案为：24． 3．（23-24七年级上·湖南长沙·阶段练习）列方程解应用题： 为鼓励市民节约用水，某地自来水公司推出如下收费标准：若每户每月用水不超过50立方米，则每立方米收费2元；若每户每月用水超过50立方米，则超过部分每立方米收费元，已知小明家本月水费为200元，则小明家本月用水量是多少立方米？ 【答案】小明家本月用水量是90立方米 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，解题的关键是根据本月水费为200元，列出方程． 【详解】解：∵， ∴小明家本月用水量超过50立方米， 设小明家本月用水量是x立方米，根据题意得： ， 解得：， 答：小明家本月用水量是90立方米． 【易错必刷十八 比例分配】（共3小题） 1．（23-24七年级上·广东江门·期末）程大位是我国珠算发明家，他完成杰作《直指算法统宗》是东方古代数学名著，在书中记载了一道趣题：一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚得几丁？意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完，试问大、小和尚各多少人？如果设大和尚有人，根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，关键以和尚数和馒头数作为等量关系列出方程． 根据100个和尚分100个馒头，正好分完．大和尚一人分3个，小和尚3人分一个得到等量关系为：大和尚分得的馒头数+小和尚分得的馒头数，依此列出方程即可． 【详解】解：设大和尚有x人，则小和尚有人，根据题意得：， 故选：C． 2．（23-24七年级上·江苏南京·阶段练习）有m辆客车n个人，若每辆客车乘40人，则还有10人不能上车，若每辆客车乘43人，则只有1人不能上车，有下列四个等式：①；②；③；④，其中正确的是 ． 【答案】②③ 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，考查列方程解应用题的能力，寻找相等关系是关键．根据总的人数不变及总的客车数量，分别列方程，然后逐一判断即可． 【详解】解：根据人数相等列方程为：； 根据车数相等列方程为：， 即正确的是②③， 故答案为：②③． 3．（23-24七年级上·广东惠州·阶段练习）有甲乙丙三个仓库存放货物，已知甲乙两仓库存货吨数比为 ，乙丙两仓库存货吨数比为 ，若甲仓库向丙仓库运 吨货物，则两个仓库货物吨数相同，求甲仓库原来存货吨数是多少吨？ 【答案】甲仓库原来存货 吨 【分析】设甲仓库原来存货吨数是吨，则乙仓库原来的存货吨数为吨，丙仓库原来的存货吨数为吨，根据题意列出一元一次方程，解方程即可求解． 【详解】解：∵甲乙两仓库存货吨数比为 ，乙丙两仓库存货吨数比为 ，即甲乙丙仓库的存货吨数比为， ∴设甲仓库原来存货吨数是吨，则乙仓库原来的存货吨数为吨，丙仓库原来的存货吨数为吨， 根据题意得， 解得：， ∴甲仓库原来存货吨数是吨， 答：甲仓库原来存货 吨． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键． 【易错必刷十九 日历问题】（共3小题） 1．（23-24七年级上·山西临汾·期末）如图是某年1月份的日历表，在此表上可以用正方形圈出3×3个位置的9个数（如3，4，5，10，11，12，17，18，19），若圈出的9个数中，最大数与最小数的和为42，则这9个数的和为（    ） A．69 B．207 C．84 D．189 【答案】D 【分析】本题考查一元一次方程的应用（日历问题），由日历表可知，圈出的9个数中，最大数与最小数的差总为16，故圈出的最小数为x，则圈出的最大数为；接下来根据圈出的9个数中最大数与最小数的和为42可列方程，求解即可得到圈出最小数；此时再根据圈出的9个数中，每一行相邻两数相差1，每一列相邻两数相差7即可写出这9个数，再求和即可． 【详解】解：设圈出的最小数为x，则圈出的最大数为， 由题意得，， 解得， 故圈出的最小的三个数为13，14，15， 下面一行的数分别比上面三个数大7，故为20，21，22， 第三行的数分别比上一行三个数大7，故为27，28，29， 圈出的这9个数的和为：． 故选D． 2．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在一张普通的月历中，任意圈出一竖列上的相邻的三个数，用方程的思想来研究，中间日期数为 时，三个日期数之和为69． 【答案】23 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意；设中间日期为x，则跟它相邻的两个数分别为和，然后根据题意可列方程进行求解． 【详解】解：设中间日期为x，则跟它相邻的两个数分别为和，由题意得： 解得：； 故答案为：23． 3．（23-24七年级上·吉林·开学考试）将整数1，2，3，…，2009按下列方式排列成数表，用斜十字框“”框出任意的5个数（如图），如果用，，，，（处于斜十字中心）表示类似“”形框中的5个数． (1)记，若最小，那么______，若S最大，那么______； (2)用等式表示，，，与之间的关系：______________； (3)若，求的值； (4)框出的五个数中，，，，的和能等于308吗？若能，求出的值；若不能，请说明理由． 【答案】(1)9,2001 (2) (3)506 (4)四数的和不能为308． 【分析】本题考查了列代数式的应用，并考查了学生的阅读理解及总结规律的能力，是一道综合性的题目． （1）当，S取最小值，当时，S取得最大值； （2）根据图中关系，可知，即可求解； （3）由（2）题可知，求m的值即可； （4）同（3）理解得m的值，注意m不能为四个边上的任一数． 【详解】（1）解：由图中关系可得：当，S取最小值，； 当时，S取得最大值，． （2）因为每排为7个数，m与上列正对的数表示为，所以可得与上列正对数相邻数的表示方法为；同理m与下列正对的数差为，即可得与下列正对数相邻数的表示方法． ∴ （3）由（2）题可知： ∴，解得 （4）由（2）题可知： ∴，解得 ∵m为7的倍数时在最右列，故不符合要求，所以四数的和不能为308． 【易错必刷二十 古代问题】（共3小题） 1．（23-24七年级上·山东临沂·开学考试）我国古代数学名著《张邱建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗．今持粟三斛，得酒六斗，问清、醑酒各几何？”意思是：现在一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值4斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了6斗酒，问清、醑酒各几斗？如果设醑酒x斗，那么可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程．设醑酒斗，根据“拿30斗谷子，共换了6斗酒”，即可列出相应的方程． 【详解】解：设醑酒斗，则清酒斗， 由题意可得：， 故选：B． 2．（23-24七年级上·山西大同·阶段练习）据我国古代《易经》记载，远古时期人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图，一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结，满五进一，用来记录采集到的野果的个数．她一共采集到了38个野果，则在第2根绳子上的打结数是 个． 【答案】2 【分析】本题主要考查一元一次方程的实际应用，本题是以古代“结绳计数”为背景，按满五进一计数，运用了类比的方法，根据图中的数学列式计算，设在第2根绳子上的打结数是x，根据满五进一列出方程，然后求解即可得出答案． 【详解】解：设在第2根绳子上的打结数是x， 根据题意得：， 解得：， 故答案为：2． 3．（2024·安徽合肥·模拟预测）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作之一，书中记载：“今有人共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三，问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出五钱，还差四十五钱；若每人出七钱，还差三钱．问合伙人数和羊价各是多少？ 【答案】21人，150元 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，找准等量关系、正确列出一元一次方程是解题的关键． 设合伙人数为x,根据“若每人出五钱，还差四十五钱；若每人出七钱，还差三钱”， 即可得出关于x的一元一次方程求解可得合伙人数，再将其代入计算即可求出羊价． 【详解】解：设合伙人数为x, 依题意得：，解得：， 则． 答：合伙人数为21，羊价为150钱． 【易错必刷二十一 一元一次方程的含参问题】（共3小题） 1．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知关于的方程的解是，则的值为（    ） A． B．3 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查方程的解，解一元一次方程． 把代入方程，得到关于a的方程，求解即可． 【详解】解：∵关于的方程的解是， ∴， 解得． 故选：B 2．（23-24七年级上·贵州铜仁·期末）已知是方程解，则 ． 【答案】 【分析】把解代入方程，求得a值即可． 本题考查了一元一次方程的解即使得方程左右两边相等的未知数的值，熟练掌握方程的解是解题的关键． 【详解】解：∵是方程解， ∴, 解得， 故答案为：． 3．（23-24七年级上·四川宜宾·阶段练习）若代数式的值比的值大3，求a的值， 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，根据题意可得方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：由题意得，， 去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得： 解得：． 【易错必刷二十二 一元一次方程的新定义问题】（共3小题） 1．（23-24七年级上·湖南衡阳·阶段练习）定义运算“*”，其规则为，则方程的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，根据新定义可得方程，解方程即可得到答案． 【详解】解；∵， ∴， 解得， 故选：C． 2．（23-24七年级上·江苏扬州·期中）我们定义一种新的运算：，其中等号右边的运算为正常的加减乘除运算，例如 ． (1)在上述运算法则下， ． (2)在上述运算法则下，若，则 ． (3)在上述运算法则下，若不论取何值时，等式总成立，则的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了解一元一次方程，有理数的混合运算； （1）先根据已知条件中的新定义，把*写成有理数混合运算的算式，按照有理数混合运算法则进行计算即可． （2）根据运算定义列出一元一次方程并求解． （3）先根据新定义，求出*再根据不论取何值时，等式*总成立，得到，然后分解因式，列出关于的方程，求出即可． 【详解】解：（1）*， * ， 故答案为：． （2）解：由题意得，， 解得， 故答案为：． （3）解：*， * ， 不论取何值时，等式*总成立， ， ， ， ， ， 故答案为：． 3．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知a、b为有理数，且，若关于x的一元一次方程的解为，则此方程为“合并式方程”．例如：，∴此方程为“合并式方程”，请根据上述定义解答下列问题： (1)一元一次方程是否是“合并式方程”？并说明理由； (2)若关于x的一元一次方程是“合并式方程”，且它的解为，求a、b的值． 【答案】(1)不是合并式方程，理由见解析； (2)． 【分析】（1）根据“合并式方程”的定义进行计算即可； （2）由“合并式方程”的定义可得，解方程组即可． 本题考查一元一次方程的解，解一元一次方程，已知式子的值求代数值的值，理解一元一次方程的解的定义以及“合并式方程”的定义是解决问题的关键． 【详解】（1）解：依题意，一元一次方程的解为， 而， ∴一元一次方程不是“合并式方程”； （2）解： 关于的一元一次方程是“合并式方程”，且它的解为， ， 即， ∵，它的解为， ∴ 把代入 得 解得， 再把代入 解得， 答：． 学科网（北京）股份有限公司 $$