专题07 一元一次方程易错必刷题型专训（72题21个考点）-2024-2025学年七年级数学上册重难点专题提升精讲精练 （沪科版2024）

专题07 一元一次方程易错必刷题型专训（72题21个考点） 【易错必刷一 列方程】（共3小题） 1．（23-24七年级上·湖南衡阳·期中）用方程表示“比它的多3”正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·安徽安庆·期末）临近春节，商场开展打折促销活动，某商品如果按原售价的八折出售，将盈利10元；如果按原售价的六折出售，将亏损50元．问该商品的原售价为多少元？设该商品的原售价为x元，则列方程为 ． 3．（23-24七年级上·陕西渭南·阶段练习）用方程表示下列语句所表示的相等关系： (1)七年级学生人数为n，其中男生占，女生有人； (2)一种商品每件的进价为a元，售价为进价的倍，现每件又降价元，现售价为每件元． 【易错必刷二 方程的解】（共3小题） 1．（23-24七年级上·四川达州·期末）解为的方程是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·全国·期中）关于x的一元一次方程有解，则m的值为 ． 3．（23-24七年级上·浙江台州·期中）若不论k取什么实数，关于x的方程(是常数)的解总是，求的值． 【易错必刷三 等式的性质】（共3小题） 1．（24-25七年级上·全国·期中）若，，则（　　） A．3 B．8 C．13 D．无法确定 2．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知，则 ． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）利用等式的基本性质将方程化为的形式 (1)； (2)． 【易错必刷四 一元一次方程的定义】（共3小题） 1．（23-24七年级上·贵州遵义·期中）下列方程是一元一次方程的是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·全国·单元测试）已知是关于的一元一次方程，则的值为 ． 3．（23-24七年级上·全国·单元测试）已知关于的方程是一元一次方程，求的值． 【易错必刷五 一元一次方程的解法】（共12小题） 1．（2024七年级上·全国·专题练习）解下列方程：． 2．（24-25七年级上·黑龙江绥化·期中）解方程 (1) (2) 3．（24-25七年级上·江西上饶·开学考试）解方程 (1) (2) 4．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）解方程： (1)； (2)． 5．（23-24七年级上·内蒙古·期末）解方程： (1)； (2)． 6．（24-25七年级上·全国·课后作业）解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 7．（24-25七年级上·全国·单元测试）解下列方程 (1) (2) (3) 8．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 9．（2024七年级上·全国·专题练习）解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 10．（23-24七年级上·四川眉山·期中）关于x的一元一次方程，王小明在去分母时，方程右边的的项没有乘以6，因而求得的解是．试求a的值，并求出原方程的正确解． 11．（2024·浙江台州·二模）以下是亮亮解方程的解答过程． 解：去分母，得． 移项，得． 合并同类项，得． 亮亮的解答过程是否有错误？如果有错误，写出正确的解答过程． 12．（23-24七年级上·陕西榆林·期末）老师在黑板上出了一道解方程的题：，小明同学的解法如下： 解：方程两边同乘，得 ① 去括号，得 ② 合并同类项，得③ 解得 ④ 原方程的解为 ⑤ (1)上述解答过程中的第一步是______，依据是______； (2)从第______步出现错误填序号，错误原因是______； (3)请直接写出方程的解：______． 【易错必刷六 一元一次方程解法的拓展】（共3小题） 1．（23-24七年级上·福建泉州·期中）小南在解关于的一元一次方程时，由于粗心大意在去分母时出现漏乘错误，把原方程化为，并解得为，请根据以上已知条件求出原方程正确的解为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·四川眉山·期中）关于x的方程的解是正整数，满足条件的所有整数m的积是 ． 3．（23-24七年级上·湖南衡阳·期中）对于整数，，，，定义，如：； (1)计算：的值； (2)当时，求的值． 【易错必刷七 行程问题】（共3小题） 1．（23-24七年级上·重庆·期末）元旦假期小李去歌乐山爬山，上山每小时走，下山时按原路返回，下山每小时走，结果上山比下山多花小时，设下山所用时间为x小时，可列方程为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）一艘船逆水速度为每小时40千米，水速为每小时2千米，则此船顺水速度为每小时 千米． 3．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）一艘船从甲码头到乙码头顺水而行，用了；从乙码头返回甲码头逆水而行，用了．已知水流的速度是． 求： (1)船在静水中的平均速度； (2)甲、乙两地之间的距离． 【易错必刷八 配套问题】（共3小题） 1．（23-24七年级上·安徽安庆·期末）七年级手工社 27 名同学一起做某种规格的圆柱体，一个圆柱由一个长方形和两个圆形组成，每名学生每节课做长方形 16 个或圆形 22 个，若分配x名同学做长方形，其他同学做圆形，恰好使每节课做的长方形和圆形配套，则下列所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）某车间有21名工人，每人每天可以生产螺栓12个或螺母18个，设名工人生产螺栓，其他工人生产螺母，要求每天生产的螺栓和螺母按刚好配套，则可列方程为 ． 3．（23-24·安徽·模拟预测）车间技工加工相同原材料，技工加工千克原材料需要小时，技工加工千克原材料需要小时．已知车间主任将50千克原材料分配给两人进行加工，要求两人同时完成任务．求分配给技工的原材料各多少千克？ 【易错必刷九 工程问题】（共3小题） 1．（23-24七年级上·安徽六安·期末）被誉为“天下第一塘”的水门塘是我县的一张文化名片，为打造水门塘风光带，现有一段长为280米的堤岸维修任务由A、B两个工程队先后接力完成．A工程队每天维修12米，B工程队每天维修10米，两个工程队共用时25天．则A工程队维修堤岸多少米？（   ） A．160 B．170 C．180 D．190 2．（23-24七年级上·湖北武汉·阶段练习）整理一批图书，由一个人做要30h完成．现计划由一部分人先做1h，然后增加6人与他们一起做3h，完成这项工作．假设这些人的工作效率相同，应先安排 人工作． 3．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）一项工程，由甲、乙两个工程队合作完成．已知甲工程队单独完成需要4天，乙工程队单独完成需要6天． (1)甲、乙合作需要______天完成； (2)若先由乙工程队单独做1天，再由甲、乙两队合作完成．问还需几天可以完成这项工程？ 【易错必刷十 销售盈亏问题】（共3小题） 1．（2024·安徽合肥·二模）一件球服进价为300元，商店将进价提升后标价，再按标价的七五折销售，仍可获利的值是（    ） A．60 B．50 C．40 D．30 2．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）某商店把一种商品按标价的八折出售，每件获利是进价的，而该商品每件的进价为元，则该商品的标价是 元． 3．（2024·安徽·二模）书店在线上、线下同时销售某畅销书，线上每本的售价比线下优惠，某天该书店线上销售该畅销书本，线下销售本，线上的销售额比线下多元．求该畅销书线下销售时每本的售价． 【易错必刷十一 比赛积分】（共3小题） 1．（23-24七年级上·安徽亳州·期末）利辛县某次数学竞赛共有20道题，已知做对一道得4分，做错一道或不做扣一分，某同学最后的得分是55分，则他做对（    ）道题 A．16 B．15 C．14 D．13 2．（23-24七年级上·山东滨州·阶段练习）一支足球队参加比赛，组委会规定胜一场得3分，平一场得1分，该队开局9场保持不败，共积21分，则该队胜平了 场． 3．（24-25七年级上·四川成都·开学考试）5支球队进行足球比赛，每两支队之间都要赛一场，规定胜一场得3分，平一场各得 1分，负一场不得分．全部比赛结束后，发现 5 支球队共得 27 分，那么共有多少场平局？ 【易错必刷十二 方案选择】（共3小题） 1．（23-24七年级上·浙江温州·期末）甲单位到药店购买了一箱消毒水和元的口罩，乙单位在同一药店购买了一箱消毒水和元的口罩，乙单位购买总价只相当于甲单位购买总价的，一箱消毒水多少元？设一箱消毒水为元，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·甘肃武威·期末）某班全体同学参加义务植树活动，如果每人种6棵树，那么剩余15棵，如果每人种7棵树，那么还差33棵，问这个班共有人，树苗共有 棵． 3．（23-24七年级上·四川成都·开学考试）（经济问题）春节期间，某商店按下面两种方式促销，第一种方式：减价20元后再打八折；第二种方式：打八折再减20元．刘老师到商店买了两件不同的商品，其中一件按第一种方式促销，另一件按第二种方式促销，共花了252元．已知两件商品的原价都大于100元，而且其中一件商品的原价是另一件的整数倍（倍数大于1)，那么这两件商品的原价分别是多少元？ 【易错必刷十三 数字问题】（共3小题） 1．（24-25七年级上·安徽芜湖·开学考试）三个连续偶数的和是，最大的一个偶数是（    ） A．a B． C． D． 2．（24-25七年级上·全国·课后作业）一个两位数个位上的数是，十位上的数是．把与对调，新两位数比原两位数大．根据题意，可得方程 ． 3．（24-25七年级上·山东淄博·阶段练习）“九宫图”源于我国古代夏禹时期的“洛书”（图1），是世界上最早的矩阵，又称“幻方”，用今天的数学符号翻译出来，“洛书”就是一个三阶“幻方”（图2）．观察图1、图2，我们可以归纳出“九宫图”中各数字之间的关系．在新“幻方”（图3）中，求、的值． 【易错必刷十四 几何问题】（共3小题） 1．（23-24七年级上·辽宁鞍山·开学考试）有A，B两种规格的长方形纸板，如图1，无重合无缝隙的拼成如图2所示的正方形，已知该正方形的周长为，A长方形的宽为，则B长方形的面积是（    ）    A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·四川成都·开学考试）如图，长方形中，厘米，厘米，平行四边形的一边交于G，若梯形的面积为64平方厘米，则长为 ． 3．（23-24七年级上·吉林长春·期末）如图，在长方形中，，点P从点A出发，以每秒的速度沿折线运动，同时点Q从点C出发，以每秒的速度沿射线方向运动，当点P到达终点C时，点Q随之停止运动．设点P的运动时间为t（秒）． (1)①当点P在上运动时， _____．（用含t的代数式表示） ②当点P在上运动时， _____（用含t的代数式表示） (2)当点P运动到的中点时，求线段的长． (3)当点P与点Q到点B的距离相等时，求t的值． (4)当点P在上运动时，连接．直接写出的面积是时t的值． 【易错必刷十五 和差倍分问题】（共3小题） 1．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）安徽某中学开展校运动会，参加跳高的学生是参加立定跳远的学生的2倍少3人，已知参与这两项运动的人数共86人．设参加立定跳远的学生有人，则下列方程中正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）如图，在表内的各横行中，从第二个数开始，每个数都比左边的数大，各竖列中，从第二个数开始，每个数都比上边的数大，则表中的值是 ． 3．（2024·陕西西安·模拟预测）某校开展“垃圾分类”为主题的实践活动，将参与的120名学生分成宣传组和劳动组．在实践过程中，发现宣传组人手不足，因此从劳动组调给宣传组2人，则此时宣传组的人数是劳动组人数的一半．请问宣传组原有多少人？ 【易错必刷十六 电费和水费问题】（共3小题） 1．（23-24七年级上·安徽滁州·期中）为了鼓励居民节约用水，天长市自来水公司调整了新的自来水收费标准：用水每月不超过，按元收费，如果超过，超过部分按元收费．已知某用户某月交水费元，那么这个用户这个月用水（    ） A． B． C． D． 2．（2024·山东烟台·二模）某市居民每月用水收费标准如下：李阿姨家月份用水立方米，交水费元，若李阿姨月份交水费元，则李阿姨月份用水量是 ． 用水量立方米 单价元 剩余部分 3．（23-24七年级上·安徽安庆·期末）为增强公民节水意识，合理利用水资源，某市采用“阶梯收费”，标准如表： 用水量 单价 不超过6m3的部分 2元/m3 超过6m3不超过10m3的部分 4元/m3 超出10m3的部分 8元/m3 如：某用户2月份用水9m3，则应缴水费：（元）． (1)某用户3月用水8m3应缴水费 　 　元； (2)已知某用户4月份缴水费22元，求该用户4月份的用水量； (3)如果该用户5、6月份共用水18m3（6月份用水量超过5月份用水量，且5月份用水量不超过8m3），共交水费52元，则该户居民5、6月份各用水多少m3？ 【易错必刷十七 比例分配】（共3小题） 1．（23-24七年级上·安徽淮北·期末）幼儿园的老师给班上的小朋友分发糖果每人分发4个糖果还多了5个，每人分发5个糖果还缺10个，则小朋友的数量和糖果的数量分别是（　　） A．10，45 B．15，65 C．10，65 D．20，85 2．（23-24七年级上·江苏南京·阶段练习）有m辆客车n个人，若每辆客车乘40人，则还有10人不能上车，若每辆客车乘43人，则只有1人不能上车，有下列四个等式：①；②；③；④，其中正确的是 ． 3．（23-24七年级上·广东惠州·阶段练习）有甲乙丙三个仓库存放货物，已知甲乙两仓库存货吨数比为 ，乙丙两仓库存货吨数比为 ，若甲仓库向丙仓库运 吨货物，则两个仓库货物吨数相同，求甲仓库原来存货吨数是多少吨？ 【易错必刷十八 日历问题】（共3小题） 1．（23-24七年级上·山西临汾·期末）如图是某年1月份的日历表，在此表上可以用正方形圈出3×3个位置的9个数（如3，4，5，10，11，12，17，18，19），若圈出的9个数中，最大数与最小数的和为42，则这9个数的和为（    ） A．69 B．207 C．84 D．189 2．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在一张普通的月历中，任意圈出一竖列上的相邻的三个数，用方程的思想来研究，中间日期数为 时，三个日期数之和为69． 3．（23-24七年级上·吉林·开学考试）将整数1，2，3，…，2009按下列方式排列成数表，用斜十字框“”框出任意的5个数（如图），如果用，，，，（处于斜十字中心）表示类似“”形框中的5个数． (1)记，若最小，那么______，若S最大，那么______； (2)用等式表示，，，与之间的关系：______________； (3)若，求的值； (4)框出的五个数中，，，，的和能等于308吗？若能，求出的值；若不能，请说明理由． 【易错必刷十九 古代问题】（共3小题） 1．（23-24七年级上·山东临沂·开学考试）我国古代数学名著《张邱建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗．今持粟三斛，得酒六斗，问清、醑酒各几何？”意思是：现在一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值4斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了6斗酒，问清、醑酒各几斗？如果设醑酒x斗，那么可列方程组为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·山西大同·阶段练习）据我国古代《易经》记载，远古时期人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图，一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结，满五进一，用来记录采集到的野果的个数．她一共采集到了38个野果，则在第2根绳子上的打结数是 个． 3．（2024·安徽合肥·模拟预测）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作之一，书中记载：“今有人共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三，问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出五钱，还差四十五钱；若每人出七钱，还差三钱．问合伙人数和羊价各是多少？ 【易错必刷二十 一元一次方程的含参问题】（共3小题） 1．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知关于的方程的解是，则的值为（    ） A． B．3 C． D． 2．（23-24七年级上·贵州铜仁·期末）已知是方程解，则 ． 3．（23-24七年级上·四川宜宾·阶段练习）若代数式的值比的值大3，求a的值， 【易错必刷二十一 一元一次方程的新定义问题】（共3小题） 1．（23-24七年级上·湖南衡阳·阶段练习）定义运算“*”，其规则为，则方程的解为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·江苏扬州·期中）我们定义一种新的运算：，其中等号右边的运算为正常的加减乘除运算，例如 ． (1)在上述运算法则下， ． (2)在上述运算法则下，若，则 ． (3)在上述运算法则下，若不论取何值时，等式总成立，则的值为 ． 3．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知a、b为有理数，且，若关于x的一元一次方程的解为，则此方程为“合并式方程”．例如：，∴此方程为“合并式方程”，请根据上述定义解答下列问题： (1)一元一次方程是否是“合并式方程”？并说明理由； (2)若关于x的一元一次方程是“合并式方程”，且它的解为，求a、b的值 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 一元一次方程易错必刷题型专训（72题21个考点） 【易错必刷一 列方程】（共3小题） 1．（23-24七年级上·湖南衡阳·期中）用方程表示“比它的多3”正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键．根据题意列出方程即可． 【详解】解：表示“比它的多3”，可列方程为． 故选：B． 2．（23-24七年级上·安徽安庆·期末）临近春节，商场开展打折促销活动，某商品如果按原售价的八折出售，将盈利10元；如果按原售价的六折出售，将亏损50元．问该商品的原售价为多少元？设该商品的原售价为x元，则列方程为 ． 【答案】0.8x-10=0.6x+50 【分析】设该商品的原售价为x元，然后根据成本不变列出方程即可． 【详解】解：设该商品的原售价为x元， 根据题意得：0.8x-10=0.6x+50， 故答案为：0.8x-10=0.6x+50． 【点睛】此题考查了从实际问题中抽象出一元一次方程，弄清题中的等量关系是解本题的关键． 3．（23-24七年级上·陕西渭南·阶段练习）用方程表示下列语句所表示的相等关系： (1)七年级学生人数为n，其中男生占，女生有人； (2)一种商品每件的进价为a元，售价为进价的倍，现每件又降价元，现售价为每件元． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，男生人数为，也可以表示为，因此列出方程即可； （2）根据题意，售价为，现售价为，因为现售价为每件元，即可列出方程． 【详解】（1）解：根据题意， （2）解：根据题意， ， 【点睛】本题考查了列一元一次方程等知识内容，正确理解并列出等价的方程是解题的关键． 【易错必刷二 方程的解】（共3小题） 1．（23-24七年级上·四川达州·期末）解为的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了方程的解，注意掌握方程的解就是能够使方程两边左右相等的未知数的值． 将代入各方程，能满足左边=右边的，即是正确选项． 【详解】解：A、将代入，左边，右边，左边右边，故本选项错误； B、将代入，左边，右边，左边右边，故本选项错误； C、将代入，左边，右边，左边=右边，故本选项正确； D、将代入，左边，右边，左边右边，故本选项错误； 故选：C． 2．（23-24七年级上·全国·期中）关于x的一元一次方程有解，则m的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解，利用了一元一次方程中一次项的系数不等于零．根据一元一次方程有解，可得一次项的系数不等于零． 【详解】解：由，可得， 关于的一元一次方程有解， ， 解得：． 故答案为：． 3．（23-24七年级上·浙江台州·期中）若不论k取什么实数，关于x的方程(是常数)的解总是，求的值． 【答案】 【分析】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 把代入方程计算，求出与的值，即可求出的值． 【详解】解：把代入方程得： 去分母得：， 整理得：， ∵不论取什么实数，关于的方程(是常数的解总是， ∴， 解得：， 则． 【易错必刷三 等式的性质】（共3小题） 1．（24-25七年级上·全国·期中）若，，则（　　） A．3 B．8 C．13 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题主要考查了等式的性质，根据等式的性质得到，再由得到，则． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 2．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查了等式的性质，根据等式两边同时加上或者减去同一个数，等式仍成立，据此即可作答． 【详解】解：∵， ∴等式两边同时加上3，得， ∴等式两边同时减去上，得， 故答案为：4． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）利用等式的基本性质将方程化为的形式 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查利用等式的基本性质解方程． （1）去括号后，先在方程两边同时加上6，再在方程两边同时减去x，即可求解； （2）方程两边同时乘以12后去括号并化简，再在方程两边同时减去7，最后方程两边同时除以7，即可解答． 【详解】（1）解：， 去括号得：， 方程两边同时加上6，得：， 即：， 方程两边同时减去x，得：， 即； （2）解：． 方程两边同时乘以12，得：， 去括号得：， 化简，得：， 方程两边同时减去7，得， 方程两边同时除以7，得：． 【易错必刷四 一元一次方程的定义】（共3小题） 1．（23-24七年级上·贵州遵义·期中）下列方程是一元一次方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，解题的关键是掌握判断一元一次方程要分为两步：（1）判断是否是整式方程；（2）对整式方程化简，化简后判断是否只含有一个未知数，并且未知数的指数是1只含有一个未知数． 【详解】解：A．符合一元一次方程的定义，是一元一次方程，故正确，符合题意； B．含有两个未知数，是二元一次方程，故错误，不符合题意； C．未知数的最高次数是2，是一元二次方程，故错误，不符合题意； D．分母含有未知数，是分式方程，故错误，不符合题意． 故选：A． 2．（24-25七年级上·全国·单元测试）已知是关于的一元一次方程，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一元一次方程的概念，熟练掌握一元一次方程的定义是解题的关键． 根据一元一次方程的概念可得且，求解即可． 【详解】解：∵是关于的一元一次方程， ∴且， ∴． 故答案为：． 3．（23-24七年级上·全国·单元测试）已知关于的方程是一元一次方程，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查的是一元一次方程的定义，熟练掌握一元一次方程的定义是解题的关键． 根据只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程，列出方程与不等式，求解即可． 【详解】解：由题意，得，且， 所以，且， 所以． 【易错必刷五 一元一次方程的解法】（共12小题） 1．（2024七年级上·全国·专题练习）解下列方程：． 【答案】 【分析】本题考查的是一元一次方程的解法，掌握解一元一次方程的步骤与方法是解本题的关键．先去括号，再移项，合并同类项，把未知数的系数化1即可． 【详解】解：， 去括号得：， 移项得：． 2．（24-25七年级上·黑龙江绥化·期中）解方程 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤是解题的关键． （1）合并同类项、系数化为一即可解答． （2）移项、合并同类项、系数化为一即可解答． 【详解】（1）解： 合并同类项得：， 系数化为一得：； （2）解： 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为一得：． 3．（24-25七年级上·江西上饶·开学考试）解方程 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程，等式的性质，以及比例基本性质是解方程的依据，解方程时注意对齐等号． （1）先合并同类项，再依据等式的性质，方程两边同时除以求解， （2）先根据比例基本性质：两内项之积等于两外项之积，化简方程，再依据等式的性质，方程两边同时除以求解， 【详解】（1）解：， ， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ， 4．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解一元一次方程，掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． （1）根据解一元一次方程的步骤：去括号，移项，合并同类项，系数化为1，进行求解即可； （2）根据解一元一次方程的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，进行求解即可． 【详解】（1）解： 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得； （2）解： 去分母，得 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 5．（23-24七年级上·内蒙古·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解一元一次方程： （1）移项，合并，系数化1，求解即可； （2）去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1． 【详解】（1）解：， 移项，得， 合并同类项，得， 把系数化为1，得； （2）， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 把系数化为1，得． 6．（24-25七年级上·全国·课后作业）解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1． （1）方程去括号，移项，合并同类项即可求出解； （2）方程移项合并，把x系数化为1，即可求出解； （3）方程去分母，移项即可求出解； （4）方程去分母，移项合并，把x系数化为1，即可求出解． 【详解】（1） 去括号得， 移项，合并同类项得，； （2） 移项，合并同类项得， 系数化为1得，； （3） 去分母得， 移项得，； （4） 去分母得， 移项，合并同类项得， 系数化为1得，． 7．（24-25七年级上·全国·单元测试）解下列方程 (1) (2) (3) 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的解法是解本题的关键． （1）方程去分母，去括号，移项，合并，即可求出解； （2）方程整理后，去分母，移项，合并，把x系数化为1，即可求出解； （3）方程去括号，移项，合并，把x系数化为1，即可求出解． 【详解】（1）解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项合并，得； （2）解：整理得， 去括号，得， 移项合并，得， 把x系数化为1，得； （3）解：， 去括号，得， 移项合并，得， 把x系数化为1，得． 8．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】本题考查了解一元一次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先去括号，再移项，然后去括号，合并同类项，最后系数化1，据此即可作答． （2）先去括号，再移项，然后去括号，合并同类项，最后系数化1，据此即可作答． （3）先去分母，再括号，再移项，然后去括号，合并同类项，最后系数化1，据此即可作答． （4）先去分母，再括号，再移项，然后去括号，合并同类项，最后系数化1，据此即可作答． 【详解】（1）解：， 去括号，， 移项，， 合并同类项，， 系数化1，； （2）解：， 去括号，， 移项，， 合并同类项，， 系数化1，； （3）解：， 去分母，， 去括号，， 移项，， 合并同类项，， 系数化1，； （4）解：， 去分母，， 去括号，， 移项，， 合并同类项，， 系数化1，． 9．（2024七年级上·全国·专题练习）解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的解法是解题的关键； （1）按照去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解一元一次方程； （2）按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解一元一次方程即可求解； （3）方程两边同时乘以，依次去括号，即可求解； （4）先裂项化简，再通分，然后系数化为1即可． 【详解】（1）解： ， 去括号，， 移项，， 合并同类项，， 化系数为1，； （2）解：， 去分母，， 去括号，， 移项，， 合并同类项，， 化系数为1，； （3）解： 两边同时乘以，得， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：； （4） 裂项，得：， 化简，得：， 通分，得：， 系数化为1，得： 10．（23-24七年级上·四川眉山·期中）关于x的一元一次方程，王小明在去分母时，方程右边的的项没有乘以6，因而求得的解是．试求a的值，并求出原方程的正确解． 【答案】， 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，先把代入，求出a的值，然后再得出原方程为，解方程即可． 【详解】解：把代入得：， ∴原方程为， 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得． 11．（2024·浙江台州·二模）以下是亮亮解方程的解答过程． 解：去分母，得． 移项，得． 合并同类项，得． 亮亮的解答过程是否有错误？如果有错误，写出正确的解答过程． 【答案】亮亮的解答过程有错误，解答过程见解析 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程的方法，准确计算；先去分母，再去括号，然后移项并合并同类项，最后系数化为1即可得解． 【详解】解：亮亮的解答过程有错误． 正确的解答过程： 去分母，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：． 12．（23-24七年级上·陕西榆林·期末）老师在黑板上出了一道解方程的题：，小明同学的解法如下： 解：方程两边同乘，得 ① 去括号，得 ② 合并同类项，得③ 解得 ④ 原方程的解为 ⑤ (1)上述解答过程中的第一步是______，依据是______； (2)从第______步出现错误填序号，错误原因是______； (3)请直接写出方程的解：______． 【答案】(1)去分母，等式的性质 (2)②，去括号时第二项没变号 (3) 【分析】本题考查了解一元一次方程； （1）根据解一元一次方程的步骤和等式的性质可得答案； （2）根据去括号法则可得答案； （3）根据去分母、去括号、合并同类项、移项的步骤求出方程的解即可. 【详解】（1）解：解答过程中的第一步是去分母，依据是等式的性质， 故答案为：去分母，等式的性质； （2）从第②步出现错误填序号，错误原因是去括号时第二项没变号， 故答案为：②，去括号时第二项没变号； （3）解：方程两边同乘，得， 去括号，得， 合并同类项，得， 解得， 原方程的解为， 故答案为：． 【易错必刷六 一元一次方程解法的拓展】（共3小题） 1．（23-24七年级上·福建泉州·期中）小南在解关于的一元一次方程时，由于粗心大意在去分母时出现漏乘错误，把原方程化为，并解得为，请根据以上已知条件求出原方程正确的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次方程的错解问题．把代入，可得，再把把代入，即可求解． 【详解】解：把代入得： ，解得：， 把代入，得： ， 解得：． 故选：C 2．（23-24七年级上·四川眉山·期中）关于x的方程的解是正整数，满足条件的所有整数m的积是 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查的是一元一次方程的解，依据方程的解为整数求得m的值是解题的关键．先解关于x的方程，求得，然后由方程的解为整数可求得m的值． 【详解】解：， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为1得：． ∵方程的解为正整数， ∴，， ∴或3， ∴满足条件的所有整数m的积为． 故答案是：6． 3．（23-24七年级上·湖南衡阳·期中）对于整数，，，，定义，如：； (1)计算：的值； (2)当时，求的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了解一元一次方程，能根据新定义得出方程是解此题的关键． （1）根据新定义得出，进一步计算即可求解； （2）根据新定义得出，再解一元一次方程即可． 【详解】（1）解：； （2）解：∵， ∴， 解得． 【易错必刷七 行程问题】（共3小题） 1．（23-24七年级上·重庆·期末）元旦假期小李去歌乐山爬山，上山每小时走，下山时按原路返回，下山每小时走，结果上山比下山多花小时，设下山所用时间为x小时，可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查根据实际问题列一元一次方程，根据上山和下山的路程相等，列出方程即可． 【详解】解：设下山所用时间为x小时，则上山的时间为小时，由题意，得： ； 故选B． 2．（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）一艘船逆水速度为每小时40千米，水速为每小时2千米，则此船顺水速度为每小时 千米． 【答案】44 【分析】本题考查一元一次方程的应用，掌握顺流速度船在静水中速度水的速度，逆流速度船在静水中速度水的速度是解题的关键；设顺流速度为每小时x千米，根据上述两个关系列出方程即可求解． 【详解】解：设顺流速度为每小时x千米，则船在静水中速度为每小时千米， 由逆水速度等于静水中速度与水的速度的差得：， 解方程得：； 即此船顺水速度为每小时40千米． 故答案为：40． 3．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）一艘船从甲码头到乙码头顺水而行，用了；从乙码头返回甲码头逆水而行，用了．已知水流的速度是． 求： (1)船在静水中的平均速度； (2)甲、乙两地之间的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，熟练掌握航行问题的基本等量关系及找准题目中的等量关系进行列式求解是解决本题的关键． （1）根据题意以甲码头到乙码头的路程是一定的为等量关系，设船在静水中的速度为，进而列方程求解即可． （2）运用速度乘上时间等于距离列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：设船在静水中的速度为，依题意得： ， 解得， ∴船在静水中的平均速度为； （2）解：依题意，船在静水中的平均速度为， ∴甲乙两码头之间的距离为， ∴甲乙两码头之间的距离． 【易错必刷八 配套问题】（共3小题） 1．（23-24七年级上·安徽安庆·期末）七年级手工社 27 名同学一起做某种规格的圆柱体，一个圆柱由一个长方形和两个圆形组成，每名学生每节课做长方形 16 个或圆形 22 个，若分配x名同学做长方形，其他同学做圆形，恰好使每节课做的长方形和圆形配套，则下列所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，正确分析题中的数量关系是解答本题的关键，若分配x名同学做长方形，则做圆形的同学有人，并且每节课内可做长方形个，圆形个，要使每节课做的长方形和圆形配套，圆形的数量是长方形数量的2倍，据此列出方程即可． 【详解】若分配x名同学做长方形，则做圆形的同学有人，根据题意得，， 故选：D． 2．（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）某车间有21名工人，每人每天可以生产螺栓12个或螺母18个，设名工人生产螺栓，其他工人生产螺母，要求每天生产的螺栓和螺母按刚好配套，则可列方程为 ． 【答案】 【分析】此题中的等量关系有：①生产螺栓人数+生产螺母人数=21人；②每天生产的螺栓和螺母按1：2配套，那么螺栓要想与螺母的数量配套，则螺栓数量的2倍=螺母数量． 【详解】解：设名工人生产螺栓， 根据生产螺栓人数+生产螺母人数=21人，生产螺母人数为 （21- y）人， 根据螺栓数量的2倍=螺母数量，得方程2×12y=18(21-y)． 故答案为：2×12y=18(21-y)． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，难点在于理解第二个等量关系：若要保证配套，则生产的螺母的数量是生产的螺栓数量的2倍，所以列方程的时候，应是螺栓数量的2倍=螺母数量． 3．（23-24·安徽·模拟预测）车间技工加工相同原材料，技工加工千克原材料需要小时，技工加工千克原材料需要小时．已知车间主任将50千克原材料分配给两人进行加工，要求两人同时完成任务．求分配给技工的原材料各多少千克？ 【答案】分配给技工的原材料为20.4千克，分配给技工的原材料为29.6千克 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，根据题意找出等量关系，列出等式是解题关键．设分配给技工的原材料为千克，则分配给技工的原材料为千克，根据题意可列出关于x的等式，解之即可． 【详解】解：设分配给技工的原材料为千克，则分配给技工的原材料为千克， 依题意，得：， 解得：， 当时，． 答：分配给技工的原材料为20.4千克，分配给技工的原材料为29.6千克． 【易错必刷九 工程问题】（共3小题） 1．（23-24七年级上·安徽六安·期末）被誉为“天下第一塘”的水门塘是我县的一张文化名片，为打造水门塘风光带，现有一段长为280米的堤岸维修任务由A、B两个工程队先后接力完成．A工程队每天维修12米，B工程队每天维修10米，两个工程队共用时25天．则A工程队维修堤岸多少米？（   ） A．160 B．170 C．180 D．190 【答案】C 【分析】本题考查一元一次方程与工程问题．正确理解题意是关键． 设A工程队维修堤岸x米，根据两个工程队共用时25天即可建立一元一次方程求解． 【详解】解：设A工程队维修堤岸x米， 根据题意得：， 解得． 答：设A工程队维修堤岸180米． 故选：C． 2．（23-24七年级上·湖北武汉·阶段练习）整理一批图书，由一个人做要30h完成．现计划由一部分人先做1h，然后增加6人与他们一起做3h，完成这项工作．假设这些人的工作效率相同，应先安排 人工作． 【答案】3 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．根据题意可以列出相应的方程，从而可以解答本题． 【详解】解：设应先安排x人工作，根据题意得： ， 解得：， 答：应先安排3人工作． 故答案为：3． 3．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）一项工程，由甲、乙两个工程队合作完成．已知甲工程队单独完成需要4天，乙工程队单独完成需要6天． (1)甲、乙合作需要______天完成； (2)若先由乙工程队单独做1天，再由甲、乙两队合作完成．问还需几天可以完成这项工程？ 【答案】(1) (2)天 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，涉及工作总量、工作时间、工作效率等知识内容，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）设甲乙合作需要x天完成，因为甲工程队单独完成需要4天，乙工程队单独完成需要6天，则，解出即可作答． （2）依题意，设还需要y天，因为乙工程队单独做1天，再由甲、乙两队合作完成，所以，解出即可作答． 【详解】（1）解：设甲乙合作需要x天完成， 依题意：， 解得 ， 所以需要天； （2）解：设还需要y天： 依题意，， 解得， 故还需要2天． 【易错必刷十 销售盈亏问题】（共3小题） 1．（2024·安徽合肥·二模）一件球服进价为300元，商店将进价提升后标价，再按标价的七五折销售，仍可获利的值是（    ） A．60 B．50 C．40 D．30 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，根据题意可得实际售价为元，再根据利润实际售价进价列出方程求解即可． 【详解】解：由题意得，， 解得， 故选：A． 2．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）某商店把一种商品按标价的八折出售，每件获利是进价的，而该商品每件的进价为元，则该商品的标价是 元． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设该商品的标价为每件元，根据“八折出售可获利”列出方程，求解即可．找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．． 【详解】解：设该商品的标价为每件元， 由题意得：， 解得：． ∴该商品的标价为每件元． 故答案为：． 3．（2024·安徽·二模）书店在线上、线下同时销售某畅销书，线上每本的售价比线下优惠，某天该书店线上销售该畅销书本，线下销售本，线上的销售额比线下多元．求该畅销书线下销售时每本的售价． 【答案】该畅销书线下销售时每本的售价为元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，熟练掌握销售问题的解法是解题的关键．设该畅销书线下每本的售价为元，根据题意，得，求解即可． 【详解】解：设该畅销书线下每本的售价为元，则线上每本的售价为元． 由题意，得， 解得． 答：该畅销书线下销售时每本的售价为元． 【易错必刷十一 比赛积分】（共3小题） 1．（23-24七年级上·安徽亳州·期末）利辛县某次数学竞赛共有20道题，已知做对一道得4分，做错一道或不做扣一分，某同学最后的得分是55分，则他做对（    ）道题 A．16 B．15 C．14 D．13 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设他做对道，则做错或不做道，根据等量关系列出方程并解方程即可求解，理清题意，根据等量关系列出方程是解题的关键． 【详解】解：设他做对道，则做错或不做道， 依题意得：， 解得：， 答：他做对15道题， 故选：B． 2．（23-24七年级上·山东滨州·阶段练习）一支足球队参加比赛，组委会规定胜一场得3分，平一场得1分，该队开局9场保持不败，共积21分，则该队胜平了 场． 【答案】6 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，设该队胜了x场，则败了场，根据开局9场保持不败，共积21分列出方程求解即可． 【详解】解：设该队胜了x场，则败了场， 由题意得，， 解得， ∴该队胜了6场， 故答案为：6． 3．（24-25七年级上·四川成都·开学考试）5支球队进行足球比赛，每两支队之间都要赛一场，规定胜一场得3分，平一场各得 1分，负一场不得分．全部比赛结束后，发现 5 支球队共得 27 分，那么共有多少场平局？ 【答案】3场 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，先求出5支球队需要比赛的场数，设共有x场平局列出x的一元一次方程求解即可得出答案． 【详解】解：5支球队需要比赛（场）， 设共有x场平局，根据题意有： ， 解得： 答：共有3场平局． 【易错必刷十二 方案选择】（共3小题） 1．（23-24七年级上·浙江温州·期末）甲单位到药店购买了一箱消毒水和元的口罩，乙单位在同一药店购买了一箱消毒水和元的口罩，乙单位购买总价只相当于甲单位购买总价的，一箱消毒水多少元？设一箱消毒水为元，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可知：甲单位花的钱数的乙单位花的总钱数，然后列出方程即可． 【详解】解：由题意可得， ， 故选：D． 【点睛】本题考查的是一元一次方程，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程． 2．（23-24七年级上·甘肃武威·期末）某班全体同学参加义务植树活动，如果每人种6棵树，那么剩余15棵，如果每人种7棵树，那么还差33棵，问这个班共有人，树苗共有 棵． 【答案】303 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是找出合适的等量关系列出方程，再求解．设这个班共有x名同学，根据等量关系：如果每人种6棵树，那么剩余15棵树苗；如果每人种7棵树，那么还差33棵树苗，列出方程求解即可． 【详解】解：设这个班共有x名同学，依题意有 ， 解得， 棵． 故答案为：303． 3．（23-24七年级上·四川成都·开学考试）（经济问题）春节期间，某商店按下面两种方式促销，第一种方式：减价20元后再打八折；第二种方式：打八折再减20元．刘老师到商店买了两件不同的商品，其中一件按第一种方式促销，另一件按第二种方式促销，共花了252元．已知两件商品的原价都大于100元，而且其中一件商品的原价是另一件的整数倍（倍数大于1)，那么这两件商品的原价分别是多少元？ 【答案】120元和240元 【分析】本题主要考查折扣问题，关键根据题意设未知数，根据等量关系列方程解答． 根据题意，因为已知两件商品的原价都大于100元，而且其中一件商品的原价是另一件的整数倍（倍数大于1），两件商品的现价是252元，所以设原价元和元，根据优惠情况分别计算两种商品的原价，找到符合题意的价钱即可． 【详解】解：设两件商品的原价分别是元和元． （元 答：两件商品的原价分别是120元和240元． 【易错必刷十三 数字问题】（共3小题） 1．（24-25七年级上·安徽芜湖·开学考试）三个连续偶数的和是，最大的一个偶数是（    ） A．a B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．先设最大的偶数，再根据三个连续的偶数的和是，即可列出相应的方程，然后求解即可． 【详解】解：设最大的偶数为x，则另为两个偶数为，， 由题意可得：， 解得， 故选：B． 2．（24-25七年级上·全国·课后作业）一个两位数个位上的数是，十位上的数是．把与对调，新两位数比原两位数大．根据题意，可得方程 ． 【答案】 【分析】本题考查了列一元一次方程，找准等量关系是解题的关键． 先表示出原来的两位数和新两位数，根据新两位数比原两位数大列出方程即可． 【详解】解：由题意得：原两位数是，新两位数是， 则， 故答案为：． 3．（24-25七年级上·山东淄博·阶段练习）“九宫图”源于我国古代夏禹时期的“洛书”（图1），是世界上最早的矩阵，又称“幻方”，用今天的数学符号翻译出来，“洛书”就是一个三阶“幻方”（图2）．观察图1、图2，我们可以归纳出“九宫图”中各数字之间的关系．在新“幻方”（图3）中，求、的值． 【答案】， 【分析】本题考查了一元一次方程、组的应用以及数学常识．根据新“幻方”每行、每列及对角线的和相等，即可得出关于a，b的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：根据题意得：新“幻方”每行、每列及对角线的和相等， ∴，， 解得：，． 故答案为：，． 【易错必刷十四 几何问题】（共3小题） 1．（23-24七年级上·辽宁鞍山·开学考试）有A，B两种规格的长方形纸板，如图1，无重合无缝隙的拼成如图2所示的正方形，已知该正方形的周长为，A长方形的宽为，则B长方形的面积是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解． 设长方形的宽是，则长方形的长是，大正方形的边长为，根据大正方形周长为，列出方程求解即可． 【详解】解：设长方形的宽是，则长方形的长是，大正方形的边长为， 该正方形的周长为， ， 解得：． 长方形的宽是，则长方形的长是， B长方形的面积：． 故选：D． 2．（24-25七年级上·四川成都·开学考试）如图，长方形中，厘米，厘米，平行四边形的一边交于G，若梯形的面积为64平方厘米，则长为 ． 【答案】8厘米 【分析】本题考查了梯形的面积公式，一元一次方程的实际运用，解题的关键是设未知数，找准等量关系，建立方程求解．根据图形可得，设的长度为厘米，则有，解出方程即可． 【详解】解：由图可知：长方形和平行四边形底边和高相同，故它们面积相同， ，平方厘米，， ， 设的长度为厘米， 则 ， 即长为4 厘米， 则厘米， 故答案为：8厘米． 3．（23-24七年级上·吉林长春·期末）如图，在长方形中，，点P从点A出发，以每秒的速度沿折线运动，同时点Q从点C出发，以每秒的速度沿射线方向运动，当点P到达终点C时，点Q随之停止运动．设点P的运动时间为t（秒）． (1)①当点P在上运动时， _____．（用含t的代数式表示） ②当点P在上运动时， _____（用含t的代数式表示） (2)当点P运动到的中点时，求线段的长． (3)当点P与点Q到点B的距离相等时，求t的值． (4)当点P在上运动时，连接．直接写出的面积是时t的值． 【答案】(1)①；② (2) (3)或 (4)或2 【分析】本题主要考查了列代数式，一元一次方程的应用： （1）①求出，则；②先求出点P的运动路程再减去的长即可得到答案； （2）根据题意可得方程，解方程即可得到答案； （3）分当点P在上运动时，当点P在上运动时，两种情况建立方程求解即可； （4）根据三角形面积公式求出，据此建立方程求解即可． 【详解】（1）解：①由题意得，当点P在上运动时，， ∴， 故答案为：； ②由题意得，当点P在上运动时，， 故答案为：； （2）解：由题意得，， ∴， ∴， ∴； （3）解：当点P在上运动时，则， 解得； 当点P在上运动时，则， 解得； 综上所述，当点P与点Q到点B的距离相等时，或； （4）解：∵的面积是， ∴， ∴， ∴或， 解得或， ∴当的面积是时t的值为或2． 【易错必刷十五 和差倍分问题】（共3小题） 1．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）安徽某中学开展校运动会，参加跳高的学生是参加立定跳远的学生的2倍少3人，已知参与这两项运动的人数共86人．设参加立定跳远的学生有人，则下列方程中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，设参加立定跳远的学生有人，则参加跳高的学生有人，根据“参加跳高的学生是参加立定跳远的学生的2倍少3人，已知参与这两项运动的人数共86人”即可求解．解题的关键是找到正确的等量关系． 【详解】解：设参加立定跳远的学生有人，则参加跳高的学生有人， 由题意可得，， 故选：D． 2．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）如图，在表内的各横行中，从第二个数开始，每个数都比左边的数大，各竖列中，从第二个数开始，每个数都比上边的数大，则表中的值是 ． 【答案】25 【分析】如图所示，根据题意可知，，由此求解即可． 【详解】解：如图所示，由题意可知， ， 由①得，把代入②中得，把代入④中得，把代入到③得， 故答案为：25． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，正确理解题意是关键． 3．（2024·陕西西安·模拟预测）某校开展“垃圾分类”为主题的实践活动，将参与的120名学生分成宣传组和劳动组．在实践过程中，发现宣传组人手不足，因此从劳动组调给宣传组2人，则此时宣传组的人数是劳动组人数的一半．请问宣传组原有多少人？ 【答案】宣传组原有38人． 【分析】本题考查一元一次方程得应用，解题的关键是找准等量关系，正确的列出方程． 设宣传组原有x人，根据调完后宣传组的人数是劳动组人数的一半，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设宣传组原有x人， 由题意，得：， 解得：． 答：宣传组原有38人． 【易错必刷十六 电费和水费问题】（共3小题） 1．（23-24七年级上·安徽滁州·期中）为了鼓励居民节约用水，天长市自来水公司调整了新的自来水收费标准：用水每月不超过，按元收费，如果超过，超过部分按元收费．已知某用户某月交水费元，那么这个用户这个月用水（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据可知，该用户这个月用水超过，设这个月用水，列方程求解即可． 【详解】解：， ∴该用户这个月用水超过， 设这个月用水， 则， 解得：， 即该用户这个月用水． 故选：D． 2．（2024·山东烟台·二模）某市居民每月用水收费标准如下：李阿姨家月份用水立方米，交水费元，若李阿姨月份交水费元，则李阿姨月份用水量是 ． 用水量立方米 单价元 剩余部分 【答案】立方米/ 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据“李阿姨家月份用水立方米，交水费元”求得的值；然后由“李阿姨月份交水费元”知＞，根据阶梯收费标准列出方程并解答． 【详解】解：由题意知：， 解得． 所以元． 设李阿姨月份用水量是立方米，则： ． 解得． 故答案为：立方米． 3．（23-24七年级上·安徽安庆·期末）为增强公民节水意识，合理利用水资源，某市采用“阶梯收费”，标准如表： 用水量 单价 不超过6m3的部分 2元/m3 超过6m3不超过10m3的部分 4元/m3 超出10m3的部分 8元/m3 如：某用户2月份用水9m3，则应缴水费：（元）． (1)某用户3月用水8m3应缴水费 　 　元； (2)已知某用户4月份缴水费22元，求该用户4月份的用水量； (3)如果该用户5、6月份共用水18m3（6月份用水量超过5月份用水量，且5月份用水量不超过8m3），共交水费52元，则该户居民5、6月份各用水多少m3？ 【答案】(1)20 (2)该户4月份用水； (3)5月份用水，6月份用水量为． 【分析】此题考查了列代数式及一元一次方程的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系列式求解． （1）根据表格中的收费标准，求出水费即可； （2）根据缴水费22元，可得4月份用水量在6m3到10m3之间，故可求解； （3）根据6月份用水量超过5月份用水量，得到6月份用水量多于9m3，分①当时，②当时，③当时，，列方程可解答． 【详解】（1）解：则应缴水费：（元， 故答案为：20； （2）解：该用户4月份交水费22元，， 设该户居民4月份用水， 根据题意得出：， 解得：． 故该户4月份用水； （3）解：设该户居民5月份用水，则6月份用水， 该用户6月份用水量超过5月份用水量， ， ①当时，，根据题意得： ，解得：， ， 当时，无解． ②当时，，根据题意得： ， 解得：， 检验知：符合题意，此时； ③当时，，根据题意得： ， 化简得：． 当时，无解． 综上知：5月份用水，6月份用水量为． 【易错必刷十七 比例分配】（共3小题） 1．（23-24七年级上·安徽淮北·期末）幼儿园的老师给班上的小朋友分发糖果每人分发4个糖果还多了5个，每人分发5个糖果还缺10个，则小朋友的数量和糖果的数量分别是（　　） A．10，45 B．15，65 C．10，65 D．20，85 【答案】B 【分析】设小朋友的数量是x人，则糖果的数量为（4x+5）颗，再根据每人分发5个糖果还缺10个，列出方程求解即可． 【详解】解：设小朋友的数量是x人，则糖果的数量为（4x+5）颗， 由题意得：， 解得， ∴小朋友的数量为15人， ∴糖果的数量是4×15+5=65颗， 故选B． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，解题的关键在于能够准确找到等量关系进行求解． 2．（23-24七年级上·江苏南京·阶段练习）有m辆客车n个人，若每辆客车乘40人，则还有10人不能上车，若每辆客车乘43人，则只有1人不能上车，有下列四个等式：①；②；③；④，其中正确的是 ． 【答案】②③ 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，考查列方程解应用题的能力，寻找相等关系是关键．根据总的人数不变及总的客车数量，分别列方程，然后逐一判断即可． 【详解】解：根据人数相等列方程为：； 根据车数相等列方程为：， 即正确的是②③， 故答案为：②③． 3．（23-24七年级上·广东惠州·阶段练习）有甲乙丙三个仓库存放货物，已知甲乙两仓库存货吨数比为 ，乙丙两仓库存货吨数比为 ，若甲仓库向丙仓库运 吨货物，则两个仓库货物吨数相同，求甲仓库原来存货吨数是多少吨？ 【答案】甲仓库原来存货 吨 【分析】设甲仓库原来存货吨数是吨，则乙仓库原来的存货吨数为吨，丙仓库原来的存货吨数为吨，根据题意列出一元一次方程，解方程即可求解． 【详解】解：∵甲乙两仓库存货吨数比为 ，乙丙两仓库存货吨数比为 ，即甲乙丙仓库的存货吨数比为， ∴设甲仓库原来存货吨数是吨，则乙仓库原来的存货吨数为吨，丙仓库原来的存货吨数为吨， 根据题意得， 解得：， ∴甲仓库原来存货吨数是吨， 答：甲仓库原来存货 吨． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键． 【易错必刷十八 日历问题】（共3小题） 1．（23-24七年级上·山西临汾·期末）如图是某年1月份的日历表，在此表上可以用正方形圈出3×3个位置的9个数（如3，4，5，10，11，12，17，18，19），若圈出的9个数中，最大数与最小数的和为42，则这9个数的和为（    ） A．69 B．207 C．84 D．189 【答案】D 【分析】本题考查一元一次方程的应用（日历问题），由日历表可知，圈出的9个数中，最大数与最小数的差总为16，故圈出的最小数为x，则圈出的最大数为；接下来根据圈出的9个数中最大数与最小数的和为42可列方程，求解即可得到圈出最小数；此时再根据圈出的9个数中，每一行相邻两数相差1，每一列相邻两数相差7即可写出这9个数，再求和即可． 【详解】解：设圈出的最小数为x，则圈出的最大数为， 由题意得，， 解得， 故圈出的最小的三个数为13，14，15， 下面一行的数分别比上面三个数大7，故为20，21，22， 第三行的数分别比上一行三个数大7，故为27，28，29， 圈出的这9个数的和为：． 故选D． 2．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在一张普通的月历中，任意圈出一竖列上的相邻的三个数，用方程的思想来研究，中间日期数为 时，三个日期数之和为69． 【答案】23 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意；设中间日期为x，则跟它相邻的两个数分别为和，然后根据题意可列方程进行求解． 【详解】解：设中间日期为x，则跟它相邻的两个数分别为和，由题意得： 解得：； 故答案为：23． 3．（23-24七年级上·吉林·开学考试）将整数1，2，3，…，2009按下列方式排列成数表，用斜十字框“”框出任意的5个数（如图），如果用，，，，（处于斜十字中心）表示类似“”形框中的5个数． (1)记，若最小，那么______，若S最大，那么______； (2)用等式表示，，，与之间的关系：______________； (3)若，求的值； (4)框出的五个数中，，，，的和能等于308吗？若能，求出的值；若不能，请说明理由． 【答案】(1)9,2001 (2) (3)506 (4)四数的和不能为308． 【分析】本题考查了列代数式的应用，并考查了学生的阅读理解及总结规律的能力，是一道综合性的题目． （1）当，S取最小值，当时，S取得最大值； （2）根据图中关系，可知，即可求解； （3）由（2）题可知，求m的值即可； （4）同（3）理解得m的值，注意m不能为四个边上的任一数． 【详解】（1）解：由图中关系可得：当，S取最小值，； 当时，S取得最大值，． （2）因为每排为7个数，m与上列正对的数表示为，所以可得与上列正对数相邻数的表示方法为；同理m与下列正对的数差为，即可得与下列正对数相邻数的表示方法． ∴ （3）由（2）题可知： ∴，解得 （4）由（2）题可知： ∴，解得 ∵m为7的倍数时在最右列，故不符合要求，所以四数的和不能为308． 【易错必刷十九 古代问题】（共3小题） 1．（23-24七年级上·山东临沂·开学考试）我国古代数学名著《张邱建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗．今持粟三斛，得酒六斗，问清、醑酒各几何？”意思是：现在一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值4斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了6斗酒，问清、醑酒各几斗？如果设醑酒x斗，那么可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程．设醑酒斗，根据“拿30斗谷子，共换了6斗酒”，即可列出相应的方程． 【详解】解：设醑酒斗，则清酒斗， 由题意可得：， 故选：B． 2．（23-24七年级上·山西大同·阶段练习）据我国古代《易经》记载，远古时期人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图，一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结，满五进一，用来记录采集到的野果的个数．她一共采集到了38个野果，则在第2根绳子上的打结数是 个． 【答案】2 【分析】本题主要考查一元一次方程的实际应用，本题是以古代“结绳计数”为背景，按满五进一计数，运用了类比的方法，根据图中的数学列式计算，设在第2根绳子上的打结数是x，根据满五进一列出方程，然后求解即可得出答案． 【详解】解：设在第2根绳子上的打结数是x， 根据题意得：， 解得：， 故答案为：2． 3．（2024·安徽合肥·模拟预测）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作之一，书中记载：“今有人共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三，问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出五钱，还差四十五钱；若每人出七钱，还差三钱．问合伙人数和羊价各是多少？ 【答案】21人，150元 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，找准等量关系、正确列出一元一次方程是解题的关键． 设合伙人数为x,根据“若每人出五钱，还差四十五钱；若每人出七钱，还差三钱”， 即可得出关于x的一元一次方程求解可得合伙人数，再将其代入计算即可求出羊价． 【详解】解：设合伙人数为x, 依题意得：，解得：， 则． 答：合伙人数为21，羊价为150钱． 【易错必刷二十 一元一次方程的含参问题】（共3小题） 1．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知关于的方程的解是，则的值为（    ） A． B．3 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查方程的解，解一元一次方程． 把代入方程，得到关于a的方程，求解即可． 【详解】解：∵关于的方程的解是， ∴， 解得． 故选：B 2．（23-24七年级上·贵州铜仁·期末）已知是方程解，则 ． 【答案】 【分析】把解代入方程，求得a值即可． 本题考查了一元一次方程的解即使得方程左右两边相等的未知数的值，熟练掌握方程的解是解题的关键． 【详解】解：∵是方程解， ∴, 解得， 故答案为：． 3．（23-24七年级上·四川宜宾·阶段练习）若代数式的值比的值大3，求a的值， 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，根据题意可得方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：由题意得，， 去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得： 解得：． 【易错必刷二十一 一元一次方程的新定义问题】（共3小题） 1．（23-24七年级上·湖南衡阳·阶段练习）定义运算“*”，其规则为，则方程的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，根据新定义可得方程，解方程即可得到答案． 【详解】解；∵， ∴， 解得， 故选：C． 2．（23-24七年级上·江苏扬州·期中）我们定义一种新的运算：，其中等号右边的运算为正常的加减乘除运算，例如 ． (1)在上述运算法则下， ． (2)在上述运算法则下，若，则 ． (3)在上述运算法则下，若不论取何值时，等式总成立，则的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了解一元一次方程，有理数的混合运算； （1）先根据已知条件中的新定义，把*写成有理数混合运算的算式，按照有理数混合运算法则进行计算即可． （2）根据运算定义列出一元一次方程并求解． （3）先根据新定义，求出*再根据不论取何值时，等式*总成立，得到，然后分解因式，列出关于的方程，求出即可． 【详解】解：（1）*， * ， 故答案为：． （2）解：由题意得，， 解得， 故答案为：． （3）解：*， * ， 不论取何值时，等式*总成立， ， ， ， ， ， 故答案为：． 3．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知a、b为有理数，且，若关于x的一元一次方程的解为，则此方程为“合并式方程”．例如：，∴此方程为“合并式方程”，请根据上述定义解答下列问题： (1)一元一次方程是否是“合并式方程”？并说明理由； (2)若关于x的一元一次方程是“合并式方程”，且它的解为，求a、b的值． 【答案】(1)不是合并式方程，理由见解析； (2)． 【分析】（1）根据“合并式方程”的定义进行计算即可； （2）由“合并式方程”的定义可得，解方程组即可． 本题考查一元一次方程的解，解一元一次方程，已知式子的值求代数值的值，理解一元一次方程的解的定义以及“合并式方程”的定义是解决问题的关键． 【详解】（1）解：依题意，一元一次方程的解为， 而， ∴一元一次方程不是“合并式方程”； （2）解： 关于的一元一次方程是“合并式方程”，且它的解为， ， 即， ∵，它的解为， ∴ 把代入 得 解得， 再把代入 解得， 答：． 学科网（北京）股份有限公司 $$