精品解析：河南省平顶山市叶县高级中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题

2024~2025学年上学期高二年级10月月考 数学 全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 5.本卷主要考查内容：选择性必修第一册. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知圆的一般方程为，其圆心坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆的方程即得. 【详解】因为圆的圆心为， 则圆的圆心坐标是. 故选：C． 2. 已知直线，，若，则实数的值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用一般式下两直线垂直的充要条件“”即可求解 【详解】由． 故选：A． 3. 在正方体中，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间向量基本定理，结合空间向量加法的几何意义进行求解即可. 【详解】因为， 又， 所以. 故选：A. 4. 已知曲线的方程为（），若曲线是焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. 或5 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据焦点在轴上的双曲线的方程特征进行求解即可. 【详解】若曲线是焦点在轴上的双曲线，则，解得． 故选：D． 5. 椭圆具有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线都经过椭圆的另一焦点．电影放映机聚光灯泡的反射镜轴截面是椭圆的一部分，灯丝（看成一个点）在椭圆的右焦点处，灯丝与反射镜的顶点的距离，过焦点且垂直于轴的弦，在轴上移动电影机片门，将其放在光线最强处，则片门应离灯丝（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用右焦点到右顶点的距离及椭圆的通经，结合椭圆中三者的关系及焦距的定义即可求解. 【详解】由题设知，解得， 所以片门放在光线最强处，片门应离灯丝为． 故选：C. 6. 如图，直三棱柱底面是直角三角形，且，E，F，G分别为，，的中点，则EF与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，分别求出直线的方向向量和平面的法向量，代入公式中即可求解. 【详解】 设，则，分别以，，所在的直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 则，，， 设平面的法向量为，则取，则，，故为平面的一个法向量， 设EF与平面所成角为，则， ∴与平面所成角的正弦值为． 故选：A． 7. 已知抛物线：的焦点为，点在抛物线上，为坐标原点，若，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过点作准线的垂线，垂足为．过点作直线的垂线，垂足为，由条件得，求出，即可求出直线的方程与抛物线联立，即可求出的坐标，则表示出的面积代入即可得出答案. 【详解】依题意作图．抛物线的准线方程为，过点作准线的垂线， 垂足为．过点作直线的垂线，垂足为，由条件得， 设，则，， 直线的方程为：，由于点在抛物线上，， 解得或（不符合题意，舍）， ，所以， ． 故选：C． 8. 在平面直角坐标系中，已知的顶点，其内切圆圆心在直线上，则顶点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形内切圆的性质，结合双曲线的定义，可得答案. 【详解】如图，设与圆的切点分别为，则有，所以. 根据双曲线定义，所求轨迹是以为焦点，实轴长为2的双曲线的右支（右顶点除外）， 即，又，所以，所以方程为. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分、在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知椭圆，则（ ） A. 的焦点都在轴上 B. 的焦距不相等 C. 有公共点 D. 椭圆比椭圆扁平 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据题意，结合椭圆的标准方程和椭圆的几何性质，逐项判定，即可求解. 【详解】由椭圆的标准方程为，所以椭圆的焦点在轴上，所以A不正确； 又由椭圆的焦距为，椭圆的焦距为，所以B正确； 由椭圆和的方程，可得两椭圆和都过，所以C正确； 因为椭圆的离心率为，的离心率为， 所以，所以D正确. 故选:BCD. 10. 已知直线与双曲线交于两点，为双曲线的右焦点，且，若的面积为，则下列结论正确的有（ ） A. 双曲线的离心率为 B. 双曲线的离心率为 C. 双曲线的渐近线方程为 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】先根据对称性及得到；进而得到以为直径的圆过点，列方程组求出的关系；对于A、B，求出离心率即可判断；对于C，求出渐近线方程即可判断；对于D，由对称性及题意求出的坐标，进而解出斜率即可判断. 【详解】 由题意知：，不妨取，由， 即，所以， 所以，所以以为直径的圆过点， 所以圆的直径，所以圆的方程为：， 设，连接，则四边形为矩形，则， 则的面积为：，且， 联立，解得， 再由， 所以离心率，故A错误，B正确； 对于C，双曲线的渐近线方程为：，故选项C正确； 对于D，不妨设点在第一象限，由对称性可知， ，代入中，得， 所以，由对称性知：当，， 所以，故选项D正确. 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：由图象对称性可知：点为双曲线另一个焦点；由定义知，由题意解出关系，不妨设点在第一象限，且，进而求解出直线斜率即可判断答案. 11. 如图，已知正方体中，E，F，M，N分别是CD，，，BC的中点，则下列说法正确的有（ ） A. E，F，M，N四点共面 B. BD与EF所成的角为 C. 在线段BD上存在点P，使平面EFM D. 在线段上任取点Q，三棱锥的体积不变 【答案】ABD 【解析】 【分析】以D为原点，以DA，DC，所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 根据四点共面的向量表示直接判断选项A； 利用向量法求BD与EF所成的角，判断选项B； 假设在线段BD上存在点P，符合题意.设，列方程组，由方程组无解，判断选项C； 用向量法判断出，利用线面平行的判定定理证明出平面EFM，即可判断选项D． 【详解】以D为原点，以DA，DC，所在直线分别为x轴、 y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 设，则， ，，，，，， ，，，设， 则，所以， 解得故，即E，F，M，N四点共面，选项A正确； 因为．，所以， 所以BD与EF所成的角为，选项B正确； 假设在线段BD上存在点P，符合题意.设，则， 若平面EFM，则，． 因为，，所以， 此方程组无解，所以在线段BD上不存在点P，使平面EFM，选项C错误； 因为，所以， 又平面EFM，平面EFM，所以平面EFM， 故上的所有点到平面EFM的距离均相等，即在线段上任取点Q， 三棱锥的体积不变，选项D正确． 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 过点且在轴､轴上截距相等的直线方程为__________. 【答案】或 【解析】 【分析】由题意，截距相等包括截距都为0和截距相等且不为0两种情况，分别用点斜式与截距式求解方程即得. 【详解】设直线在轴､轴上的截距均为， ① 若，即直线过原点，设直线方程为，代入，可得， 故直线方程为，即； ② 若，则直线方程为，代入可得， 解得，故直线方程为. 综上所述：所求直线方程为或. 故答案为：或. 13. 已知点在椭圆上运动，点在圆上运动，则的最大值为 ______ 【答案】6 【解析】 【分析】将求最大值的问题，转化为求点P到圆心距离最大值的问题，结合点P满足椭圆方程，转化为二次函数求给定区间的最大值即可． 【详解】圆的方程为， 圆心，半径， 设，则，， 到圆心的距离， 又 当时，取得最大值， 的最大值为： ， 故答案为：． 14. 已知双曲线：（，），以原点为圆心，双曲线的焦距为半径的圆交轴于，两点，，是圆与双曲线在轴上方的两个交点．且，两点是的三等分点，则双曲线的离心率为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件作出图形，利用三角形的勾股定理及双曲线的定义，结合双曲线的离心率公式即可求解. 【详解】不妨设点在第二象限，双曲线的左、右焦点分别为，．如图所示， ∵，是的三等分点，∴，过点作轴的垂线，可得垂足为双曲线的右焦点． 在中，， 则在中，． 根据双曲线的定义可知，即， 所以双曲线的离心率为． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 已知圆的方程为． （1）求实数的取值范围； （2）若圆与直线交于M，N两点，且，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将圆的一般方程用配方法化为标准方程，进而得到，解之即可； （2）利用弦长公式求得，进而得到，易得的值. 【小问1详解】 方程可化为， ∵此方程表示圆， ∴，即，即. 【小问2详解】 由（1）可得圆心，半径， 则圆心到直线的距离为， 由弦长公式及，得，解得， ∴，得． 16. 已知双曲线：（），直线与双曲线交于，两点． （1）若点是双曲线的一个焦点，求双曲线的渐近线方程； （2）若点的坐标为，直线的斜率等于1，且，求双曲线的离心率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用双曲线的焦点坐标及标准方程，结合双曲线中三者的关系及双曲线的渐近线方程即可求解. （2）根据已知条件及直线的点斜式方程，将联立双曲线方程与直线方程，利用韦达定理及点在直线上，结合两点间的距离公式及双曲线的离心率公式即可求解. 【小问1详解】 ∵点是双曲线的一个焦点，∴， 又∵且，解得， ∴双曲线的方程为， ∴双曲线的渐近线方程为； 【小问2详解】 设直线的方程为且， 联立,可得， 则，∴，即， ∴ 解得，即由可得， 故双曲线的离心率为． 17. 如图，在三棱锥中，底面，，，，，，分别是上的三等分点，是的中点． （1）证明：平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】（1） 证明：，，， 根据余弦定理得， 所以， 所以， 以点为坐标原点，，所在直线为，轴，经过点垂直于，的直线为轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，，， ，，， ，， ， 平面 （2） 【解析】 【分析】（1）用余弦定理求出，从而得到，，建立空间直角坐标系，利用空间向量证明出线面垂直； （2）求出平面的法向量，进而求出两平面的夹角余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ，，， 设平面的一个法向量为， 由，所以 令，则，， 可得， 设平面的一个法向量， 由令，得，， 可得， ， 所以平面与平面夹角的余弦值为． 18. 已知椭圆的长轴长为6，椭圆短轴的端点是，，且以为直径的圆经过点 ． （1）求椭圆C的方程； （2）设过点M且斜率不为0的直线交椭圆C于两点．试问x轴上是否存在定点P，使PM平分 ？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在定点； 【解析】 【分析】（1）根据题意确定的值，即可求得椭圆方程； （2）设 ，直线 的方程为，联立方程可得根与系数的关系式，假设x轴上存在定点P，使平分，则可得 ，结合根与系数的关系化简，求得参数的值，可得结论. 【小问1详解】 因为椭圆的长轴长为6，故， 椭圆短轴的端点是，，且以为直径的圆经过点，则， 所以椭圆C的方程是 ； 【小问2详解】 设 ，直线的方程为， 将直线的方程与椭圆C的方程联立， 消去x得，因为M点在椭圆内，则必有， 所以，， 假设x轴上存在定点P，使平分，则直线的倾斜角互补， 所以 ， 设 ，则有 ， 将代入上式，整理得 ， 所以， 将 ，代入上式，整理得 ， 由于上式对任意实数m都成立，所以 ， 综上，存在定点 ，使平分 ． 19. 如图，已知抛物线：（）上的点到焦点的距离的最小值为1，过点作抛物线的两条切线，切点分别为，，为线段上的动点，过点作抛物线的切线，切点为（异于点，），且直线交线段于点． （1）求抛物线的方程； （2）证明：为定值． 【答案】（1） （2） 证明：设直线：， 由可得， 则，解得， 则，解得， 不妨令直线：，直线：， 则，， 设，，设直线：， 由可得， 由， 可得或（舍）， 则，直线：． 由解得即， 故 为定值． 【解析】 【分析】（1）根据抛物线的性质即可求解； （2）利用判别式求出切线的斜率，求出切点的坐标以及直线的方程，表示出，的坐标，即可证明为定值. 【小问1详解】 抛物线：（）的焦点坐标为， 因为此抛物线上到焦点距离最近的点就是坐标原点， 所以，， 所以抛物线方程为； 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024~2025学年上学期高二年级10月月考 数学 全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 5.本卷主要考查内容：选择性必修第一册. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知圆的一般方程为，其圆心坐标是（ ） A. B. C. D. 2. 已知直线，，若，则实数的值为（ ） A. 1 B. C. D. 3. 在正方体中，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知曲线的方程为（），若曲线是焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. 或5 D. 5. 椭圆具有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线都经过椭圆的另一焦点．电影放映机聚光灯泡的反射镜轴截面是椭圆的一部分，灯丝（看成一个点）在椭圆的右焦点处，灯丝与反射镜的顶点的距离，过焦点且垂直于轴的弦，在轴上移动电影机片门，将其放在光线最强处，则片门应离灯丝（ ） A. B. C. D. 6. 如图，直三棱柱底面是直角三角形，且，E，F，G分别为，，的中点，则EF与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知抛物线：的焦点为，点在抛物线上，为坐标原点，若，则的面积为（ ） A. B. C. D. 8. 在平面直角坐标系中，已知的顶点，其内切圆圆心在直线上，则顶点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分、在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知椭圆，则（ ） A. 的焦点都在轴上 B. 的焦距不相等 C. 有公共点 D. 椭圆比椭圆扁平 10. 已知直线与双曲线交于两点，为双曲线的右焦点，且，若的面积为，则下列结论正确的有（ ） A. 双曲线的离心率为 B. 双曲线的离心率为 C. 双曲线的渐近线方程为 D. 11. 如图，已知正方体中，E，F，M，N分别是CD，，，BC的中点，则下列说法正确的有（ ） A. E，F，M，N四点共面 B. BD与EF所成的角为 C. 在线段BD上存在点P，使平面EFM D. 在线段上任取点Q，三棱锥的体积不变 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 过点且在轴､轴上截距相等的直线方程为__________. 13. 已知点在椭圆上运动，点在圆上运动，则的最大值为 ______ 14. 已知双曲线：（，），以原点为圆心，双曲线的焦距为半径的圆交轴于，两点，，是圆与双曲线在轴上方的两个交点．且，两点是的三等分点，则双曲线的离心率为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 已知圆的方程为． （1）求实数的取值范围； （2）若圆与直线交于M，N两点，且，求的值． 16. 已知双曲线：（），直线与双曲线交于，两点． （1）若点是双曲线的一个焦点，求双曲线的渐近线方程； （2）若点的坐标为，直线的斜率等于1，且，求双曲线的离心率． 17. 如图，在三棱锥中，底面，，，，，，分别是上的三等分点，是的中点． （1）证明：平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值． 18. 已知椭圆的长轴长为6，椭圆短轴的端点是，，且以为直径的圆经过点 ． （1）求椭圆C的方程； （2）设过点M且斜率不为0的直线交椭圆C于两点．试问x轴上是否存在定点P，使PM平分 ？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 19. 如图，已知抛物线：（）上的点到焦点的距离的最小值为1，过点作抛物线的两条切线，切点分别为，，为线段上的动点，过点作抛物线的切线，切点为（异于点，），且直线交线段于点． （1）求抛物线的方程； （2）证明：为定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $