福建省三明市第二中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试卷

A. B. C. D. 1 . 直线 的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 2 . 如图，三棱柱 中， 为棱 的中点，若 ， ， ，则 （ ） A. 2 B. C. 2或 D. 或 3 . 若直线 ： 与直线 ： 平行，则 的值为（ ） A. B. C. D. 4 . 已知在三棱柱 中，侧棱 底面ABC, ,点 , 分别是 , 的中点，若 ,则异面直线 与 所成角的余弦值为（） A. B. C. D. 5 . 已知向量 ，若 共面，则 在 上的投影向量的模为（ ） 6 . 已知 ，直线 ， 为 上的动点．过点 作 的切线 ， ，切点为 ， ，当四边形 面积最小时，直线 的方程为（ ）． 一、 单选题 期10月月考数学试卷 福建省三明市三明第二中学2024-2025学年高二上学 A. B. C. D. A. B. C. D. 若 平面 ，则动点 的轨迹是一条线段 不存在 点，使得 平面 当且仅当 点落在棱 上某点处时，三棱锥 的体积最大 若 ，那么 点的轨迹长度为 7. 如图，在棱长为 的正方体 中， 为棱 的中点， 为正方形 内一动点（含边界），则下列说法中 的是（ ）不. 正. 确. A. 3 B. C. D. 8 . 已知平面内两个定点 ， 及动点 ，若 （ 且 ），则点 的轨迹是圆．后世 把这种圆称为阿波罗尼斯圆．已知 ， ，直线 ，直线 ，若 为 ， 的交点，则 的最小值为（ ）． A. B. C. D. 若直线 的方向向量为 ，平面 的法向量 ，则 两个不重合的平面 的法向量分别是 ，则 若 为空间的一组基底，则 也是空间的一组基底 空间内任意一点 与不共线的三点 ，若 ，则 四点共面 9. 下列给出的命题正确的是（ ）． ， A. B. C. D. 10 . 直线 与曲线 恰有一个交点，则实数 可取下列哪些值（ ）． 二、 多选题 A. B. C. D. 当圆 和圆 存在公共点时，则实数 的取值范围为 的面积最大值为1 若原点 始终在动弦 上，则 不是定值 若动点 满足四边形 为矩形，则点 的轨迹长度为 11 . 在平面直角坐标系 中，已知圆 的动弦 ，圆 ，则下列选项正确的是（ ） 12 . 向量 ， ，若 ，且 ，则 的值为 . 13 . 经过点 且斜率为 的直线 与圆 ： 相交于 ， 两点，若 ，则 的值为 . 14 . 已知球 内切于正四棱锥 , 是球 的一条直径，点 为正四棱锥 表面上的点，则 的取值范围为 . 15 . 已知直线 和直线 的交点为 ． （1）求过点 且与直线 平行的直线方程； （2）若直线 与直线 垂直，且 到 的距离为 ，求直线 的方程． 16 . 如图，在四棱锥P﹣ABCD中， 平面 ， ， ， ， ， ， 分别为线段 ， ， 的中点 (1)证明：平面 //平面 ； (2)求直线 与平面 所成角的正弦值. ， 解答题四、 三、 填空题 17 . 如图所示 中， ， ， ， 分别为 ， 中点．将 沿 向平面 上方翻折至右图所示的位置，使得 .连接 ， ， 得到四棱锥 ，记 的中点为 ，连接 ，动点 在线段 上. (1)证明： 平面 ； (2)求动点 到线段 的距离的取值范围. 18 . 已知 的圆心在直线 上，点 在 轴右侧且到 轴的距离为 ， 被直线l： 截得的弦长为 (1)求 的方程； (2)设点 在 上运动，且点 满足 ，（O为原点）记点 的轨迹为 . ①求曲线 的方程； ②过点 的直线与曲线 交于 ， 两点，问在 轴正半轴上是否存在定点 ，使得 轴平分 ？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由. 19 . 如图，点 是圆O： 上一动点，过点 作圆 的切线 与圆O ： 交于 ， 两点，已知当直线 过圆心O 时， ． （1）求 的值； （2）当线段 最短时，求直线 的方程； （3）问：满足条件 的点 有几个？请说明理由． （ ， ） 1 （ ） （ ） （ ） 1 A. B. C. D. 1 . 直线 的倾斜角是（ ） 【答案】C 【解析】 【分析】 利用倾斜角和斜率的关系求解即可. 【详解】 易知 的斜率为 ，显然倾斜角为 . 故选：C A. B. C. D. 2 . 如图，三棱柱 中， 为棱 的中点，若 ， ， ，则 （ ） 【答案】A 【解析】【分析】 根据已知条件，结合向量的线性运算，即可求解． 【详解】 ， ， ， 则 ． 故选： ． 一、 单选题 期10月月考数学试卷 福建省三明市三明第二中学2024-2025学年高二上学 A. 2 B. C. 2或 D. 或 3 . 若直线 ： 与直线 ： 平行，则 的值为（ ） 【答案】C 【解析】 【分析】 依题意可得 ，求出 的值，再检验即可. 【详解】 直线 ： 与直线 ： 平行， 则 ，解得 或 ， 当 时，此时直线 ： 与直线 ： 平行， 当 时，此时直线 ： 与直线 ： 平行， 故 或 故选：C A. B. C. D. 4 . 已知在三棱柱 中，侧棱 底面ABC, ,点 , 分别是 , 的中点，若 ,则异面直线 与 所成角的余弦值为（） 【答案】A 【解析】 如图，建立空间直角坐标系，设 ,则 , , ,所以 ,所以异面直线 与 所成角的余弦值为 ,故选 A. B. C. D. 5 . 已知向量 ，若 共面，则 在 上的投影向量的模为（ ） 【答案】B 【解析】 【详解】 因为 共面，所以存在实数 ，使得 ，即 ，所以 在 上的投影向量的 模为 ，故选B. A. B. C. D. 6 . 已知 ，直线 ， 为 上的动点．过点 作 的切线 ， ，切点为 ， ，当四边形 面积最小时，直线 的方程为（ ）． 【答案】C 【解析】 由题意可知， ， ， ． ∴ ． 由圆 得 ①， ∴圆心 ，半径 ，即 ． 四边形 要使四边形 面积最小最小，即 最小，又 ，即求 的最小值． ∴当直线 与 垂直时， 最小． ∵直线 的斜率 ，则 ， 方程为 ，即 ． 联立 得 ，即 ，∴ ． ∴ 中点 ，则四边形 外接圆为 ②， ∴直线 方程为① ②，即 ． 故选 ． A. B. C. D. 若 平面 ，则动点 的轨迹是一条线段 不存在 点，使得 平面 当且仅当 点落在棱 上某点处时，三棱锥 的体积最大 若 ，那么 点的轨迹长度为 7. 如图，在棱长为 的正方体 中， 为棱 的中点， 为正方形 内一动点（含边界），则下列说法中 的是（ ）不. 正. 确. 【答案】D 【解析】选项 ，分别取 中点 ，连接 ， ，由 与 ， 平行且相等得平行四边形 ，所以 ， 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，连接 ， ， ，所以 ，同理 平面 ， ， 平面 ，所以平面 平面 ，当 时， 平面 ，所以 平面 ，即 点轨迹是线段 ， 无误； 选项 ，以 为原点， 据直线分别为 轴建立如下图所示的空间直 角坐标系，则 ， ， ，设 （ ）， ， ， ，设 是平面 的一个法向量，则 ，取 ，则 ， 若 平面 ，则 ，所以存在 ，使得 ， 同，解得 ，因此正方形 内（含边界）不存在点 ，使得 平面 ， 无误； 选项 ， 面积为定值，当且仅当点 到平面 的距离最大时，三棱锥 的体积最大， ， 到平面 的距离为 ， ， 时， ，当 时， 有最大值 ， 时， ， 时， 有最大值 ，综上所述 时， 取得最 大值 ，故 与 重合时， 取得最大值，三棱锥 的体积最大， 无误； 选项 ， 平面 ， 平面 ， ，所以 ，所以 点轨迹是以 为圆心， 为半径的圆弧，圆 心角是 ，轨迹长度为 ， 错．因此正确答案为： ． 8. 已知平面内两个定点 ， 及动点 ，若 （ 且 ），则点 的轨迹是圆．后世 把这种圆称为阿波罗尼斯圆．已知 ， ，直线 ，直线 ，若 为 ， 的交点，则 的最小值为（ ）． A. 3 B. C. D. 【答案】A 【解析】由已知 过定点 ， 过定点 ， 因为 ， ，所以 ，即 ， 所以点 的轨迹是以 为直径的圆，除去 点，故圆心为 ，半径为 ， 则 的轨迹方程为 ，即 ，易 知 、 在该圆内， 又 ， 即 ， 取 ，则 ，又 ， 所以 ， 所以 的最小值为 ． 故选 ． A. B. C. D. 若直线 的方向向量为 ，平面 的法向量 ，则 两个不重合的平面 的法向量分别是 ，则 若 为空间的一组基底，则 也是空间的一组基底 ）． ， . 下列给出的命题正确的是（9 二、 多选题 空间内任意一点 与不共线的三点 ，若 ，则 四点共面 【答案】BC 【解析】对于A,由于 ,则 ,故有 或 , 错误; 对于B,由于 ,则 ,必有 , 正确; 对于C,假设 三个向量共面, 则 ∴ 若 ,则 ,则 , 共 线, 与 是空间的一组基 底矛盾; 若 ,则 ,则 , , 共面, 与 是 空间的一组基底矛盾; ∴假设不成立，即 不共面, ∴ 也是空间的一组基底, 正确; 对于D,若 ,当且仅当 时, A B 四点共面， 错误; 故选 、C。 A. B. C. D. 10 . 直线 与曲线 恰有一个交点，则实数 可取下列哪些值（ ）． 【答案】AC 【解析】由题意可知：曲线方程表示一个在 轴右边的单位圆的一半， 则圆心坐标为 ，圆的半径 ， 画出相应的图形，如图所示： ∵当直线 过 时，把 代入直线方程得： ， 当直线 过 时，把 代入直线方程得： ， ∴当 时，直线 与半圆只有一个交点时， 又直线 与半圆相切时，圆心到直线的距离 ，即 ， 解得： （舍去）或 ， 综上，直线与曲线只有一个交点时， 的取值范围为 或 ． 故选 ． A. B. C. D. 当圆 和圆 存在公共点时，则实数 的取值范围为 的面积最大值为1 若原点 始终在动弦 上，则 不是定值 若动点 满足四边形 为矩形，则点 的轨迹长度为 11 . 在平面直角坐标系 中，已知圆 的动弦 ，圆 ，则下列选项正确的是（ ） 【答案】ABD 【解析】 【分析】 根据两圆位置关系列不等式求解实数 的范围判断A，根据三角形面积结合正弦函数可求出 面积最大值判断B，分类讨论，设直线方程，利用韦达定理结合数量积数量积坐标运算求解 判断C，先根据矩形性质结合垂径定理得到点 的轨迹，然后利用圆的周长公式求解判断D. 【详解】 对于A，圆 的圆心为 ，半径为 ， 圆 的圆心为 ，半径为 ， 当圆 和圆 存在公共点时， ， 所以 ，解得 ，所以实数 的取值范围为 ，正确； 对于B， 的面积为 ， 当 时， 的面积有最大值为1，正确； 对于C，当弦 垂直x轴时， ，所以 ， 当弦 不垂直x轴时，设弦 所在直线为 ， 与圆 联立得， ， 设 ， 则 ， ， 综上 ，恒为定值，错误； 对于D，设 ，OP中点 ，该点也是AB中点，且 ， 又 ，所以 ， 化简得 ，所以点 的轨迹为以 为圆心，半径为 的圆， 其周长为长度为 ，正确. 故选：ABD 12 . 向量 ， ，若 ，且 ，则 的值为 . 【答案】 【解析】因为 ， ， 所以 ，解得 ， 又因为 ，所以 ，解得 ， 所以 . 因此正确答案为： . 三、 填空题 13 . 经过点 且斜率为 的直线 与圆 ： 相交于 ， 两点，若 ，则 的值为 . 【答案】 或 【解析】由已知条件得 设直线 的方程为 ， 圆 ： 的圆心为 ，半径为 ， 由勾股定理得圆心到直线 的距离为 ， 即圆心为 到直线 的距离为 ，解得 或 . 因此正确答案为： 或 . 14 . 已知球 内切于正四棱锥 , 是球 的一条直径，点 为正四棱锥 表面上的点，则 的取值范围为 . 【答案】 [0,2] 【解析】令 是正四棱锥 ,而 则 ,正四棱锥 的体积 ,正四棱锥 的表面积 ,显然球 的球心 在线段 上，设球半径为 则 ,即 , 在 中, ,于是 ,又 是球 的一条直径，因此 ,显然 ,则 , ,所以 的取值范围为[0,2]。 底面正方形中心，则 平面 15 . 已知直线 和直线 的交点为 ． （1）求过点 且与直线 平行的直线方程； （2）若直线 与直线 垂直，且 到 的距离为 ，求直线 的方程． 【答案】（1） ；（2） 或 . 【解析】解：联立直线方程，解得 ，可知交点 （1）设与直线 平行的直线方程为 把交点 代入可得 ，∴ ∴所求的直线方程为： （2）设与直线 垂直的直线方程为 ： ∵ 到 的 距离为 ，解得 或 ∴直线 的方程为： 或 16 . 如图，在四棱锥P﹣ABCD中， 平面 ， ， ， ， ， ， 分别为线段 ， ， 的中点 (1)证明：平面 //平面 ； (2)求直线 与平面 所成角的正弦值. ， 【答案】 (1)证明见解析 (2) 【解析】【分析】 （1）连接 ，设 与 相交于点 ，结合已知条件利用线面平行的判定定 理可证得OG//平面 ，再由三角形中位线定理结合线面垂直的判定定理可得AC//平面 ，从而由面面垂直的判定可得平面PEF//平面 ，进而可证得结论， （2）由已知 可证得 、 、 两两互相垂直，以 为原点， ， ， 所在的直线为 轴， 轴， 轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可 【详解】 四、 解答题 （1）证明：连接 ，设 与 相交于点 ，如图， 因为 ，且 ， ， 所以四边形 为矩形， 所以 为 的中点，又因为 为 的中点， 所以 为 的中位线，即 ， 因 为 平面 ， ⊂平面 ， 所以 //平面 ， 因为 ， 分别为线段 ， 的中点，所以 ， 因为 平面 ， ⊂平面 ， 所 //平面 ， 因为 ⊂平面 ， ⊂平面 ， ， 所以平面 //平面 （2）因为 底面 ，AB⊂平面 ，AD⊂平面 ， 所以 ， ， 因为 ， 所以 、 、 两两互相垂直，以 为原点， ， ， 所在的直线为 轴， 轴， 轴，建立空间直角坐标系，如图所示： 则 （0， ，0）， ， （1， ，0）， （0， ，0）， （0， ，1），所以 , 设平面 的法向量为 则 ,所以 令 ,可得 所以 ,设直线 与平面 所成角为 ,则 ,所以 直线 与平面 所成角的正弦值为 . 17 . 如图所示 中， ， ， ， 分别为 ， 中点．将 沿 向平面 上方翻折至右图所示的位置，使得 .连接 ， ， 得到四棱锥 ，记 的中点为 ，连接 ，动点 在线段 上. (1)证明： 平面 ； (2)求动点 到线段 的距离的取值范围. 【答案】 (1)证明见解析 (2) (3) 【解析】【分析】 （1）根据空间中的垂直关系的转化，结合线面垂直的判定即可求证； （2）建立 空间直角坐标系，利用空间向量法可求解线面角的正弦； （3）根据向量共线求出 ，利用空间向量表示出点到直线距离，利用二次函数性质求范围即可 【详 解】 （1） 因为折叠前 为 中点， ，所以 ，折叠后， ， 所 以 ，所以 ，在折叠前 分别为 中点， 所以 ，又因为折叠前 ，所以 ，所以在折叠后 ， ， ；以 为坐标原点， 、 、 分别为 、 、 轴建立 空间 直角坐标系，则 ， ， ， ， ， 为 中点，所以 ， ，设平面 的法向量为 ， 又 ， ，所以 ， ，令 ，则 ， ，所以 ，所以 ， 所以 ，所以 平面 . （2）设 ， ， ，动点 在线段 上， 所以 ， ，即 ，即 ， 所以 ， ， ， 设点 到线段 的距离为 ， ， ， ， ， ，令 ， ， 则 ， ，根据二次函数的性质可知 ， 所以 ，由此可知动点 到线段 的距离的取值范围为 . 18 . 已知 的圆心在直线 上，点 在 轴右侧且到 轴的距离为 ， 被直线l： 截得的弦长为 (1)求 的方程； (2)设点 在 上运动，且点 满足 ，（O为原点）记点 的轨迹为 . ①求曲线 的方程； ②过点 的直线与曲线 交于 ， 两点，问在 轴正半轴上是否存在定点 ，使得 轴平分 ？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】 (1) (2)① ；②存在， 【解析】【分析】 （1）由条件求出圆心坐标，再结合弦长公式求出圆的半径，由此可得圆的方程； （2）①利用代点法求出点 的轨迹方程，②在直线斜率存在条件下利用设而不求法求点 的坐标，检验斜率不存在时该点是否也满足条件即可 （1） 通过题意可设圆 的圆心 的 坐标为 ， 圆 的圆心 在直线 上， ，解得： ，即圆心为 ， 圆心到直线 的距离为 ，设圆 的半径为 ， 弦长为 ， 由已知 所以 ，所以圆 的标准方程为 ； （2） 设 ，则 ， 由 得： ，所 以 D在圆 上运动， 整理可得点 的轨迹方程 为： 当直线 轴时， 轴平分 ， 当直线 斜率存在时， 设直线 的方程为 ， 联立 化简可得 ， 方程 的判别式 ， 设 ， ， ， 若 轴平分 ，则 ，所以 ， 又 ， ， 所以 ， 所以 ， 所以 所以 解得 ， 当 时，能使 轴平分 . ， 19 . 如图，点 是圆O： 上一动点，过点 作圆 的切线 与圆O ： 交于 ， 两点，已知当直线 过圆心O 时， ． （1）求 的值； （2）当线段 最短时，求直线 的方程； （3）问：满足条件 的点 有几个？请说明理由． （ ， ） 1 （ ） （ ） （ ） 1 【答案】（1）a=3；（2）3x+4y+15=0；（3）2个，理由见解析． 【解析】【分析】 (1)依题意计算 ，可得结果； (2)解法1（代数 法）：当圆心O 到直线 的距离 最大时，线段 最短，再求出 的最大值即可得结果； 解 法2（几何法）：当圆心O 到直线 的距离 最大时，线段 最短，当且仅当O ， ， 三 点共线时， 取得最大值，从而得解； (3)采用分类讨论，O ， 在直线 AB 同侧或异侧， 假设|AP|=t，可得 d +(2t) =100，并得t =|MP| =25﹣(d﹣3) 或 t =|MP| =25﹣(d+3) 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 计算即可判断． 【详解】 解：(1)当直线 过圆心点O 时， ， 解得a=3（负值舍去）． (2)解法1 （代数法）：因为 与圆 相切，所以直线 的方程为 x x+y y=9， 且 ， 所以圆心O 到直线 的距离 ， 记z=3x +4y ，则直线 3x +4y ﹣z=0 与圆 有公共点， 所以圆心(0,0)到直线 3x+4y﹣z=0 的距离 ，所以﹣15⩽z⩽15， 所以当z=﹣15 时，d =8，此时弦长 最 短， 由 ，解得 ， 所以直线 的方程为 3x+4y+15=0． 解法2（几何法）：如图，过 O 作 O M\bot AB，则 M 为弦 AB 的中 点，设 d=|O M|， 当|O M|最长时，弦 长|AB|最短， 因为 d⩽|O P|⩽|OO |+|OP|=8， 当且仅当O ， ， 三点共线时，取得最大 值， 此时 ， 因为 ， 所以直线 OO 的方程为 ， 由 ， 解得 (P点在第 3 象限) 所以直线 的方程为 x+4y+15=0． (3)因为 ， 所以设|AP|=t，则|BP|=3t(t>0)， 所以|AB|=4t， 所 以 d +(2t) =100 ①, (i)如图，当O ， 在直线 AB 同侧时， 1 0 0 1 0 0 0 0 max 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 1 t =|MP| =25﹣(d﹣3) ②， 由①②得 或 d=2， 当 时，直线 AB 可看作是圆 x +y =9 与圆(x﹣3) +(y﹣4) =36 的 公切线， 此时两圆相交，公切线有两条，所以满足条件的点 有 个， d=2 时，直线 AB 可看作是圆 x +y =9 与圆(x﹣3) +(y﹣4) =4 的公切线， 此时两圆相外切，外公切线有两 条，所以满足条件的点 有 个， (ii)如图，当O ， 在直线 AB 异侧时， t =|MP| =25﹣(d+3) ，③ 由①③可 得d=﹣6 或 d=﹣2（舍），满足条件的 点不存在， 综上，满足条件的点 共有 个． 附：当 时 ， 即|3x +4y ﹣9|=18， 由 解得P(﹣3,0)或 ， 当 时 ， 即|3x +4y ﹣9|=6， 由 ， 解得 或 或 ( 舍去 )． 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 0 0 0 0