精品解析：贵州省贵阳市花溪区高坡民族中学2024—2025学年九年级上学期10月期中数学试题

贵阳市花溪区高坡民族中学2024－2025学年度第一学期期中质量监测 九年级数学试卷 一、选择题（每小题3分，共36分．每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确） 1. 一元二次方程的常数项是（ ） A. 7 B. C. D. 1 2. 二次函数的最小值是 （ ） A. 2 B. 2 C. 1 D. 1 3. 已知一元二次方程的两根分别为，，则的值是（ ） A. 6 B. 1 C. D. 4. 关于x的一元二次方程x2+ax＝5的一个根是1，则a的值是（　　） A. 0 B. 1 C. 4 D. ﹣4 5. 抛物线经过平移后得到抛物线，其平移方法是（ ） A. 向右平移4个单位，再向上平移2个单位 B. 向右平移个单位，再向下平移2个单位 C. 向左平移4不单位，再向上平移2个单位 D. 向左平移4个单位，再向下平移2个单位 6. 已知抛物线上有两点，，则的大小关系为 （ ） A. B. C. D. 无法确定 7. 关于的一元二次方程的根的情况是（　　） A. 有两个不相等的实数根 B. 没有实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 无法确定 8. 如图是二次函数 和一次函数 的图象，当 时，x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 9. 三角形两边长分别为2和4，第三边是方程的解，则这个三角形的周长是（ ） A. 11 B. 11或12 C. 12 D. 10 10. 已知一次函数（为常数）的图象如图所示，则函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 11. 为了美观，在加工太阳镜时将下半部分轮廓制作成抛物线的形状（如图所示），对应的两条抛物线关于轴对称，轴，，最低点在轴上，高，，则右轮廓所在抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 12. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，分别在轴、轴的正半轴上，抛物线经过，两点，若，则矩形的的周长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、填空题（每小题4分，共16分） 13. 方程的解是______． 14. 已知方程有一个根是，则代数式的值为______． 15. 一个小组有若干人，新年互送贺卡一张，共送贺卡72张，则该小组共有______人． 16. 如图，把抛物线平移得到抛物线l，抛物线l经过点和原点，它的顶点为P，它的对称轴与抛物线交于点Q，则图中阴影部分的面积为________． 三、解答题（本大题共9题，共98分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解下列方程： （1） （2） 18. 小华解方程的过程如下： 解：移项，得， 第一步 根据平方根的意义，得， 第二步 由此可得， 第三步 小华的解答从第______步开始出错，请写出正确的解答过程． 19. 用配方法把二次函数y=﹣2x2+6x+4化为y=a（x+m）2+k的形式，再指出该函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． 20. 学校准备将一块长，宽的矩形绿地扩建，如果长和宽都增加，设增加的面积是． （1）求y与x之间的函数表达式； （2）若要使绿地面积增加，则长与宽都要增加多少米？ 21. 已知二次函数的解析式为． （1）当时，求函数图象与轴交点的坐标； （2）二次函数的图象如图所示，求的值． 22. 如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点，抛物线的顶点． （1）求抛物线对应的函数表达式以及A，B两点的坐标． （2）作轴交抛物线于点E，连接，，求的面积． 23. 已知函数与函数，定义“和函数”． （1）若，则“和函数” ； （2）若“和函数”为，则 ， ； （3）若该“和函数”的顶点在直线上，求． 24. 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨0.2元/个，则月销售量将减少2个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 25. 如图，抛物线y＝a（x﹣2）2+3（a为常数且a≠0）与y轴交于点A（0，）． （1）求该抛物线的解析式； （2）若直线y＝kx（k≠0）与抛物线有两个交点，交点的横坐标分别为x1，x2，当x12+x22＝10时，求k的值； （3）当﹣4＜x≤m时，y有最大值，求m的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 贵阳市花溪区高坡民族中学2024－2025学年度第一学期期中质量监测 九年级数学试卷 一、选择题（每小题3分，共36分．每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确） 1. 一元二次方程的常数项是（ ） A. 7 B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程的一般形式，即可解答． 【详解】解：一元二次方程的常数项是， 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握和运用一元二次方程的一般形式是解决本题的关键． 2. 二次函数的最小值是 （ ） A. 2 B. 2 C. 1 D. 1 【答案】B 【解析】 【详解】解：对于二次函数的顶点式y=a+k而言，函数的最小值为k. 所以二次函数的最小值为2， 故选：B 3. 已知一元二次方程的两根分别为，，则的值是（ ） A. 6 B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查根与系数的关系，根据一元二次方程的系数结合根与系数的关系即可得出的值，由此即可得出结论． 【详解】解：∵一元二次方程的两根分别为m、n， ∴． 故选：A． 4. 关于x的一元二次方程x2+ax＝5的一个根是1，则a的值是（　　） A. 0 B. 1 C. 4 D. ﹣4 【答案】C 【解析】 【分析】将x=1代入方程计算即可． 【详解】解：将x=1代入x2+ax＝5，得1+a=5， 解得a=4， 故选：C． 【点睛】此题考查一元二次方程的解，正确理解方程的解集正确计算是解题的关键． 5. 抛物线经过平移后得到抛物线，其平移方法是（ ） A. 向右平移4个单位，再向上平移2个单位 B. 向右平移个单位，再向下平移2个单位 C. 向左平移4不单位，再向上平移2个单位 D. 向左平移4个单位，再向下平移2个单位 【答案】D 【解析】 【分析】根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可． 【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为， 而平移后抛物线的顶点坐标为 ∴平移方法为向左平移4个单位，再向下平移2个单位． 故选D． 【点睛】本题考查了抛物线的平移规律．关键是确定平移前后抛物线的顶点坐标，寻找平移规律． 6. 已知抛物线上有两点，，则的大小关系为 （ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】根据点在抛物线图像上，根据抛物线图像的性质即可求解． 【详解】解：抛物线，开口向上，顶点坐标为， 当时，函数值随自变量的增大而增大；当时，函数值随自变量的增大而减小； ∵，即函数值随自变量的增大而增大， ∴， 故选：． 【点睛】本题主要考查二次函数图像的性质，掌握二次函数图像的性质是解题的关键． 7. 关于的一元二次方程的根的情况是（　　） A. 有两个不相等的实数根 B. 没有实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，关键是掌握，一元二次方程有两个不相等的根，，一元二次方程没有根，，一元二次方程有两个相等的根． 根据一元二次方程根的判别式的值，即可求解． 【详解】解：∵， ， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 8. 如图是二次函数 和一次函数 的图象，当 时，x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数、一次函数和不等式的综合，根据图象得到二次函数图象在一次函数图象上方横坐标的取值范围即可 【详解】解：根据图象得二次函数与一次函数图象的交点横坐标为和， ∴当时，二次函数图象在一次函数图象上方， ∴当时，x的取值范围是， 故选：C 9. 三角形两边长分别为2和4，第三边是方程的解，则这个三角形的周长是（ ） A. 11 B. 11或12 C. 12 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程的解法即可求出第三边，然后根据三角形的三边关系即可求出周长． 【详解】解：由， 解得：或， 当第三边长为6时， 由三角形三边关系可知：， 故不能组成三角形， 当第三边为时， 由三角形三边关系可知：，能够组成三角形， 这个三角形的周长为：， 故选：A． 【点睛】本题考查一元二次方程的解法，解题的关键是求出利用三角形三边关系求出第三边长． 10. 已知一次函数（为常数）的图象如图所示，则函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象与系数的关系、二次函数图象的性质，根据一次函数的图象可得，则二次函数的图象开口朝上，与y轴的交点的纵坐标为，对称轴为，以此即可判断． 【详解】解：由一次函数（a为常数）的图象可知， ∴二次函数的图象开口朝上，故A选项不符合题意； ∵二次函数的图象与y轴的交点的纵坐标为， ∴二次函数的图象交于y轴正半轴，故D选项不符合题意； ∵二次函数的图象的对称轴为，， ∴抛物线的对称轴在y轴的右侧，故B选项不符合题意，C选项符合题意． 故选：C． 11. 为了美观，在加工太阳镜时将下半部分轮廓制作成抛物线的形状（如图所示），对应的两条抛物线关于轴对称，轴，，最低点在轴上，高，，则右轮廓所在抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，先根据B、D关于y轴对称，得出D点坐标为，再求出左边抛物线的顶点C的坐标为，则右边抛物线的顶点F的坐标为，设右边抛物线的解析式为，代入即可得出答案． 【详解】解：∵高，，B、D关于y轴对称， ∴D点坐标为， ∵轴，，最低点C在x轴上， ∴关于直线对称， ∴左边抛物线的顶点C的坐标为， ∴右边抛物线的顶点F的坐标为， 设右边抛物线的解析式为， 把代入得，解得， 故右边抛物线的解析式为， 故选：B． 12. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，分别在轴、轴的正半轴上，抛物线经过，两点，若，则矩形的的周长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质和二次函数的图像与性质．首先根据抛物线与轴交点的横坐标为求出交点的纵坐标，再根据矩形的长与宽的关系求出点的坐标，把点的坐标代入抛物线求出的值，即可求出矩形的长与宽，从而可求矩形的周长． 【详解】解：把代入， 可得：， 点的坐标是， ， ， ， 点的坐标是， 把点的坐标是， 点的坐标是， 代入， 可得：， 整理得：， 提公因式可得：， 整理得：， 解得：，， 当时，，不成立， 故应舍去， 当时，，， 矩形的周长为． 故选：C． 二、填空题（每小题4分，共16分） 13. 方程的解是______． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，利用因式分解法解答即可求解，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， ∴，， 故答案为：，． 14. 已知方程有一个根是，则代数式的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次方程的解，直接把代入方程可得解． 【详解】解：是方程有一个根， ∴ ∴， 故答案为：． 15. 一个小组有若干人，新年互送贺卡一张，共送贺卡72张，则该小组共有______人． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设该小组共有x人，则每人需送出张贺卡，根据全组共送贺卡72张，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】解：设该小组共有x人，则每人需送出张贺卡， 依题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去）， ∴该小组共有9人． 故答案为：9． 16. 如图，把抛物线平移得到抛物线l，抛物线l经过点和原点，它的顶点为P，它的对称轴与抛物线交于点Q，则图中阴影部分的面积为________． 【答案】324 【解析】 【分析】先求出抛物线l的解析式，从而可得顶点的坐标，以及点的坐标，再利用二次函数的性质、三角形的面积公式即可得． 【详解】解：如图，连接， 由题意得：平移后的抛物线l的解析式为， 则抛物线l的对称轴为直线，顶点的坐标为， 对于函数， 当时，，即， 根据抛物线的对称性知：， 所以， 故答案为：324． 【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，以及性质，熟练掌握二次函数图象的平移规律是解题关键． 三、解答题（本大题共9题，共98分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解下列方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）直接应用公式法即可求解； （2）利用因式分解法即可求解． 【小问1详解】 解：∵ ∴ ∴， ∴，； 【小问2详解】 解：∵ ∴， 即或， 解得：，． 【点睛】本题考查解一元二次方程，根据方程特点选择合适的求解方法是解题的关键． 18. 小华解方程的过程如下： 解：移项，得， 第一步 根据平方根的意义，得， 第二步 由此可得， 第三步 小华的解答从第______步开始出错，请写出正确的解答过程． 【答案】 小华的解答从第二步开始出错， 正确的解答过程为： 移项，得， 根据平方根的意义，得， 由此可得，． 【解析】 【分析】本题考查了利用平方根的定义解一元二次方程，先把移到右边，再根据平方根的意义开方，最后求出方程的解即可，理解平方根的定义是解题的关键． 【详解】略 19. 用配方法把二次函数y=﹣2x2+6x+4化为y=a（x+m）2+k的形式，再指出该函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． 【答案】开口向下，对称轴为直线，顶点坐标 【解析】 【分析】先通过配方法对二次函数的一般式进行配方成顶点式,再根据二次函数图象性质写出开口方向,对称轴,顶点坐标. 【详解】解：∵, =, =, ∴二次函数y=﹣2x2+6x+4开口向下，对称轴为直线，顶点坐标. 20. 学校准备将一块长，宽的矩形绿地扩建，如果长和宽都增加，设增加的面积是． （1）求y与x之间的函数表达式； （2）若要使绿地面积增加，则长与宽都要增加多少米？ 【答案】（1）y与x之间的函数表达式为： （2）绿地面积增加时，矩形的长与宽都要增加2米 【解析】 【分析】（1）根据题意可得长和宽增加后矩形的长为，宽为，列方程即可求解； （2）令代入方程求解即可． 【小问1详解】 解：长和宽增加后矩形的长为，宽为， 则由题意得 ， ∴y与x之间的函数表达式为：. 【小问2详解】 解：将代入中得，， 解得，，（舍去）， ∴绿地面积增加时，矩形的长与宽都要增加2米． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键． 21. 已知二次函数的解析式为． （1）当时，求函数图象与轴交点的坐标； （2）二次函数的图象如图所示，求的值． 【答案】（1）和 （2） 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，抛物线与x轴的交点；求出二次函数的解析式是解决问题的关键． （1）将代入得，再令，得，未出方程的解即可； （2）把代入得，解方程得的值，再结合抛物线开口向下可判断的值． 【小问1详解】 解：当时，． 令，得， 解得，． 此时函数图象与轴的交点坐标为和． 【小问2详解】 解：由图象知函数图象与轴有一个交点是， 所以． 所以，． 因为二次函数的图象开口向下，所以． 22. 如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点，抛物线的顶点． （1）求抛物线对应的函数表达式以及A，B两点的坐标． （2）作轴交抛物线于点E，连接，，求的面积． 【答案】（1）抛物线对应的函数表达式为，， （2） 【解析】 【分析】（1）根据抛物线的顶点，则抛物线对应的函数表达式可设为．将点代入，可得，进行计算得，即可得； （2）根据点得当时，，进行计算得点，可得 ，，即可得． 【小问1详解】 解：∵抛物线的顶点， ∴抛物线对应的函数表达式可设为． 将点代入，可得， ， 解得， ∴抛物线对应的函数表达式为． 令，则， 解得，， ∴点，． 【小问2详解】 解：∵点， ∴当时，， ， ， 解得，， ∴点， ，， ． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，三角形的面积，解题的关键是掌握这些知识点． 23. 已知函数与函数，定义“和函数”． （1）若，则“和函数” ； （2）若“和函数”为，则 ， ； （3）若该“和函数”的顶点在直线上，求． 【答案】（1）． （2），． （3）或． 【解析】 【分析】（1）将代入函数中得出函数，再利用即可得出结论； （2）的解析式为，又， 利用两者相等即可得出结论； （3）先得出和函数，进而根据顶点在直线上得出，即可得出结论． 【小问1详解】 解：当时，， ∵函数，此时和函数， ∴， 故答案为：． 【小问2详解】 解：∵函数与函数，和函数， ∴和函数的解析式为， ∵和函数的解析式为， ∴，， ∴，， 故答案为：，． 【小问3详解】 解：由题意得和函数为 ， ， ∴和函数的顶点为， ∵和函数的顶点在上， ∴， 整理得， 解得，． 故答案为：或． 【点睛】此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的顶点坐标、二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键． 24. 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨0.2元/个，则月销售量将减少2个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 【答案】（1）月增长率为 （2）该品牌头盔的实际售价应定为每个50元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据该品牌头盔4月份及6月份的月销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）设该品牌头盔的实际售价为y元，根据月销售利润每个头盔的利润月销售量，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其正值即可求出结论． 【小问1详解】 解： 设该品牌头盔销售量的月增长率为x， 由题意得：， 解得：（不合题意，舍去）． 答：该品牌头盔销售量的月增长率为． 【小问2详解】 解：设该品牌头盔的实际售价为y元， 由题意得：， 整理得：， 解得：（不合题意，舍去）， 答：该品牌头盔的实际售价应定为每个50元． 25. 如图，抛物线y＝a（x﹣2）2+3（a为常数且a≠0）与y轴交于点A（0，）． （1）求该抛物线的解析式； （2）若直线y＝kx（k≠0）与抛物线有两个交点，交点的横坐标分别为x1，x2，当x12+x22＝10时，求k的值； （3）当﹣4＜x≤m时，y有最大值，求m的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）把代入抛物线的解析式，解方程求解即可； （2）联立两个函数的解析式，消去 得：再利用根与系数的关系与可得关于的方程，解方程可得答案； （3）先求解抛物线的对称轴方程，分三种情况讨论，当 ＜＜ 结合函数图象，利用函数的最大值列方程，再解方程即可得到答案. 【详解】解：（1）把代入中， 抛物线的解析式为： （2）联立一次函数与抛物线的解析式得： 整理得： ∵x1+x2=4-3k，x1•x2=-3， ∴x12+x22=（4-3k）2+6=10， 解得： ∴ （3）∵函数的对称轴为直线x=2， 当m＜2时，当x=m时，y有最大值，=-（m-2）2+3， 解得m=±，∴m=-， 当m≥2时，当x=2时，y有最大值， ∴=3， ∴m=， 综上所述，m的值为-或． 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解抛物线的解析式，抛物线与轴的交点坐标，一元二次方程根与系数的关系，二次函数的增减性，掌握数形结合的方法与分类讨论是解题的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $