第5章 平面直角坐标系（单元测试·培优卷）-2024-2025学年八年级数学上册基础知识专项突破讲与练（苏科版）

第5章 平面直角坐标系（单元测试·培优卷） 一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求) 1．气象台为预报台风，给出台风位置的几种说法：①北纬，东经；②上海东北方向处；③日本与韩国之间；④渤海；⑤大连正东方向；其中能确定台风位置的有（  ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．若点在第二象限，且到轴的距离为1，则的值为（   ） A． B．2 C． D．0 3．已知点Q的坐标为，点P的坐标为，若直线轴，则点P的坐标为（    ） A． B． C． D． 4．，那么一定在（  ）象限． A．第一 B．第二 C．第三 D．第四 5．如果点和点关于直线（平行于y轴的直线，直线上的每个点的横坐标都是1）对称，则的值是（ ） A． B．1 C． D．5 6．已知 A(0,a)，B(b,0)，且|b − 4| = 0，将线段 AB 平移到 A’B’，其中 A’在 x 轴上，B’在y轴上,则 A’B’的中点坐标是（ ） A．（1,-2） B．（2,-1） C．（-1,2） D．（-2,1） 7．如图，在等腰中，，，点A，B分别在x轴，y轴上，且轴，将沿x轴向左平移，当点A与点O重合时，点B的坐标为（    ）    A． B． C． D． 8．如图，中，，顶点A在第一象限内，点B的坐标为，点C的坐标为，将沿AB翻折得到，此时点恰好落在x轴上，则顶点A的纵坐标为（    ）    A．10 B． C． D． 9．如图，在直角坐标系中，的顶点，，且，，则点C关于y轴对称的点的坐标是（   ） A． B． C． D． 10．如图．，，，，、两点分别在线段、轴上．则的最小值为（   ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．仔细观察图形，以点为圆心的弧线与轴交于点，则点的坐标为 ． 12．将点向左平移3个单位，向上平移5个单位得到点Q，点Q恰好落在y轴上，则点Q的坐标是 ． 13．已知点，点在轴上，的面积为6，则点的坐标为 ． 14．在平面直角坐标系中，有一点，且满足，则点M关于x轴对称的点N在第 象限． 15．如图，在平面直角坐标系中，线段经过原点于点D．若，则线段的长为 ．    16．如图，在长方形中，在轴上，在轴上，且，，把沿着对折得到，交轴于点，则点的坐标为 ． 17．对于平面直角坐标系中的任意点，给出如下定义：将点平移到称为将点P进行“t型平移”，点称为将点P进行“t型平移”的对应点；已知点，点，，点M是线段上的一个动点，将点A进行“t型平移”后得到的对应点为，当t的取值范围是 时，的最小值保持不变． 18．如图，在一单位为1的方格纸上，，，，…，都是斜边在x轴上、斜边长分别为2，4，6，…的等腰直角三角形．若的顶点坐标分别为，，，则依图中所示规律，的横坐标为 ． 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）已知点． (1)若点在轴上，求的值； (2)若点在第一象限，且点到轴的距离是到轴距离的2倍，求点的坐标． 20．（本小题满分8分）如图，在平面直角坐标系中的顶点坐标分别是．   (1)画出关于y轴对称的图形，并写出的坐标； (2)已知点P是x轴上一点，若的面积等于面积的3倍，求点的坐标． 21．（本小题满分10分）我们约定：若点的坐标为，则把坐标为的点称为点的“阶益点”（其中为正整数），例如，即就是点的“阶益点”． (1)已知点是点的“阶益点”，求点的坐标； (2)已知点是点的“阶益点”，将点先向右移动个单位，再向下移动个单位得到点，若点落在第四象限，求的取值范围． 22．（本小题满分10分）已知，，满足：． (1)求m和n的值； (2)如图，点是A点左侧的轴上一动点，连接，以为直角边作等腰直角，连接、，交于点． ①若，求点E的坐标； ②求证：． 23．（本小题满分10分）阅读材料并回答问题：在学习绝对值时，根据绝对值的几何意义可以得出，一般地，点，在数轴上，分别表示有理数，，那么，两点之间的距离可以表示为，所以在平面直角坐标系中，轴上两点，，则；轴上两点，，则． (1)如图1，求证：平面直角坐标系内任意两点，间的距离公式为：； (2)若在平面直角坐标系中，的三个顶点，，，试判断的形状； (3)如图2，点，，点是轴上的动点，直接写出的最小值：________． 24．（本小题满分12分）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】 （1）如图1，，，过点作于点，过点作的延长线于点．由，得．又，，可以推理得到，进而得到______，______．我们把这个数学模型称为“K 字”模型或“一线三等角”模型． 【模型应用】 （2）如图2，在平面直角坐标系中，点为平面内任一点，点的坐标为，若是以为斜边的等腰直角三角形，求点 A 的坐标． 【深入探究】 （3）如图3，，，，连接、，且于点F，与直线交于点，求证：点是的中点． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A C A A D D D A A 1．B 【分析】在平面内，要确定点的位置，必须知道两个元素，根据这一条件分析判断． 【详解】①两个数据，可以唯一确定点的位置； ②两个数据，可以唯一确定点的位置； ③数据不具体，不能唯一确定点的位置； ④不能唯一确定点的位置； ⑤只有一个数据，不能唯一确定点的位置． 故选：B． 【点睛】此题考查了平面内确定点的位置的方法，必须具备两个数据． 2．A 【分析】本题考查了平面直角坐标系点的符合，点到坐标轴的距离的计算，不等式求解，根据点在第二象限，可得，根据不等式的性质及求解方法“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解”可得的取值范围，再根据点到坐标轴的距离即可求解的值． 【详解】解：∵点在第二象限， ∴， 解得，， ∴， ∵到轴的距离为1， ∴， ∴或， ∴或，且， ∴， 故选：A ． 3．C 【分析】利用直角坐标系中垂直于轴或平行于轴的直线上的点的纵坐标相同的特点进行计算即可． 【详解】解：∵点Q的坐标为，点P的坐标为，直线轴， ∴， ∴， ∴， ∴点P的坐标为． 故选：C． 【点睛】本题考查了坐标与图形的性质，解题的关键是掌握坐标系中点的坐标的特点和图形的性质． 4．A 【分析】此题考查了算术平方根、绝对值等知识，根据，得到，即可判断点所在的象限. 【详解】解：∵， ∴， ∴一定在第一象限， 故选：A 5．A 【分析】本题考查轴对称的坐标变换，掌握关于平行于y轴的直线对称点的坐标变换规律是解题的关键． 根据轴对称的性质可得关于直线对称的两点，到直线的距离相等，纵坐标相等．据此得到，，即可求得a、b值，即可求解． 【详解】解：∵点和点关于直线对称， ∴，， 解得：， ∴， 故选：A． 6．D 【分析】先利用非负数的和为0，则每个非负数都为0，求出a、b,确定A、B的坐标；然后再根据A’、B’的位置，确定平移方式，再求出A’、B’的坐标，最后根据中点坐标的特点，即可完成解答. 【详解】解：由题意得：a+2=0，b-4=0 即a=-2，b=4 ∴A（0，-2），B(4，0) 又∵平移后，其中 A’在 x 轴上，B’在y轴上 ∴线段 AB 先向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到平移到 A’B’ ∴A’（-4.0） B’（0,2） ∴A’B’的中点坐标为（-2，1） 故正确答案为D. 【点睛】本题主要考查了非负数的应用、平移、中点坐标的特点，其中确定平移方式是解答本题的关键. 7．D 【分析】本题考查了坐标与图形变化平移，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．也考查了两点间的距离公式．设，，则．分别根据，列出方程①，②，求出，，再根据平移的规律求解． 【详解】解：设，，则，． ，轴， ． ， ①， ， ②， ①②得，， ， ，． 把代入①，得（负值舍去）， ， 将沿轴向左平移，当点与点重合时，点的坐标为． 故选：D． 8．D 【分析】本题考查翻折变换，等腰三角形的性质，勾股定理，通过作辅助线构造直角三角形，反复运用勾股定理是解题的关键． 连接交于点，过点作轴于点，利用勾股定理逐步求出，，，，进而求出，再利用勾股定理求出即可． 【详解】解：连接交于点，过点作轴于点，如图，   的坐标为，点的坐标为， ，， 在中， 由勾股定理，得， 将沿翻折得到， ，，， ， 在中， 由勾股定理，得， ， 在中， 由勾股定理，得， 设，则， 在中， 由勾股定理，得，即， 解得， ， ，， ， 在中， 由勾股定理，得， 即顶点的纵坐标为． 故选：D． 9．A 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质与判定，以及关于轴对称的点的关系，根据等腰直角三角形直角顶点在斜边垂直平分线上，求出点的坐标，再根据关于轴对称的点的坐标之间的关系就可以得到． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵顶点，， ∴， 过点作于点， ∴，， ∴， ∴点坐标为， ∴点关于轴对称的点的坐标是， 故选：A． 10．A 【分析】本题考查垂线段最短，坐标与图形，三角形的面积，解题的关键是利用垂线段最短解决问题．连接，当、、三点共线，且时，的值最小，最小值是，根据题意可得：，，最后根据，即可求解． 【详解】解：如图，连接，当、、三点共线，且时，的值最小，最小值是， ，，， ，， ， ， ， 故选：A． 11．/ 【详解】利用勾股定理求出扇形的半径，再根据数轴上的点的坐标即可得出答案． 解：由题意得，扇形的半径＝， ∵点在轴的负半轴， ∴P点坐标为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理，掌握勾股定理求线段长度是解题的关键． 12． 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—平移，在y轴上的点的坐标特点，根据“上加下减，左减右加”的平移规律得到点Q的坐标为，再根据在y轴上的点的横坐标为0得到，求出m的值即可得到答案． 【详解】解：∵将点向左平移3个单位，向上平移5个单位得到点Q， ∴点Q的坐标为，即， ∵点Q在y轴上， ∴， ∴， ∴， ∴点Q的坐标为， 故答案为：． 13．或 【分析】本题考查了坐标与图形，三角形面积的计算，分类讨论是解题的关键．先根据点C在y轴上，设出C的坐标，有两种情况进行讨论，再根据三角形的面积公式，即可求出点C的坐标． 【详解】解： ∵点C在y轴上， ∴设点C的坐标为：， 又∵，， ∴， ， ，即， ， 解得：或， C点坐标为或， 故答案为：或． 14．一 【分析】本题考查了非负数的性质，坐标与图形变化轴对称，判断点所在的象限，根据非负数的性质可得，解得，则可得点M的坐标为．关于x轴对称的点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，由此可得点N的坐标，进而可得答案． 【详解】解：∵， ∴， 解得， ∴点M的坐标为， ∴点M关于x轴对称的点N的坐标为， ∴点N在第一象限． 故答案为：一． 15． 【分析】本题主要考查坐标与图形性质，等面积法是解题的关键，根据等面积法，即可得出答案． 【详解】解： 由题意可得：， ， 解得：． 故答案为：． 16． 【分析】本题考查了长方形的性质、折叠的性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理．由长方形和折叠的性质可得：，，，证明，得出，再由勾股定理列式计算即可求解． 【详解】解：由折叠可得：，， ，，四边形是长方形， ，， 在和中， ， ， ， ， ， ， 解得：， 点的坐标为， 故答案为：． 17． 【分析】本题考查坐标与图形变换——平移，解题的关键是理解题中定义，灵活运用平移性质，利用图象解决问题． 作出图形，根据平行线间的距离处处相等得到点在上时满足条件，即可解答． 【详解】解：如图，，当点在上时，根据平行线间的距离处处相等可得的最小值保持不变， ∵，， ∴． 故答案为： 18． 【分析】根据脚码确定脚码为奇数时，点的坐标在x轴上，再根据从原点开始，脚码每隔4个的点在x负半轴上，即可求解． 本题考查了坐标的规律，正确找出规律是解题的关键． 【详解】解：∵，，，，， 当为奇数时：且角码表示成，其位于x轴的正半轴上，且横坐标为， 当为奇数时：且角码表示成，其位于x轴的负半轴上，且横坐标为的相反数， 又中是奇数，且， 故横坐标为， 故答案为：． 19．(1) (2) 【分析】此题主要考查了点的坐标，一元一次方程的应用等知识，正确掌握平面内点的坐标特点是解题关键． （1）直接利用y轴上点的坐标特点得出m的值； （2）直接利用P点位置结合其到x，y轴距离列方程，解方程求出m的值，即可得到点的坐标．． 【详解】（1）解：∵点在y轴上， ∴， 解得：； （2）解：由题意可得：， 解得：， ∴， ∴点的坐标为． 20．(1)图形见解析， (2)或 【分析】本题考查了轴对称变换的性质，熟练掌握轴对称变换的性质是解题的关键． （1）根据轴对称的性质找出对应点即可求解； （2）设，根据的面积等于面积的3倍得出方程求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求，；    （2）解：设， ， ∵的面积等于面积的3倍， ， ， 或， 即点的坐标为或． 21．(1) (2) 【分析】（1）依据题意构建方程组求解即可； （2）依据题意构建不等式组解决问题即可． 【详解】（1）解：由题意可得： ， 解得：， 点的坐标为； （2）解：由题意可得： ， 解得：． 【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，坐标与图形变化——平移，已知点所在的象限求参数，解一元一次不等式组等知识点，理解题意，学会构建方程组或不等式组解决问题是解题的关键． 22．(1)，； (2)①，②证明见解析 【分析】（1）根据绝对值和算术平方根的非负性求解即可； （2）①过点作轴于点，首先根据同角的余角相等得到，然后证明，结合全等三角形的性质与，，即可求解； ②由，进而得到为等腰直角三角形，即可求解；． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，， 解得，， ∴，； （2）解：①如图，过点作轴于点．则． ∵． ∴． ∴． 在和中， ， ∴． ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； ②由①得：． ∴，，． 而． ∴． ∴为等腰直角三角形， ∴， 又∵，， ∴． 【点睛】本题考查了坐标与图形性质、算术平方根的非负性的应用，等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握坐标与图形性质和等腰直角三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键． 23．(1)见解析 (2)是等腰直角三角形 (3) 【分析】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的判定，轴对称最短路径问题： （1）过点A作轴，过点B作轴交于C，则，进而得到，再利用勾股定理进行求解即可； （2）利用（1）所求得到，，，进而得到，则由勾股定理的逆定理可得是等腰直角三角形； （3）作点A关于x轴的对称点C，连接，则，由轴对称的性质可得，则当三点共线时，最小，即此时最小，最小值即为的长，利用（1）的结论求出的长即可得到答案． 【详解】（1）证明：如图所示，过点A作轴，过点B作轴交于C， ∴， ∴， ∴ （2）解：∵，，， ∴，， ， ∴， ∴是等腰直角三角形； （3）解：如图所示，作点A关于x轴的对称点C，连接，则， 由轴对称的性质可得， ∴， ∴当三点共线时，最小，即此时最小，最小值即为的长， ∵， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 24．（1），；（2）或，（3）见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，坐标与图形，等腰三角形的定义，正确的作出辅助线是解题的关键． （1）根据全等三角形的性质即可得到结论； （2）分两种情况讨论，当点A在第一象限时，：过作轴于，过作轴于，与相交于，根据余角的性质得到，根据全等三角形的性质得到，，设，则，于是得到结论；当点A在第四象限时，同理可得答案； （3）作于，于，根据余角的性质得到，根据全等三角形的性质得到，同理，由此可得，再由此证明，由全等三角形的性质得到，于是得到点是的中点． 【详解】解∶（1）∵， ∴，； 故答案为：，； （2）如图，当点A在第一象限时，过作轴于，过作轴于，与相交于， ， ， ， ， ， 在与中， ， ， ，， 设，则， ， ， ，， 点的坐标； 如图，当点A在第四象限时，过作轴于，过作轴于，与相交于， ， ， ， ， ， 在与中， ， ， ，， 设，则， ， ， ，， 又此时点在第四象限，点的坐标， 综上所述，点的坐标为或 （3）如图，作于，于， ， ， ， ， ， 在与中， ， ， ， ， ， ， ， ， 在与中， ， ， ， 又， ， ，， ， 在与中， ， ， ， 点是的中点． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$