第4章 图形与坐标（单元测试·培优卷）-2024-2025学年八年级数学上册全章复习与专题突破讲与练（浙教版）

第4章 图形与坐标（单元测试·培优卷） 一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求) 1．下列能准确表示某地地理位置的是（    ） A．北纬 B．东经 C．湖南的西南方向 D．东经，北纬 2．若点在第二象限，点到轴的距离是7，到轴的距离是3，点的坐标是（　　） A． B． C． D． 3．点在平面直角坐标系中所在象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．把点先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度得到点，点正好落在轴上，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 5．如果点和点关于直线（平行于y轴的直线，直线上的每个点的横坐标都是1）对称，则的值是（ ） A． B．1 C． D．5 6．如图，在平面直角坐标系中，点处有一激光发射器，激光照射到点处倾斜的平面镜上发生反射，使得反射光线照射到点处的接收器上，若入射角，，则点处的接收器到轴的距离为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．如图，在等腰中，，，点A，B分别在x轴，y轴上，且轴，将沿x轴向左平移，当点A与点O重合时，点B的坐标为（    ）    A． B． C． D． 8．如图，中，，顶点A在第一象限内，点B的坐标为，点C的坐标为，将沿AB翻折得到，此时点恰好落在x轴上，则顶点A的纵坐标为（    ）    A．10 B． C． D． 9．如图，在等腰中，，，点，，，其中，则a，b之间的数量关系是（    ） A． B． C． D． 10．如图，在平面直角坐标系中，点在轴的负半轴上，点在第三象限，是等边三角形，点在线段上，且，点是线段上的动点，点是轴负半轴上的动点，当的值最小时，，则点的坐标是（    ）    A． B． C． D． 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．仔细观察图形，以点为圆心的弧线与轴交于点，则点的坐标为 ． 12．正方形四个顶点的坐标分别是，，，，将线段平移之后得到线段，点A的对应点为，若点E到的距离等于点F到的距离，则m，n的数量关系为 ． 13．平面直角坐标系中，点M（x，y），N（x-2ky，y-3kx），MN=7OM，当点M在y轴正半轴上时，k= ． 14．在平面直角坐标系中，有一系列的点，，，，…，其中每一个点的横坐标是它前一个点的纵坐标的相反数与1的和，纵坐标是它前一个点的横坐标与2的和，即若点，则．若点的坐标为，则点的坐标为 ． 15．在平面直角坐标系中摆放着一个轴对称图形，其中点 的对称点A′坐标为，点为图象上的一点，则点M在图象上的对称点坐标为 ． 16．如图，在平面直角坐标系中，A，B，C，D四点的坐标分别是，动点P从点A出发，在线段上以每秒1个单位长度的速度向点B运动，到达点B时停止运动．射线与x轴分别交于点M，点N，设点P运动的时间为t秒，若以点C，D，M，N为顶点能围成一个四边形，则t的取值范围是 ． 17．如图，中，，，，线段上有一点P（不含端点），连接，动点M从A点出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度运动到点P，再沿线段以每秒个单位长度的速度运动到点C后停止，当点M在整个运动过程中用时最少时，点P的坐标是 ． 18．如图，等边三角形中，，点D是上一点，且．若点E是y轴正半轴上一动点，F是线段上一动点．当的值最小时，点F的横坐标为 ．（用含a的式子表示） 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）已知点． (1)若点在轴上，求的值； (2)若点在第一象限，且点到轴的距离是到轴距离的2倍，求点的坐标． 20．（本小题满分8分）如图，在平面直角坐标系中的顶点坐标分别是．   (1)画出关于y轴对称的图形，并写出的坐标； (2)已知点P是x轴上一点，若的面积等于面积的3倍，求点的坐标． 21．（本小题满分10分）我们约定：若点的坐标为，则把坐标为的点称为点的“阶益点”（其中为正整数），例如，即就是点的“阶益点”． (1)已知点是点的“阶益点”，求点的坐标； (2)已知点是点的“阶益点”，将点先向右移动个单位，再向下移动个单位得到点，若点落在第四象限，求的取值范围． 22．（本小题满分10分）已知，，满足：． (1)求m和n的值； (2)如图，点是A点左侧的轴上一动点，连接，以为直角边作等腰直角，连接、，交于点． ①若，求点E的坐标； ②求证：． 23．（本小题满分10分）阅读材料并回答问题：在学习绝对值时，根据绝对值的几何意义可以得出，一般地，点，在数轴上，分别表示有理数，，那么，两点之间的距离可以表示为，所以在平面直角坐标系中，轴上两点，，则；轴上两点，，则． (1)如图1，求证：平面直角坐标系内任意两点，间的距离公式为：； (2)若在平面直角坐标系中，的三个顶点，，，试判断的形状； (3)如图2，点，，点是轴上的动点，直接写出的最小值：________． 24．（本小题满分12分）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】 （1）如图1，，，过点作于点，过点作的延长线于点．由，得．又，，可以推理得到，进而得到______，______．我们把这个数学模型称为“K 字”模型或“一线三等角”模型． 【模型应用】 （2）如图2，在平面直角坐标系中，点为平面内任一点，点的坐标为，若是以为斜边的等腰直角三角形，求点 A 的坐标． 【深入探究】 （3）如图3，，，，连接、，且于点F，与直线交于点，求证：点是的中点． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C D A A C D D D B 1．D 【分析】根据坐标和方向、距离确定位置的标准判定即可． 【详解】A、北纬，是一条环绕地球表面的纬线圈，无法准确确定贵阳的具体位置，不符合题意； B、东经是一条连接南北两极点的经线，无法准确确定贵阳的具体位置，不符合题意； C、贵阳市在湖南的西南方向，也不能准确表示贵阳地理位置，不符合题意； D、东经，北纬，是由经线与纬线相交于地球表面的一点，位置是固定的，能准确表示贵阳地理位置，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了坐标和方向、距离确定位置，熟练掌握相关知识是解题的关键． 2．C 【分析】本题考查了点的坐标，理解点到x轴的距离等于纵坐标的长度，到y轴的距离等于横坐标的长度是解题的关键，根据点到x轴的距离等于纵坐标的长度，到y轴的距离等于横坐标的长度结合第二象限内点的坐标特征解答． 【详解】解：∵点在第二象限，点到轴的距离是7，到轴的距离是3， ∴点P的横坐标是，纵坐标是7， ∴点P的坐标为． 故选：C． 3．D 【分析】本题考查平面直角坐标中点的特征，熟练记住各象限内点的符号特征是解决问题的关键，根据各象限点的特征：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴点所在的象限是第四象限， 故选：D． 4．A 【分析】由坐标平移的规则得到点的坐标为，由点正好落在轴上求出的值，从而即可得到答案． 【详解】解：点先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度得到点， 点的坐标为， 点正好落在轴上， ， ， ， 点的坐标为， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形变化—平移，解题的关键是掌握坐标平移的规律：横坐标右移加，左移减，纵坐标上移加，下移减． 5．A 【分析】本题考查轴对称的坐标变换，掌握关于平行于y轴的直线对称点的坐标变换规律是解题的关键． 根据轴对称的性质可得关于直线对称的两点，到直线的距离相等，纵坐标相等．据此得到，，即可求得a、b值，即可求解． 【详解】解：∵点和点关于直线对称， ∴，， 解得：， ∴， 故选：A． 6．C 【分析】本题主要考查坐标与图形，全等三角形的判定与性质，过点C作轴于点M，证明得出，进一步得出即可 【详解】解：过点C作轴于点M，如图， 则 根据题意得 ∴ ∴ 又 ∴ ∴ ∴ 即点C处的接收器到轴的距离为3， 故选：C 7．D 【分析】本题考查了坐标与图形变化平移，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．也考查了两点间的距离公式．设，，则．分别根据，列出方程①，②，求出，，再根据平移的规律求解． 【详解】解：设，，则，． ，轴， ． ， ①， ， ②， ①②得，， ， ，． 把代入①，得（负值舍去）， ， 将沿轴向左平移，当点与点重合时，点的坐标为． 故选：D． 8．D 【分析】本题考查翻折变换，等腰三角形的性质，勾股定理，通过作辅助线构造直角三角形，反复运用勾股定理是解题的关键． 连接交于点，过点作轴于点，利用勾股定理逐步求出，，，，进而求出，再利用勾股定理求出即可． 【详解】解：连接交于点，过点作轴于点，如图，   的坐标为，点的坐标为， ，， 在中， 由勾股定理，得， 将沿翻折得到， ，，， ， 在中， 由勾股定理，得， ， 在中， 由勾股定理，得， 设，则， 在中， 由勾股定理，得，即， 解得， ， ，， ， 在中， 由勾股定理，得， 即顶点的纵坐标为． 故选：D． 9．D 【分析】本题考查坐标与图形性质，过点C作坐标轴的垂线，利用证明，即可求解，解题的关键是构造全等三角形． 【详解】解：过点C作x轴和y轴的垂线，垂足分别M和N，   ， 四边形是矩形， ， ， ， ， , 在和中， ， ， ， 又点C坐标为， 点M坐标为，点N坐标为． 即． 故选：D． 10．B 【分析】作点关于轴的对称点，过点作交轴于点，进而得出的值最小的情况，然后根据所对的直角边等于斜边的一半进而得出答案． 【详解】解：作点关于轴的对称点，过点作交轴于点，如图：    则此时的值最小， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴, ∵， ∴， ∴， ∴点的坐标为， 故选：B． 【点睛】本题考查了轴对称－最短路径以及含的直角三角形的性质，根据题意得出的值最小时的情况是解本题的关键． 11．/ 【详解】利用勾股定理求出扇形的半径，再根据数轴上的点的坐标即可得出答案． 解：由题意得，扇形的半径＝， ∵点在轴的负半轴， ∴P点坐标为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理，掌握勾股定理求线段长度是解题的关键． 12．或 【分析】先求出轴，轴，设，根据点坐标平移的特点求出，再根据点E到的距离等于点F到的距离进行求解即可． 【详解】解：∵正方形四个顶点的坐标分别是，，，， ∴轴，轴， 设， ∵线段平移之后得到线段，点的对应点为， ∴， ∴， ∴， ∵点E到的距离等于点F到的距离， ∴ ∴或， ∴或， 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形变化——平移，坐标与图形，点到坐标轴的距离，正确用m、n表示出点F的坐标是解题的关键． 13．± 【分析】根据两点的距离公式表示出MN和OM，然后根据题意建立等式并确定出x的值以及y的范围，化简即可求出k的值． 【详解】由题意，， ， ∵MN=7OM， ∴， ∵点M在y轴正半轴上， ∴，， ∴上式化简为：， 即：， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查平面直角坐标系中点坐标的特征以及两点间的距离公式，理解坐标的特征，并熟记基本公式是解题关键． 14． 【分析】本题主要考查了点的坐标，找出规律是解题的关键．根据题意可以分别求出，，的坐标，从而发现其中的规律，即可得到答案． 【详解】解：点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， 故，，，，…，的坐标四个为一个循环， ， 点的坐标为． 故答案为：． 15． 【分析】先求出对称轴的表达式，设点M在图象上的对称点坐标为，根据对应点的连线被对称轴垂直平分即可得出答案． 【详解】解：∵点的对称点坐标为， ∴对称轴为：， 设点M在图象上的对称点坐标为， ∴3， ， ∴， ∴点M在图象上的对称点坐标为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了坐标与图形变化﹣对称，掌握对应点的连线被对称轴垂直平分是解题的关键． 16．且 【分析】本题考查了坐标与图形性质，利用点的坐标计算相应线段的长和判断线段与坐标轴的位置关系成为解题的关键． 先计算出的长，则，然后找出点P、C、D共线的时间点即可得到t的取值范围． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵点P运动到时，点P、C、D共线，点C，D，M，N为顶点不能围成一个四边形， ∴， ∴t的取值范围为且． 故答案为：且． 17． 【分析】根据时间的表达式，分别作轴，轴，使、交于D，过点P作于点E，连接，利用，C点坐标特点构造等腰直角三角形，找到和之间关系，放在同一个三角形中，两边之和大于第三边找到与关系，为垂线的时候最短，即可找到P点坐标． 【详解】解：P在整个过程中用时： 如图分别作轴，轴，使、交于D，过点P作于点E，连接，   ，，， ∴，， ， ， 为等腰直角三角形， ∴， ∵， 也是等腰直角三角形， ， ， 当时，取得最小值， 即点E在点处时，运动时间最小，即与的交点为点P的位置， 此时点P的横坐标为， 设直线的解析式为， 将点，代入解析式得， 解得:， ∴解析式为， 将代入，得， ∴当P的坐标为，点P在整个运动过程中用时最少， 故答案为：． 【点睛】本题考查了直角坐标系下动点问题，二元一次方程组，最短路径问题，构造等腰直角三角形，将有关线段放在一个三角形中，利用三角形成形条件，找到最短路径下P点的坐标是解答本题的关键． 18． 【分析】本题考查了轴对称最短路径以及含的直角三角形的性质，根据题意得出的值最小时的情况是解本题的关键．作点D关于轴的对称点M，过点作，过点作，如图，此时的值最小，然后根据所对的直角边等于斜边的一半进而得出答案． 【详解】解：作点D关于轴的对称点M，过点作，过点作，如图，此时的值最小， 等边三角形中，，点D是上一点，且． ，， 点D关于轴的对称点是M， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 点F的横坐标为， 故答案为： 19．(1) (2) 【分析】此题主要考查了点的坐标，一元一次方程的应用等知识，正确掌握平面内点的坐标特点是解题关键． （1）直接利用y轴上点的坐标特点得出m的值； （2）直接利用P点位置结合其到x，y轴距离列方程，解方程求出m的值，即可得到点的坐标．． 【详解】（1）解：∵点在y轴上， ∴， 解得：； （2）解：由题意可得：， 解得：， ∴， ∴点的坐标为． 20．(1)图形见解析， (2)或 【分析】本题考查了轴对称变换的性质，熟练掌握轴对称变换的性质是解题的关键． （1）根据轴对称的性质找出对应点即可求解； （2）设，根据的面积等于面积的3倍得出方程求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求，；    （2）解：设， ， ∵的面积等于面积的3倍， ， ， 或， 即点的坐标为或． 21．(1) (2) 【分析】（1）依据题意构建方程组求解即可； （2）依据题意构建不等式组解决问题即可． 【详解】（1）解：由题意可得： ， 解得：， 点的坐标为； （2）解：由题意可得： ， 解得：． 【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，坐标与图形变化——平移，已知点所在的象限求参数，解一元一次不等式组等知识点，理解题意，学会构建方程组或不等式组解决问题是解题的关键． 22．(1)，； (2)①，②证明见解析 【分析】（1）根据绝对值和算术平方根的非负性求解即可； （2）①过点作轴于点，首先根据同角的余角相等得到，然后证明，结合全等三角形的性质与，，即可求解； ②由，进而得到为等腰直角三角形，即可求解；． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，， 解得，， ∴，； （2）解：①如图，过点作轴于点．则． ∵． ∴． ∴． 在和中， ， ∴． ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； ②由①得：． ∴，，． 而． ∴． ∴为等腰直角三角形， ∴， 又∵，， ∴． 【点睛】本题考查了坐标与图形性质、算术平方根的非负性的应用，等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握坐标与图形性质和等腰直角三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键． 23．(1)见解析 (2)是等腰直角三角形 (3) 【分析】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的判定，轴对称最短路径问题： （1）过点A作轴，过点B作轴交于C，则，进而得到，再利用勾股定理进行求解即可； （2）利用（1）所求得到，，，进而得到，则由勾股定理的逆定理可得是等腰直角三角形； （3）作点A关于x轴的对称点C，连接，则，由轴对称的性质可得，则当三点共线时，最小，即此时最小，最小值即为的长，利用（1）的结论求出的长即可得到答案． 【详解】（1）证明：如图所示，过点A作轴，过点B作轴交于C， ∴， ∴， ∴ （2）解：∵，，， ∴，， ， ∴， ∴是等腰直角三角形； （3）解：如图所示，作点A关于x轴的对称点C，连接，则， 由轴对称的性质可得， ∴， ∴当三点共线时，最小，即此时最小，最小值即为的长， ∵， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 24．（1），；（2）或，（3）见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，坐标与图形，等腰三角形的定义，正确的作出辅助线是解题的关键． （1）根据全等三角形的性质即可得到结论； （2）分两种情况讨论，当点A在第一象限时，：过作轴于，过作轴于，与相交于，根据余角的性质得到，根据全等三角形的性质得到，，设，则，于是得到结论；当点A在第四象限时，同理可得答案； （3）作于，于，根据余角的性质得到，根据全等三角形的性质得到，同理，由此可得，再由此证明，由全等三角形的性质得到，于是得到点是的中点． 【详解】解∶（1）∵， ∴，； 故答案为：，； （2）如图，当点A在第一象限时，过作轴于，过作轴于，与相交于， ， ， ， ， ， 在与中， ， ， ，， 设，则， ， ， ，， 点的坐标； 如图，当点A在第四象限时，过作轴于，过作轴于，与相交于， ， ， ， ， ， 在与中， ， ， ，， 设，则， ， ， ，， 又此时点在第四象限，点的坐标， 综上所述，点的坐标为或 （3）如图，作于，于， ， ， ， ， ， 在与中， ， ， ， ， ， ， ， ， 在与中， ， ， ， 又， ， ，， ， 在与中， ， ， ， 点是的中点． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$