上海市七宝中学2024-2025学年高三上学期期中考试数学试题

2024-2025年七宝中学高三上期中 一、填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分） 1. 函数的定义域为__________． 2. 计算______． 3. 已知是1与9的等比中项，则正实数______． 4. 在的展开式中，的系数为______（用数字作答）． 5. 在复平面内，复数对应的点位于第______象限. 6. 已知，则______． 7. 已知集合，其中可以相同，用列举法表示集合中最小的4个元素所构成的集合为______． 8. 已知是函数的导函数，若函数的图象大致如图所示，则的极大值点为______（从中选择作答）． 9. 已知函数．在中，，且，则______． 10. 如图，线段相交于，且长度构成集合，则的取值个数为______． 11. 抛物线的焦点为，准线为是拋物线上的两个动点，且满足．设线段的中点在准线上的投影为，则的最大值是______． 12. 平面上到两个定点距离之比为常数的动点的轨迹为圆，且圆心在两定点所确定的直线上，结合以上知识，请尝试解决如下问题：已知满足，则的取值范围为______． 二、选择题（本大题共4题，满分20分） 13. 已知是非零实数，则下列不等式中恒成立的是（ ） A. B. C. D. 14. 已知直线，动直线，则下列结论正确的为（ ） A. 不存在，使得的倾斜角为 B. 对任意的，与都不垂直 C. 存在，使得与重合 D. 对任意的，与都有公共点 15. 一组学生站成一排.若任意相邻的3人中都至少有2名男生，且任意相邻的5人中都至多有3名男生，则这组学生人数的最大值是（ ） A. B. C. D. 16. 若，有限数列的前项和为，且对一切都成立．给出下列两个命题：①存在，使得是等差数列；②对于任意的，都不是等比数列．则（ ） A. ①是真命题，②是假命题 B. ①是假命题，②是真命题 C. ①②都是真命题 D. ①②都是假命题 三、解答题（本大题共有5题，满分76分） 17. 如图，为正方体，动点在对角线上（不包含端点），记． （1）求证：； （2）若异面直线与所成角为，求的值． 18. 已知点、、，是坐标原点. （1）若，求的值； （2）若实数、满足，，求的最大值. 19. 生活中人们喜爱用跑步软件记录分享自己的运动轨迹.为了解某地中学生和大学生对跑步软件的使用情况，从该地随机抽取了200名中学生和80名大学生，统计他们最喜爱使用的一款跑步软件，结果如下： 跑步软件一 跑步软件二 跑步软件三 跑步软件四 中学生 80 60 40 20 大学生 30 20 20 10 假设大学生和中学生对跑步软件的喜爱互不影响. （1）从该地区的中学生和大学生中各随机抽取1人，用频率估计概率，试估计这2人都最喜爱使用跑步软件一的概率； （2）采用分层抽样的方式先从样本中的大学生中随机抽取人，再从这人中随机抽取人.记为这人中最喜爱使用跑步软件二的人数，求的分布列和数学期望； （3）记样本中的中学生最喜爱使用这四款跑步软件的频率依次为，，，，其方差为；样本中的大学生最喜爱使用这四款跑步软件的频率依次为，，，，其方差为；，，，，，，，的方差为.写出，，的大小关系.（结论不要求证明） 20. 在平面直角坐标系中，，分别是椭圆的左右焦点，设不经过的直线与椭圆交于两个不同的点，焦点到直线的距离为． （1）求该椭圆的离心率； （2）若直线经过坐标原点，求面积的最大值； （3）如果直线的斜率依次成等差数列，求的取值范围． 21. 若斜率为的两条平行直线，曲线满足以下两条性质：（Ⅰ）分别与曲线至少有两个切点；（Ⅱ）曲线上的所有点都在之间或两条直线上．则称直线为曲线的一对“双夹线”，把“双夹线”之间的距离称为曲线在“方向上的宽度”，记为，已知曲线. （1）判断时，曲线是否存在“双夹线”，并说明理由； （2）若，试问：和是否是函数的一对“双夹线”？若是，求此时的值；若不是，请说明理由； （3）对于任意的正实数，函数是否都存在“双夹线”？若是，求的所有取值构成的集合；若不是，请说明理由. 2024-2025年七宝中学高三上期中 一、填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分） 【1题答案】 【答案】 【2题答案】 【答案】## 【3题答案】 【答案】3 【4题答案】 【答案】18 【5题答案】 【答案】三 【6题答案】 【答案】## 【7题答案】 【答案】 【8题答案】 【答案】a 【9题答案】 【答案】 【10题答案】 【答案】4 【11题答案】 【答案】1 【12题答案】 【答案】 二、选择题（本大题共4题，满分20分） 【13题答案】 【答案】B 【14题答案】 【答案】D 【15题答案】 【答案】B 【16题答案】 【答案】C 三、解答题（本大题共有5题，满分76分） 【17题答案】 【答案】（1）证明：如图，连接． WSD    由已知可得，平面平面，所以， 又是正方形，所以， 又平面平面， 所以平面， 又动点在对角线上，所以平面，所以平面， 所以． （2）． 【18题答案】 【答案】（1）；（2），时有最大值16. 【19题答案】 【答案】（1） （2）的分布列为： （3） 【20题答案】 【答案】（1）； （2）； （3）． 【21题答案】 【答案】（1）存在，理由：曲线：，由正弦函数的图像可知：和为曲线的一对“双夹线”，故曲线是存在“双夹线”. （2）是，； （3）是，的所有取值构成的集合. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $