专题03 用一元一次方程解决问题重难点题型专训（16大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年七年级数学上册重难点专题提升精讲精练 （湘教版2024）

专题03 用一元一次方程解决问题重难点题型专训（16大题型+15道拓展培优） 题型一 行程问题 题型二 配套问题 题型三 工程问题 题型四 销售盈亏问题 题型五 比赛积分问题 题型六 方案选择问题 题型七 数字问题 题型八 几何问题 题型九 和差倍分问题 题型十 电费和水费问题 题型十一 比例分配问题 题型十二 日历问题 题型十三 古代问题 题型十四 其他问题 题型十五 一元一次方程与数轴 题型十六 一元一次方程应用综合 知识点一、用一元一次方程解决问题 1. 列一元一次方程解应用题的一般步骤 （1） 审：弄清题意和题目中的数量关系。 （2） 设：用字母表示题目中的一个未知量。 （3） 找：找出能够表示应用题全部含义的一个相等关系。 （4） 列：根据这个相等关系列出方程。 （5） 解：解所列的方程，求出未知数的值。 （6） 验：检验方程的解是否符合问题的实际意义。 （7） 答：写出答案。 2．设未知数的三种方法： （1） 直接设未知数：题目求什么就设什么为未知数。 （2） 间接设未知数：对于一些应用题，如果直接设所求的量为未知数，可能不容易列方程，这时可以间接地设一个或几个与所求的量有关系的量作为未知数，进而求出所求的量。 （3） 设辅助未知数：如果前两种方法都行不通，便可设某个量为辅助未知数，辅助未知数仅作为题目中量与量之间关系的一种桥梁，一般情况下，解方程时不需要求出这个量。 一元一次方程应用题的常见类型 类型 内容 题中涉及的数量关系及公式 等量关系 注意事项 和、差、倍、分 问题 增长量=原有量×增长率 现有量=原有量增长量 现有量=原有量－降低量 由题可知 弄清“倍数”关系及“多”“少”关系等 行 程 问 题 相遇问题 路程=速度×时间 时间=路程÷速度 速度=路程÷时间 快车行驶路程+慢车行驶路程=原距离 相向而行，注意出发时间、 地点 追及问题 快车行驶路程-慢车行驶距离=原距离 同向而行，注意出发时间、 地点 调配问题 从调配后的数量关系中找等量关系 调配对象流动的方向和数量 工程问题 工作量=工作效率×工作时间 工作效率=工作量÷工作时间 工作时间=工作量÷工作效率 两个或几个工作效率不同的对象所完成的工作量的和等于总工作量 一般情况下，把总工作量设为1 销售打折问题 商品利润=售价-进价（成本价） 由题可知 打几折就是按售价的十分之几销售 数字问题（包括日历中的数字规律） 设、分别为一个两位数的个位、十位上的数字，则这个两位数可表示为 由题可知 ①对于日历中的数字问题要弄清日历中的数字规律； ②设间接未知数 阶梯付费问题 由题可知 注意付费特点是阶梯式的 方案选择问题 由题可知 方案选择问题一般比较之后选最优的方案。 【经典例题一 行程问题】 【例1】（23-24七年级上·河南郑州·开学考试）甲、乙两车分别从、两地相对开出，甲车与乙车的速度比是，相遇后两车继续前行，这时乙车将速度提高了，当甲车到达地时，乙车距地还有千米，、两地相距多少千米？ 1．（23-24七年级上·江苏淮安·开学考试）某通讯员开车从地到地取一份重要文件，到了地立刻按原路返回地，这样往返共用小时．已知去时每小时行63千米，是返回时速度的．两地相距多少千米？ 2．（23-24七年级上·广西桂林·开学考试）小海同学在校运动会米赛跑中，先以6米/秒的速度跑完大部分赛程，最后以8米/秒的速度冲刺到达终点，成绩为65秒．请问： (1)小北同学冲刺的时间有多长？ (2)如果他想把成绩提高1秒（即减少1秒钟），他需要提前几秒开始最后冲刺？ 3．（23-24七年级上·陕西西安·期末）如图，长方形中，，点从点出发，沿匀速运动；点从点出发，沿匀速运动．设点的速度为，两点同时出发，在点处首次相遇． (1)则点的速度为______（用含的代数式表示）； (2)若在点处首次相遇后，点的运动速度每秒提高了，并沿的路径匀速运动；点保持速度不变，沿路径匀速运动，后两点在长方形某一边上的点处第二次相遇后停止运动，求点原来的速度． (3)判断（2）中此时点的位置并求线段的长． 【经典例题二 配套问题】 【例2】（23-24七年级上·陕西西安·期末）某家具厂生产方桌，按设计立方米木材可制作个桌面或个桌腿，一张方桌按个桌面条桌腿配套，现有立方米木材，怎样分配木材才能使生产的桌面和桌腿恰好配套，一共可生产多少张方桌？ 1．（23-24七年级上·山东滨州·期末）某家具厂专业生产学生座椅，其中每把学生座椅由4条椅腿、4根撑杆、2个扶手、1个椅面和1个靠背组成．根据实际生产能力，每个工人每天能够生产椅腿20条，或撑杆40根，或扶手30个，或椅面30个，或靠背30个． (1)若安排35名工人专门生产椅腿和椅面，那么应该安排多少人生产椅腿，才能使每天生产出的椅腿和椅面正好配套？ (2)若安排全厂91名工人生产这种学生座椅，那么应该安排多少人生产椅腿，才能使每天生产出的椅腿、撑杆、扶手、椅面和靠背正好配套？ 2．（23-24七年级上·辽宁大连·期末）某车间生产一批螺钉和螺母，由一个人操作机器做需要完成．现计划由一部分人先做，然后增加人与他们一起做，完成这项工作．假设这些人的工作效率相同． (1)求具体应先安排多少人工作？ (2)在增加人一起工作后，若每人每天使用机器可以生产个螺钉或个螺母，个螺钉需要配个螺母成为一个完整的产品，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，应安排生产螺钉和螺母的工人各多少名？ (3)若该车间有台型和台型机器可以生产这种产品，每台型机器比型机器一天多生产个产品．已知台型机器一天的产品装满箱后还剩个，台型机器一天的产品装满箱后还剩个，且每箱装的产品数相同．某天有台型机器和台型机器同时开工，请问一天生产的产品能否恰好装满箱．若能，请计算出的值；若不能，请说明理由． 3．（23-24七年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）东胜区某中学七年级数学社团，在社团活动中用所学的数学知识， 尝试解决问题． 制作横式无盖长方体纸盒 活动 如右图， 用3个长方形纸板和2个正方形纸板， 可以制作1个横式无盖长方体纸盒． 材料 现有 36张硬纸板，可以制作需要的长方形纸板和正方形纸板． 说明 为了提高原材料的使用率，用每张硬纸板制作3个长方形纸板，或者制作6个正方形纸板．这样利用原材料，可以将制作过程中的损耗降低到忽略不计． 问题解决 问题 1 用多少张硬纸板制作长方形纸板，多少张硬纸板制作正方形纸板，才能正好配套？ 一共可以制作出多少个横式无盖长方体纸盒？ 问题 2 若制成的每个横式无盖长方体纸盒的长为18厘米，宽为9厘米，高为9厘米，求每个横式无盖长方体纸盒的表面积是多少平方厘米？ 【经典例题三 工程问题】 【例3】（23-24七年级上·全国·课后作业）修一条公路，甲队单独修需要10天完成，乙队单独修需要12天完成，丙队单独修需要15天完成，现在先由甲队单独修天，再由乙队接着修，最后还剩下一段路，由三队合修2天才完成任务，乙队在整个修路工程中工作了多少天？ 1．（2024七年级上·全国·专题练习）一个蓄水池装有甲、乙两个进水管和丙一个出水管，单独开放甲管可注满一池水，单独开放乙管可注满一池水，单独开放丙管可放尽一池水 (1)若同时开放甲、乙、丙三个水管，几小时可注满水池？ (2)若甲管先开放，而后同时开放乙、丙两个水管，则共需几小时可注满水池？ 2．（23-24七年级上·福建福州·期末）有一中学原计划加工一批校服，现有甲、乙两个工厂都想加工这批校服，已知甲工厂每天能加工这种校服15件，乙工厂每天能加工这种校服20件．且单独加工这批校服甲厂比乙厂要多用15天．在加工过程中，学校需付甲厂每天费用100元、付乙厂每天费用120元． (1)求这批校服共有多少件？ (2)为了尽快完成这批校服，先由甲、乙两厂按原生产速度合作一段时间后，甲工厂停工了，而乙工厂每天的生产速度也提高25%，乙工厂单独完成剩余部分．且乙工厂的全部工作时间是甲工厂工作时间的2倍，求乙工厂共加工多少天？ (3)经学校研究制定如下方案：方案一：由甲厂单独完成；方案二：由乙厂单独完成；方案三：按（2）问方式完成；并且每种方案在加工过程中，每个工厂需要一名工程师进行技术指导，并由学校提供每天10元的午餐补助费，请你通过计算帮学校选择一种既省时又省钱的加工方案． 3．（23-24七年级上·江苏南通·期末）为推进全民健身设施建设，某体育中心准备改扩建一块运动场地。现有甲、乙两个工程队参与施工，具体信息如下， 信息一： 工程队 每天施工面积（单位：） 每天施工面积（单位：元） 甲 3600 乙 x 2200 信息二： 甲工程队3天的施工面积比乙工程队4天的施工面积多． (1)求x的值； (2)该工程计划先由甲工程队单独施工若干天，再由乙工程队单独继续施工，两队共施工22天，且完成的施工面积为．该段时间内体育中心需要支付多少施工费用？ 【经典例题四 销售盈亏问题】 【例4】（23-24七年级上·浙江宁波·开学考试）商品甲的成本是定价的 ；商品乙的定价是275元，成本是220元．现在商店把1件商品甲与2件商品乙配套出售，并且按它们的定价之和的定价出售．这样每套可获得利润80元．问商品甲的成本是多少元？ 1．（23-24七年级上·辽宁铁岭·期末）一家商店因换季将某种服装打折销售，如果每件服装按标价的折出售，将亏本元，如果按标价的折出售，将盈利元． (1)每件服装的标价是多少元？ (2)打几折销售能恰好保证利润率为？ 2．（23-24七年级上·贵州遵义·期末）近年来，随着人们对健康生活的追求，体育健身越来越受到人们的喜爱和追捧，某体育器材专卖店的、两款体育器材非常畅销，进货价和销售价如下表： 款器材 款器材 进货价/（元/个） 销售价/（元/个） (1)该专卖店用元购进了，两款器材共个，求两款器材分别购进多少个？ (2)该专卖店进货时，A款器材的进货量是款器材的一半，将进货的体育器材全部售出，共获利润元．求两款器材分别购进多少个？ 3．（23-24七年级上·重庆大渡口·期中）某商店用70000元的资金购进A，B两种商品共600件． 类型 进价（元/件） 标价（元/件） A 150 220 B 100 150 (1)求A，B商品购进的数量 (2)商店为了促销，决定推出优惠活动，A商品在标价的基础上打8折，B商品在标价的基础上也打折．当600件商品销售完时，商店获得的利润为19200元，求B商品在标价的基础上打了几折？ 【经典例题五 比赛积分问题】 【例5】（23-24七年级上·广东广州·开学考试）西班牙足球甲级联赛积分规则为：胜一场积分，平一场积分，负一场积分．巴萨在赛季前场比赛中共积分位列积分榜首位，其中平的场次数与负的场次数相同，求该球队获胜场次数． 1．（23-24七年级上·福建厦门·期末）某校七年级组织知识竞赛，共设25道选择题，各题分值相同，每题必答．表一记录了其中3个参赛者的得分情况．若另一参赛者李强得102分，求他答对了几道题？请用一元一次方程的知识解决． 表一 参赛者 答对题数 答错题数 得分 王伟 25 0 150 张倩 24 1 142 陈宇 15 10 70 2．（23-24七年级上·广东中山·期中）列二元一次方程组解应用题： 为“庆祝建党100周年”，中山市纪中三鑫双语学校积极开展各项活动.“学习强国知识竞赛”有20道必答题，每一题答对得10分，答错或不答都扣5分；3道抢答题，每一题抢答对得10分，抢答错扣20分，抢答不到不得分也不扣分.甲乙两队决赛，甲队必答题得了170分，乙队必答题只答错了1题． (1)甲队必答题答对了多少道?乙队必答题得了多少分? (2)抢答赛中，乙队抢答对了第1题，又抢到了第2题，但还没作答时，甲队啦啦队队员小黄说：“我们甲队输了!”小汪说：“小黄的话不一定对!”请你举一例说明“小黄的话”有何不对． 3．（23-24七年级上·福建厦门·期中）某次篮球联赛积分榜如下表所示： 队名 比赛场次 胜场 负场 积分 前进 14 10 4 24 东方 14 9 5 23 远大 14 7 7 21 恒大 14 4 10 18 蓝天 14 0 14 14 (1)通过观察积分表，填空：胜一场得 分，负一场得 分． (2)雄鹰队也参加了本次篮球联赛，获得积分25分，问雄鹰队的胜、负场次情况． (3)联赛中还有一个队伍，队长电话向当地组织者汇报，说队伍在比赛中获得胜场和负场的积分一样多，请你通过数学计算判断该队长是否说谎． 【经典例题六 方案选择问题】 【例6】（23-24七年级上·江苏盐城·期末）2024年春节来临之际，亭湖消费市场活力彭湃．我区某商场为回馈广大消费者在迎春节期间举行促销活动，有以下两种优惠方案：①购物金额每满200元减20元；②购物金额打95折． 某人购物金额超过400元不足600元． 通过计算发现，选择方案①比选择方案②便宜12元，那么这个人购物的金额是多少元？ 1．（23-24七年级上·陕西渭南·期末）某旅游团名成人和5名学生去景区游玩，已知该景区门票的售价为50元/人，“元旦”期间该景区对游客优惠方案如下（只能选择其中一种方案）： 甲方案：学生免门票，成人门票按七五折收费； 乙方案：学生和成人门票均按七折收费． (1)分别用含的代数式表示该旅游团采用甲、乙两种方案购买门票的费用； (2)当为何值时，该旅游团采用甲、乙两种方案购买门票的费用相同？ 2．（23-24七年级上·河北保定·期末）已知某超市酸奶的定价为20元/箱，玻璃杯的定价为5元/个．该超市酸奶区推出了两种优惠促销方案，如下表所示，现某顾客需要购买40箱酸奶和x个玻璃杯． 方案一 酸奶和玻璃杯一律按九折优惠 方案二 购买一箱酸奶，赠送一个玻璃杯 (1)请用含x的式子分别表示按方案一、方案二购买时所需的费用； (2)当时，请通过计算说明该顾客按哪个方案购买更省钱； (3)当购买多少个玻璃杯时，上述这两种方案的花费一样多？ 3．（23-24七年级上·江苏扬州·期末）列方程解应用题：一商场经销的A、B两种商品，A种商品每件进价40元；B种商品每件进价50元． (1)若该商场同时购进A、B两种商品共50件，恰好总进价为2100元，求购进A、B两种商品各多少件？ (2)在“春节”期间，该商场只对A、B两种商品进行如下的优惠促销活动： 打折前一次性购物总金额 优惠措施 少于等于450元 不优惠 超过450元，但不超过600元 按总售价打八折 超过600元 其中600元部分七折优惠，超过600元的部分打六折优惠 按上述优惠条件，若小华一次性购买A、B商品实际付款456元，求若没有优惠促销，小华在该商场购买同样商品要付多少元？ 【经典例题七 数字问题】 【例7】（2024·福建南平·一模）我们知道，反过来，那么是否也能写成分数的形式呢？小明的解答如下：设，则，于是得，解方程得，所以． (1)填空： ； ； ； (2)将循环小数写成分数的形式． 1．（23-24七年级上·湖北武汉·阶段练习）观察下列三列数： 、、、、、、……① 、、、、、、……② 、、、、、、……③ (1)第①行第10个数是 ，第②行第10个数是 ； (2)在②行中，是否存在三个连续数，其和为83？若存在，求这三个数；若不存在，说明理由； (3)若在每行取第k个数，这三个数的和正好为，求k的值． 2．（23-24七年级上·山东济南·期末）有一种特殊的三角形幻方，是由4个较小的三角形和3个较大的三角形构成，且满足每个三角形三个顶点处的数字之和都相等．图1是这种特殊的三角形幻方，中间较小三角形三个顶点处的数字之和为，该图中每个三角形三个顶点处的数字之和都为15．图2也是这种特殊的三角形幻方，请分别写出圈内字母所代表的数字．   _________； _________； _________； _________； _________． 3．（23-24七年级上·山东聊城·期末）阅读下面的材料： 按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．排在第一位的数称为第一项，记为，排在第二位的数称为第二项，记为，依次类推，排在第位的数称为第项，记为．所以，数列的一般形式可以写成：． 一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用表示．如：数列1，3，5，7，…为等差数列，其中，公差为． 根据以上材料，解答下列问题： (1)等差数列5，10，15，…的公差为________，第5项是________． (2)如果一个数列，是等差数列，且公差为，那么根据定义可得到： ． 所以： ， ， …… 由此，请你填空完成等差数列的通项公式：． (3)是不是等差数列，，…的项？如果是，是第几项？ 【经典例题八 几何问题】 【例8】（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）数轴上有，，三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“三倍点”．例如，数轴上点，，所表示的数分别为，，，此时点是点，的“三倍点”． (1)点表示的数是，点表示的数是，下列各数，，，所对应的点分别是，，，，其中是点，的“三倍点”的是　　； (2)点表示的数是，点表示的数是，为数轴上一个动点，若点是点，的“三倍点”，求出点表示的数． 1．（23-24七年级上·河南郑州·期末）好朋友给小亮过生日，如图，现有底面直径为，高为的圆柱形容器，里面装满了果汁，小亮要把果汁分装到底面直径为的个小圆柱形杯子里（每个杯子刚好装满），与好友分享，请你帮他计算杯子的高度． 2．（24-25七年级上·河南周口·阶段练习）如图，在中，，，，，为的高． (1)求的面积和的长； (2)若点从点出发，以的速度沿边、运动，到达点后即刻停止运动．设运动时间为，则当为何值时，的面积为？ 3．（2024七年级上·全国·专题练习）已知数轴上两点、对应的数分别为，12． (1)、两点间的距离为 ． (2)如图①，如果点沿线段自点向点以每秒2个单位长度的速度运动，同时点沿线段自点向点以每秒4个单位长度的速度运动，运动时间为秒． ①运动秒时，点对应的数为 ，点对应的数为 ；（用含的代数式表示） ②当、两点相遇时，点在数轴上对应的数是 ； ③求、相距6个单位长度时的值； (3)如图②，若点在数轴上，点在数轴上方，且，，现点绕着点以每秒转的速度顺时针旋转（一周后停止），同时点沿射线自点向点运动．当、两点相遇时，直接写出点的运动速度． 【经典例题九 和差倍分问题】 【例9】（23-24七年级上·上海长宁·期末）小红看一本书，第一天看了全书的，第二天看了全书的，这时还剩51页没看，这本书一共有多少页？ 1．（2024七年级·全国·竞赛）一个有弹性的小球从点下落到离地面高度为1米的桌面上点，弹起到点后又下落到地面上点，再次弹起到点．已知每次弹起的高度是上一次下落高度的，且两点高度之差是1.25米．求点的高度． 2．（23-24七年级上·山东潍坊·期末）某工厂要加工一批产品．原计划每天加工产品100件，就可以在预定时间内完成任务．实际按原计划加工两天后，提高了加工速度，在成本不变的情况下，平均每天比原计划多加工了20件，结果提前3天完成了任务． (1)这批产品一共多少件？ (2)若这批产品销售时按成本价提高40%后进行标价，按标价的八折进行销售，则这批产品总获利为24000元，求每件产品的成本价是多少元？ 3．（23-24七年级上·湖北襄阳·期末）某工厂生产大小两种书包，每个小书包的成本比大书包的成本少10元，而它们的售后利润相同．其中，每个小书包的盈利率为，每个大书包的盈利率为． (1)求两种书包的售价； (2)工厂接到一批紧急订单，要按期生产大小两种书包共7万个，已知每6名工人能按期生产一万个小书包，每10名工人能按期生产一万个大书包．通过调度，安排50名工人按期完成了两种书包的生产任务． ①生产大小书包的工人各多少人？ ②由于该订单数量较大，工厂将大小书包的售价均打九折，请直接写出完成该订单后工厂获得的总利润是多少？ 【经典例题十 电费和水费问题】 【例10】（24-25七年级上·江苏淮安·开学考试）我市电费实行阶梯式收费，标准如下： 用电量/(千瓦时/户) 价格/(元/千瓦时) 200千瓦时以内 0.55 千瓦时 0.6 400千瓦时以上 0.8 (1)小虎家三月份用电140千瓦时，应交电费多少元？丽丽家三月份用电260千瓦时，应交电费多少元？ (2)聪聪家五月份用电量为千瓦时，若在200-400之间时，应交电费______元(用含有的式子表示)；若时，则聪聪家应交电费______元(用含有的式子表示) (3)某超市三月份交电费390元，该超市三月份用电多少千瓦时？ 1．（23-24七年级上·山东济南·期中）某地政府为鼓励节约用电，采用阶梯式电价计量标准．根据每户居民每月的用电量（用电量均为整数，单位：千瓦·时）分为三档进行收费（第一档：月用电量不高于240千瓦·时．第二档： 月用电量为千瓦·时，第三档： 月用电量超过 400 千瓦·时）．设居民每月应交电费y（元） ，用电量为x（千瓦·时） 用电量（千瓦·时） 收费（元） 不超过 240 千瓦·时 每千瓦·时 元 千瓦·时 每千瓦·时 元 超过 400千瓦·时 超过的部分每千瓦·时 元 (1)①每月用电量不超过240千瓦·时，y= ； ②每月用电量超过 400千瓦·时，y= ． (2)若某户居民用电量为210千瓦·时，则应交电费多少元? (3)若某户居民某月交费210元，则该户居民用电多少千瓦·时? 2．（23-24七年级上·江苏徐州·阶段练习）为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控的手段达到节水的目的，该市自来水收费的价目表如下表（注：水费按月份结算，表示立方米）： 价目表 每月用水量 单价 不超出的部分 2元 超出不超出的部分 4元 超出的部分 8元 请根据上表的内容解答下列问题： (1)填空：若该户居民2月份用水，则应收水费_______元；若该户居民3月份用水，则应收水费__________元． (2)若该户居民5月份的水费为36元，则5月份的用水量是多少立方米？ 3．（23-24七年级上·江苏盐城·期末）目前，某市市区居民用管道天然气继续执行阶梯价格制度．各阶梯价格水平如下： 一户居民一年用气量（单位：立方米） 电价（单位：元/立方米） 第档 不超过立方米的部分 第档 立方米以上至立方米（含）部分 第档 立方米以上的部分 (1)小明家年用气立方米，小明家年应缴费___________元． (2)若某户年用气量为立方米，当时，则应缴费___________元（用含的代数式表示）． (3)按照此方案结算，某户年实际缴纳燃气费元，求该户年实际用气量为多少立方米？ 【经典例题十一 比例分配问题】 【例11】（23-24七年级上·上海·期中）六年级和七年级分别有192人和133人，现在需要从两个年级选出133人参加“读书节”活动，并且要使六年级，七年级剩余学生数之比为2：1，问应从六年级，七年级各选出多少人？ 1．（23-24七年级上·湖南永州·期末）新冠疫情期间，甲、乙、丙三家公司为抗击疫情捐款，他们共捐款216万元，所捐款数的比为3：4：5，问甲、乙、丙三家公司各捐款多少万元？ 2．（23-24七年级上·江苏镇江·期末）下面是某校七年级数学课外活动小组的两位同学对话，根据对话内容求这个课外活动小组现在的人数． 甲：我们女生人数占现在全组人数的一半 乙：还有6位男生将加入我们小组，他们全部加入后男生人数将占全组人数的． 3．（23-24七年级上·山东济宁·期末）甲、乙、丙三人共同出资做生意，甲投资了万元，乙投资了万元，丙投资了万元，年终时，共赚得利润万元，甲、乙、丙三人按比例进行分配，各可以分得多少利润？ 【经典例题十二 日历问题】 【例12】（23-24七年级上·广东广州·期中）将正整数，排成如图的数表，用图中所示的方框出9个数，不改变方框的大小，把方框任意移动． 第一列 第二列 第三列 第四列 第五列 第六列 第一行 1 2 3 4 5 6 第二行 7 8 9 10 11 12 第三行 13 14 15 16 17 18 第四行 19 20 21 22 23 24 第五行 25 26 27 28 29 30 …… …… (1)若方框正中心数为17，则方框中的9个数的和为 ． (2)设方框正中心数为，则方框中的9个数的和与方框正中心的数有什么关系？为什么？ (3)方框中9个数的和可能是3330吗？若可能，请求出方框正中心数落在第几行，第几列？若不可能，说说你的理由． 1．（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）月历中的数学：观察如图所示的2020年11月的月历，解答下列问题： (1)用形如□的长方形框去框月历里同一行的4个连续的数． ①若框里4个数中的最小数记为，用含的代数式表示这4个数的和为_____，这4个数的和的最大值是_____． ②若框里4个数的和是66，则这4个数分别是多少？ (2)用一个的长方形框去任意框12个数（如图），框里的12个数的和能等于222吗？能等于246吗？若能，请求出框里的12个数中的最小数；若不能，请说明理由． 2．（2024七年级上·江苏·专题练习）如图是年月份的月历，现用十字框任意框出个数，如： (1)十字框框出的个数与十字框中间的数有什么关系？ (2)如果十字框框出的个数之和为，那么十字框中间的数是多少？ (3)十字框框出的个数之和可以是吗？ 3．（24-25七年级上·江苏·假期作业）（1）吉姆同学在某月的日历上圈出个数，正方形的方框内的四个数的和是，那么第一个数是 ； （2）玛丽也在上面的日历上圈出个数，斜框内的四个数的和是，则它们分别是 ； （3）莉莉也在日历上圈出个数，呈十字框形，它们的和是，则中间的数是 ； （4）某月有个星期日的和是，则这个月中最后一个星期日是 号； （5）若干个偶数按每行个数排成下图： ①图中方框内的个数的和与中间的数有什么关系 ； ②汤姆所画的斜框内个数的和为，则斜框的中间一个数是 ； ③托马斯也画了一个斜框，斜框内个数的和为，则斜框的中间一个数是 ． 【经典例题十三 古代问题】 【例13】（23-24七年级上·福建厦门·阶段练习）我国古代数学著作《增删算法统宗》中记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托；折回索子去量竿，却比竿子短一托．”其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．问竿和绳索的长分别是多少尺？ 1．（23-24·甘肃·一模）中国人民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中《孙子算经》中有个问题，原文：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？ 2．（23-24七年级上·全国·单元测试）某数学兴趣小组研究我国古代《算法统宗》里这样一首诗：我问开店李三公，众客都来到店中，房客共六三，大比小多二一．后半部分的意思是：房客共有63人，大人比小孩多21人． (1)求该房客大人，小孩各有多少人？ (2)假设店主李三公推出两种订房方案： 方案一：房客超过40人，超过的按原价八折优惠， 方案二：大人原价，小孩半价． 若诗中“众客”再次一起入住，他们选择哪种方案订房更合算？ 3．（2024·陕西汉中·二模）《张丘建算经》是一部数学问题集，其中有一个在数学史上非常著名的“百鸡问题”．现稍作变形如下：每一只母鸡值三文钱，每一只公鸡值五文钱，每三只小鸡值一文钱．现在用一百文钱买一百只鸡，公鸡的数量是母鸡的3倍，问这一百只鸡中，公鸡、母鸡、小鸡各有多少只？ 【经典例题十四 其他问题】 【例14】（24-25七年级上·全国·期末）某文艺团体开展文艺演出，为“乡村振兴工程”募捐，已知成人票每张40元，学生票每张25元． (1)某场演出共售出1000张票，筹得票款34750元．问：成人票与学生票各售出多少张？ (2)已知某单位按（1）中成人及学生数购票，与演出组织单位达成票价打折的优惠方案，共少付票款6975元．若成人票打九折，则学生票打几折？ 1．（24-25七年级上·全国·期中）小华坐公交车要投两元钱，他发现刷学生卡可以省钱，于是在公交总站办理了学生卡，充值了元，如果小华乘车的次数用表示，则记录他每次乘车后的余额（元）如下表： 次数（次） 余额（元） … … (1)写出用乘车的次数表示余额的式子． (2)利用上式计算乘了次车后，余额为多少？ (3)小华最多能乘几次车？ 2．（24-25七年级上·江苏淮安·阶段练习）将正方形（如图1）作如下划分，第次划分：分别连接正方形对边的中点（如图），得线段和，它们交于点，此时图中共有个正方形；第次划分：将图左上角正方形再划分，得图，则图中共有个正方形； (1)若把左上角的正方形依次划分下去，则第次划分后，图中共有______个正方形． (2)继续划分下去，第次划分后图中共有______个正方形； (3)能否将正方形划分成有个正方形的图形？如果能，请算出是第几次划分，如果不能，需说明理由． 3．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在萧红中学的社团活动中，同学们利用天平和常见的物品探究等式的基本性质，现在每个小组有一架天平，和5克的砝码，如何称出一张卡片和一根吸管的重量呢？ 以下是笃行小组的实验记录： 实验准备：重量相同的卡片若干和重量相同的吸管若干 天平右边 天平左边 天平状态 记录1 4张卡个砝码 16根吸管 平衡 记录2 8张卡根吸管 5根吸管个5克砝 平衡 (1)设一张卡片重x克，则一根吸管重______克． (2)分别求一张卡片和一根吸管的重量各是多少？ (3)明辨小组根据笃行小组的实验结论提出这样的一个假设：在天平左边放上一个的砝码，再把若干卡片和若干吸管分别放在天平的两侧使天平处于平衡状态，此时吸管的数量是卡片的4倍．请用方程的知识进行判断，若假设不成立，请说明理由；若假设成立，请求出卡片的数量． 【经典例题十五 一元一次方程与数轴】 【例15】（24-25七年级上·四川绵阳·阶段练习）在数轴上若点A、点B表示的数分别为a、b，则A，B两点之间的距离．，线段AB的中点表示的数为． 如图，数轴上A点表示数a，B点表示数b，且a、b满足，点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒． (1)填空：______，______，线段AB的中点表示的数为______； (2)求当t为何值时，P、Q两点相遇，并写出相遇点所表示的数； (3)若点M为的中点，点N为的中点，点P，Q在运动过程中，线段的长度是否可以等于的两倍？若可以，求出t的值． 1．（23-24七年级上·浙江宁波·期中）【新知理解】如图①，点C在线段上，图中的三条线段、和．若其中一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段的“蓝青点”． （1）填空：线段的中点_________这条线段的“蓝青点”；（填“是”或“不是”） 【问题解决】（2）如图②，点A和B在数轴上表示的数分别是和40，点C是线段的“蓝青点”，求点C在数轴上表示的数． 【应用拓展】（3）在（2）的条件下，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿向点B匀速运动；动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿向点A匀速运动．点P、Q同时出发，当其中一点到达终点时，两个点运动同时停止，设运动的时间为t秒，当t为何值时，A、P、Q三点中，其中一点恰好是另外两点为端点的线段的“蓝青点”？（直接写出答案）．     2．（24-25七年级上·山东淄博·阶段练习）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： (1)数轴上表示4和1的两点之间的距离是________；数轴上表示和2两点之间的距离是________；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于．如数轴上数x与5两点之间的距离等于． (2)如果表示数a和的两点之间的距离是3，求a的值； (3)若数轴上表示数a的点位于与2之间，求的值； 3．（24-25七年级上·四川成都·阶段练习）在数轴上，若点C到点A的距离恰好是3，则称点C为点A的“幸福点”， 若点C到点A，B的距离之和为6，则称点C为点A，B的“幸福中心”． (1)如图1，点A表示的数是，则点A的“幸福点”C表示的数是______． (2)如图2，点A表示的数是，点B表示的数是4，点P表示的数是8，点Q从点P出发，以2单位/s的速度沿数轴向左运动，经过多少时间点Q是点A，B的“幸福中心”？ 【经典例题十六 一元一次方程应用综合】 【例16】（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）已知甲地到乙地的单程汽车票价为75元/人，春运期间，为了给国庆出游的旅客提供优惠，汽车客运站给出了如下优惠方案： 乘客 优惠方案 学生 凭学生证票价一律打六折； 非学生 10人以下（含 10人）没有优惠： 团购：超过10人，其中 10人按原价售票，超出部分每张票打八折． (1)若有6名学生乘客买票，则总票款为 元； (2)若15名非学生乘客采用团购方式买票，则总票款为 元； (3)一辆汽车共有50名乘客，其中非学生乘客若达到团购人数并按团购方式买票，已知该车乘客总票款为3000元，问：车上有学生乘客、非学生乘客各多少人？ 1．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）哈尔滨某食品加工厂，加工一种食品，销往大庆市和齐齐哈尔市，有新旧两种加工工艺． (1)如用旧工艺加工，则一天的废水排量要比环保限制的最大量还多：如用新工艺加工，则一天的废水排量要比环保限制的最大量少．新、旧工艺的废水排量之比为，两种工艺的一天废水排量各是多少？ (2)若用新工艺，每天加工的食品总量比旧工艺每天加工的食品总量多，已知旧工艺每天加工的食品总量是新工艺每天加工的食品总量的；求：若用新工艺加工一个月的食品总量是多少吨？（每个月按天计） (3)在（1）（2）的条件下，已知厂家将（2）中新工艺加工一个月的食品以每吨元的价格销往大庆市和齐齐哈尔市，已知这些加工食品的原材料费共为万元，选择铁路运输，在送货的过程中，列车先到大庆卸完一部分货后，再前往齐齐哈尔送货，送货列车的到达时间表如下所示：卸货的时间忽略不计；已知：哈尔滨与齐齐哈尔的距离为，哈尔滨到大庆的平均时速比大庆到齐齐哈尔的平均时速快，已知铁路运输的收费标准是：每吨每千米收费元；已知每吨污水的处理费是3元，这批食品全部售完后，仍可获利万，则销往大庆多少吨食品？ 地点 哈尔滨 大庆 齐齐哈尔 时间 2．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）希玥服装店销售一批服装，按照标价进行销售，在销售时发现服装标签被污渍遮盖了，销售员发现打95折比打8折多盈利15元钱； (1)每件服装标价多少元？ (2)该服装店打算在年前用30000购进同样服装进行售卖，服装厂原售价为80元一件，年前甲乙两服装厂同时搞促销活动，销售方案如下图所示，请问该服装店在甲乙哪个服装厂购进服装利润最高？ 甲服装厂 乙服装厂 订购超过100件，服装全部打95折，再赠一张50元的代金券，本次购物可抵现金使用．同时每100件，免费配赠35件同样价格的服装． 订购超过100件，服装全部打八折后再减4元，同时超过出300件服装，每件服装返款0.12元包装费． (3)在（2）的条件下，该服装店购进服装后打算在进价的基础上每件服装加价，进行销售，由于接近年底，销售可能滞销，因此预计全部进行销售的服装，会有需要降价以5折出售，该服装店要想获得利润14949元，需再次按活动价格购进该厂家服装，请计算出该服装店想获得预期利润，需要准备再次购进服装多少件？ 3．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，点，在数轴上分别位于原点的左右两边，点表示的数是，点表示的数是，且，满足．点、、是线段的四等分点，分别以线段、、为边向数轴的上方作正方形，正方形，正方形． (1)直接写出，的值： ， ； (2)如图1，若动点从点出发以每秒3个单位长度的速度沿折线运动，同时动点从点出发以每秒2个单位长度的速度沿折线运动，当点到达点时，，两点同时停止运动，设点的运动时间为，求线段时的值； (3)如图2，若动点从点出发以每秒4个单位长度的速度向数轴的正方向运动，当点到达点时立即以每秒2个单位长度的速度沿折线运动，点到达点的同时动点从点出发以每秒2个单位长度的速度向数轴的负方向运动，当点首次到达点后立即以每秒3个单位长度的速度在点和点之间往返运动，过动点作直线垂直，在运动过程中，直线与线段的交点为．当点第二次到达点时，两点同时停止运动．设点的运动时间为，直接写出线段时的值． 1．（24-25七年级上·湖南永州·阶段练习）如图，在中，，，，点是的中点，动点从点出发，以每秒个单位的速度沿运动．若设点运动的时间是，若的面积等于．那么值是（　　） A． B． C．或 D．不存在 2．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）某商人一次卖出两件商品，一件赚了，一件赔了，卖价都是480元，在这次买卖过程中，商人（    ） A．赚了40元 B．赔了40元 C．赔了100元 D．不赚不赔 3．（23-24七年级上·内蒙古呼和浩特·开学考试）《孙子算经》中有一道题，原文是：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车；若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人？设共有x人，则（   ） A． B． C． D． 4．（23-24·贵州六盘水·一模）如图，已知数轴上有三点A，B，C，，点A对应的数是，点B对应的数是，点C对应的数是21，则a的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 5．（23-24七年级上·上海青浦·期末）如图，机器人淘淘和巧巧分别站在边长为15米的正方形道路的顶点D、B处，他们开始各以每秒1米和每秒1.5 米的速度沿正方形道路按顺时针方向匀速行走．当淘淘和巧巧第一次都在正方形的同一顶点处时，经过了多少秒？（   ） A．30秒 B．60秒 C．90秒 D．120秒 6．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）王芳出生时父亲33岁，现在父亲的年龄是王芳年龄的4倍，王芳现在的年龄是 岁． 7．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）有理数都可以表示为（且不可约分）的形式，无限循环小数也可以写成这种形式，以为例：设，即，则，则有，可得，即，则 ． 8．（23-24七年级上·云南昆明·期末）如图所示，足球一般是由许多黑白相间的小皮块缝合而成的，黑块呈五边形，白块呈六边形，已知黑块有块，则白块有 块． 9．（23-24七年级上·四川成都·开学考试）某城市按以下规定收取水费，用水量如果不超过6吨，按每吨元收费；如果超过6吨，未超过的部分仍按每吨元收费，而超过的部分则按每吨2元收费．如果某用户5月份的水费为平均每吨元，那么该用户5月份应交水费 元． 10．（23-24七年级上·江苏南通·期末）《九章算术》中记载了这样一个数学问题：今有甲发长安，五日至齐；乙发齐，七日至长安．今乙发已先二日，甲仍发长安．问几何日相遇？译文：甲从长安出发，天到齐国；乙从齐国出发，天到长安．现乙先出发天，甲才从长安出发．问多久后甲乙相遇？若设乙出发天甲乙相遇，则可列方程为 ． 11．（23-24七年级上·湖南长沙·阶段练习）两个有理数在数轴上对应的点之间的距离可以用这两个数的差的绝对值表示：如图1，在数轴上有理数a对应的点为点A，有理数b对应的点为点B，A、B两点之间的距离表示为或，记为． (1)数轴上有理数与对应的两点之间的距离等于________； (2)如图2，点M，N，P是数轴上的三点，点M表示的数为4，点N表示的数为．若P从N点出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动，运动时间为t（单位：秒）． ①当点P在点M，N两点之间时，则________； ②请用含t的式子表示，并求出当时，对应的t值． ③若在P从N点出发的同时，Q从M点出发，以每秒1个单位长度的速度向右运动，请求出当t为何值时，N、P、Q中的某一个点到另外两点的距离之比为． 12．（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）月历中的数学：观察如图所示的2020年11月的月历，解答下列问题： (1)用形如□的长方形框去框月历里同一行的4个连续的数． ①若框里4个数中的最小数记为，用含的代数式表示这4个数的和为_____，这4个数的和的最大值是_____． ②若框里4个数的和是66，则这4个数分别是多少？ (2)用一个的长方形框去任意框12个数（如图），框里的12个数的和能等于222吗？能等于246吗？若能，请求出框里的12个数中的最小数；若不能，请说明理由． 13．（24-25七年级上·江西上饶·开学考试）一辆汽车原计划每小时行驶70千米，从甲地到乙地需要行驶6小时，实际上这辆汽车1.5小时就行驶了120千米，照这样的速度，从甲地到乙地实际上需要几小时？（分别用两种方法解答） 14．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）某公园有一处长方形空地如图1所示，它的长是10米，宽是长的．    (1)求长方形的宽； (2)为美化环境，现计划将大长方形内部建一个小长方形花坛（花坛的宽度忽略不计），如图2，小长方形的面积比剩余空白部分面积大，求剩余空白部分的面积； (3)在（2）的条件下，在小长方形花坛中种植花卉，在剩余空白部分铺草坪，经市场调研了解，种植花卉每平方米的成本是10元，比种草的成本高，求种草的总费用比种植花卉的总费用节约几分之几． 15．（23-24七年级上·四川绵阳·期末）糕点店中秋节前要制作一批盒装月饼，每盒装2块大月饼和6块小月饼，制作1块大月饼要用面粉，1块小月饼要用面粉． (1)若制作若干盒月饼共用了面粉，则制作了多少盒月饼？ (2)公司决定向该糕点厂定制月饼礼盒，该糕点厂给出的团购价格如下： 购买的数量（盒） 不超过60或刚好60 超过60 每盒单价（元） 200 180 若公司决定给45名员工和名客户各订购一盒月饼作为福利，用含的式子表示购买月饼的费用． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 用一元一次方程解决问题重难点题型专训（16大题型+15道拓展培优） 题型一 行程问题 题型二 配套问题 题型三 工程问题 题型四 销售盈亏问题 题型五 比赛积分问题 题型六 方案选择问题 题型七 数字问题 题型八 几何问题 题型九 和差倍分问题 题型十 电费和水费问题 题型十一 比例分配问题 题型十二 日历问题 题型十三 古代问题 题型十四 其他问题 题型十五 一元一次方程与数轴 题型十六 一元一次方程应用综合 知识点一、用一元一次方程解决问题 1. 列一元一次方程解应用题的一般步骤 （1） 审：弄清题意和题目中的数量关系。 （2） 设：用字母表示题目中的一个未知量。 （3） 找：找出能够表示应用题全部含义的一个相等关系。 （4） 列：根据这个相等关系列出方程。 （5） 解：解所列的方程，求出未知数的值。 （6） 验：检验方程的解是否符合问题的实际意义。 （7） 答：写出答案。 2．设未知数的三种方法： （1） 直接设未知数：题目求什么就设什么为未知数。 （2） 间接设未知数：对于一些应用题，如果直接设所求的量为未知数，可能不容易列方程，这时可以间接地设一个或几个与所求的量有关系的量作为未知数，进而求出所求的量。 （3） 设辅助未知数：如果前两种方法都行不通，便可设某个量为辅助未知数，辅助未知数仅作为题目中量与量之间关系的一种桥梁，一般情况下，解方程时不需要求出这个量。 一元一次方程应用题的常见类型 类型 内容 题中涉及的数量关系及公式 等量关系 注意事项 和、差、倍、分 问题 增长量=原有量×增长率 现有量=原有量增长量 现有量=原有量－降低量 由题可知 弄清“倍数”关系及“多”“少”关系等 行 程 问 题 相遇问题 路程=速度×时间 时间=路程÷速度 速度=路程÷时间 快车行驶路程+慢车行驶路程=原距离 相向而行，注意出发时间、 地点 追及问题 快车行驶路程-慢车行驶距离=原距离 同向而行，注意出发时间、 地点 调配问题 从调配后的数量关系中找等量关系 调配对象流动的方向和数量 工程问题 工作量=工作效率×工作时间 工作效率=工作量÷工作时间 工作时间=工作量÷工作效率 两个或几个工作效率不同的对象所完成的工作量的和等于总工作量 一般情况下，把总工作量设为1 销售打折问题 商品利润=售价-进价（成本价） 由题可知 打几折就是按售价的十分之几销售 数字问题（包括日历中的数字规律） 设、分别为一个两位数的个位、十位上的数字，则这个两位数可表示为 由题可知 ①对于日历中的数字问题要弄清日历中的数字规律； ②设间接未知数 阶梯付费问题 由题可知 注意付费特点是阶梯式的 方案选择问题 由题可知 方案选择问题一般比较之后选最优的方案。 【经典例题一 行程问题】 【例1】（23-24七年级上·河南郑州·开学考试）甲、乙两车分别从、两地相对开出，甲车与乙车的速度比是，相遇后两车继续前行，这时乙车将速度提高了，当甲车到达地时，乙车距地还有千米，、两地相距多少千米？ 【答案】、两地相距千米 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．根据题意可得甲车的速度乙车的速度乙车将速度提高了的速度，设、两地相距千米，根据当甲车到达地时，乙车距地还有千米，列出方程计算即可求解． 【详解】解：∵甲车与乙车的速度比是，相遇后两车继续前行，这时乙车将速度提高了， ∴甲车的速度乙车的速度乙车将速度提高了的速度， 设、两地相距千米，依题意有： ， 解得． 答：、两地相距千米． 1．（23-24七年级上·江苏淮安·开学考试）某通讯员开车从地到地取一份重要文件，到了地立刻按原路返回地，这样往返共用小时．已知去时每小时行63千米，是返回时速度的．两地相距多少千米？ 【答案】两地相距196千米 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．根据去时及返回时速度间的关系，可求出返回时的速度，设两地相距千米，利用时间路程速度，结合往返共用小时，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：返回时速度是(千米/时)． 设两地相距千米， 根据题意得：， 解得：． 答：两地相距196千米． 2．（23-24七年级上·广西桂林·开学考试）小海同学在校运动会米赛跑中，先以6米/秒的速度跑完大部分赛程，最后以8米/秒的速度冲刺到达终点，成绩为65秒．请问： (1)小北同学冲刺的时间有多长？ (2)如果他想把成绩提高1秒（即减少1秒钟），他需要提前几秒开始最后冲刺？ 【答案】(1)5秒 (2)2秒 【分析】此题考查了一元一次方程的应用， （1）利用路程=时间×速度及以6米/秒跑过的路程+冲刺阶段跑过的路程=400列出一元一次方程，求解即可； （2）同（1）求出冲刺的时间，再求提前冲刺的时间即可． 【详解】（1）解：设小北同学冲刺的时间为x秒， ， 解得， 答：小北同学冲刺的时间为5秒； （2）解：设小北冲刺的时间为t秒， ， 解得，， 秒， 即小北秒开始冲刺， 秒， 答：提前2秒开始最后冲刺． 3．（23-24七年级上·陕西西安·期末）如图，长方形中，，点从点出发，沿匀速运动；点从点出发，沿匀速运动．设点的速度为，两点同时出发，在点处首次相遇． (1)则点的速度为______（用含的代数式表示）； (2)若在点处首次相遇后，点的运动速度每秒提高了，并沿的路径匀速运动；点保持速度不变，沿路径匀速运动，后两点在长方形某一边上的点处第二次相遇后停止运动，求点原来的速度． (3)判断（2）中此时点的位置并求线段的长． 【答案】(1) (2)点原来的速度为 (3)见解析， 【分析】本题主要考查一元一次方程解行程问题，理解长方形的性质，掌握一元一次方程解行程问题的方法是解题的关键． （1）根据路程除以速度可算出点的时间，根据同时出发，在点处首次相遇，运用路程除以时间可得点的速度，即可求解； （2）根据题意可得点的速度为，根据第二次相遇可得两点运动的路程等于周长，由此列式即可求解； （3）由（2）可得点运动的路程，可确定点的位置，根据线段的和差运算即可求解． 【详解】（1）解：两点同时出发，在点处首次相遇， 点的速度为， 故答案为：； （2）解：根据题意得：， 解得， 答：点原来的速度为； （3）解：从出发，运动的路程是， ，， ， 点在边上，且． 【经典例题二 配套问题】 【例2】（23-24七年级上·陕西西安·期末）某家具厂生产方桌，按设计立方米木材可制作个桌面或个桌腿，一张方桌按个桌面条桌腿配套，现有立方米木材，怎样分配木材才能使生产的桌面和桌腿恰好配套，一共可生产多少张方桌？ 【答案】应分配立方米木材生产桌面，立方米木材生产桌腿，才能使生产的桌面和桌腿恰好配套，共可生产张方桌 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 设分配立方米木材生产桌面，则分配立方米木材生产桌腿，根据一张方桌按个桌面条桌腿配置，可列出关于的一元一次方程，即可得出结论． 【详解】解：设分配立方米木材生产桌面，则分配立方米木材生产桌腿， 根据题意得：， 解得：， ，． 答：应分配立方米木材生产桌面，立方米木材生产桌腿，才能使生产的桌面和桌腿恰好配套，共可生产张方桌． 1．（23-24七年级上·山东滨州·期末）某家具厂专业生产学生座椅，其中每把学生座椅由4条椅腿、4根撑杆、2个扶手、1个椅面和1个靠背组成．根据实际生产能力，每个工人每天能够生产椅腿20条，或撑杆40根，或扶手30个，或椅面30个，或靠背30个． (1)若安排35名工人专门生产椅腿和椅面，那么应该安排多少人生产椅腿，才能使每天生产出的椅腿和椅面正好配套？ (2)若安排全厂91名工人生产这种学生座椅，那么应该安排多少人生产椅腿，才能使每天生产出的椅腿、撑杆、扶手、椅面和靠背正好配套？ 【答案】(1)30 (2)42 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，明确题意，准确得到数量关系是解题的关键． （1）根据题意，找到正确的数量关系列出方程求解即可． （2）设安排x人生产椅腿，撑杆人数为y，扶手的人数为m，椅面的人数为n，靠背的人数为z才能使每天生产出的椅腿和椅面正好配套，根据题意列出各岗位工人与生产椅腿工人的数量关系，根据全厂91名工人列方程求解即可． 【详解】（1）解：设安排x人生产椅腿，才能使每天生产出的椅腿和椅面正好配套． 解得， 答：安排30人生产椅腿，才能使每天生产出的椅腿和椅面正好配套． （2）解：设安排x人生产椅腿，撑杆人数为y，扶手的人数为m，椅面的人数为n，靠背的人数为z才能使每天生产出的椅腿和椅面正好配套． ∴，，， 解得，，，． ∴， ， 答：应该安排42人生产椅腿，才能使每天生产出的椅腿、撑杆、扶手、椅面和靠背正好配套 2．（23-24七年级上·辽宁大连·期末）某车间生产一批螺钉和螺母，由一个人操作机器做需要完成．现计划由一部分人先做，然后增加人与他们一起做，完成这项工作．假设这些人的工作效率相同． (1)求具体应先安排多少人工作？ (2)在增加人一起工作后，若每人每天使用机器可以生产个螺钉或个螺母，个螺钉需要配个螺母成为一个完整的产品，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，应安排生产螺钉和螺母的工人各多少名？ (3)若该车间有台型和台型机器可以生产这种产品，每台型机器比型机器一天多生产个产品．已知台型机器一天的产品装满箱后还剩个，台型机器一天的产品装满箱后还剩个，且每箱装的产品数相同．某天有台型机器和台型机器同时开工，请问一天生产的产品能否恰好装满箱．若能，请计算出的值；若不能，请说明理由． 【答案】(1)具体应先安排人工作 (2)应安排名工人生产螺钉，名工人生产螺母 (3)一天不能恰好装满箱 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，解题的关键是根据题意找出等量关系． （1）设应先安排人工作，根据题意得，即可求解； （2）设应安排名工人生产螺钉，名工人生产螺母，根据题意得，即可求解； （3）先求出每箱装的产品个数，再分别求出、型机器一天的产量，最后列出关于的一元一次方程即可求解． 【详解】（1）解：设应先安排人工作， 根据题意得，， 解得：， 应先安排人工作； （2）设应安排名工人生产螺钉，名工人生产螺母， 根据题意得，， 解得：， ， 应安排10名工人生产螺钉，12名工人生产螺母， （3）设每箱装个产品， 根据题意得，， 解得：， 型机器一天生产的产品个数：， 型机器一天生产的产品个数：， 根据题意列方程得：， 解得：， ， 一天不能恰好装满箱． 3．（23-24七年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）东胜区某中学七年级数学社团，在社团活动中用所学的数学知识， 尝试解决问题． 制作横式无盖长方体纸盒 活动 如右图， 用3个长方形纸板和2个正方形纸板， 可以制作1个横式无盖长方体纸盒． 材料 现有 36张硬纸板，可以制作需要的长方形纸板和正方形纸板． 说明 为了提高原材料的使用率，用每张硬纸板制作3个长方形纸板，或者制作6个正方形纸板．这样利用原材料，可以将制作过程中的损耗降低到忽略不计． 问题解决 问题 1 用多少张硬纸板制作长方形纸板，多少张硬纸板制作正方形纸板，才能正好配套？ 一共可以制作出多少个横式无盖长方体纸盒？ 问题 2 若制成的每个横式无盖长方体纸盒的长为18厘米，宽为9厘米，高为9厘米，求每个横式无盖长方体纸盒的表面积是多少平方厘米？ 【答案】问题一：用27张硬纸板制作长方形纸板，9张硬纸板制作正方形纸板，才能正好配套，一共可以制作出个横式无盖长方体纸盒；问题二：每个横式无盖长方体纸盒的表面积是648平方厘米． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用； 问题一：设张硬纸板制作长方形纸板，则张硬纸板制作正方形纸板，根据正好配套列方程求解即可； 问题二：根据长方体的表面积计算方法求解即可． 【详解】解：问题一：设张硬纸板制作长方形纸板，则张硬纸板制作正方形纸板， 由题意得：， 解得：， 则，， 答：用27张硬纸板制作长方形纸板，9张硬纸板制作正方形纸板，才能正好配套，一共可以制作出个横式无盖长方体纸盒； 问题二：（平方厘米）， 答：每个横式无盖长方体纸盒的表面积是648平方厘米． 【经典例题三 工程问题】 【例3】（23-24七年级上·全国·课后作业）修一条公路，甲队单独修需要10天完成，乙队单独修需要12天完成，丙队单独修需要15天完成，现在先由甲队单独修天，再由乙队接着修，最后还剩下一段路，由三队合修2天才完成任务，乙队在整个修路工程中工作了多少天？ 【答案】乙队在整个修路工程中工作了5天 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，利用总工作量为1得出等量关系是解题的关键 利用总工作量为1，进而表示出甲、乙、丙每天完成的总工作量，进而得出等量关系列出方程，解方程求出即可． 【详解】解：设乙队单独工作了x天， 根据题意，得， 解得， 则． 答：乙队在整个修路工程中工作了5天． 1．（2024七年级上·全国·专题练习）一个蓄水池装有甲、乙两个进水管和丙一个出水管，单独开放甲管可注满一池水，单独开放乙管可注满一池水，单独开放丙管可放尽一池水 (1)若同时开放甲、乙、丙三个水管，几小时可注满水池？ (2)若甲管先开放，而后同时开放乙、丙两个水管，则共需几小时可注满水池？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，需要用到的等量关系是：工作效率=工作量÷工作时间． （1）设三个水管同时开放x小时可注满水池，根据“甲、乙注水量丙出水量=1”列出方程并解答； （2）设共需y小时可注满水池，根据“甲、乙注水量丙出水量=1”列出方程并解答 【详解】（1）设同时开放甲、乙、丙三个水管，可以注满水池．根据题意，得 ， 解得． 答：同时开放甲、乙、丙三个水管，可注满水池． （2）设共需y小时可注满水池，依题意得 ， 解得， 答：共需可以注满水池． 2．（23-24七年级上·福建福州·期末）有一中学原计划加工一批校服，现有甲、乙两个工厂都想加工这批校服，已知甲工厂每天能加工这种校服15件，乙工厂每天能加工这种校服20件．且单独加工这批校服甲厂比乙厂要多用15天．在加工过程中，学校需付甲厂每天费用100元、付乙厂每天费用120元． (1)求这批校服共有多少件？ (2)为了尽快完成这批校服，先由甲、乙两厂按原生产速度合作一段时间后，甲工厂停工了，而乙工厂每天的生产速度也提高25%，乙工厂单独完成剩余部分．且乙工厂的全部工作时间是甲工厂工作时间的2倍，求乙工厂共加工多少天？ (3)经学校研究制定如下方案：方案一：由甲厂单独完成；方案二：由乙厂单独完成；方案三：按（2）问方式完成；并且每种方案在加工过程中，每个工厂需要一名工程师进行技术指导，并由学校提供每天10元的午餐补助费，请你通过计算帮学校选择一种既省时又省钱的加工方案． 【答案】(1)这批校服共有900件； (2)乙工厂共加工30天； (3)按方案三方式完成既省钱又省时间． 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列方程． （1）设这批校服共有件，由单独加工这批校服甲厂比乙厂要多用12天得：，即可解得答案； （2）设甲工厂加工天，根据题意可得：，即可解得答案； （3）分别计算三种方案的耗时及费用，比较即可得到答案． 【详解】（1）解：设这批校服共有件， 由题意得：， 解得：， 答：这批校服共有900件； （2）解：设甲工厂加工天，则乙工厂共加工天， 根据题意得：， 解得， ∴， 答：乙工厂共加工30天； （3）解：①方案一：由甲厂单独加工时， 耗时为天，需要费用为：（元； ②方案二：由乙厂单独加工时， 耗时为天，需要费用为：（元； ③方案三：由两加工厂共同加工时， 耗时为30天，需要费用为：（元． ， ∴按方案三方式完成既省钱又省时间． 3．（23-24七年级上·江苏南通·期末）为推进全民健身设施建设，某体育中心准备改扩建一块运动场地。现有甲、乙两个工程队参与施工，具体信息如下， 信息一： 工程队 每天施工面积（单位：） 每天施工面积（单位：元） 甲 3600 乙 x 2200 信息二： 甲工程队3天的施工面积比乙工程队4天的施工面积多． (1)求x的值； (2)该工程计划先由甲工程队单独施工若干天，再由乙工程队单独继续施工，两队共施工22天，且完成的施工面积为．该段时间内体育中心需要支付多少施工费用？ 【答案】(1)的值为600 (2)体育中心共支付施工费用元 【分析】本题主要考查了一元一次方程应用，理解题意，找出等量关系，列出方程是解决问题的关键． （1）根据“甲工程队3天的施工面积比乙工程队4天的施工面积多”列出一元一次方程求解即可； （2）设甲工程队先单独施工天，则乙工程队先单独施工天，根据“两队共施工22天，且完成的施工面积为” 列出一元一次方程，求得甲工程队先单独施工天数，再结合每天的单价即可求解． 【详解】（1）解：由题意列方程，得， 解得：， 即：的值为600； （2）设甲工程队先单独施工天，则乙工程队先单独施工天， 由题意列方程，得， 解得：， 则体育中心共支付施工费用（元）， 答：体育中心共支付施工费用元． 【经典例题四 销售盈亏问题】 【例4】（23-24七年级上·浙江宁波·开学考试）商品甲的成本是定价的 ；商品乙的定价是275元，成本是220元．现在商店把1件商品甲与2件商品乙配套出售，并且按它们的定价之和的定价出售．这样每套可获得利润80元．问商品甲的成本是多少元？ 【答案】商品甲的成本是元 【分析】本题考查一元一次方程解应用题，解题的关键是找到等量关系式．设商品甲的定价为元，则成本是元，根据利润等于售价减成本列方程解即可得到答案． 【详解】解：设商品甲的定价为元，则成本是元， 依题意，得：， 解得：． ∴， 答：商品甲的成本是元． 1．（23-24七年级上·辽宁铁岭·期末）一家商店因换季将某种服装打折销售，如果每件服装按标价的折出售，将亏本元，如果按标价的折出售，将盈利元． (1)每件服装的标价是多少元？ (2)打几折销售能恰好保证利润率为？ 【答案】(1)元； (2)折． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意，正确列出方程是解题的关键． （）设每件服装的标价是元，根据题意列出方程即可求解； （）由（）求出每件服装的进价，再设打折销售能恰好保证利润率为，根据题意列出方程即可求解； 【详解】（1）解：设每件服装的标价是元， 由题意得，， 解得， 答：每件服装的标价是元； （2）解：由（）可得，每件服装的进价为元， 设打折销售能恰好保证利润率为， 由题意得，， 解得， 答：打折销售能恰好保证利润率为． 2．（23-24七年级上·贵州遵义·期末）近年来，随着人们对健康生活的追求，体育健身越来越受到人们的喜爱和追捧，某体育器材专卖店的、两款体育器材非常畅销，进货价和销售价如下表： 款器材 款器材 进货价/（元/个） 销售价/（元/个） (1)该专卖店用元购进了，两款器材共个，求两款器材分别购进多少个？ (2)该专卖店进货时，A款器材的进货量是款器材的一半，将进货的体育器材全部售出，共获利润元．求两款器材分别购进多少个？ 【答案】(1)购进款玩具个，款玩具个 (2)购进款玩具个，则购进款玩具个 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，理解题意，正确列出方程是解答的关键． （1）设购进款玩具个，根据购进，两款玩具费用和列方程求解即可； （2）设购进款玩具个，根据单件利润=售价－进价和，两款玩具的利润和列方程求解即可． 【详解】（1）解：设购进款玩具个，则购进款玩具个 由题意得： 解得：， 答：购进款玩具个，款玩具个． （2）解：设购进款玩具个，则购进款玩具个 由题意得： 解得： 答：购进款玩具个，则购进款玩具个． 3．（23-24七年级上·重庆大渡口·期中）某商店用70000元的资金购进A，B两种商品共600件． 类型 进价（元/件） 标价（元/件） A 150 220 B 100 150 (1)求A，B商品购进的数量 (2)商店为了促销，决定推出优惠活动，A商品在标价的基础上打8折，B商品在标价的基础上也打折．当600件商品销售完时，商店获得的利润为19200元，求B商品在标价的基础上打了几折？ 【答案】(1)A商品购进的数量是200件，B商品购进的数量是400件 (2)B商品在标价的基础上打了9折 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，正确地用代数式表示购进甲、乙两商品各自所需要的钱数是解题的关键． （1）设A商品购进的数量是x件，则B商品购进的数量是件，购进甲种商品需要元，购进乙种商品需要元，列方程进行求解即可． （2）设B商品在标价的基础上打y折，由总利润总售价总进价列方程进行求解即可． 【详解】（1）解：设A商品购进的数量是x件，则B商品购进的数量是件， 根据题意得， 解得， 则件， 答：A商品购进的数量是200件，B商品购进的数量是400件． （2）设B商品在标价的基础上打y折， 根据题意：， 解得：， 答：B商品在标价的基础上打了9折． 【经典例题五 比赛积分问题】 【例5】（23-24七年级上·广东广州·开学考试）西班牙足球甲级联赛积分规则为：胜一场积分，平一场积分，负一场积分．巴萨在赛季前场比赛中共积分位列积分榜首位，其中平的场次数与负的场次数相同，求该球队获胜场次数． 【答案】场 【分析】设该球队负次场，则平的场次也为次，胜的场次为次，根据比赛中共积分列出一元一次方程进行求解即可得到负的场次，即可求出获胜的场次数． 【详解】解：设该球队负次场，则平的场次也为次场，获胜的场次为次， ， 解得：， 该球队获胜场次数为（场）， 答：该球队获胜场次数为场． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意找到到合适的等量关系列出方程是解答本题的关键． 1．（23-24七年级上·福建厦门·期末）某校七年级组织知识竞赛，共设25道选择题，各题分值相同，每题必答．表一记录了其中3个参赛者的得分情况．若另一参赛者李强得102分，求他答对了几道题？请用一元一次方程的知识解决． 表一 参赛者 答对题数 答错题数 得分 王伟 25 0 150 张倩 24 1 142 陈宇 15 10 70 【答案】李强答对了19道题 【分析】根据王伟的得分可得答对一题的得分为6分，由张倩的得分可得答错一题的得分为分，设李强答对题，则答错题，根据题意得：，解方程即可得到答案． 【详解】解：由王伟的得分可得答对一题的得分为：（分）， 由张倩的得分可得答错一题的得分为：（分）， 设李强答对题，则答错题， 根据题意得：， 解得：， 李强答对了19道题． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，读懂题意，找准等量关系是解题的关键． 2．（23-24七年级上·广东中山·期中）列二元一次方程组解应用题： 为“庆祝建党100周年”，中山市纪中三鑫双语学校积极开展各项活动.“学习强国知识竞赛”有20道必答题，每一题答对得10分，答错或不答都扣5分；3道抢答题，每一题抢答对得10分，抢答错扣20分，抢答不到不得分也不扣分.甲乙两队决赛，甲队必答题得了170分，乙队必答题只答错了1题． (1)甲队必答题答对了多少道?乙队必答题得了多少分? (2)抢答赛中，乙队抢答对了第1题，又抢到了第2题，但还没作答时，甲队啦啦队队员小黄说：“我们甲队输了!”小汪说：“小黄的话不一定对!”请你举一例说明“小黄的话”有何不对． 【答案】(1)甲队必答题答对18道，乙队必答题的得分为185分 (2)见解析 【分析】（1）设甲队必答题答对了x道，则答错了道，根据甲队得分170列方程求解即可； （2）“小黄的话”不一定对，理由为：根据规则：每一题抢答对得10分，抢答错扣20分，抢答不到不得分也不扣分． 【详解】（1）设甲队必答题答对了x道，则答错了道， 根据题意，得 ， 解得： 故甲队必答题答对18道， 乙队必答题只答错了1道， 乙队必答题的得分为 （分） （2）甲队目前的得分为170分， 乙队得分为（分） ①若乙队第2题抢答题答错，则乙得分为（分），第3题甲队抢答正确，则甲队得分为（分），甲队获胜； ②若乙队第2题抢答题答错，则乙队得分为（分），第3题乙队抢答错误，则乙队得分为（分），甲队的得分为170（分），甲队获胜； 故“小黄的话”不一定对． 【点睛】此题考查一元一次方程的应用，找出题中的等量关系是解答本题的关键． 3．（23-24七年级上·福建厦门·期中）某次篮球联赛积分榜如下表所示： 队名 比赛场次 胜场 负场 积分 前进 14 10 4 24 东方 14 9 5 23 远大 14 7 7 21 恒大 14 4 10 18 蓝天 14 0 14 14 (1)通过观察积分表，填空：胜一场得 分，负一场得 分． (2)雄鹰队也参加了本次篮球联赛，获得积分25分，问雄鹰队的胜、负场次情况． (3)联赛中还有一个队伍，队长电话向当地组织者汇报，说队伍在比赛中获得胜场和负场的积分一样多，请你通过数学计算判断该队长是否说谎． 【答案】(1)2，1 (2)雄鹰队胜11场、负3场 (3)该队长说谎了 【分析】（1）根据题意可得“蓝天”负14场，得14分；“前进队”胜10场，负4场，得24分，可得到负一场得1分，从而得到“前进队”胜10场，得20分，即可求解； （2）设雄鹰队胜场数是m，则负场数是（14-m），根据“积分25分”列出方程，即可求解； （3）设该队场数是x，则负场数是（14-x），根据“队伍在比赛中获得胜场和负场的积分一样多”列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得：“蓝天”负14场，得14分；“前进队”胜10场，负4场，得24分， ∴负一场得分， ∴“前进队”胜10场，得分， ∴胜一场得分； 故答案为：2，1； （2）设雄鹰队胜场数是m场，则负场数是（14-m）场，依题意得： ， 解得： ， ∴， 答：该雄鹰队胜11场；负3场； （3）设该队场数是x场，则负场数是（14-x）场，依题意得： ， 解得： ， ∵x为整数， ∴不符合题意，舍去， ∴该队伍在比赛中获得胜场和负场的积分不可能一样多， 故该队长说谎了． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 【经典例题六 方案选择问题】 【例6】（23-24七年级上·江苏盐城·期末）2024年春节来临之际，亭湖消费市场活力彭湃．我区某商场为回馈广大消费者在迎春节期间举行促销活动，有以下两种优惠方案：①购物金额每满200元减20元；②购物金额打95折． 某人购物金额超过400元不足600元． 通过计算发现，选择方案①比选择方案②便宜12元，那么这个人购物的金额是多少元？ 【答案】560元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，列出一元一次方程是解题的关键．设这个人购物的金额是x元，由题意“①购物金额每满200元减20元；②购物金额打95折．购物金额超过400元不足600元．通过计算发现，选择方案①比方案②便宜12元”，列出一元一次方程，解方程即可． 【详解】解：设这个人购物的金额是x元， 由题意得：， 解得：， ∴这个人购物的金额是560元， 答：这个人购物的金额是560元． 1．（23-24七年级上·陕西渭南·期末）某旅游团名成人和5名学生去景区游玩，已知该景区门票的售价为50元/人，“元旦”期间该景区对游客优惠方案如下（只能选择其中一种方案）： 甲方案：学生免门票，成人门票按七五折收费； 乙方案：学生和成人门票均按七折收费． (1)分别用含的代数式表示该旅游团采用甲、乙两种方案购买门票的费用； (2)当为何值时，该旅游团采用甲、乙两种方案购买门票的费用相同？ 【答案】(1)用甲种方案购买门票的费用为元，用乙种方案购买门票的费用为元 (2) 【分析】本题考查列代数式，一元一次方程，解题的关键是正确找出题中的等量关系，本题属于基础题型． （1）根据题意给出的方案列出代数式． （2）令列出方程即可求出的值． 【详解】（1）解：该旅游团采用甲种方案购买门票的费用为（元）， 该旅游团采用乙种方案购买门票的费用为（元）． （2）解：根据题意，得， 解得． 所以当时，该旅游团采用甲、乙两种方案购买门票的费用相同． 2．（23-24七年级上·河北保定·期末）已知某超市酸奶的定价为20元/箱，玻璃杯的定价为5元/个．该超市酸奶区推出了两种优惠促销方案，如下表所示，现某顾客需要购买40箱酸奶和x个玻璃杯． 方案一 酸奶和玻璃杯一律按九折优惠 方案二 购买一箱酸奶，赠送一个玻璃杯 (1)请用含x的式子分别表示按方案一、方案二购买时所需的费用； (2)当时，请通过计算说明该顾客按哪个方案购买更省钱； (3)当购买多少个玻璃杯时，上述这两种方案的花费一样多？ 【答案】(1) 按方案一购买时所需的费用为元；按方案二购买时所需的费用为元； (2)按方案二购买更省钱； (3)当购买240个玻璃杯时，上述两种方案的花费一样多 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、列代数式以及代数式求值， （1）利用总价单价数量，结合该超市推出的两种优惠促销方案，即可用含的代数式表示出按方案一及按方案二购买所需费用； （2）代入，求出按方案一及按方案二购买所需费用，再比较后即可得出结论； （3）根据按这两种方案的花费一样多，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：根据题意得：按方案一购买所需费用为元； 按方案二购买所需费用为元． 答：按方案一购买所需费用为元，按方案二购买所需费用为元； （2）当时，（元； （元． ， 该顾客按方案二购买更省钱； （3）根据题意得：， 解得：． 答：当购买240个玻璃杯时，上述这两种方案的花费一样多． 3．（23-24七年级上·江苏扬州·期末）列方程解应用题：一商场经销的A、B两种商品，A种商品每件进价40元；B种商品每件进价50元． (1)若该商场同时购进A、B两种商品共50件，恰好总进价为2100元，求购进A、B两种商品各多少件？ (2)在“春节”期间，该商场只对A、B两种商品进行如下的优惠促销活动： 打折前一次性购物总金额 优惠措施 少于等于450元 不优惠 超过450元，但不超过600元 按总售价打八折 超过600元 其中600元部分七折优惠，超过600元的部分打六折优惠 按上述优惠条件，若小华一次性购买A、B商品实际付款456元，求若没有优惠促销，小华在该商场购买同样商品要付多少元？ 【答案】(1)购进A种商品40件，购进B种商品10件 (2)570元或660元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是仔细审题，找到等量关系，利用方程思想求解． （1）根据购进、两种商品共50件，总进价为2100元列出方程求解即可； （2）分情况讨论：①当时；②当时． 【详解】（1）解：设购进种商品件，则购进种商品件， 由题意得：， 解得， 购进种商品， 答：购进种商品40件，购进种商品10件； （2）解：设小华打折前应付款为元， ①当时， 由题意得， 解得； ②当时， ， 解得． 综上，小华在该商场购买同样商品要付570元或660元． 【经典例题七 数字问题】 【例7】（2024·福建南平·一模）我们知道，反过来，那么是否也能写成分数的形式呢？小明的解答如下：设，则，于是得，解方程得，所以． (1)填空： ； ； ； (2)将循环小数写成分数的形式． 【答案】(1)，，1 (2) 【分析】（1）仿照题目中的方法列方程求解即可； （2）设，则，从而可得，再解方程即可求解． 【详解】（1）解：设，则， ∴， 解得，， ∴， 设，则， ∴， 解得，， ∴， 设，则， ∴， 解得，， ∴， 故答案为：，，1； （2）解：设，则， ∴， 解得，， ∴． 1．（23-24七年级上·湖北武汉·阶段练习）观察下列三列数： 、、、、、、……① 、、、、、、……② 、、、、、、……③ (1)第①行第10个数是 ，第②行第10个数是 ； (2)在②行中，是否存在三个连续数，其和为83？若存在，求这三个数；若不存在，说明理由； (3)若在每行取第k个数，这三个数的和正好为，求k的值． 【答案】(1)； (2)存在，这三个数分别为85，，89 (3) 【分析】本题主要考查了数字规律，一元一次方程的应用，做题的关键是找出数字规律． （1）第①和②行规律进行解答即可； （2）设三个连续整数为，，，根据题意列出方程，即可出答案； （3）所选第一行的数为x，则第二行的数为，第三行的数为，根据题意得列出方程进行解答即可． 【详解】（1）解：根据规律可得，第①行第10个数是； 第②行第10个数是； 故答案为：；； （2）解：存在．理由如下： 由（1）可知，第②行数的第n个数是， 设三个连续整数为，，， 当n为奇数时，则， 化简得， 解得， 这三个数分别为85，，89； 当n为偶数时，则， 化简得， 解得（不符合题意舍去）， 这三个数分别为85，，89； 综上，存在三个连续数，其和为83，这三个数分别为85，，89； （3）解：设所选第一行的数为x，则第二行的数为，第三行的数为，根据题意得， ， 解得：， ， 解得，． 2．（23-24七年级上·山东济南·期末）有一种特殊的三角形幻方，是由4个较小的三角形和3个较大的三角形构成，且满足每个三角形三个顶点处的数字之和都相等．图1是这种特殊的三角形幻方，中间较小三角形三个顶点处的数字之和为，该图中每个三角形三个顶点处的数字之和都为15．图2也是这种特殊的三角形幻方，请分别写出圈内字母所代表的数字．   _________； _________； _________； _________； _________． 【答案】，7，4，2， 【分析】本题考查一元一次方程的应用，以及幻方的特点，根据每个三角形三个顶点处的数字之和都相等，分别建立关于、、、、的一元一次方程求解，即可解题． 【详解】解：由题知，，解得， ，即，解得， ，即，解得， ，即，解得， ，解得， 故答案为：，7，4，2，． 3．（23-24七年级上·山东聊城·期末）阅读下面的材料： 按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．排在第一位的数称为第一项，记为，排在第二位的数称为第二项，记为，依次类推，排在第位的数称为第项，记为．所以，数列的一般形式可以写成：． 一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用表示．如：数列1，3，5，7，…为等差数列，其中，公差为． 根据以上材料，解答下列问题： (1)等差数列5，10，15，…的公差为________，第5项是________． (2)如果一个数列，是等差数列，且公差为，那么根据定义可得到： ． 所以： ， ， …… 由此，请你填空完成等差数列的通项公式：． (3)是不是等差数列，，…的项？如果是，是第几项？ 【答案】(1)5，25 (2) (3)是，23-24 【分析】本题考查数字类规律探究，掌握等差数列的定义，是解题的关键． （1）根据等差数列的公差为相邻两数据的差值，计算出公差，进而求出第5项的数据即可； （2）根据给定的等式，得出等差数列的通项公式即可； （3）根据等差数列的通项公式，进行判断即可． 【详解】（1）解：∵， ∴公差为5， ∴第4项为， 第5项为； 故答案为5，25； （2）∵ ， ， ， ∴； 故答案为：； （3）是， ∵等差数列，，…的首项为，公差为， 设是该数列的第项， 则：， 解得：， ∴是该数列的第23-24项． 【经典例题八 几何问题】 【例8】（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）数轴上有，，三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“三倍点”．例如，数轴上点，，所表示的数分别为，，，此时点是点，的“三倍点”． (1)点表示的数是，点表示的数是，下列各数，，，所对应的点分别是，，，，其中是点，的“三倍点”的是　　； (2)点表示的数是，点表示的数是，为数轴上一个动点，若点是点，的“三倍点”，求出点表示的数． 【答案】(1)，； (2)或或或． 【分析】（）根据“三倍点”的新定义，逐步计算即可； （）根据“三倍点”的新定义，假设点在点的左侧，点在点的右侧和点在点的两点之间三种情况，分别进行讨论即可； 本题考查了数轴及两点间的距离，一元一次方程，解题的关键是读懂新定义，灵活运用分类讨论的思想. 【详解】（1）解：∵点表示的数是，点表示的数是，点为， ∴，， ∴是的“三倍点”； ∵点表示的数是，点表示的数是，点为， ∴，， ∴是的“三倍点”； ∵点表示的数是，点表示的数是，点为， ∴，， ∴不是的 “三倍点”； ∵点表示的数是，点表示的数是，，点为， ∴，， ∴不是的“三倍点”； 故答案为：，； （2）解：若点在点的左侧，且点是点，的“三倍点”，设点表示的数为， 则有：，即， 解得：； 若点在点的右侧，且点是点，的“三倍点”， 设点表示的数为， 则有：，， 解得：； 若点在点的两点之间，且点是点的“三倍点”，设点表示的数为， 则有：或， 或， 解得：或， ∴点表示的数为或或或． 1．（23-24七年级上·河南郑州·期末）好朋友给小亮过生日，如图，现有底面直径为，高为的圆柱形容器，里面装满了果汁，小亮要把果汁分装到底面直径为的个小圆柱形杯子里（每个杯子刚好装满），与好友分享，请你帮他计算杯子的高度． 【答案】杯子的高度是． 【分析】本题考查了圆柱的体积公式的运用，一元一次方程的几何应用，根据体积相等建立方程是解题的关键． 设杯子的高度为．根据个小圆柱形杯子的体积等于圆柱形容器的体积建立方程，求解即可． 【详解】解：设杯子的高度为． 根据题意，得  ． 解这个方程，得． 所以，杯子的高度是． 2．（24-25七年级上·河南周口·阶段练习）如图，在中，，，，，为的高． (1)求的面积和的长； (2)若点从点出发，以的速度沿边、运动，到达点后即刻停止运动．设运动时间为，则当为何值时，的面积为？ 【答案】(1)， (2)的值为2.5或14.5时，的面积为 【分析】本题考查一元一次方程的应用，理解题意，分类讨论求解是解答的关键． （1）根据三角形的面积公式求解即可； （2）分点P在上、点P在上两种情况，利用三角形的面积公式列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵在中，，，， ∴， 又∵，为的高， ∴, ∴； （2）解：①当点在上时， 由得， ∴； ②当在上时，, 由得， 解得， ∴的值为2.5或14.5时，的面积为． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）已知数轴上两点、对应的数分别为，12． (1)、两点间的距离为 ． (2)如图①，如果点沿线段自点向点以每秒2个单位长度的速度运动，同时点沿线段自点向点以每秒4个单位长度的速度运动，运动时间为秒． ①运动秒时，点对应的数为 ，点对应的数为 ；（用含的代数式表示） ②当、两点相遇时，点在数轴上对应的数是 ； ③求、相距6个单位长度时的值； (3)如图②，若点在数轴上，点在数轴上方，且，，现点绕着点以每秒转的速度顺时针旋转（一周后停止），同时点沿射线自点向点运动．当、两点相遇时，直接写出点的运动速度． 【答案】(1)36 (2)①，；②；③5秒或7秒 (3)单位长度秒或2单位长度秒 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，根据题中的等量关系熟练应用方程解决问题是解题的关键． （1）根据数轴直接计算即可； （2）①根据运动规律直接用代数式表示即可； ②根据相遇时对应点在同一位置列方程求出时间，进而求出对应点即可； ③分点在点左右两侧两种情况，列方程计算即可； （3）根据和在点和点两种情况相遇，先算出时间再计算出速度即可． 【详解】（1）解：由数轴知，、两点间的距离为， 故答案为：36； （2）①由题知点对应的数为，点对应的数为， 故答案为：，； ②当、两点相遇时，， 解得， 即点在数轴上对应的数是， 故答案为：； ③由题意，在左侧时，得， 解得， 在右侧时，， 解得， 、相距6个单位长度时的值为5秒或7秒； （3）①当，在点相遇时，运动时间是：，点运动距离为：， 此时点的运动速度为：单位长度秒， ②当，在点相遇时，运动时间是：，点运动距离为：36， 此时点的运动速度为：单位长度秒， 综上，点的运动速度为单位长度秒或2单位长度秒． 【经典例题九 和差倍分问题】 【例9】（23-24七年级上·上海长宁·期末）小红看一本书，第一天看了全书的，第二天看了全书的，这时还剩51页没看，这本书一共有多少页？ 【答案】一共有120页 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设这本书一共有x页，根据“还剩51页没有看”列方程求解，找到相等关系是解题的关键． 【详解】设这本书一共有x页， 则：， 解得：， 答：这本书一共有120页． 1．（2024七年级·全国·竞赛）一个有弹性的小球从点下落到离地面高度为1米的桌面上点，弹起到点后又下落到地面上点，再次弹起到点．已知每次弹起的高度是上一次下落高度的，且两点高度之差是1.25米．求点的高度． 【答案】0.75米 【分析】本题考查了一元一次不等式的实际应用，及一元一次方程的应用，难度不大，关键是读懂题意列出方程和不等关系． 设点的高度为米，得点高度为米，根据“每次弹起的高度是上一次下落高度的，且两点高度之差是1.25米”列方程解答即可． 【详解】解：设点的高度为米，得点高度为米． ， 解得， 则点的高度为0.75米． 2．（23-24七年级上·山东潍坊·期末）某工厂要加工一批产品．原计划每天加工产品100件，就可以在预定时间内完成任务．实际按原计划加工两天后，提高了加工速度，在成本不变的情况下，平均每天比原计划多加工了20件，结果提前3天完成了任务． (1)这批产品一共多少件？ (2)若这批产品销售时按成本价提高40%后进行标价，按标价的八折进行销售，则这批产品总获利为24000元，求每件产品的成本价是多少元？ 【答案】(1)2000件 (2)100元 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程，是解题的关键． （1）设这批产品一共件，根据结果提前3天完成了任务，列出方程进行求解即可； （2）设每一件产品的成本价为元，根据这批产品总获利为24000元，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：设这批产品一共件， 由题意，得： 解得； 所以，这批产品一共2000件． （2）设每一件产品的成本价为元， 由题意，得： 解得； 所以，每一件产品的成本价为100元． 3．（23-24七年级上·湖北襄阳·期末）某工厂生产大小两种书包，每个小书包的成本比大书包的成本少10元，而它们的售后利润相同．其中，每个小书包的盈利率为，每个大书包的盈利率为． (1)求两种书包的售价； (2)工厂接到一批紧急订单，要按期生产大小两种书包共7万个，已知每6名工人能按期生产一万个小书包，每10名工人能按期生产一万个大书包．通过调度，安排50名工人按期完成了两种书包的生产任务． ①生产大小书包的工人各多少人？ ②由于该订单数量较大，工厂将大小书包的售价均打九折，请直接写出完成该订单后工厂获得的总利润是多少？ 【答案】(1)每个小书包的售价是26元，每个大书包的售价是36元 (2)①生产小书包的有30人，生产大书包的有20人；②21.8万元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）设每个小书包的成本为x元，则每个大书包的成本为元，根据利润＝进价×盈利率结合两种书包的售后利润额相同，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． （2）①设y个人生产小书包，则个人生产大书包，根据按期完成了两种书包的生产任务列方程求解即可； ②先计算出生产大小书包的数量，再按销售方案计算即可． 【详解】（1）设每个小书包的成本为x元，则每个大书包的成本为元， 依题意得：， 解得：， 则元． 元， 元． 答：每个小书包的售价为26元，每个大书包的售价为36元． （2）①设y个人生产小书包，则个人生产大书包，由题意，得 解得， 人． 所以生产小书包的工人为30人，生产大书包的工人为20人； ②个， 个， 元万元． 所以获得的总利润是21.8万元． 【经典例题十 电费和水费问题】 【例10】（24-25七年级上·江苏淮安·开学考试）我市电费实行阶梯式收费，标准如下： 用电量/(千瓦时/户) 价格/(元/千瓦时) 200千瓦时以内 0.55 千瓦时 0.6 400千瓦时以上 0.8 (1)小虎家三月份用电140千瓦时，应交电费多少元？丽丽家三月份用电260千瓦时，应交电费多少元？ (2)聪聪家五月份用电量为千瓦时，若在200-400之间时，应交电费______元(用含有的式子表示)；若时，则聪聪家应交电费______元(用含有的式子表示) (3)某超市三月份交电费390元，该超市三月份用电多少千瓦时？ 【答案】(1)小虎家三月份用电千瓦时，应交电费元，丽丽家三月份用电千瓦时，应交元电费； (2)，； (3)千瓦时 【分析】本题考查的是列代数式、一元一次方程的应用、有理数的混合运算，解题的关键是明确用电量是属于哪一个范围的．（1）小虎家三月份用电千瓦时，在千瓦时以内，用元乘以用电的千瓦时即可得应交电费；丽丽家三月份用电千瓦时，在0千瓦时之间，200千瓦时的用电量乘元，超出千瓦时的用电量乘以元，两者相加即可得应交电费； （2）聪聪家五月份用电量为千瓦时，若x在之间时，千瓦时的用电量乘元，超出千瓦时的用电量乘以元，两者相加即可得应交电费；若时，千瓦时的用电量乘元，超出千瓦时不超过千瓦时的用电量乘以元，超过千瓦时的用电量乘元，三者相加即可得应交电费； （3）通过计算先判断出该超市的用电量超过了千瓦时，再代入（2）中相应的代数式计算即可． 【详解】（1）解：小虎家三月份应交电费 元)， 丽丽家三月份，应电费；元)， 答：小虎家三月份用电千瓦时，应交电费元，丽丽家三月份用电千瓦时，应交元电费； （2）解：聪聪家五月份用电量为x千瓦时， 若在之间时，应交电费元， 若时，应交电费元， 故答案为：，； （3）当用电量为200千瓦时，应交电费元)， 当用电量为千瓦时，应交电费元)， ， 所以该超市的用电量超过千瓦时， 令，解得：， 答：该超市三月份用电千瓦时． 1．（23-24七年级上·山东济南·期中）某地政府为鼓励节约用电，采用阶梯式电价计量标准．根据每户居民每月的用电量（用电量均为整数，单位：千瓦·时）分为三档进行收费（第一档：月用电量不高于240千瓦·时．第二档： 月用电量为千瓦·时，第三档： 月用电量超过 400 千瓦·时）．设居民每月应交电费y（元） ，用电量为x（千瓦·时） 用电量（千瓦·时） 收费（元） 不超过 240 千瓦·时 每千瓦·时 元 千瓦·时 每千瓦·时 元 超过 400千瓦·时 超过的部分每千瓦·时 元 (1)①每月用电量不超过240千瓦·时，y= ； ②每月用电量超过 400千瓦·时，y= ． (2)若某户居民用电量为210千瓦·时，则应交电费多少元? (3)若某户居民某月交费210元，则该户居民用电多少千瓦·时? 【答案】(1)①；② (2)（元） (3)本月用电344度 【分析】(1) ①根据费用=单价乘以用电量，列式计算即可． ②根据费用=单价乘以用电量，列式计算即可． (2)根据(1)求得的结果，讨论x的值，得出的结论． （3）根据当时，最多费用为元；当时，最多费用为元；当时，费用大于元；根据分档计算即可． 本题考查了一元一次方程的生活实际应用，正确理解分档的界点是解题的关键． 【详解】（1）①根据时，每千瓦·时 元， 故， 故答案为：． ②根据时，每千瓦·时 元， 故 ， 故答案为：． （2）根据时，每千瓦·时 元， 故， 由， 故当时， (元)． 答：应交电费元． （3）根据题意，当时，最多费用为元； 当时，最多费用为元； 当时，费用大于元； ∵， ∴用电量满足， 设用电x度，根据题意，得， 解得， 答：本月用电344度． 2．（23-24七年级上·江苏徐州·阶段练习）为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控的手段达到节水的目的，该市自来水收费的价目表如下表（注：水费按月份结算，表示立方米）： 价目表 每月用水量 单价 不超出的部分 2元 超出不超出的部分 4元 超出的部分 8元 请根据上表的内容解答下列问题： (1)填空：若该户居民2月份用水，则应收水费_______元；若该户居民3月份用水，则应收水费__________元． (2)若该户居民5月份的水费为36元，则5月份的用水量是多少立方米？ 【答案】(1)8，20 (2)该户居民5月份的用水量为． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是理解题意，找到等量关系，正确的列出代数式以及方程． （1）2月份用水量不超出，用第一阶段的水费进行求解即可，3月份用水量超出不超出，根据题意列式计算即可； （2）由题意可得，该户居民5月份的用水量超过，然后列方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得2月份水费为（元）， 3月份水费为（元）， 故答案为：8，20； （2）解：∵， ∴该户居民5月份的用水量超过， 设该户居民5月份的用水量为， 根据题意，得， 解得， 答：该户居民5月份的用水量为． 3．（23-24七年级上·江苏盐城·期末）目前，某市市区居民用管道天然气继续执行阶梯价格制度．各阶梯价格水平如下： 一户居民一年用气量（单位：立方米） 电价（单位：元/立方米） 第档 不超过立方米的部分 第档 立方米以上至立方米（含）部分 第档 立方米以上的部分 (1)小明家年用气立方米，小明家年应缴费___________元． (2)若某户年用气量为立方米，当时，则应缴费___________元（用含的代数式表示）． (3)按照此方案结算，某户年实际缴纳燃气费元，求该户年实际用气量为多少立方米？ 【答案】(1) (2) (3)立方米 【分析】本题考查一元一次方程的应用，列代数式，有理数乘法的应用， （1）根据第档的价格列式计算即可； （2）根据，结合各阶梯价格列式计算即可； （3）设该户年用气量为立方米，根据“实际缴纳天然气费元”确定的范围，然后列方程求解即可； 正确理解题意，找到等量关系是解题的关键． 【详解】（1）解：∵小明家年用气立方米，且， ∴小明家年应缴费：（元）， 故答案为：； （2）∵某户年用气量为立方米，且， ∴应缴费：（元）， 故答案为：； （3）解：当用天然气立方米时，费用为：（元）， 当用天然气立方米时，费用为：（元）， ∵， ∴缴纳天然气费元，使用量大于且小于立方米， 设该户年用气量为立方米， 依题意，得：， 解得：， ∴该户年实际用气量为立方米． 【经典例题十一 比例分配问题】 【例11】（23-24七年级上·上海·期中）六年级和七年级分别有192人和133人，现在需要从两个年级选出133人参加“读书节”活动，并且要使六年级，七年级剩余学生数之比为2：1，问应从六年级，七年级各选出多少人？ 【答案】从六年级抽出64人，从七年级抽出69 【分析】总人数不变，抽出的人数加上为抽出的人数等于总人数，设未知数，由题意列出一元一次方程即可． 【详解】解：设从六年级抽出x人，则应从七年级抽出（133-x）， 由题意得：（192-x）：[133-（133-x）]=2：1， 即（192-x）：x=2：1， 解得：x=64， ∴133-64=69（人）． 答；应从六年级抽出64人，从七年级抽出69人． 【点睛】本题是一元一次方程的应用，考查的是人员调配问题，关键知道调配后的数量关系从而可列方程求解． 1．（23-24七年级上·湖南永州·期末）新冠疫情期间，甲、乙、丙三家公司为抗击疫情捐款，他们共捐款216万元，所捐款数的比为3：4：5，问甲、乙、丙三家公司各捐款多少万元？ 【答案】甲公司捐款54万元，乙公司捐款72万元，丙公司捐款90万元 【分析】设甲公司捐款3x万元，则乙公司捐款4x万元，丙公司捐款5x万元，根据题意列出一元一次方程求解即可； 【详解】解：设甲公司捐款3x万元，则乙公司捐款4x万元，丙公司捐款5x万元，根据题意得， 3x+4x+5x=216， 解得，x=18． 所以3x=54，4x=72，5x=90； 答：甲公司捐款54万元，乙公司捐款72万元，丙公司捐款90万元． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，准确计算是解题的关键． 2．（23-24七年级上·江苏镇江·期末）下面是某校七年级数学课外活动小组的两位同学对话，根据对话内容求这个课外活动小组现在的人数． 甲：我们女生人数占现在全组人数的一半 乙：还有6位男生将加入我们小组，他们全部加入后男生人数将占全组人数的． 【答案】12人 【分析】设现在全组人数为x人，则现在男生有人，然后根据再增加6名男生，那么男生人数将占全组人数的列方程，再解方程即可． 【详解】设现在全组人数为x人，则现在男生有人， 根据题意得：， 解得：人． 答：这个课外活动小组现在的人数为12人． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知数为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答． 3．（23-24七年级上·山东济宁·期末）甲、乙、丙三人共同出资做生意，甲投资了万元，乙投资了万元，丙投资了万元，年终时，共赚得利润万元，甲、乙、丙三人按比例进行分配，各可以分得多少利润？ 【答案】万元；万元；万元 【分析】根据题意，设甲可以获得万元，乙可以获得万元，丙可以获得万元，列出方程求解． 【详解】解:， 设甲可以获得万元，乙可以获得万元，丙可以获得万元， 解得， ， 答:甲可以分得万元，乙可以分得万元，丙可以分得万元． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是根据比例关系列出方程进行求解． 【经典例题十二 日历问题】 【例12】（23-24七年级上·广东广州·期中）将正整数，排成如图的数表，用图中所示的方框出9个数，不改变方框的大小，把方框任意移动． 第一列 第二列 第三列 第四列 第五列 第六列 第一行 1 2 3 4 5 6 第二行 7 8 9 10 11 12 第三行 13 14 15 16 17 18 第四行 19 20 21 22 23 24 第五行 25 26 27 28 29 30 …… …… (1)若方框正中心数为17，则方框中的9个数的和为 ． (2)设方框正中心数为，则方框中的9个数的和与方框正中心的数有什么关系？为什么？ (3)方框中9个数的和可能是3330吗？若可能，请求出方框正中心数落在第几行，第几列？若不可能，说说你的理由． 【答案】(1)153 (2)方框中的9个数是方框正中心的数的9倍 (3)第62行，第4列 【分析】本题考查了整式的加减，一元一次方程的应用，理清中间数与周围8个数的关系是解答本题的关键． （1）根据表格列式求解即可； （2）根据中间数与周围8个数的关系列方程求解即可； （2）根据中间数与周围8个数的关系列方程求解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：∵， ∴方框中的9个数是方框正中心的数的9倍． （3）解：设方框正中心数为， 由题意，得， ∴， ∵第1行最后一个数是， 第2行最后一个数是， 第3行最后一个数是， …， ∴第n行最后一个数是， ∴第61行最后一个数是， ∴370落在第62行，第4列． 1．（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）月历中的数学：观察如图所示的23-24年11月的月历，解答下列问题： (1)用形如□的长方形框去框月历里同一行的4个连续的数． ①若框里4个数中的最小数记为，用含的代数式表示这4个数的和为_____，这4个数的和的最大值是_____． ②若框里4个数的和是66，则这4个数分别是多少？ (2)用一个的长方形框去任意框12个数（如图），框里的12个数的和能等于222吗？能等于246吗？若能，请求出框里的12个数中的最小数；若不能，请说明理由． 【答案】(1)①，106；②15，16，17，18 (2)能等于222，最小数为10，不能等于246，理由见解析 【分析】本题主要考查了整式加减的应用，一元一次方程的应用，熟练掌握以上知识点并能结合月历的特点是解题的关键． （1）①根据日历的特点分别表示出其他三个数，然后求和即可；根据月历的特点，可以找到框25，26，27，28时，和最大；②若框里4个数中的最小数记为，那么其它三个数分别为，，，那么这4个数的和为，然后解方程求出的值，进而求出其他三个数； （2）设最小数为，那么第一行的四个数分别是，，，，那么第一行的和为，第二行的四个数分别是，，，， 第二行的和为，第三行的四个数分别是，，，，第三行的和为，由题意可知，分别等于222和246，分别解得答案，然后结合月历，看是否符合月历的特点． 【详解】（1）解：①若框里4个数中的最小数记为，那么其它三个数分别为，， 那么这4个数的和为 从月历上看，可知当框起来的数是25，26，27，28时，和最大，最大值为106． ②若框里4个数中的最小数记为，那么其它三个数分别为，， 那么这4个数的和为，由题意可知 解得 那么这4个数分别为15，16，17，18． （2）解：设最小数为，那么第一行的四个数分别是，，，，那么第一行的和为，第二行的四个数分别是，，，， 第二行的和为，第三行的四个数分别是，，，，第三行的和为，由题意可知 解得： 从月历看，这12个数分别是10，11，12，13，17，18，19，20，24，25，26，27； ∴能等于222，这12个数分别是10，11，12，13，17，18，19，20，24，25，26，27；最小的数字是10， 不能等于246，理由如下： 当 解得： 从月历看，最小的数字是12，一行只有三个数，不符合要求． 2．（2024七年级上·江苏·专题练习）如图是年月份的月历，现用十字框任意框出个数，如： (1)十字框框出的个数与十字框中间的数有什么关系？ (2)如果十字框框出的个数之和为，那么十字框中间的数是多少？ (3)十字框框出的个数之和可以是吗？ 【答案】(1)十字框框出的个数的和等于十字框中间的数的倍 (2)十字框中间的数是 (3)十字框框出的个数之和可以是 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找到相等关系是解题的关键． （1）根据题意列式计算，即可找出相应关系； （2）根据“十字框框出的个数之和为”列方程求解即可； （3）根据“十字框框出的个数之和是”列方程求解即可． 【详解】（1）解：， 答：十字框框出的个数的和等于十字框中间的数的倍； （2）解：设十字框中间的数是， 则依据题意有：， 解得：， 答：十字框中间的数是； （3）解：设十字框中间的数是， 则依据题意有：， 解得：， 且， 十字框框出的个数之和可以是， 答：十字框框出的个数之和可以是． 3．（24-25七年级上·江苏·假期作业）（1）吉姆同学在某月的日历上圈出个数，正方形的方框内的四个数的和是，那么第一个数是 ； （2）玛丽也在上面的日历上圈出个数，斜框内的四个数的和是，则它们分别是 ； （3）莉莉也在日历上圈出个数，呈十字框形，它们的和是，则中间的数是 ； （4）某月有个星期日的和是，则这个月中最后一个星期日是 号； （5）若干个偶数按每行个数排成下图： ①图中方框内的个数的和与中间的数有什么关系 ； ②汤姆所画的斜框内个数的和为，则斜框的中间一个数是 ； ③托马斯也画了一个斜框，斜框内个数的和为，则斜框的中间一个数是 ． 【答案】（1）；（2），，，；（3）；（4）；（5）①和是中间的数的9倍；②；③ 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，掌握日历或数表上的相邻数间的关键是解题的关键． （1）设第一个数是，则其他的数为，，，列式求解即可； （2）设第一个数是，则其他的数为，，，列式求解即可； （3）设中间的数是，其他的数为，，，，列式求解即可； （4）设最后一个星期日是，，，，，列式求解即可； （5）①先根据日历上的数据规律把所要求的数用代数式表示，求和可得和是中间的数的9倍； ②利用和是中间的数的9倍列式求解即可； ③利用和是中间的数的9倍列式求解即可． 【详解】解：（1）设第一个数是， 则其他的数为，，， 则， 解得：， 故答案为：； （2）设第一个数是， 则其他的数为，，， 则， 解得：， ，， 故答案：，，，； （3）设中间的数是， 则其他的数为，，，， 则， 解得：， 故答案为：； （4）设最后一个星期日是，，，，， 则， 解得：， 故答案为：； （5）①设中间的数是，其他的数为，，，，，，，， 则和为， 故答案为：和是中间的数的9倍； ②根据规律可知，和是中间的数的9倍， 设中间的数是， 则， 解得：， 故答案为：； ③设中间的数是， 则， 解得：， 故答案为：． 【经典例题十三 古代问题】 【例13】（23-24七年级上·福建厦门·阶段练习）我国古代数学著作《增删算法统宗》中记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托；折回索子去量竿，却比竿子短一托．”其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．问竿和绳索的长分别是多少尺？ 【答案】绳索长为20尺，竿长15尺． 【分析】设绳索长尺，则竿长为尺，根据将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺，列方程求解即可． 【详解】解∶设绳索长尺，则竿长为尺． 根据题意可得， 解得 （尺）， 答：绳索长为20尺，竿长15尺． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用，理解题意，解设恰当未知数，找等量关系，列出方程是解题的关键． 1．（23-24·甘肃·一模）中国人民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中《孙子算经》中有个问题，原文：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？ 【答案】39人，15辆车 【分析】设一共有x人，分别表示两种方式的车辆数，根据车辆数相等建立方程求解即可． 【详解】设一共有x人， 根据题意，得， 解得， ∴， 答：一共有39人，15辆车． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，正确列出方程是解题的关键． 2．（23-24七年级上·全国·单元测试）某数学兴趣小组研究我国古代《算法统宗》里这样一首诗：我问开店李三公，众客都来到店中，房客共六三，大比小多二一．后半部分的意思是：房客共有63人，大人比小孩多21人． (1)求该房客大人，小孩各有多少人？ (2)假设店主李三公推出两种订房方案： 方案一：房客超过40人，超过的按原价八折优惠， 方案二：大人原价，小孩半价． 若诗中“众客”再次一起入住，他们选择哪种方案订房更合算？ 【答案】(1)房客中大人有人，小孩有人 (2)方案二 【分析】本题考查一元一次方程解实际应用题，最优方案选择等知识，读懂题意，列出方程求解，进而由方案计算费用比较大小是解决问题的关键． （1）设房客中小孩有人，则大人有人，由总人数为人列一元一次方程求解即可得到答案； （2）设每人收费相同，为元，根据两种方案，求出费用比较大小即可得到答案． 【详解】（1）解：设房客中小孩有人，则大人有人， ，解得， 则， 答：房客中大人有人，小孩有人； （2）解：设每人收费相同，为元， 方案一费用：元； 方案二费用：元； ， 若诗中“众客”再次一起入住，他们选择方案二订房更合算． 3．（2024·陕西汉中·二模）《张丘建算经》是一部数学问题集，其中有一个在数学史上非常著名的“百鸡问题”．现稍作变形如下：每一只母鸡值三文钱，每一只公鸡值五文钱，每三只小鸡值一文钱．现在用一百文钱买一百只鸡，公鸡的数量是母鸡的3倍，问这一百只鸡中，公鸡、母鸡、小鸡各有多少只？ 【答案】公鸡、母鸡、小鸡分别有12只、4只、84只 【分析】本题考查一元一次方程的应用，理解题意，列出方程是解题的关键． 设母鸡有x只，则公鸡有只，根据用一百文钱买一百只鸡，列出方程，求解即可． 【详解】解：设母鸡有x只，则公鸡有只，小鸡有（只）， 根据题意列方程为：． 解得， ∴，， ∴公鸡、母鸡、小鸡分别有12只、4只、84只． 【经典例题十四 其他问题】 【例14】（24-25七年级上·全国·期末）某文艺团体开展文艺演出，为“乡村振兴工程”募捐，已知成人票每张40元，学生票每张25元． (1)某场演出共售出1000张票，筹得票款34750元．问：成人票与学生票各售出多少张？ (2)已知某单位按（1）中成人及学生数购票，与演出组织单位达成票价打折的优惠方案，共少付票款6975元．若成人票打九折，则学生票打几折？ 【答案】(1)售出成人票650张，学生票350张； (2)学生票打5折． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用： （1）设售出成人票x张，则售出学生票张，根据一共筹得票款34750元列出方程求解即可； （2）设学生票打a折，分别计算出打折后学生票和成人票的票款，然后根据总票款为元列出方程求解即可． 【详解】（1）解：设售出成人票x张，则售出学生票张． 根据题意，得， 解得． ∴． 答：售出成人票650张，学生票350张； （2）解：设学生票打a折， 根据题意，得． 解得． 答：学生票打5折． 1．（24-25七年级上·全国·期中）小华坐公交车要投两元钱，他发现刷学生卡可以省钱，于是在公交总站办理了学生卡，充值了元，如果小华乘车的次数用表示，则记录他每次乘车后的余额（元）如下表： 次数（次） 余额（元） … … (1)写出用乘车的次数表示余额的式子． (2)利用上式计算乘了次车后，余额为多少？ (3)小华最多能乘几次车？ 【答案】(1) (2)元 (3)次 【分析】本题考查列代数式，代数式求值，一元一次方程的应用， （1）由表格可知：每乘一次车，就用去元，进一步利用总金额减去乘车消费的钱数即可； （2）把代入（1）中的代数式得出答案即可； （3）由（1）中的代数式，令余额为，建立方程求得即可； 根据题意，得出余额的表示方法是解题的关键． 【详解】（1）解：用乘车的次数表示余额的式子为； （2）解：当时，（元）， ∴余额为元； （3）解：依题意得：， 解得：， ∵乘车的次数是非负整数， ∴小华最多乘坐次． 2．（24-25七年级上·江苏淮安·阶段练习）将正方形（如图1）作如下划分，第次划分：分别连接正方形对边的中点（如图），得线段和，它们交于点，此时图中共有个正方形；第次划分：将图左上角正方形再划分，得图，则图中共有个正方形； (1)若把左上角的正方形依次划分下去，则第次划分后，图中共有______个正方形． (2)继续划分下去，第次划分后图中共有______个正方形； (3)能否将正方形划分成有个正方形的图形？如果能，请算出是第几次划分，如果不能，需说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不能，理由见解析 【分析】本题考查图形规律题， （1）根据题意找出规律进行计算即可； （2）探究规律，利用规律即可解决问题； （3）构建方程即可解决问题； 解题的关键是学会并掌握从特殊到一般的探究规律的方法．也考查了一元一次方程的应用． 【详解】（1）解：∵第次可得个正方形，即：（个）， 第次可得个正方形，即：（个）， 第次可得个正方形，即：（个）， ∴第次可得正方形：（个）， 第次可得正方形：（个）， 故答案为：； （2）由（1）得：第次可得个正方形， 故答案为：； （3）不能， 理由：依题意得：， 解得：， ∵是正整数， ∴当时不符合题意， ∴不能将正方形划分成个正方形的图形． 3．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在萧红中学的社团活动中，同学们利用天平和常见的物品探究等式的基本性质，现在每个小组有一架天平，和5克的砝码，如何称出一张卡片和一根吸管的重量呢？ 以下是笃行小组的实验记录： 实验准备：重量相同的卡片若干和重量相同的吸管若干 天平右边 天平左边 天平状态 记录1 4张卡个砝码 16根吸管 平衡 记录2 8张卡根吸管 5根吸管个5克砝 平衡 (1)设一张卡片重x克，则一根吸管重______克． (2)分别求一张卡片和一根吸管的重量各是多少？ (3)明辨小组根据笃行小组的实验结论提出这样的一个假设：在天平左边放上一个的砝码，再把若干卡片和若干吸管分别放在天平的两侧使天平处于平衡状态，此时吸管的数量是卡片的4倍．请用方程的知识进行判断，若假设不成立，请说明理由；若假设成立，请求出卡片的数量． 【答案】(1)或； (2)一张卡片克，一根吸管克； (3)成立，卡片4张． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，列代数式表达式： （1）根据记录1和2，天平平衡，则天平左右两边的重量相同，据此列式求解即可； （2）由（1）得一根吸管重克或克，列式进行计算，即可作答． （3）先设卡片的数量是张，则吸管的数量是根，由（2）得出一张卡片克，一根吸管克，列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：由记录1得4张卡个砝码等于16根吸管，且设一张卡片重x克， ∴根吸管， ∴一根吸管重克； 由记录2得8张卡根吸管等于5根吸管个砝码， ∴根吸管根吸管， ∴一根吸管重克； 则一根吸管重克或克； （2）解：由（1）得一根吸管重克或克， ∴， 解得， 把代入， 得（克） ∴一张卡片克，一根吸管克； （3）解：成立，过程如下： 设卡片的数量是张，则吸管的数量是根， 由（2）得出一张卡片克，一根吸管克； ∴卡片重克，吸管重（克）， ∵为正整数， ∴， ∴把卡片与砝码一同放入天平左边，吸管放入天平右边， ∴， 解得， ∴假设成立，卡片4张． 【经典例题十五 一元一次方程与数轴】 【例15】（24-25七年级上·四川绵阳·阶段练习）在数轴上若点A、点B表示的数分别为a、b，则A，B两点之间的距离．，线段AB的中点表示的数为． 如图，数轴上A点表示数a，B点表示数b，且a、b满足，点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒． (1)填空：______，______，线段AB的中点表示的数为______； (2)求当t为何值时，P、Q两点相遇，并写出相遇点所表示的数； (3)若点M为的中点，点N为的中点，点P，Q在运动过程中，线段的长度是否可以等于的两倍？若可以，求出t的值． 【答案】(1)，，； (2)当为秒时，、两点相遇，相遇点所表示的数为； (3)当或秒时，线段的长度等于的两倍． 【分析】本题考查非负性的应用，解一元一次方程的应用、数轴上的动点问题的求解等知识与方法，解题的关键是弄清点的运动方向、速度，并且用代数式表示运动的距离． （1）由，得到，，则点表示的数是，点表示的数是，由两点对应的数的平均数直接求出、的中点表示的数； （2）根据点的运动速度和方向，直接表示出点、所表示的数，再根据、相遇时所表示的数相等列出方程求解即可； （3）先利用中点坐标公式求出，的坐标，再用两点间的距离公式列出绝对值方程，求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴， ∴点表示的数是，点表示的数是， ∴线段的中点表示的数为：， 故答案为：，，； （2）解：秒后，点表示的数为，点表示的数为， 当、两点相遇时，则、表示的数相等， 解得： ∴当时，、相遇， 此时，， ∴相遇点表示的数为， ∴当为秒时，、两点相遇，相遇点所表示的数为； （3）解：∵秒后，点表示的数，点表示的数为 ， ∵点表示的数为，点表示的数为， ， 依题意得，， 或， 解得：或， ∴当或秒时，线段的长度等于的两倍． 1．（23-24七年级上·浙江宁波·期中）【新知理解】如图①，点C在线段上，图中的三条线段、和．若其中一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段的“蓝青点”． （1）填空：线段的中点_________这条线段的“蓝青点”；（填“是”或“不是”） 【问题解决】（2）如图②，点A和B在数轴上表示的数分别是和40，点C是线段的“蓝青点”，求点C在数轴上表示的数． 【应用拓展】（3）在（2）的条件下，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿向点B匀速运动；动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿向点A匀速运动．点P、Q同时出发，当其中一点到达终点时，两个点运动同时停止，设运动的时间为t秒，当t为何值时，A、P、Q三点中，其中一点恰好是另外两点为端点的线段的“蓝青点”？（直接写出答案）．     【答案】（1）是； （2）①若C为中点，则C点表示的数为10；②若，则C点表示的数为20；③若，则C点表示的数为0． （3），，，，， 【分析】（1）根据“蓝青点”的定义可得线段的中点是这条线段的“蓝青点”； （2）设C点表示的数为x，分三种情况①若C为中点，②若，③若，分别列方程求解即可． （3）根据题意，t秒后，P点对应的数为，Q点对应的数为．然后分6种情况讨论．相遇前分，，三种情况，相遇后分，，三种情况，分别列一元一次方程求出t的值即可． 【详解】解：（1）∵原线段的长是线段中点分成的短线段的2倍， ∴线段的中点是这条线段的“蓝青点”． 故答案为：是． （2）设C点表示的数为x， ①若C为中点，即， 则， 解得． ②若， 则， 解得， ③若， 则， 解得． 综上，C点表示的数为10或20或0． （3）解：根据题意，t秒后，P点对应的数为，Q点对应的数为． P、Q相遇前，P点是线段的“蓝青点”，则分三种情况： ①， ， 解得． ②，即时， ， 解得． ③， ， 解得， P、Q相遇后，Q点是线段的“蓝青点”，则分三种情况： ①， ， 解得． ②，即， ， 解得． ③， ， 解得． 【点睛】本题考查了数轴上的动点问题，和一元一次方程解行程问题．正确的用含有t的代数式表示出P、Q所表示的数，掌握分类讨论是解题的关键． 2．（24-25七年级上·山东淄博·阶段练习）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： (1)数轴上表示4和1的两点之间的距离是________；数轴上表示和2两点之间的距离是________；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于．如数轴上数x与5两点之间的距离等于． (2)如果表示数a和的两点之间的距离是3，求a的值； (3)若数轴上表示数a的点位于与2之间，求的值； 【答案】(1)3，5 (2)1或 (3)6 【分析】此题考查数轴上两点之间的距离的算法：数轴上两点之间的距离等于相应两数差的绝对值及一元一次方程的应用． （1）根据数轴，观察两点之间的距离即可解答； （2）利用两点间距离公式列出关于a的方程，即可求解； （3）根据表示数a到点与2两点的距离的和即可求解． 【详解】（1）解：数轴上表示4和1的两点之间的距离是； 表示和2两点之间的距离是； （2）解：根据题意得：， 则， 或， 的值为或； （3）解：若数轴上表示数a的点位于与2之间， ∴， ∴． 3．（24-25七年级上·四川成都·阶段练习）在数轴上，若点C到点A的距离恰好是3，则称点C为点A的“幸福点”， 若点C到点A，B的距离之和为6，则称点C为点A，B的“幸福中心”． (1)如图1，点A表示的数是，则点A的“幸福点”C表示的数是______． (2)如图2，点A表示的数是，点B表示的数是4，点P表示的数是8，点Q从点P出发，以2单位/s的速度沿数轴向左运动，经过多少时间点Q是点A，B的“幸福中心”？ 【答案】(1)或2 (2)当经过秒或秒时，点Q是点A和点B的“幸福中心” 【分析】（1）根据定义，得到点C表示的数为或，解答即可． （2）设运动，则运动的路程为个单位长度，则点Q表示的数为，分类思考如下： 当点Q在点B的右侧时，此时，，根据定义，得到，求解一次； 当点Q在点A，点B之间时，此时，不成立； 当点Q在点A的左侧时，此时，，根据定义，得到，求解一次． 本题考查了数轴表示数，数轴上两点的距离，分类思想，熟练掌握定义，正确分类是解题的关键． 【详解】（1）解：根据定义，得点C表示的数为或即或， 故答案为：或2． （2）解：设运动，则运动的路程为个单位长度，则点Q表示的数为， 当点Q在点B的右侧时，此时，， 根据定义，得到：， 解得； 当点Q在点A，点B之间时，此时，不成立； 当点Q在点A的左侧时，此时，， 根据定义，得到， 解得． 故经过秒或秒时，点Q是点A和点B的“幸福中心”． 【经典例题十六 一元一次方程应用综合】 【例16】（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）已知甲地到乙地的单程汽车票价为75元/人，春运期间，为了给国庆出游的旅客提供优惠，汽车客运站给出了如下优惠方案： 乘客 优惠方案 学生 凭学生证票价一律打六折； 非学生 10人以下（含 10人）没有优惠： 团购：超过10人，其中 10人按原价售票，超出部分每张票打八折． (1)若有6名学生乘客买票，则总票款为 元； (2)若15名非学生乘客采用团购方式买票，则总票款为 元； (3)一辆汽车共有50名乘客，其中非学生乘客若达到团购人数并按团购方式买票，已知该车乘客总票款为3000元，问：车上有学生乘客、非学生乘客各多少人？ 【答案】(1)270 (2)1050 (3)10人；40人 【分析】本题考查有理数混合运算的实际应用，一元一次方程的实际应用．理解题意，正确列出算式或等式是解题关键． （1）根据题意，列出算式计算即可； （2）根据题意，列出算式计算即可； （3）设车上有非学生乘客x人，则有学生乘客人．分类讨论：①非学生乘客若达到团购人数和②非学生乘客若未达到团购人数，分别列出关于x的方程，求解即可． 【详解】（1）解：元． 答：若有6名学生乘客买票，则总票款为270元； （2）解：元． 答：若15名非学生乘客采用团购方式买票，则总票款为1050元； （3）解：设车上有非学生乘客x人，则有学生乘客人． 分类讨论：①非学生乘客若达到团购人数，即， 则可列方程为：， 解得：，符合题意， 人 所以此时车上有学生乘客10人，有非学生乘客40人． ②非学生乘客若未达到团购人数，即， 则可列方程为：， 解得：，不符合题意舍去． 综上可知车上有学生乘客10人，有非学生乘客40人． 1．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）哈尔滨某食品加工厂，加工一种食品，销往大庆市和齐齐哈尔市，有新旧两种加工工艺． (1)如用旧工艺加工，则一天的废水排量要比环保限制的最大量还多：如用新工艺加工，则一天的废水排量要比环保限制的最大量少．新、旧工艺的废水排量之比为，两种工艺的一天废水排量各是多少？ (2)若用新工艺，每天加工的食品总量比旧工艺每天加工的食品总量多，已知旧工艺每天加工的食品总量是新工艺每天加工的食品总量的；求：若用新工艺加工一个月的食品总量是多少吨？（每个月按天计） (3)在（1）（2）的条件下，已知厂家将（2）中新工艺加工一个月的食品以每吨元的价格销往大庆市和齐齐哈尔市，已知这些加工食品的原材料费共为万元，选择铁路运输，在送货的过程中，列车先到大庆卸完一部分货后，再前往齐齐哈尔送货，送货列车的到达时间表如下所示：卸货的时间忽略不计；已知：哈尔滨与齐齐哈尔的距离为，哈尔滨到大庆的平均时速比大庆到齐齐哈尔的平均时速快，已知铁路运输的收费标准是：每吨每千米收费元；已知每吨污水的处理费是3元，这批食品全部售完后，仍可获利万，则销往大庆多少吨食品？ 地点 哈尔滨 大庆 齐齐哈尔 时间 【答案】(1)新工艺一天的废水排量为，旧工艺一天的废水排量为 (2)用新工艺加工一个月的食品总量是 (3)销往大庆 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．根据题意正确的列方程是解题的关键． （1）设新工艺的废水排量为，则旧工艺的废水排量为，依题意得，，计算求解，然后作答即可； （2）设新工艺加工一天的食品量为，则旧工艺加工一天的食品量为，依题意得，，可求，根据用新工艺加工一个月的食品总量是，计算求解即可； （3）设哈尔滨到齐齐哈尔的平均时速为，则哈尔滨到大庆的平均时速为，依题意得，，可求，进而可求哈尔滨到齐齐哈尔的路程为，哈尔滨到大庆的路程为，设销往大庆吨食品，则销往齐齐哈尔吨食品，根据获利总价材料费污水处理费运费（销往大庆和销往齐齐哈尔），列方程，计算求解即可． 【详解】（1）解：设新工艺的废水排量为，则旧工艺的废水排量为， 依题意得，， 解得，， ∴新工艺一天的废水排量为，旧工艺一天的废水排量为； （2）解：设新工艺加工一天的食品量为，则旧工艺加工一天的食品量为， 依题意得，， 解得，， ∵， ∴用新工艺加工一个月的食品总量是； （3）解：设大庆到齐齐哈尔的平均时速为，则哈尔滨到大庆的平均时速为， 依题意得，， 解得，， ∴大庆到齐齐哈尔的路程为，哈尔滨到大庆的路程为， 设销往大庆吨食品，则销往齐齐哈尔吨食品， 依题意得，， 解得，， ∴销往大庆吨食品． 2．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）希玥服装店销售一批服装，按照标价进行销售，在销售时发现服装标签被污渍遮盖了，销售员发现打95折比打8折多盈利15元钱； (1)每件服装标价多少元？ (2)该服装店打算在年前用30000购进同样服装进行售卖，服装厂原售价为80元一件，年前甲乙两服装厂同时搞促销活动，销售方案如下图所示，请问该服装店在甲乙哪个服装厂购进服装利润最高？ 甲服装厂 乙服装厂 订购超过100件，服装全部打95折，再赠一张50元的代金券，本次购物可抵现金使用．同时每100件，免费配赠35件同样价格的服装． 订购超过100件，服装全部打八折后再减4元，同时超过出300件服装，每件服装返款0.12元包装费． (3)在（2）的条件下，该服装店购进服装后打算在进价的基础上每件服装加价，进行销售，由于接近年底，销售可能滞销，因此预计全部进行销售的服装，会有需要降价以5折出售，该服装店要想获得利润14949元，需再次按活动价格购进该厂家服装，请计算出该服装店想获得预期利润，需要准备再次购进服装多少件？ 【答案】(1)每件服装标价为100元 (2)该服装店在乙服装厂购进服装利润最高 (3)需要在购进件服装 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，有理数四则运算的实际应用． （1）设每件服装标价x元，根据打95折比打8折多盈利15元钱，列出方程求解即可； （2）根据题意先求出每个厂在优惠条件下30000元能购进的服装数量，再求出利润比较即可； （3）设需在购进y件服装，根据利润为14949元列出方程求解即可． 【详解】（1）解：设每件服装标价x元，根据题意得： 解得：， 答：每件服装标价为100元； （2）解：， 根据题意： 甲厂： （件）， 购进服装数量为正整数， 在甲厂可购进500件服装， 在甲厂可购进500件服装的费用为： （元）； 乙厂： （件） 在乙厂可购进500件服装， 在甲厂可购进500件服装的费用为（元）， 则服装店在乙服装厂购进服装利润为：（元）； ， 该服装店在乙服装厂购进服装利润最高； （3）解：设需在购进y件服装，根据题意： 由（2）知，进价为：（元）， 现标价为：（元）， 按进价的基础上每件服装加价销售的服装有：（件）， 按5折出售的服装有：（件）， 售价为：（元）， 则， ，即， 解得：， 答：需要在购进件服装． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，点，在数轴上分别位于原点的左右两边，点表示的数是，点表示的数是，且，满足．点、、是线段的四等分点，分别以线段、、为边向数轴的上方作正方形，正方形，正方形． (1)直接写出，的值： ， ； (2)如图1，若动点从点出发以每秒3个单位长度的速度沿折线运动，同时动点从点出发以每秒2个单位长度的速度沿折线运动，当点到达点时，，两点同时停止运动，设点的运动时间为，求线段时的值； (3)如图2，若动点从点出发以每秒4个单位长度的速度向数轴的正方向运动，当点到达点时立即以每秒2个单位长度的速度沿折线运动，点到达点的同时动点从点出发以每秒2个单位长度的速度向数轴的负方向运动，当点首次到达点后立即以每秒3个单位长度的速度在点和点之间往返运动，过动点作直线垂直，在运动过程中，直线与线段的交点为．当点第二次到达点时，两点同时停止运动．设点的运动时间为，直接写出线段时的值． 【答案】(1)，8 (2)或 (3)，，或6 【分析】此题考查解一元一次方程、列一元一次方程解应用题等知识与方法，弄清点运动的方向、速度和时间是解题的关键． （1）根据非负数的性质可得解； （2）根据相遇前和相遇后，列方程求解即可； （3）根据点到达点前和返回后，点在的左右两侧，根据找出等量关系列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，且，， ，， ，， 故答案为：，8； （2）解：，． 表示的数是，表示的数是8， ， 点、、是线段的四等分点， ， 又四边形，，是正方形， ， 若，相遇前，则有，， 解得，； 若，相遇后，则有， 解得，， 综上，线段时，或， （3）解：点从到运动时间为（秒， 点从点运动到点所需时间为：（秒，从点到点所需时间为（秒， 则点第二次到达点所需时间为（秒， 故点运动总时间为（秒， ①当点向运动时，点在左侧时，则有． 解得，； ②当点向运动时，点在右侧时，则有， 解得，； ③当点从向运动时，点在右侧时，则有， 解得，， ④当点从向运动时，点在左侧时，则有， 解得，， 综上，线段时的值为，，或6． 1．（24-25七年级上·湖南永州·阶段练习）如图，在中，，，，点是的中点，动点从点出发，以每秒个单位的速度沿运动．若设点运动的时间是，若的面积等于．那么值是（　　） A． B． C．或 D．不存在 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的面积公式的运用以及一元一次方程的应用，解答时灵活运用三角形的面积公式求解是关键，同时要注意分类讨论．分当点在上时，当点在上时，两种情况讨论，根据三角形的面积公式建立方程求出其解即可． 【详解】解：，点是的中点， ， ①如图1，当点在上，， ，的面积等于， ， 解得：； ②如图2，当点在上时，， ， ， 解得：t； 综上所述，值是或， 故选：C． 2．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）某商人一次卖出两件商品，一件赚了，一件赔了，卖价都是480元，在这次买卖过程中，商人（    ） A．赚了40元 B．赔了40元 C．赔了100元 D．不赚不赔 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意，找出等量关系是解题关键．设赚了的商品进价为元，赔了的商品进价为元，根据卖价都是480元分别列方程求出进价，即可得到答案． 【详解】解：设赚了的商品进价为元， 则，解得：； 设赔了的商品进价为元， 则，解得：， ， 即这次买卖过程中，商人赔了40元， 故选：B． 3．（23-24七年级上·内蒙古呼和浩特·开学考试）《孙子算经》中有一道题，原文是：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车；若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人？设共有x人，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．设有x人，根据车的辆数不变，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解． 【详解】解：设有x人，每3人共乘一车，最终剩余2辆车，则车辆数为：， 每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，则车辆数为：， ∴列出方程为：． 故选：B． 4．（23-24·贵州六盘水·一模）如图，已知数轴上有三点A，B，C，，点A对应的数是，点B对应的数是，点C对应的数是21，则a的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据数轴上两点间距离可得：，从而可得，然后进行计算即可解答． 本题考查了数轴，准确熟练地进行计算是解题的关键． 【详解】解：∵点A对应的数是，点B对应的数是，点C对应的数是21， ∴， ∵， ∴， 解得：， 故选：B． 5．（23-24七年级上·上海青浦·期末）如图，机器人淘淘和巧巧分别站在边长为15米的正方形道路的顶点D、B处，他们开始各以每秒1米和每秒1.5 米的速度沿正方形道路按顺时针方向匀速行走．当淘淘和巧巧第一次都在正方形的同一顶点处时，经过了多少秒？（   ） A．30秒 B．60秒 C．90秒 D．120秒 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设经过了x秒，巧巧追上淘淘，根据他们的路程差为米列方程求解即可． 【详解】解：设经过了x秒，巧巧追上淘淘 根据题意得， 解得， 此时巧巧走了米，，则巧巧在D处； 淘淘走了米，，则淘淘也在D处， 故经过60秒淘淘和巧巧第一次都在正方形的同一顶点处， 故选：B． 6．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）王芳出生时父亲33岁，现在父亲的年龄是王芳年龄的4倍，王芳现在的年龄是 岁． 【答案】11 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，根据题意列出方程是解题的关键．由题意父亲比王芳大33岁，设王芳现在的年龄是x岁，则现在父亲的年龄为岁，列一元一次方程即可求解． 【详解】解：设王芳现在的年龄是x岁，则现在父亲的年龄为岁，由题意得： ， 解得，即王芳现在的年龄是11岁， 故答案为：11． 7．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）有理数都可以表示为（且不可约分）的形式，无限循环小数也可以写成这种形式，以为例：设，即，则，则有，可得，即，则 ． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的应用，设，则，根据题中所给方法列出方程即可求解，读懂题意是解题的关键． 【详解】解：设，则， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 8．（23-24七年级上·云南昆明·期末）如图所示，足球一般是由许多黑白相间的小皮块缝合而成的，黑块呈五边形，白块呈六边形，已知黑块有块，则白块有 块． 【答案】 【分析】本题主要考查的是一元一次方程的应用，由题意得五边形与六边形的个数比为，设黑块有块，则白块有块，列出方程，然后求解即可，解题的关键是读懂题意，找出等量关系，列出方程． 【详解】∵每个五边形都连接着五个六边形，每个六边形都连接着三个五边形， ∴五边形与六边形的个数比为， 设黑块有块，则白块有块， 由题意得：， 解得， ∴白块有， 故答案为：． 9．（23-24七年级上·四川成都·开学考试）某城市按以下规定收取水费，用水量如果不超过6吨，按每吨元收费；如果超过6吨，未超过的部分仍按每吨元收费，而超过的部分则按每吨2元收费．如果某用户5月份的水费为平均每吨元，那么该用户5月份应交水费 元． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． 水费平均为每吨元大于元，说明本月用水超过了6吨，那么标准内的水费加上超出部分就是实际水费．根据这个等量关系列出方程求解，求出所用吨数，再乘以平均价格，即可求出5月份应交水费． 【详解】解：设该用户5月份用水吨， 则， 整理得：， ， 解得：， 元， 答：该用户5月份应交水费元． 故答案为：． 10．（23-24七年级上·江苏南通·期末）《九章算术》中记载了这样一个数学问题：今有甲发长安，五日至齐；乙发齐，七日至长安．今乙发已先二日，甲仍发长安．问几何日相遇？译文：甲从长安出发，天到齐国；乙从齐国出发，天到长安．现乙先出发天，甲才从长安出发．问多久后甲乙相遇？若设乙出发天甲乙相遇，则可列方程为 ． 【答案】 【分析】此题考查一元一次方程和实际应用，设乙出发天甲乙相遇，根据题意列出方程即可，解题关键是读懂题意，根据数量关系列出方程． 【详解】解：设乙出发天甲乙相遇， 根据题意得：， 故答案为：． 11．（23-24七年级上·湖南长沙·阶段练习）两个有理数在数轴上对应的点之间的距离可以用这两个数的差的绝对值表示：如图1，在数轴上有理数a对应的点为点A，有理数b对应的点为点B，A、B两点之间的距离表示为或，记为． (1)数轴上有理数与对应的两点之间的距离等于________； (2)如图2，点M，N，P是数轴上的三点，点M表示的数为4，点N表示的数为．若P从N点出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动，运动时间为t（单位：秒）． ①当点P在点M，N两点之间时，则________； ②请用含t的式子表示，并求出当时，对应的t值． ③若在P从N点出发的同时，Q从M点出发，以每秒1个单位长度的速度向右运动，请求出当t为何值时，N、P、Q中的某一个点到另外两点的距离之比为． 【答案】(1)5 (2)①6②或；③1.2，2，3或18 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离、绝对值的意义、一元一次方程的应用，熟练掌握以上知识点是解此题的关键． （1）根据绝对值的定义进行计算即可得到答案； ①根据解答即可； ②根据两点间距离公式列出方程求解即可； ③分点P在点Q的左侧和右侧两种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：数轴上有理数与对应的两点之间的距离等于， 故答案为：5； （2）解：①∵点P在点M，N两点之间， ∴， 故答案为：6； ②根据题意得，P点运动t秒后，点P对应的数为， 所以，， 由题意得：， 解得，或； ③点P对应的数为，点Q对应的数为， 当点P在点Q左侧时，，，， ∴当时，即， 解得，， 当时，即， 解得，， 当时，即， 解得，； 当时，即，此种情况不存在； 当点P在点Q右侧时，，，， ∴，即， 解得，， 若，此种情况不存在， 当时，即，此种情况不存在， 当时，，此种情况不存在， 综上，t的值为1.2，2，3或18． 12．（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）月历中的数学：观察如图所示的23-24年11月的月历，解答下列问题： (1)用形如□的长方形框去框月历里同一行的4个连续的数． ①若框里4个数中的最小数记为，用含的代数式表示这4个数的和为_____，这4个数的和的最大值是_____． ②若框里4个数的和是66，则这4个数分别是多少？ (2)用一个的长方形框去任意框12个数（如图），框里的12个数的和能等于222吗？能等于246吗？若能，请求出框里的12个数中的最小数；若不能，请说明理由． 【答案】(1)①，106；②15，16，17，18 (2)能等于222，最小数为10，不能等于246，理由见解析 【分析】本题主要考查了整式加减的应用，一元一次方程的应用，熟练掌握以上知识点并能结合月历的特点是解题的关键． （1）①根据日历的特点分别表示出其他三个数，然后求和即可；根据月历的特点，可以找到框25，26，27，28时，和最大；②若框里4个数中的最小数记为，那么其它三个数分别为，，，那么这4个数的和为，然后解方程求出的值，进而求出其他三个数； （2）设最小数为，那么第一行的四个数分别是，，，，那么第一行的和为，第二行的四个数分别是，，，， 第二行的和为，第三行的四个数分别是，，，，第三行的和为，由题意可知，分别等于222和246，分别解得答案，然后结合月历，看是否符合月历的特点． 【详解】（1）解：①若框里4个数中的最小数记为，那么其它三个数分别为，， 那么这4个数的和为 从月历上看，可知当框起来的数是25，26，27，28时，和最大，最大值为106． ②若框里4个数中的最小数记为，那么其它三个数分别为，， 那么这4个数的和为，由题意可知 解得 那么这4个数分别为15，16，17，18． （2）解：设最小数为，那么第一行的四个数分别是，，，，那么第一行的和为，第二行的四个数分别是，，，， 第二行的和为，第三行的四个数分别是，，，，第三行的和为，由题意可知 解得： 从月历看，这12个数分别是10，11，12，13，17，18，19，20，24，25，26，27； ∴能等于222，这12个数分别是10，11，12，13，17，18，19，20，24，25，26，27；最小的数字是10， 不能等于246，理由如下： 当 解得： 从月历看，最小的数字是12，一行只有三个数，不符合要求． 13．（24-25七年级上·江西上饶·开学考试）一辆汽车原计划每小时行驶70千米，从甲地到乙地需要行驶6小时，实际上这辆汽车1.5小时就行驶了120千米，照这样的速度，从甲地到乙地实际上需要几小时？（分别用两种方法解答） 【答案】5.25小时 【分析】本题主要考查一元一次方程，解答此题的关键是：先判断题中的两种相关联的量成什么比例，并找准对应量． （1）由“原计划每小时行驶70千米，从甲地到乙地需要行驶6小时”可根据路程速度时间求出甲地到乙地的实际距离，已知“这辆汽车1.5小时就行驶了120千米”，求照这样的速度，从甲地到乙地实际上需要几小时，可知，速度不变，即：速度路程时间，即“路程”和“时间”成正比例关系，设从甲地到乙地实际上需要小时，据此列正比例解答即可； （2）根据题意可知，路程不变，则“速度”和“时间”成反比例关系，设从甲地到乙地实际上需要小时，据此列反比例解答即可． 【详解】解：（1）设从甲地到乙地实际上需要小时。 ； （2）设从甲地到乙地实际上需要小时。 答：从甲地到乙地实际上需要5.25小时． 14．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）某公园有一处长方形空地如图1所示，它的长是10米，宽是长的．    (1)求长方形的宽； (2)为美化环境，现计划将大长方形内部建一个小长方形花坛（花坛的宽度忽略不计），如图2，小长方形的面积比剩余空白部分面积大，求剩余空白部分的面积； (3)在（2）的条件下，在小长方形花坛中种植花卉，在剩余空白部分铺草坪，经市场调研了解，种植花卉每平方米的成本是10元，比种草的成本高，求种草的总费用比种植花卉的总费用节约几分之几． 【答案】(1)6米 (2)24平方米 (3) 【分析】本题考查了一元一次方程的实际问题，解题的关键是理解题意，根据题意列方程； （1）根据长宽关系列式求解即可； （2）设空白部分的面积为x平方米，由小长方形的面积比剩余空白部分面积大求出小长方形的面积，再根据小长方形的面积与剩余空白部分面积等于大小长方形的面积列方程即可； （3）先根据（2）求出小长方形的面积，设种草的成本为y元，根据种植花卉每平方米的成本是10元，比种草的成本高，列方程求出种草的成本，再分别求出种草的总费用，种植花卉的总费，进而求出节约了多少． 【详解】（1）解：长方形的宽为米； （2）解：设空白部分的面积为x平方米，则小长方形的面积为平方米， 由题意得，， 解得：， 所以剩余空白部分的面积为24平方米； （3）解：由（2）知小长方形的面积为：平方米， 设种草的成本为y元， 由题意得，， 解得：， 所以种草的总费用为元，种植花卉的总费用元， 所以种草的总费用比种植花卉的总费用节约． 15．（23-24七年级上·四川绵阳·期末）糕点店中秋节前要制作一批盒装月饼，每盒装2块大月饼和6块小月饼，制作1块大月饼要用面粉，1块小月饼要用面粉． (1)若制作若干盒月饼共用了面粉，则制作了多少盒月饼？ (2)公司决定向该糕点厂定制月饼礼盒，该糕点厂给出的团购价格如下： 购买的数量（盒） 不超过60或刚好60 超过60 每盒单价（元） 200 180 若公司决定给45名员工和名客户各订购一盒月饼作为福利，用含的式子表示购买月饼的费用． 【答案】(1)制作了1200盒月饼． (2)当时，则购买月饼的费用为元：当时，则购买月饼的费用为元． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、列代数式，理解题意，正确列出代数式与方程是解此题的关键． （1）设制作了盒月饼，根据“制作若干盒月饼共用了面粉”列出一元一次方程，解方程即可得出答案； （2）分两种情况：当时，当时，分别列出代数式即可． 【详解】（1）解：设制作了盒月饼． 根据题意得， 解得． 答：制作了1200盒月饼． （2）解：当时，则购买月饼的费用为元： 当时，则购买月饼的费用为元． 学科网（北京）股份有限公司 $$