精品解析：山东省临沂市第十八中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题

2023级高二上学期10月份诊断性测试 数学 2024.10.29 本试卷4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 由直线与轴垂直可得倾斜角． 【详解】直线与轴垂直，∴倾斜角为． 故选：A． 2. 已知向量，且，则实数（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 由计算可得． 【详解】∵，∴，解得． 故选：C． 3. 若直线与直线平行，则实数（ ） A. 1 B. C. 0 D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用平行的判断方法计算出的值，除去使直线重合的情况即可. 【详解】由两直线平行得，解得 又当时，直线与直线重合，与题意不符 当时，直线与直线平行，符合题意 故选：B. 4. 已知三棱柱，点为线段的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间向量的线性运算求解即可 【详解】解：在三棱柱，点为线段的中点，则 ， 所以 ， 故选：D 5. 已知二面角的大小为，为棱上不同两点，分别在半平面内，均垂直于棱，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 在平面内作，且，得，（或其补角）是异面直线与所成角．在中求解即可得． 【详解】如图，在平面内作，且，连接，则是平行四边形，所以，，（或其补角）是异面直线与所成角． 因为，所以，又，所以是二面角的平面角，即，，所以， 又，所以平面，平面，所以，由得，所以．． 故选：B． 【点睛】方法点睛：本题考查求异面直线所成的角，解题关键是作出异面直线所成的角．作平行线构造三角形，得出异面直线所成的角（并证明）．然后计算． 6. 若过原点的直线与圆有两个交点，则的倾斜角的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 先由圆的方程确定圆心和半径，得到直线的斜率存在，设直线的方程为，根据直线与圆的位置关系列出不等式求解，得出斜率的范围，进而可得倾斜角的范围. 【详解】由得， 所以圆的圆心为，半径为， 因此为使过原点的直线与圆有两个交点，直线的斜率必然存在， 不妨设直线的方程为：，即 则有，即，整理得，解得， 记的倾斜角为，则， 又，所以. 故选：C. 7. 已知椭圆上两点，若的中点为，直线的斜率等于，则直线的斜率等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 设，，把两点坐标代入椭圆方程相减后可得与的关系，从而得出结论． 【详解】设，，， 则，两式相减得，整理得， 即． 故选：D． 【点睛】方法点睛：在遇到椭圆的弦中点时，常常用点差法求解．即设弦两端点为，弦中点，两端点坐标代入椭圆方程相减珀可得与的关系．双曲线的弦中点也可这样求解． 8. 已知圆与直线交于两点，且，则圆与函数的图象交点个数为（ ）个 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 由弦长求得半径，确定圆过点，而函数是增函数，也过点，从而可得结论． 【详解】圆心到直线的距离为，又，所以，所以圆过点， 而函数在上是增函数，且过点，因此它们有2个交点． 故选：A． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线，则下述正确的是（ ） A. 直线的斜率可以等于 B. 直线的斜率有可能不存在 C. 直线可能过点 D. 若直线的横纵截距相等，则 【答案】BD 【解析】 【分析】 根据直线方程判断斜率AB，代入点的坐标可判断直线是否过一点判断C，求出横纵截距可判断D． 【详解】时，斜率不存在，时，斜率不等于0，A错；B正确； ，不在直线上，C错； 时，纵截距不存在，时，令得，令，，由得，D正确． 故选：BD． 10. 已知点，，动点到直线的距离为，，则（ ） A. 点的轨迹是椭圆 B. 点的轨迹曲线的离心率等于 C. 点的轨迹方程为 D. 的周长为定值 【答案】AC 【解析】 【分析】根据题意，设动点的坐标为，从而得到点的轨迹方程，然后根据椭圆的性质判断，即可得到结果. 【详解】因为点，，动点到直线的距离为， 设动点的坐标为，可得， 化简可得，所以点的轨迹为椭圆，故AC正确； 离心率为，故B错误； 的周长为定值，故D错误； 故选:AC 11. 已知四面体的所有棱长均为，则下列结论正确的是（ ） A. 异面直线与所成角为 B. 点到平面的距离为 C. 四面体的外接球体积为 D. 动点在平面上，且与所成角为，则点的轨迹是椭圆 【答案】BC 【解析】 【分析】在正四面体中通过线面垂直可证得，通过计算可验证BC，通过轨迹法可求得P的轨迹为双曲线方程即可得D错误. 【详解】取中点,连接,可得面,则,故A错误； 在四面体中，过点作面于点,则为为底面正三角形的重心，因为所有棱长均为,,即点到平面的距离为,故B正确； 设为正四面体的中心则为内切球的半径，为外接球的半径， 因为，所以，即, 所以四面体的外接球体积,故C正确； 建系如图：,设，则 因为，所以， 即，平方化简可得：，可知点的轨迹为双曲线,故D错误. 故选：BC． 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分. 12. 已知椭圆的离心率等于，则实数__________. 【答案】或 【解析】 【分析】 讨论椭圆焦点的位置，分两种情况求椭圆的离心率，再求实数的值. 【详解】当椭圆的焦点在轴时，，，， 所以，解得：， 当椭圆的焦点在轴时，，，， 所以，解得：. 故答案为：或 13. 已知正方体的棱长为，点为线段上一点，，则点到平面的距离为______________. 【答案】 【解析】 【分析】 作交于，可得平面，由平行线的性质求得即可． 【详解】作交于，因为平面，所以平面， ， 由得，所以． 故答案为：． 14. 在平面直角坐标系中，，，点分别在轴、轴上，则（1）的最小值是_________；（2）的最小值是_________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】 （1）求得关于轴的对称点后，由可求得结果； （2）求得关于轴的对称点和关于轴的对称点后，由可求得结果. 【详解】（1）点关于轴的对称点的坐标为， 则（当且仅当三点共线时取等号）， ； （2）点关于轴的对称点的坐标为；点关于轴的对称点的坐标为， 则（当且仅当四点共线时取等号）， . 故答案为：；. 【点睛】思路点睛：本题考查两定点到动点的距离之和的最值问题的求解，求解此类问题的基本思路是求得某点关于动点所在直线的对称点后，利用三角形两边之和大于第三边的特点，确定三点共线时取最值. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知O为坐标原点，直线，圆． （1）若l的倾斜角为，求a． （2）若l与直线的倾斜角互补，求直线l上的点到圆O上的点的最小距离． （3）求点O到l的最大距离及此时a的值． 【答案】（1）; （2）; （3）. 【解析】 【分析】（1）根据倾斜角计算斜率即可得解； （2）由直线倾斜角间的关系计算的斜率，利用圆心到直线的距离可求最小值； （3）根据直线方程求出所过定点，当时，O到l的距离最大，据此求解即可. 【小问1详解】 由题知：直线l的斜率等于， 解得． 【小问2详解】 因为l与直线的倾斜角互补， 所以两者斜率互为相反数， 所以，即， 所以， 圆心O到直线l的距离， 所以直线l上的点到圆O上的点的最小距离． 【小问3详解】 由可得， 故直线l恒过定点， 所以O到l的最大距离小于等于， 此时，， 所以，即，解得． 16. 在平面直角坐标系中，圆过点和点，圆心到直线的距离等于. （1）求圆的标准方程； （2）若圆心在第一象限，为圆外一点，过点作圆的两条切线，切点分别为、，四边形的面积为，求点的轨迹方程. 【答案】（1）或；（2）. 【解析】 【分析】（1）由题意可知，圆心在线段的垂直平分线，可设圆心，由圆心到直线的距离等于可求得实数的值，进而可求得圆的标准方程； （2）推导出，可得出四边形的面积，进一步可求出，可得出点的轨迹是以为圆心，半径为的圆，进而可求得点的轨迹方程. 【详解】（1）直线的斜率为，线段的中点为， 所以，线段的垂直平分线的方程为，即， 因为圆过点和点，所以圆心在线段的垂直平分线上， 所以可设圆心为， 因为圆心到直线的距离等于，所以，解得， 当时，圆心为，半径，圆的方程为：； 当时，圆心为，半径，圆的方程为：. 所以圆的标准方程为或； （2）由题知，， ，，， 所以，， 所以四边形的面积， 因为，所以，所以， 所以，点的轨迹是以为圆心，半径为的圆， 所以点的轨迹方程为：. 【点睛】方法点睛：求动点的轨迹方程有如下几种方法： （1）直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程； （2）定义法：如果能确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程； （3）相关点法：用动点的坐标、表示相关点的坐标、，然后代入点的坐标所满足的曲线方程，整理化简可得出动点的轨迹方程； （4）参数法：当动点坐标、之间的直接关系难以找到时，往往先寻找、与某一参数得到方程，即为动点的轨迹方程； （5）交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程. 17. 在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，PD⊥平面ABCD，M为PC中点． （1）如果PD＝4，求证：PC⊥平面MAD； （2）当BP与平面MBD所成角的正弦值最大时，求三棱锥D﹣MBC的体积V． 【答案】（1）∵PD⊥平面ABCD，PD⊂平面PCD，∴平面PCD⊥平面ABCD，∵底面ABCD是正方形，∴AD⊥DC， 又AD⊂平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD＝CD，∴AD⊥平面PCD，得AD⊥PC， ∵PD＝DC＝4，M为PC的中点，∴DM⊥PC，而AD∩DM＝D，∴PC⊥平面MAD； （2）. 【解析】 【分析】（1）通过证明来证得平面. （2）建立空间直角坐标系，利用直线与平面所成角的正弦值的最大值求得，进而求得三棱锥的体积. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设DP＝2t，以D为坐标原点，分别以DA、DC、DP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系， 则D（0，0，0），B（4，4，0），P（0，0，2t），M（0，2，t）， ＝（4，4，0），＝（0，2，t），，设平面MBD的法向量为， 则，即，取y＝﹣1，得， ∴BP与平面MBD所成角的正弦值为|cos＜＞|＝＝（当且仅当，即t＝2时等号成立）． ∴三棱锥D﹣MBC的体积． 18. 如图，在几何体中，四边形为菱形，为等边三角形，，，平面平面. （1）证明：在线段上存在点，使得平面平面； （2）求二面角的余弦值； （3）若平面，求线段的长度. 【答案】（1）如图所示： 取线段的中点，连接， 、均为等边三角形， ， 平面， 又平面， 平面平面 在线段存在中点，使得平面平面； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）取线段的中点，先证明平面，再根据面面垂直的判定定理即可证明平面平面； （2分别求出平面和平面的法向量，利用向量法即可求得二面角的余弦值； （3）由，可得，进而写出，求出，再根据平面，即与平面的法向量的数量积为，解出，即可求得线段的长度. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 平面平面，平面平面， 平面， 即两两垂直， 以为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 设平面的一个法向量 ， ， ， ，得：， 令，则， 设平面的一个法向量， 因为， 由，得：， 令，则， 设二面角的平面角为， ， 又二面角为锐二面角， 二面角的余弦值为； 【小问3详解】 ，设，， ，则， 又平面，且平面的一个法向量为， ， ， . 【点睛】方法点睛：解决二面角相关问题通常用向量法，具体步骤为： （1）建坐标系，建立坐标系的原则是尽可能的使得已知点在坐标轴上或在坐标平面内； （2）根据题意写出点的坐标以及向量的坐标，注意坐标不能出错， （3）利用数量积验证垂直或求平面的法向量， （4）利用法向量求距离、线面角或二面角. 19. 已知为坐标原点，椭圆的左右焦点分别为，，为椭圆的上顶点，以为圆心且过的圆与直线相切. （1）求椭圆的标准方程； （2）已知直线交椭圆于两点. （ⅰ）若直线的斜率等于，求面积的最大值； （ⅱ）若，点在上，.证明：存在定点，使得为定值. 【答案】（1）；（2）（ⅰ）；（ⅱ）. 【解析】 【分析】（1）求出后可得椭圆的标准方程. （2）（ⅰ）设直线的方程为：，，联立直线方程和椭圆方程，利用韦达定理、弦长公式可求面积表达式，利用基本不等式可求面积的最大值. （ⅱ）利用韦达定理化简可得，从而可得的轨迹为圆，故可证存在定点，使得为定值. 【详解】（1）由题意知：，， 又，则以为圆心且过的圆的半径为， 故，所以椭圆的标准方程为：. （2）（ⅰ）设直线的方程为：， 将代入得：， 所以且， 故. 又， 点到直线的距离， 所以， 等号当仅当时取，即当时，的面积取最大值为. （ⅱ）显然直线的斜率一定存在， 设直线的方程为：，， 由（ⅰ）知： 所以， 所以， 解得，，直线过定点或， 所以D在以OZ为直径的圆上，该圆的圆心为或，半径等于， 所以存在定点或，使得为定值. 【点睛】方法点睛：求椭圆的标准方程，关键是基本量的确定，方法有待定系数法、定义法等. 直线与圆锥曲线的位置关系中的定点、定值、最值问题，一般可通过联立方程组并消元得到关于或的一元二次方程，再把要求解的目标代数式化为关于两个的交点横坐标或纵坐标的关系式，该关系中含有或，最后利用韦达定理把关系式转化为若干变量的方程（或函数），从而可求定点、定值、最值问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023级高二上学期10月份诊断性测试 数学 2024.10.29 本试卷4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，且，则实数（ ） A. B. C. D. 3. 若直线与直线平行，则实数（ ） A. 1 B. C. 0 D. 4. 已知三棱柱，点为线段的中点，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知二面角的大小为，为棱上不同两点，分别在半平面内，均垂直于棱，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 6. 若过原点的直线与圆有两个交点，则的倾斜角的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知椭圆上两点，若的中点为，直线的斜率等于，则直线的斜率等于（ ） A. B. C. D. 8. 已知圆与直线交于两点，且，则圆与函数的图象交点个数为（ ）个 A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线，则下述正确的是（ ） A. 直线的斜率可以等于 B. 直线的斜率有可能不存在 C. 直线可能过点 D. 若直线的横纵截距相等，则 10. 已知点，，动点到直线的距离为，，则（ ） A. 点的轨迹是椭圆 B. 点的轨迹曲线的离心率等于 C. 点的轨迹方程为 D. 的周长为定值 11. 已知四面体的所有棱长均为，则下列结论正确的是（ ） A. 异面直线与所成角为 B. 点到平面的距离为 C. 四面体的外接球体积为 D. 动点在平面上，且与所成角为，则点的轨迹是椭圆 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分. 12. 已知椭圆的离心率等于，则实数__________. 13. 已知正方体的棱长为，点为线段上一点，，则点到平面的距离为______________. 14. 在平面直角坐标系中，，，点分别在轴、轴上，则（1）的最小值是_________；（2）的最小值是_________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知O为坐标原点，直线，圆． （1）若l的倾斜角为，求a． （2）若l与直线的倾斜角互补，求直线l上的点到圆O上的点的最小距离． （3）求点O到l的最大距离及此时a的值． 16. 在平面直角坐标系中，圆过点和点，圆心到直线的距离等于. （1）求圆的标准方程； （2）若圆心在第一象限，为圆外一点，过点作圆的两条切线，切点分别为、，四边形的面积为，求点的轨迹方程. 17. 在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，PD⊥平面ABCD，M为PC中点． （1）如果PD＝4，求证：PC⊥平面MAD； （2）当BP与平面MBD所成角的正弦值最大时，求三棱锥D﹣MBC的体积V． 18. 如图，在几何体中，四边形为菱形，为等边三角形，，，平面平面. （1）证明：在线段上存在点，使得平面平面； （2）求二面角的余弦值； （3）若平面，求线段的长度. 19. 已知为坐标原点，椭圆的左右焦点分别为，，为椭圆的上顶点，以为圆心且过的圆与直线相切. （1）求椭圆的标准方程； （2）已知直线交椭圆于两点. （ⅰ）若直线的斜率等于，求面积的最大值； （ⅱ）若，点在上，.证明：存在定点，使得为定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $