精品解析：北京市第五十五中学2024-2025学年高一上学期期中调研考数学试卷

北京市第五十五中学2024-2025学年度第一学期 期中调研试卷 高一数学 本试卷共4页，共150分，考试时长100分钟 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项，把答案填在答题纸上） 1. 已知全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设命题，，则为 A. B. C. D. 3. 若函数的定义域为，值域为，那么函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 4. 设，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数，则值为（ ） A. 7 B. 9 C. 11 D. 15 6. 如果偶函数在上是减函数且最小值是4，那么在上是（ ） A. 减函数且最小值是4 B. 减函数且最大值是4 C. 增函数且最小值是4 D. 增函数且最大值是4 7. 已知是定义在上的函数，那么“函数在上单调递增”是“函数在上的最大值为”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 若一元二次不等式（）的解集为，则的最小值为（ ） A. B. C. 2 D. 4 9. 已知函数的图象与直线恰有2个公共点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 用表示非空集合中的元素的个数，定义，若，，若，设实数的所有可能取值构成集合.则（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题纸上） 11. 函数的定义域为___________． 12. 已知集合，，若满足，则实数a的值为______． 13. 已知函数，对一切实数，恒成立，则的一个值可以为________． 14. 定义为，，中的最大值，设，则的最小值为________． 15. 函数，给出下列四个结论 ①的值域是； ②任意且，都有； ③任意且，都有； ④规定，其中，则． 其中，所有正确结论的序号是______________． 三、解答题（共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．） 16. 已知集合，． （1）当时，求和； （2）若，求m的取值范围． 17. 已知函数 （1）判断函数的奇偶性并用定义证明； （2）用分段函数的形式表示函数的解析式，并直接在本题给出的坐标系中画出函数的图象 18. 已知函数的图像经过点. （1）求函数的解析式； （2）判断函数在上的单调性并证明； （3）当时，的最小值为3，求的值. 19. 已知二次函数的最小值为1，且． （1）求的解析式； （2）解关于的不等式：，其中； （3）当时，恒成立，试确定实数的取值范围． 20. 已知某公司生产某款产品的年固定成本为40万元，每生产1万件产品还需另外投入16万元，设该公司一年内共生产万件产品并全部销售完，每万件产品的销售收入为万元，且已知 （1）求利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式： （2）当年产量为多少万件时？公司在该款产品的生产中所获得的利润最大，并求出最大利润. 21. 已知集合，且集合具有以下性质： ①中的元素有正整数，也有负整数； ②中的元素有奇数，也有偶数； ③若，则； ④. 回答下列问题. （1）若，求证：； （2）判断集合是有限集还是无限集，并说明理由； （3）判断0和2与集合的关系，并说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市第五十五中学2024-2025学年度第一学期 期中调研试卷 高一数学 本试卷共4页，共150分，考试时长100分钟 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项，把答案填在答题纸上） 1. 已知全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出，再求解与的交集. 【详解】根据题意可得，则. 故选：C 2. 设命题，，则为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】命题是全称命题，则命题的否定是特称命题即： 故选 3. 若函数的定义域为，值域为，那么函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据各选项一一判断其定义域与值域，即可得解. 【详解】对于A：函数的定义域为，但是值域不是，故A错误； 对于B：函数的定义域不是，值域为，故B错误； 对于C：函数的定义域为，值域为，故C正确； 对于D：不满足函数的定义，不是一个函数的图象，故D错误. 故选：C 4. 设，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由，可得，A错；利用作差法判断B错；利用基本不等式可得C正确；由，而，可得D错． 【详解】，，故A错； ，，即，可得，，故B错； ，，且，则，故C正确； ，，而，则，故D错. 故选：C 5. 已知函数，则值为（ ） A. 7 B. 9 C. 11 D. 15 【答案】D 【解析】 【分析】令，结合题意即可求解. 【详解】令，得， 所以. 故选：. 6. 如果偶函数在上是减函数且最小值是4，那么在上是（ ） A. 减函数且最小值是4 B. 减函数且最大值是4 C. 增函数且最小值是4 D. 增函数且最大值是4 【答案】C 【解析】 【分析】由偶函数在对称区间上的单调性相反求解即可. 【详解】偶函数在上是减函数且最小值是4，所以， 则在上是增函数且最小值为， 故选：C 7. 已知是定义在上的函数，那么“函数在上单调递增”是“函数在上的最大值为”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用两者之间的推出关系可判断两者之间的条件关系. 【详解】若函数在上单调递增，则在上的最大值为， 若在上的最大值为， 比如， 但在为减函数，在为增函数， 故在上的最大值为推不出在上单调递增， 故“函数在上单调递增”是“在上的最大值为”的充分不必要条件， 故选：A. 8. 若一元二次不等式（）的解集为，则的最小值为（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的解集求得b，c与a的关系，结合基本不等式即可求得答案. 【详解】一元二次不等式（）的解集为， 即，2为（）的两实数根，故，即， 则，当且仅当时，即时取等号， 即的最小值为4. 故选：D 9. 已知函数的图象与直线恰有2个公共点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将原问题等价转换为令，有两个零点，注意到或，从而对分类讨论即可求解. 【详解】令，则，由题意有两个零点， 或， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，，或， 当时，，或， 当时，，或， 当时，，或， 综上所述，满足题意的的取值范围为 . 故选：A. 10. 用表示非空集合中的元素的个数，定义，若，，若，设实数的所有可能取值构成集合.则（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】先求得的可能取值，然后对进行分类讨论来求得，进而求得. 【详解】，要使， 则或. 当时，，满足. 当时，首先有两个不同的解或， 其次，对于，， 当时，或， 当时，，， 此时，满足. 当时，，， 此时，满足. 当，即时，无解，不符合题意. 当，即或时， 的解为或， 不是的解， 由，解得， 当时，，满足， 当时，，满足， 当时，，不符合题意. 综上所述，. 故选：B 【点睛】方法点睛：解新定义题型的步骤：(1)理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论.(2)重视“举例”,利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”;归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况.(3)类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题. 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题纸上） 11. 函数的定义域为___________． 【答案】 【解析】 【分析】由二次根式的被开方数非负和分式的分母不为零，列不等式组求解即可. 【详解】根据函数的解析式，列不等式求函数的定义域． 函数的定义域需满足，解得：且， 所以函数的定义域是． 故答案为： 12. 已知集合，，若满足，则实数a的值为______． 【答案】－3 【解析】 【分析】根据交集定义，若，则且，从而讨论集合的情况，确定实数a的值. 【详解】由题意可得，且， 当时，解得， 此时，，，不符合题意，舍去； 当时，解得， 当时，，，中元素不满足互异性，不符合题意，舍去， 当时，，，，符合题意， 综上所述，， 故答案为：－3. 13. 已知函数，对一切实数，恒成立，则的一个值可以为________． 【答案】-1（答案不唯一） 【解析】 【分析】讨论m的取值，解相应不等式，求出符合题意的m的范围，即可求得答案. 【详解】当时，，不合题意； 当时，对一切实数，恒成立， 需满足，解得， 故的一个值可以为， 故答案为：（答案不唯一） 14. 定义为，，中的最大值，设，则的最小值为________． 【答案】4 【解析】 【分析】根据题意画出函数的图象，再根据图象即可得到函数的最小值. 【详解】分别画出的图象，则函数的图象为图中实线部分， 如图，函数的最低点为， 由，解得或，即， 所以的最小值为4. 故答案为：4. 15. 函数，给出下列四个结论 ①的值域是； ②任意且，都有； ③任意且，都有； ④规定，其中，则． 其中，所有正确结论的序号是______________． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】根据绝对值的性质，结合分式型函数的性质、代入法逐一判断即可； 【详解】①：当时， ， 当时，该函数单调递增，所以有， 当时， 因为， 所以，因此当时，； 当时，，此时函数单调递增， 所以有， ，所以有， 所以的值域是，故①正确； ②：不妨设，由， 所以该函数是实数集上的增函数， 由①可知：该函数在时，单调递增，且， 当时，单调递增，且，所以该函数是实数集上的增函数，符合题意，故②正确； ③：当任意且时， 令，， ，显然， 因此不成立，故③不正确； ④：当时， ， ， ， ， ， 于是有，因此，故④正确， 故答案为：①②④ 【点睛】关键点睛：利用分式型函数的性质是解题的关键. 三、解答题（共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．） 16. 已知集合，． （1）当时，求和； （2）若，求m的取值范围． 【答案】（1）； （2）或 【解析】 【分析】（1）求出集合后根据集合的运算法则计算； （2）根据集合运算得出集合间包含关系，再由包含关系求参数范围． 【小问1详解】 当时，， 因为，所以； 【小问2详解】 因为， 所以或， 因为，所以， 因为， 所以或， 得或， 所以m的取值范围为或． 17. 已知函数 （1）判断函数的奇偶性并用定义证明； （2）用分段函数的形式表示函数的解析式，并直接在本题给出的坐标系中画出函数的图象 【答案】（1）是奇函数，证明如下： 函数的定义域是， ， 所以是奇函数. （2），图象: 【解析】 【分析】（1）根据函数奇偶性的定义进行判断和证明. （2）根据绝对值的知识化简的解析式，并画出图象. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 依题意， 由此画出的图象如下图所示： 18. 已知函数的图像经过点. （1）求函数的解析式； （2）判断函数在上的单调性并证明； （3）当时，的最小值为3，求的值. 【答案】（1） （2）函数在上单调递减； 证明：设，且， 则 ， 因为，故， 即，故函数在上单调递减. （3）1 【解析】 【分析】（1）代入已知点坐标求得参数值得函数解析式； （2）根据单调性定义证明； （3）结合单调性得最小值从而可求解． 【小问1详解】 由题意知函数的图像经过点， 故，解得， 故； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）知在是减函数， 因此，解得或， 又，所以． 19. 已知二次函数的最小值为1，且． （1）求的解析式； （2）解关于的不等式：，其中； （3）当时，恒成立，试确定实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，设，根据，求得，即可得到函数的解析式； （2）原不等式等价于，进一步确定的范围即可得解. （3）依题意可得不等式在区间上恒成立，令，结合二次函数的性质，即可求解. 【小问1详解】 由题意，函数是二次函数，且，可得函数的对称轴为， 又由最小值为，可设， 又，即，解得， 所以函数的解析式为. 【小问2详解】 ， 因为，所以， 所以或， 所以若，则关于的不等式：的解集为. 【小问3详解】 因为当时，恒成立， 即当时，恒成立， 即当时，恒成立， 设函数，， 则在区间上单调递减， ∴在区间上的最小值为， ∴， 故实数的取值范围为：. 20. 已知某公司生产某款产品的年固定成本为40万元，每生产1万件产品还需另外投入16万元，设该公司一年内共生产万件产品并全部销售完，每万件产品的销售收入为万元，且已知 （1）求利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式： （2）当年产量为多少万件时？公司在该款产品的生产中所获得的利润最大，并求出最大利润. 【答案】（1）； （2）当年产量为32万件时，公司在该款产品的生产中所获得的利润最大，最大利润为6104万元. 【解析】 【分析】（1）利用利润等于收入减去成本，分两种情况讨论得到分段函数的解析式； （2）求出分段函数的每一段的最大值，再比较最大值即得解. 【小问1详解】 由题得利润等于收入减去成本. 当时，； 当时，. 【小问2详解】 当时，时，； 当时，， 当且仅当，即时，， 时，的最大值为6104万元， 即当年产量为32万件时，公司在该款产品的生产中所获得的利润最大，最大利润为6104万元. 21. 已知集合，且集合具有以下性质： ①中的元素有正整数，也有负整数； ②中的元素有奇数，也有偶数； ③若，则； ④. 回答下列问题. （1）若，求证：； （2）判断集合是有限集还是无限集，并说明理由； （3）判断0和2与集合的关系，并说明理由. 【答案】（1） 由③知，若，则，. （2） 集合是无限集. 由②知，中的元素有奇数.设，是奇数. 则由③及（1）可知，，. 显然集合是无限集. （3） 由已知，，，且，， 则，，且，. 由（2）可知，，，所以，即. 假设，，且设是负奇数，即，是奇数. 则，，. 根据③可推得，与④矛盾，显然不可能； 假设，，且，，则，，若为负奇数，前面已说明不合适.现假设，，. 由，以及③可推得，，即. 又，则，，即. 由，，可知，即，与④矛盾，显然不可能. 综上所述，假设不成立，即. 【解析】 【分析】（1）根据条件③即可证明；（2）根据（1）的证明过程及条件③即可得到结论；（3）根据条件取中的两个元素即可判断；结合①②中的条件，分情况假设，推出，与④矛盾，假设不成立，可得即. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $