精品解析：天津市南开中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题卷

2023年南开中学高2025届高二上期中考试 数学试题卷 注意事项： 1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上. 2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号. 3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上. 4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效. 一、单选题（本大题共8个小题，每小题只有一个选项正确，每小题5分，共40分） 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 若直线与互相垂直，则（ ） A. B. 6 C. D. 3. 抛物线的准线方程是 A. B. C. D. 4. 若双曲线C以两条坐标轴为对称轴，是其一条渐近线，则双曲线C的离心率为（ ） A. B. C. 或 D. 或 5. 若直线与相离，则点与圆的位置关系为（ ） A. 点在圆内 B. 点在圆上 C. 点在圆外 D. 无法确定 6. 设、分别为双曲线的左、右焦点，双曲线上存在一点使得，，则该双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 7. 若F为椭圆的左焦点，P为椭圆C上一动点，，则周长的最大值为（ ） A. B. C. 7 D. 10 8. 椭圆与双曲线有相同的焦点、，记椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则下列关系式一定正确的是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分） 9. 已知椭圆的中心为坐标原点，焦点、在轴上，短轴长等于，焦距为，过焦点作轴的垂线交椭圆于、两点，则下列说法正确的是（ ） A. 椭圆的方程为 B. 椭圆的离心率为 C. D. 10. 已知圆，．则下列说法正确的是（ ） A. 当时，圆与圆有4条公切线 B. 当时，是圆与圆的一条公切线 C. 当时，圆与圆相交 D. 当时，圆与圆的公共弦所在直线的方程为 11. 已知双曲线：的左、右焦点分别为、，过向的一条渐近线作垂线，垂足为，交另一条渐近线于，则下列说法正确的是（ ） A. 为线段的中点 B. 点在直线上 C. D. 12. 如图，F为抛物线的焦点，O为坐标原点，过y轴左侧一点P作抛物线C的两条切线，切点为A、B，、分别交y轴于M、N两点，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分） 13. 已知双曲线，则的右焦点的坐标为________. 14. 若为圆的弦的中点，则直线的方程为__________． 15. 若P是椭圆上一动点，，则的最大值为__________． 16. 设椭圆的焦点为，，P是椭圆上一点，且，若的外接圆和内切圆的半径分别为R，r，当时，椭圆的离心率为______． 四、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 已知双曲线的方程是． （1）求双曲线的渐近线方程； （2）设和是双曲线的左、右焦点，点在双曲线右支上，且，求的大小． 18. 已知圆． （1）求实数的取值范围； （2）若直线被圆C所截得的弦长为，求实数m的值． 19. 已知抛物线与直线相交于A、B两点，O为坐标原点． （1）求证：； （2）当时，求的值． 20. 已知圆，A是圆C上一动点，点，M为线段的中点． （1）求动点M的轨迹方程； （2）记M的轨迹为曲线E，过点的点线l与曲线E有且只有一个交点，求直线l的方程． 21. 如图，椭圆的离心率为，其长轴的两个端点与短轴的一个端点构成的三角形的面积为． （1）求椭圆C的标准方程； （2）过点的直线l交C于A、B两点，交直线于点P．若，，证明：为定值，并求出这个定值． 22. 如图，双曲线，过原点O的直线与双曲线分别交于A、C、B、D四点，且． （1）若，P为双曲线的右顶点，记直线、、、的斜率分别为、、、，求的值； （2）求四边形面积的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023年南开中学高2025届高二上期中考试 数学试题卷 注意事项： 1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上. 2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号. 3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上. 4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效. 一、单选题（本大题共8个小题，每小题只有一个选项正确，每小题5分，共40分） 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由直线方程，结合斜率与倾斜角关系求倾斜角的大小. 【详解】由直线方程为，即斜率为， 若倾斜角为，则，故. 故选：B 2. 若直线与互相垂直，则（ ） A. B. 6 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据两直线垂直的充要条件得到方程，解得即可. 【详解】因为直线与互相垂直， 所有，解得． 故选：B. 3. 抛物线的准线方程是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由抛物线x2＝y可得：2p＝1，即可得出抛物线的准线方程． 【详解】由抛物线x2＝y可得：2p＝1，∴， 因此抛物线的准线方程是y． 故选A． 【点睛】本题考查了抛物线的标准方程及其准线方程，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 4. 若双曲线C以两条坐标轴为对称轴，是其一条渐近线，则双曲线C的离心率为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】讨论双曲线焦点位置，结合已知渐近线确定双曲线参数关系，进而求离心率. 【详解】若双曲线焦点在轴上，则一条渐近线为， 所以； 若双曲线焦点在轴上，则一条渐近线为， 所以； 所以双曲线C的离心率为或. 故选：D 5. 若直线与相离，则点与圆的位置关系为（ ） A. 点在圆内 B. 点在圆上 C. 点在圆外 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】由题设及点线距离公式有，进而可得即可判断位置关系. 【详解】由题设与直线的距离，即， 所以点在圆内. 故选：A 6. 设、分别为双曲线的左、右焦点，双曲线上存在一点使得，，则该双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 利用双曲线的定义结合已知条件可得出，可求得，再由公式可求得双曲线的离心率的值. 【详解】由双曲线的定义得，又， ，即， 因此，即，则， 解得，（舍去）， 因此，该双曲线的离心率为. 故选：B. 【点睛】本题考查双曲线离心率的求解，解题的关键就是利用双曲线的定义建立、所满足的齐次等式，考查计算能力，属于中等题. 7. 若F为椭圆的左焦点，P为椭圆C上一动点，，则周长的最大值为（ ） A. B. C. 7 D. 10 【答案】D 【解析】 【分析】利用椭圆的定义及三角形三边关系有，即可求最大值，注意取值条件. 【详解】若为椭圆右焦点，如下图示，， 周长为，且， 所以，而， 故，当且仅当共线且在两侧时等号成立， 所以周长的最大值为10. 故选：D 8. 椭圆与双曲线有相同的焦点、，记椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则下列关系式一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由椭圆、双曲线共焦点，结合对应方程得，根据离心率公式判断各项的正误. 【详解】由椭圆与双曲线焦点相同，即参数相同，而，，又， 由，所以. 当，则，此时不合要求； 当，则，不合要求； 当，则，，不一定成立； 综上，A、B不成立，C不一定成立，D一定成立. 故选：D 二、多选题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分） 9. 已知椭圆的中心为坐标原点，焦点、在轴上，短轴长等于，焦距为，过焦点作轴的垂线交椭圆于、两点，则下列说法正确的是（ ） A. 椭圆的方程为 B. 椭圆的离心率为 C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】求出、、的值，可判断AB选项的正误；设点为椭圆的左焦点，将代入椭圆方程，可求得的长，可判断C选项的正误；利用椭圆的定义可判断D选项的正误. 【详解】对于椭圆，由已知可得，则，，. 对于A选项，因为椭圆的焦点在轴上，故椭圆的方程为，A对； 对于B选项，椭圆的离心率为，B错； 对于C选项，设点为椭圆的左焦点，易知点， 将代入椭圆方程可得，故，C错； 对于D选项，，故，D对. 故选：AD. 10. 已知圆，．则下列说法正确的是（ ） A. 当时，圆与圆有4条公切线 B. 当时，是圆与圆的一条公切线 C. 当时，圆与圆相交 D. 当时，圆与圆的公共弦所在直线的方程为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据圆心距与半径间的关系判断各项圆与圆的位置关系，结合点线距离与半径大小判断直线与圆的关系，相交情况下两圆作差求公共弦方程. 【详解】由题设且半径，且半径，故， 当时，，即两圆相离，故有4条公切线，A对； 当时，是圆切线，又到的距离为，即是圆的切线，B对； 当时，，即两圆相离，C错； 当时，，即两圆相交，故有公共弦， 将两圆方程作差得，整理得，即为，D对. 故选：ABD 11. 已知双曲线：的左、右焦点分别为、，过向的一条渐近线作垂线，垂足为，交另一条渐近线于，则下列说法正确的是（ ） A. 为线段的中点 B. 点在直线上 C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】选项A：根据图像和双曲线的几何性质可得； 选项B：先求渐近线和直线的方程，联立可得； 选项C：根据点坐标，利用数量积的坐标运算可得； 选项D：根据双曲线距离公式可得. 【详解】 因为双曲线：，所以，，， 则，，根据双曲线的对称性，不妨取渐近线方程， 选项A：直线,由可得， 同理，因为，故不是的中点，故A错误； 选项B：直线的斜率为，直线方程为， 联立得，所以正确； 选项C：由，，， 则，， 故，故C正确； 选项D：，故D正确， 故选：BCD 12. 如图，F为抛物线的焦点，O为坐标原点，过y轴左侧一点P作抛物线C的两条切线，切点为A、B，、分别交y轴于M、N两点，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】求得过点的切线方程，得到，得出和，可判断A正确；当点在准线上，求得，可判定B错误；由，求得，可判定C错误；分别求得和，可判定D正确. 【详解】设抛物线上一点，则， 过点的切线方程为， 联立方程组，整理的， 令，解得，即过抛物线上一点的切线的斜率为， 对于A中，设，则过点的切线方程为， 令，可得，即， 又由抛物线的焦点为，所以， 则，所以，即， 同理可得，则四点共圆，所以，所以A正确； 对于B中，若点在准线上，可直线的方程为， 此时直线过焦点，则，所以，所以B错误； 对于C中，由，，可得，， 若，可得，则， 所以，此时直线过焦点， 设直线，代入抛物线，可得， 设方程的两根为，可得， 即当直线过抛物线焦点时，两交点的纵坐标之积为， 而直线不一定过抛物线的交点，所以C错误； 对于D中，由，可得， 联立方程组，解得，即, 则，所以，所以D正确. 故选：AD. 【点睛】方法点睛：解决抛物线问题的方法与策略： 1、涉及抛物线的定义问题：抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离)进行等量转化．如果问题中涉及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用抛物线定义就能解决问题．因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简单化． 2、涉及直线与抛物线的综合问题：通常设出直线方程，与抛物线方程联立方程组，结合根与系数的关系，合理进行转化运算求解，同时注意向量、基本不等式、函数及导数在解答中的应用. 三、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分） 13. 已知双曲线，则的右焦点的坐标为________. 【答案】 【解析】 【分析】 根据双曲线方程，直接求焦点坐标. 【详解】由双曲线方程可知，，则，则， 并且焦点在轴，双曲线的右焦点的坐标为. 故答案为： 14. 若为圆的弦的中点，则直线的方程为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据圆的性质知：，由两条直线垂直，若斜率都存在，则斜率乘积为，求出直线的斜率，根据直线的点斜式写出直线方程即可. 【详解】因为圆，所以圆心坐标为，半径为， 因为是弦的中点，由圆的性质知：， 因为，且，所以 ， 因为在直线上， 所以直线的方程为，即：. 故答案为： 15. 若P是椭圆上一动点，，则的最大值为__________． 【答案】4 【解析】 【分析】令，应用两点距离公式有，结合椭圆的有界性求最大值. 【详解】令，则，又， 所以，又， 当时，的最大值为4. 故答案为：4 16. 设椭圆的焦点为，，P是椭圆上一点，且，若的外接圆和内切圆的半径分别为R，r，当时，椭圆的离心率为______． 【答案】##0.6 【解析】 【分析】由正弦定理得到，再根据三角形面积公式和余弦定理得到，从而根据得到方程，求出离心率. 【详解】由题意得， 由正弦定理得，故， 由椭圆定义可知，， 故， 又， 由余弦定理得 ， 即，解得， 故， 解得， 因为，所以，解得. 故答案为： 四、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 已知双曲线的方程是． （1）求双曲线的渐近线方程； （2）设和是双曲线的左、右焦点，点在双曲线右支上，且，求的大小． 【答案】（1）； （2）2. 【解析】 【分析】（1）由双曲线方程直接写出渐近线方程； （2）由双曲线定义有，结合已知求即可. 【小问1详解】 由双曲线方程知：其渐近线方程为； 【小问2详解】 由双曲线定义，又， 所以，可得（负值舍）， 所以的大小为2. 18. 已知圆． （1）求实数的取值范围； （2）若直线被圆C所截得的弦长为，求实数m的值． 【答案】（1）； （2）4. 【解析】 【分析】（1）利用方程表示圆的充要条件，列式求解即得. （2）借助直线被圆所截的弦长公式，列式计算即得. 【小问1详解】 圆，则，解得， 所以实数的取值范围是. 【小问2详解】 由（1）知，，圆的圆心，半径， 则点到直线的距离， 依题意，，即，解得， 所以实数m的值为4. 19. 已知抛物线与直线相交于A、B两点，O为坐标原点． （1）求证：； （2）当时，求的值． 【答案】（1） 令，联立抛物线与直线得，且， 则，故， 又，则，即，得证. （2）. 【解析】 【分析】（1）令，联立抛物线与直线并应用韦达定理得，进而可得，再由即可证结论； （2）利用点线距离公式和弦长公式求到的距离、，结合已知列方程求参数. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由到的距离， 又， 所以，则. 20. 已知圆，A是圆C上一动点，点，M为线段的中点． （1）求动点M的轨迹方程； （2）记M的轨迹为曲线E，过点的点线l与曲线E有且只有一个交点，求直线l的方程． 【答案】（1）； （2）或. 【解析】 【分析】（1）令，由题设得，代入已知圆方程整理即可得动点M的轨迹方程； （2）讨论直线l斜率存在性，设直线方程，结合点线距离公式及直线与圆的交点个数列方程求参数，即可得直线方程. 【小问1详解】 令，由M为线段的中点，，则， 而A是圆C上一动点，故， 整理得，即， 所以动点M的轨迹方程为. 【小问2详解】 由（1）知：曲线E的圆心为，半径，且点N在曲线E外， 若直线l斜率不存在，即，显然与曲线E相切，满足； 若直线l斜率存在，设，则到直线l的距离， 所以，此时； 综上，直线l的方程为或. 21. 如图，椭圆的离心率为，其长轴的两个端点与短轴的一个端点构成的三角形的面积为． （1）求椭圆C的标准方程； （2）过点的直线l交C于A、B两点，交直线于点P．若，，证明：为定值，并求出这个定值． 【答案】（1）； （2） 由题设，直线l斜率一定存在，令，且在椭圆C内， 联立直线与椭圆并整理得，且， 令，而，则， 由，则且，得， 同理 由，则且，得， 所以 又，，则. 所以为定值0. 【解析】 【分析】（1）由已知得，结合椭圆参数关系求得，即可得椭圆方程； （2）令，，，联立椭圆方程并应用韦达定理得，，再由向量数量关系的坐标表示得到关于参数k的表达式，将韦达公式代入化简即可证. 【小问1详解】 由题设，又，则， 所以椭圆C的标准方程为. 【小问2详解】 略 22. 如图，双曲线，过原点O的直线与双曲线分别交于A、C、B、D四点，且． （1）若，P为双曲线的右顶点，记直线、、、的斜率分别为、、、，求的值； （2）求四边形面积的取值范围． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由题意可设，则，结合直线与双曲线都有两交点得，再联立双曲线求各交点坐标，应用两点式求、、、，即可求结果； （2）由题设且同（1）得，联立直线与双曲线，应用韦达定理和弦长公式求，根据及换元法求其取值范围即可. 【小问1详解】 由题设，的斜率都存在且不为0，令，则， 所以，即， 联立与双曲线，得， 不妨令，同理， 由，则、、、， 所以. 【小问2详解】 由题设且同（1）得， 联立，则， 所以， 联立，同理可得， 所以四边形面积， 则，令， 所以 ， 而且，故，， 当时，， 当趋向于时，趋向于0，即趋向于正无穷， 所以四边形面积的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：第二问，先求得，联立直线与双曲线求四边形对角线长度为关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $