浙江省杭州市拱墅区拱宸中学2023-2024学年七年级上学期期中数学试卷

2023-2024学年浙江省杭州市拱墅区拱宸中学七年级（上）期中数学试卷 一、选择题；本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项最符合题目． 1．（3分）2的相反数为　　 A． B． C． D． 2．（3分）四个有理数，1，0，，其中最小的数是　　 A．1 B．0 C． D． 3．（3分）2022年全国教育事业统计主要结果发布，统计数据显示，全国共有各级各类学校有52.93万所，将52.93万用科学记数法表示应为　　 A． B． C． D． 4．（3分）下列有理数大小关系判断正确的是　　 A． B． C． D． 5．（3分）实数在哪两个相邻的整数之间　　 A．0和1之间 B．1和2之间 C．2和3之间 D．3和4之间 6．（3分）下列说法正确的有　　 A．是整式 B．是单项式 C．不是整式 D．是多项式 7．（3分）若，则的值为　　 A．2 B． C．5 D．8 8．（3分）点，在数轴上的位置如图所示，其对应的有理数分别是和．对于下列四个结论： ①； ②； ③； ④； ⑤．其中正确的是　　 A．①②③④ B．①②③⑤ C．①③⑤ D．②③④ 9．（3分）为了求的值，可令，则，因此，所以，仿照以上推理计算出的值是　　 A． B． C． D． 10．（3分）如图，长为，宽为的大长方形被分割为7小块，除阴影，外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为，下列说法中正确的有　　 ①小长方形的较长边为； ②阴影的较短边和阴影的较短边之和为； ③若为定值，则阴影和阴影的周长和为定值； ④当时，阴影和阴影的面积和为定值． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．（3分）单项式的系数是 　　，次数是 　　． 12．（3分）16的算术平方根是 　　． 13．（3分）单项式与单项式是同类项，则　　． 14．（3分）已知与互为相反数，与互为倒数，且，则　 　． 15．（3分）已知：，，若，则　　，　　． 16．（3分）已知，为实数，下列说法：①若，且，互为相反数，则；②若，，则；③若，则；④若，且，则，其中正确的是 　　（写出正确的序号）． 三、解答题：本题共8小题，共72分．其中：17题14分，18-19每题6分，20-22每题8分，23题10分，24题12分． 17．（14分）计算． （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 18．（6分）先化简，再求值：，其中，． 19．（6分）已知的立方根是，的平方根是． （1）求，的值． （2）求的平方根． 20．（8分）某果农把自家果园的柑橘包装后放到了网上销售．原计划每天卖10箱，但由于种种原因，实际每天的销售量与计划量相比有出入，下表是某个星期的销售情况（超额记为正，不足记为负，单位：箱）． 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差值 （1）根据记录的数据可知前五天共卖出多少箱？ （2）本周实际销售总量达到了计划数量没有？ （3）若每箱柑橘售价为80元，同时需要支出运费7元箱，那么该果农本周总共收入多少元？ 21．（8分）已知，为有理数，如果规定一种运算“”，即，试根据这种运算完成下列各题． （1）求； （2）求； （3）任意选择两个有理数，，分别计算和，并比较两个运算结果，你有何发现？ 22．（8分）如图1所示的是一个长为，宽是的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个同等大小的小长方形，然后按图2的方式拼成一个正方形． （1）你认为图2中的阴影部分的正方形的边长等于 　　； （2）请用两种不同的方法列代数式表示图2中阴影部分的面积． 方法一：　　； 方法二：　　． （3）观察图2，你能写出，，这三个代数式之间的数量关系吗？ （4）当，求阴影部分的面积． 23．（10分）数学中，运用整体思想方法在求代数式的值中非常重要． 例如：已知，，则代数式． 请你根据以上材料解答以下问题： （1）若，则　　； （2）已知，，求代数式的值； （3）当，时，代数式的值为8，则当，时，求代数式的值． 24．（12分）阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来．将这个数减去其整数部分，得到的差就是小数部分，因为的整数部分是1，于是用来表示的小数部分．又例如： ，即， 的整数部分是2，小数部分为． 根据上述材料，回答下列问题： （1）的整数部分是 　　，小数部分是 　　； （2）也是夹在相邻两个整数之间的，可以表示为，求的值； （3）已知，其中是整数，且，求的值． 2023-2024学年浙江省杭州市拱墅区拱宸中学七年级（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题；本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项最符合题目． 1．（3分）2的相反数为　　 A． B． C． D． 【分析】由相反数的定义可知：2的相反数是． 【解答】解：2的相反数是， 故选：． 【点评】本题考查相反数的定义；熟练掌握相反数的定义是解题的关键． 2．（3分）四个有理数，1，0，，其中最小的数是　　 A．1 B．0 C． D． 【分析】根据有理数的大小比较，即可求解． 【解答】解：， 最小的数为， 故选：． 【点评】本题考查了有理数的大小比较，熟练掌握有理数的大小比较的方法是解题的关键． 3．（3分）2022年全国教育事业统计主要结果发布，统计数据显示，全国共有各级各类学校有52.93万所，将52.93万用科学记数法表示应为　　 A． B． C． D． 【分析】根据科学记数法的表示为的形式，其中，为整数，求解即可． 【解答】解：52.93万， 故选：． 【点评】此题考查了科学记数法的表示方法，正确记忆科学记数法的表示为的形式是解题关键． 4．（3分）下列有理数大小关系判断正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据有理数比较大小的方法：化简后比较即可． 【解答】解：、，，所以； 、； 、； 、． 所以选． 【点评】比较两个有理数的大小时，需先化简，再比较．有理数大小比较的法则：（1）正数都大于0；（2）负数都小0；（3）正数大于一切负数；（4）两个负数，绝对值大的其值反而小． 5．（3分）实数在哪两个相邻的整数之间　　 A．0和1之间 B．1和2之间 C．2和3之间 D．3和4之间 【分析】根据算术平方根的定义，估算无理数的大小即可． 【解答】解：， ， 即， 故选：． 【点评】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义是正确解答的前提． 6．（3分）下列说法正确的有　　 A．是整式 B．是单项式 C．不是整式 D．是多项式 【分析】根据整式包括单项式和多项式逐项分析判断即可． 【解答】解：、是整式，原说法正确，符合题意； 、是多项式，原说法错误，不符合题意； 、是整式，原说法错误，不符合题意； 、是分式，原说法错误，不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查了多项式、整式、单项式，熟练掌握相关概念是关键． 7．（3分）若，则的值为　　 A．2 B． C．5 D．8 【分析】根据非负数的性质列式求出、的值，再代入进行计算即可求解． 【解答】解：根据题意得，，， 解得，， ． 故选：． 【点评】本题主要考查了偶次方的非负数的性质，绝对值的非负数的性质，根据几个非负数的和等于0，则每一个算式都等于0列式是解题的关键． 8．（3分）点，在数轴上的位置如图所示，其对应的有理数分别是和．对于下列四个结论： ①； ②； ③； ④； ⑤．其中正确的是　　 A．①②③④ B．①②③⑤ C．①③⑤ D．②③④ 【分析】根据图示，可得，，据此逐项判断即可． 【解答】解：根据图示，可得，， （1），故正确； （2），故正确； （3），故正确； （4），故错误； （5），故正确． 正确的是①②③⑤． 故选：． 【点评】此题主要考查了绝对值的含义和求法，以及数轴的特征和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是判断出、的取值范围． 9．（3分）为了求的值，可令，则，因此，所以，仿照以上推理计算出的值是　　 A． B． C． D． 【分析】根据题目中的例子，可以设，然后可以得到，然后作差整理即可得到所求式子的值． 【解答】解：设， 则， ， ， ， 故选：． 【点评】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，求出所求式子的值． 10．（3分）如图，长为，宽为的大长方形被分割为7小块，除阴影，外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为，下列说法中正确的有　　 ①小长方形的较长边为； ②阴影的较短边和阴影的较短边之和为； ③若为定值，则阴影和阴影的周长和为定值； ④当时，阴影和阴影的面积和为定值． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】利用图形求得阴影，的长与宽，利用已知条件对每个结论进行逐一判断即可得出结论． 【解答】解：小长方形的较短的边长为， 阴影的较长边为，较短边为； 阴影的较长边为． 阴影的较长边与小长方形的较长边相等， 小长方形的较长边为：．小长方形的较短边为：． ①正确； 阴影的较短边和阴影的较短边之和为： ． ②错误； 阴影和阴影的周长和为： ， 若为定值，则阴影和阴影的周长和为定值． ③正确； 阴影和阴影的面积和为： ， 当时， ， 当时，阴影和阴影的面积和为定值． ④正确． 综上，正确的结论有：①③④， 故选：． 【点评】本题主要考查了列代数式，求代数式的值，充分利用图形的特点求得阴影，的长与宽是解题的关键． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．（3分）单项式的系数是 　　，次数是 　　． 【分析】根据单项式的系数和次数的定义即可得出答案． 【解答】解：单项式的系数是，次数是3． 故答案为：，3． 【点评】本题考查了单项式，掌握单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数是解题的关键． 12．（3分）16的算术平方根是 　4　． 【分析】运用算术平方根知识进行求解． 【解答】解：， 的算术平方根是4， 故答案为：4． 【点评】此题考查了算术平方根的求解能力，关键是能准确理解并运用以上知识． 13．（3分）单项式与单项式是同类项，则　5　． 【分析】根据同类项的意义，列方程求解即可．定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项． 【解答】解：单项式与单项式是同类项， ，， 解得，， ． 故答案为：5． 【点评】本题考查同类项的意义，理解同类项的意义是正确解答的前提． 14．（3分）已知与互为相反数，与互为倒数，且，则　　． 【分析】先根据相反数、绝对值和倒数的性质得出，，，再分别代入代数式求解． 【解答】解：根据题意得，，． 当时，． 当时，． 故答案为：． 【点评】此题考查了相反数、绝对值和倒数的性质，要求掌握相反数、绝对值和倒数的性质及其定义，并能熟练运用到实际当中进行有理数的运算． 绝对值规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0． 倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数． 相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0． 15．（3分）已知：，，若，则　10或　，　　． 【分析】根据题意，因为，，可得，，因为，所以，，或，，据此算出、的值． 【解答】解：， ， ， ， ， ， ，或，， 所以，或，． 故答案为：10或；或． 【点评】本题考查了有理数的乘法、绝对值、有理数的加法、有理数的减法，解决本题的关键是求出、的值． 16．（3分）已知，为实数，下列说法：①若，且，互为相反数，则；②若，，则；③若，则；④若，且，则，其中正确的是 　①②④　（写出正确的序号）． 【分析】①除0外，互为相反数的商为，可作判断； ②由两数之和小于0，两数之积大于0，得到与都为负数，即小于0，利用负数的绝对值等于它的相反数化简得到结果，即可作出判断； ③由的绝对值等于它的相反数，得到为非正数，得到与的大小，即可作出判断； ④由绝对值大于绝对值，分情况讨论，即可作出判断； ⑤先根据，得，由和有理数乘法法则可得，，分情况可作判断． 【解答】解：①若，且，互为相反数，则，本选项正确； ②若，则与同号，由，则，，则，本选项正确； ③，即， ，即，本选项错误； ④， ， ， ，， 当时，， ，不符合题意； 所以，， ， 则， 本选项正确； 则其中正确的有3个． 故答案为：①②④． 【点评】此题考查了相反数，绝对值和有理数的混合运算，熟练掌握各种运算法则是解本题的关键． 三、解答题：本题共8小题，共72分．其中：17题14分，18-19每题6分，20-22每题8分，23题10分，24题12分． 17．（14分）计算． （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 【分析】（1）根据去绝对值和有理数减法法则运算即可； （2）根据乘法交换律和有理数乘法运算法则运算即可； （3）根据开平方和开立方及有理数加减混合运算法则运算即可； （4）根据乘方立方和去绝对值运算法则运算即可； （5）根据乘法分配律运算即可； （6）根据有理数混合运算法则运算即可． 【解答】解：（1） ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） ； （6）． ． 【点评】本题考查了实数的运算，熟练掌握实数运算法则是关键． 18．（6分）先化简，再求值：，其中，． 【分析】本题应对代数式进行去括号，合并同类项，将代数式化为最简式，然后把，的值代入即可．注意去括号时，如果括号前是负号，那么括号中的每一项都要变号；合并同类项时，只把系数相加减，字母与字母的指数不变． 【解答】解： ， 当，时， 原式 ． 【点评】本题考查了整式的加减法，掌握合并同类项的法则是关键． 19．（6分）已知的立方根是，的平方根是． （1）求，的值． （2）求的平方根． 【分析】（1）根据平方根立方根的性质进行运算即可． （2）将、代入代数式计算数值后再求它的平方根即可． 【解答】解：（1）的立方根是， 的平方根是． ；， 解得； （2）当， 时， ． 则25的平方根是． 的平方根是． 【点评】本题考查了平方根立方根的性质，正数有两个平方根，它们互为相反数． 20．（8分）某果农把自家果园的柑橘包装后放到了网上销售．原计划每天卖10箱，但由于种种原因，实际每天的销售量与计划量相比有出入，下表是某个星期的销售情况（超额记为正，不足记为负，单位：箱）． 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差值 （1）根据记录的数据可知前五天共卖出多少箱？ （2）本周实际销售总量达到了计划数量没有？ （3）若每箱柑橘售价为80元，同时需要支出运费7元箱，那么该果农本周总共收入多少元？ 【分析】（1）将前五天的销售量相加即得结论； （2）将表格中记录的数据相加得出结果，结果的符号表示达到或不足，结果的绝对值表示达到或不足的数量； （3）利用本周的总收入减去总运费即得结论． 【解答】解：（1）（箱， 答：根据记录的数据可知前五天共卖出45箱； （2）， 答：本周实际销售总量达到了计划数量； （3）（元， 答：该果农本周总共收入5840元． 【点评】此题考查正数和负数的问题，此题的关键是读懂题意，列式计算． 21．（8分）已知，为有理数，如果规定一种运算“”，即，试根据这种运算完成下列各题． （1）求； （2）求； （3）任意选择两个有理数，，分别计算和，并比较两个运算结果，你有何发现？ 【分析】（1）原式利用题中的新定义计算即可得到结果； （2）原式利用题中的新定义计算即可得到结果； （3）两数利用新定义化简得到结果，即可作出判断． 【解答】解：（1）根据题中的新定义得：； （2）根据题中的新定义得：； （3）根据题中的新定义得：，， 则． 【点评】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 22．（8分）如图1所示的是一个长为，宽是的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个同等大小的小长方形，然后按图2的方式拼成一个正方形． （1）你认为图2中的阴影部分的正方形的边长等于 　　； （2）请用两种不同的方法列代数式表示图2中阴影部分的面积． 方法一：　　； 方法二：　　． （3）观察图2，你能写出，，这三个代数式之间的数量关系吗？ （4）当，求阴影部分的面积． 【分析】（1）直接写出边长：长边一短边； （2）直接根据边长的平方计算面积或根据面积差计算面积； （3）根据图形利用面积可得结论； （4）把代入（2）中的一种方法计算可得答案． 【解答】解：（1）图2中的阴影部分的正方形的边长等于； 故答案为：； （2）方法一：； 方法二：分成的四块小长方形形状和大小都一样， 每一个小长方形的长为，宽为， 阴影部分的正方形的边长为， ， 故答案为：，； （3）由图2得：； （4）， ． ． 即阴影部分的面积是36． 【点评】本题主要考查完全平方公式，熟记完全平方公式、图形的面积是解决此题的关键，利用数形结合的思想，注意观察图形． 23．（10分）数学中，运用整体思想方法在求代数式的值中非常重要． 例如：已知，，则代数式． 请你根据以上材料解答以下问题： （1）若，则　　； （2）已知，，求代数式的值； （3）当，时，代数式的值为8，则当，时，求代数式的值． 【分析】（1）根据整体思想代入计算即可求解； （2）根据已知条件先求出的值，再整体代入到所求代数式中即可； （3）根据已知可得，再整体代入到所求代数式中即可． 【解答】解：（1）因为， 所以 故答案为：． （2），， ， ； （3）当，时，代数式的值为8， 即， 可得， 当，时，代数式． 【点评】本题考查了代数式求值，解决本题的关键是运用整体代入思想． 24．（12分）阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来．将这个数减去其整数部分，得到的差就是小数部分，因为的整数部分是1，于是用来表示的小数部分．又例如： ，即， 的整数部分是2，小数部分为． 根据上述材料，回答下列问题： （1）的整数部分是 　4　，小数部分是 　　； （2）也是夹在相邻两个整数之间的，可以表示为，求的值； （3）已知，其中是整数，且，求的值． 【分析】（1）仿照题中给出的方法估算的取值范围，即可得出其整数部分和小数部分； （2）先估算的取值范围，进而估算的取值范围，即可求出、的值，从而计算的值； （3）先估算的取值范围，进而估算的取值范围，即可求出、的值，从而计算出的值． 【解答】解：（1）， ， 的整数部分是4，小数部分是， 故答案为：4，； （2）， ， ， ，， ； （3）， ， ， 的整数部分是12，小数部分是， ，， ． 【点评】本题考查了估算无理数的大小，实数的运算，理解题意并掌握题干中给出的方法是解题的关键． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/10/30 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