精品解析：福建省泉州实验中学2024-2025学年高一上学期10月月考数学试题

泉州实验中学2027届高一数学月考试卷 考试时间：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 若，则有（ ） A. 最小值6 B. 最小值8 C. 最大值8 D. 最大值3 4. 已知函数定义域是，则的定义域是（ ） A. B. C. D. 5. 下列函数中，值域为的是（ ） A. B. C. D. 6. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数在上单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知定义在上的函数满足，且当时，，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列函数是偶函数，且在上单调递增的是（ ） A B. C D. 10. 已知正实数，满足，则（ ） A. 的最小值为6 B. 的最小值为20 C. 最小值为 D. 的最小值为8 11. 已知，且．则下列选项正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的增区间为________________． 13. 若命题“对任意的，都有”为假命题，则实数的取值范围为_______. 14. 定义为数集M中最大的数，已知，若或，则的最小值为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步䠌． 15. 已知二次函数满足，且. （1）求的解析式； （2）集合，若，求实数的取值范围. 16. 设函数 （1）判断函数在上的单调性，并证明； （2）求在区间上值域． 17. 已知函数，在区间上有最大值0，最小值． （1）求实数m，n的值： （2）若，且，如果对任意都有，试求实数a的取值范围． 18. 如图，建立平面直角坐标系，轴在地平面上，轴垂直于地平面，单位长度为1千米.某炮位于坐标原点.已知炮弹发射后的轨迹在方程表示的曲线上，其中与发射方向有关.炮弹的射程是指炮弹落地点的横坐标. （1）求炮的最大射程； （2）若规定炮弹的射程不小于6千米，设在此条件下炮弹射出的最大高度为，求的最小值. 19. 若函数的定义域为D，集合，若存在非零实数t使得任意都有，且，则称为M上的增长函数． （1）已知函数，函数，直接判断和是否为区间上的增长函数； （2）已知函数，且是区间上的增长函数，求正整数n的最小值； （3）如果是定义域为的奇函数，当时，，且为上的增长函数， 求实数a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 泉州实验中学2027届高一数学月考试卷 考试时间：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先分别求出两个集合，再根据交集的定义即可得解. 【详解】由可得，解得或； 由. 所以. 故选：D. 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】先解不等式，然后根据充分、必要条件的知识求得正确答案. 【详解】因为，所以或，所以或， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：B. 3. 若，则有（ ） A. 最小值6 B. 最小值8 C. 最大值8 D. 最大值3 【答案】B 【解析】 【分析】借助配凑法结合基本不等式计算即可得. 【详解】当时，，则， 当且仅当，即时，等号成立， 即有最小值. 故选：B. 4. 已知函数的定义域是，则的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据具体函数和抽象函数的定义域列不等式组即可求解. 【详解】因为函数的定义域是，所以， 所以的定义域为，又因为，即，所以， 所以函数的定义域为. 故选：A. 5. 下列函数中，值域为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据定义域即可直接求得值域进行判断. 【详解】由已知值域为，故A错误 因为定义域为， 值域为，故B正确. ，，，所以，故C错误. ，，所以，故D错误. 故选：B 6. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先判断函数的奇偶性，再根据时函数值的特征，利用排除法判断即可. 【详解】函数的定义域为，且， 所以为奇函数，函数图象关于原点对称，故排除A、B； 当时，所以，故排除C. 故选：D. 7. 已知函数在上单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数以及幂函数的单调性，结合分界点处两函数的单调性与整体保持一致列不等式求解即可. 【详解】函数在上单调递增， 当时，单调递增，当时，也需要单调递增， 所以，解得，故B正确. 故选：B. 8. 已知定义在上的函数满足，且当时，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】应用赋值法构造出的等量关系，再结合不等式性质判断即可. 【详解】由题意，，. 赋值，得； 赋值，得，即， 当时，， 当时，则，所以，即； 赋值，得，解得， 即； AC项，由，， 得， 其中由，可知， 当时，，即； 当时，，即；故AC错误； BD项，，得； 又，所以， 则， 故，且不恒为，故B错误，D正确. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列函数是偶函数，且在上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据给定条件，利用偶函数定义及函数单调性逐项判断即得. 【详解】对于A，函数定义域为，不是偶函数，A不是； 对于B，函数定义域为R，，是偶函数，且在上单调递增，B是； 对于C，函数定义域为R，，是偶函数，且在上单调递增，C是； 对于D，函数定义域为R，而，不是偶函数，D不是. 故选：BC 10. 已知正实数，满足，则（ ） A. 最小值为6 B. 的最小值为20 C. 的最小值为 D. 的最小值为8 【答案】AC 【解析】 【分析】利用基本不等式，结合一元二次不等式解法判断AB；由的范围结合单调性判断C；变形给定等式，利用基本不等式求解判断D. 【详解】正实数满足， 对于A，，则，即， 解得，当且仅当时取等号，所以的最小值为6，A正确； 对于B，，则，解得，即， 当且仅当时取等号，所以的最小值为9，B错误； 对于C，由选项B知，，， 所以当时，取得最小值，C正确； 对于D，由，得，而，则， ，当且仅当时取等号， 由，解得，所以当时，取得最小值，D错误. 故选：AC 11. 已知，且．则下列选项正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AC 【解析】 【分析】由不等式结构考虑设函数，利用二次函数的性质结合选项条件即可一一判断正误. 【详解】设，则即， 因的对称轴为， 对于A，若，，即，则，即直线在的左侧， 由，因函数在上单调递减，则必有，故A正确； 对于B，若，，即，则，即直线在的右侧， 由，结合二次函数的性质可知，不能确定的大小，故B错误； 对于C，若，，即，则，即直线在的右侧， 由，因函数在上单调递增，则必有，故C正确； 对于D，若，，即，则，即直线在左侧， 由，结合二次函数的性质可知，不能确定的大小，故D错误. 故选：AC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的增区间为________________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出函数定义域，然后根据复合函数单调性即可求解. 【详解】令，而的对称轴方程为， 由复合函数单调性可知，函数的增区间为. 故答案为：. 13. 若命题“对任意的，都有”为假命题，则实数的取值范围为_______. 【答案】 【解析】 【分析】根据“存在，”为真命题，讨论，，求解. 【详解】命题“对任意的，都有”为假命题， 则“存在，”为真命题， 当时，满足； 当时，满足； 当时，需，解得； 综上：. 故答案为： 14. 定义为数集M中最大的数，已知，若或，则的最小值为________. 【答案】 【解析】 【分析】解法1：令，，，得到，分和，两情况讨论，结合新定义和不等式的基本性质，即可求解. 解法2：由数轴上点的距离公式，得到分别为线段的长，转化为求三个线段中最长线段的长的最小值，不妨设为，的长为，得到，分和，两情况讨论，结合新定义和不等式的基本性质，即可求解. 【详解】解法一：令，，，其中，，，所以， 若，则，可得， 令， 则，所以，则， 当且仅当，，时等号成立. 若，则，即， 令， 则，所以，则， 当且仅当，，时等号成立， 综上可得，的最小值为. 解法二：根据数轴上点的距离公式，可得分别为线段的长， 如图所示，若点固定，即求三个线段中最长线段的长的最小值， 可知当三个线段等长时，最长的线段长取最小值， 不妨设为，的长为，则，即， 若，则，即，解得； 若，则，即，解得， 因为，所以的最小值为. 故答案为：. 【点睛】对于涉及不等式的基本性质问题的求解策略： 1、运用不等式的性质求解或判断是，要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其也不能想当然捏造性质； 2、建立待求范围的整体与已知范围的整体关系，最后利用不等式的基本性质，进行运算，求得待求的范围； 3、注意利用同向不等式的两边相加时，这种转化不时等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，可能会扩大其取值范围； 4、若通过给出一个新的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实心信息的迁移，达到灵活解题的目的； 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步䠌． 15. 已知二次函数满足，且. （1）求的解析式； （2）集合，若，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，结合恒等式求出即可得解. （2）令，结合集合的包含关系列出不等式组求解即得. 【小问1详解】 二次函数，则 ，而，于是，， 解得，则，又，解得， 所以的解析式是. 【小问2详解】 由（1）知，，不等式 令，则，由， 得，解得， 所以实数的取值范围是. 16. 设函数 （1）判断函数在上的单调性，并证明； （2）求在区间上的值域． 【答案】（1）单调递减，证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据单调性的定义证明即可； （2）根据函数的单调性求出函数的值域. 【小问1详解】 在上单调递减，证明如下： 设任意的且，则 ， 因为且，所以，，， 所以，即， 所以在上单调递减； 【小问2详解】 由（1）可得在上单调递减， 又，， 所以，即在区间上的值域为. 17. 已知函数，在区间上有最大值0，最小值． （1）求实数m，n的值： （2）若，且，如果对任意都有，试求实数a的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据二次函数的单调性可得，进而求解即可； （2）由题意转为问题为恒成立，进而结合二次函数的性质求解即可. 【小问1详解】 由题意，函数的对称轴为，开口向上， 所以函数在上单调递增， 则，解得，. 【小问2详解】 由题意，， 因为对任意都有， 即恒成立， 当时，显然成立； 当时，转化为恒成立， 由，则， 对于， 所以当，即时，，即； 对于， 所以当，即时，，即. 综上所述，实数的取值范围为. 18. 如图，建立平面直角坐标系，轴在地平面上，轴垂直于地平面，单位长度为1千米.某炮位于坐标原点.已知炮弹发射后的轨迹在方程表示的曲线上，其中与发射方向有关.炮弹的射程是指炮弹落地点的横坐标. （1）求炮的最大射程； （2）若规定炮弹的射程不小于6千米，设在此条件下炮弹射出的最大高度为，求的最小值. 【答案】（1）10千米；（2）. 【解析】 【分析】（1）在中，令，求出，利用基本不等式，即可求得炮的最大射程； （2）利用配方法，求得炮弹射出的最大高度为，根据炮弹的射程不小于6千米，确定的范围，即可求的最小值． 【详解】解：（1）中，令，得. 由实际意义和题设条件知，. ∴，当且仅当时取等号. ∴炮的最大射程是10千米. （2）∵炮弹的射程不小于6千米，∴， ∴. ， ∴， ∴， 又上单调递增， ∴的最小值为. 【点睛】本题考查函数模型的运用，考查基本不等式，考查配方法的运用，考查学生的计算能力，属于中档题． 19. 若函数的定义域为D，集合，若存在非零实数t使得任意都有，且，则称为M上的增长函数． （1）已知函数，函数，直接判断和是否为区间上的增长函数； （2）已知函数，且是区间上的增长函数，求正整数n的最小值； （3）如果是定义域为的奇函数，当时，，且为上的增长函数， 求实数a的取值范围． 【答案】（1）是，不是； （2）9 （3） 【解析】 【分析】（1）利用给定定义推理判断或者反例判断而得； （2）把恒成立的不等式等价转化，再求函数最小值而得解； （3）根据题设条件，写出函数的解析式，再分段讨论求得，最后证明即为所求. 【小问1详解】 定义域为，，，， 即，所以为区间上的增长函数； 取，，， 所以不是区间上的增长函数. 【小问2详解】 依题意，，恒成立， 即在上恒成立， 整理得在上恒成立， 因为，所以关于的一次函数是增函数， 所以当时，， 所以，解得， 所以正整数n的最小值为9； 【小问3详解】 由题意可得：当时，， 因为函数是定义域为的奇函数， 所以当时，则， 故， 当时，，， 故为上的增长函数， 所以符合题意； 当时，则可得函数大致图象如图： 易知图象与轴交点为，， 而，， 因为在区间上单调递减，则，不能同在区间上， 所以， 又因为当时，，当时，， 若时，令，则，故，不合题意； 所以，解得且， 若且，则有： 当时，则成立； 当时，则， 可得，，即成立； 当时，则，即成立； 故当且时，符合题意， 综上所述：当时，对均有成立， 故实数的取值范围为. 【点睛】（1）以函数为背景定义的创新试题，认真阅读，分析转化成常规函数解决； （2）分段函数解析式中含参数，相应区间也含有相同的这个参数，要结合函数图象综合考察，并对参数进行分类讨论. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $