第5章 平面直角坐标系（单元测试·基础卷）-2024-2025学年八年级数学上册基础知识专项突破讲与练（苏科版）

第5章 平面直角坐标系（单元测试·基础卷） 一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求) 1．根据下列表述，不能确定具体位置的是（　　） A．某电影院1号厅3排4座 B．人民东路号 C．东经，北纬 D．某灯塔南偏西 2．已知点P位于y轴的右侧，距y轴5个单位长度，位于x轴上方，距x轴6个单位长度，则点P的坐标是（ ） A．（﹣5，6） B．（6，5） C．（﹣6，5） D．（5，6） 3．若点在第二象限，则点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．若点先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到点，若点位于第四象限，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．已知轴，点的坐标为，并且，则的坐标为（   ） A． B． C．或 D．或 6．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴在正半轴、轴正半轴分别交两点，在的延长线上，平分，平分，则的度数是（　　） A． B． C． D． 7．如图，平面直角坐标系中，的边经过原点O，点C在y轴上，若，，，，是边上的高，则的长度为（    ） A．1 B．2 C． D． 8．如图，坐标平面内一点，O为原点，P是x轴上的一个动点，如果以点P、O、A为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点P的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．1 9．将含有角的直角三角板按如图所示的方式放置在平面直角坐标系中，在x轴上，若，每秒旋转，则第2019秒时（　　） A． B． C． D． 10．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是，点B的坐标是，点C是上一点，将沿折叠，点B恰好落在x轴上的点处，则点C的坐标为（   ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．用有序数对可以确定平面内点的位置.如图，在象棋盘上，若表示“帥”的位置，表示“炮”的位置，则“兵”的位置可用有序数对表示为 . 12．已知点在第四象限，且到轴的距离是3，到轴的距离是2，则点的坐标为 ． 13．如图，平面直角坐标系中，等腰三角形△OPQ的顶点P的坐标为（4，3），腰长OP＝5，点Q位于y轴正半轴上，则点Q的坐标为 ． 14．已知点，点，在直线上，则 ． 15．若点在第四象限，点的坐标为，则的面积为8，则的值 16．如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标为（－3，0），点C在x轴上，点A在第一象限，且AB＝AC，连接AO，若∠AOC＝60°，AO＝6，则点C的坐标为 ．    17．如图所示放置的都是边长为2的等边三角形，边在x轴上，且点都在同一直线l上，且，，，……则的横坐标为 ，纵坐标为 ． 18．对于平面直角坐标系xOy中的点，若点的坐标为（其中k为常数，且），则称点为点P的“属派生点”例如：的“2属派生点”为，即．则点的“4属派生点”，的坐标为 ；若点P在x轴的正半轴上，点P的“k属派生点”为点，且线段的长度为线段OP长度的3倍，则k的值为 ． 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）如图，已知在一平面直角坐标系中，和的坐标分别是，．解答下列问题： (1)请在示意图中建立平面直角坐标系； (2)通过计算说明在和这两个地点中，哪个地点离坐标原点更远． 20．（本小题满分8分）已知，点．且点A在x轴上， (1)A点的坐标为 ． (2)若点C坐标为，求的面积． (3)在（2）的条件下，若点P为y轴上一动点，且的面积为5，求点P的坐标． 21．（本小题满分10分）在平面直角坐标系中，已知点A，B关于轴对称． (1)如图1，若，，求点的坐标； (2)如图2，若点，点，点为轴正半轴上一点，，连接．点在的延长线上，且，求证． 22．（本小题满分10分）如图，点在第二象限内，点 ，点． (1)将线段 平移得到，且点 A 与点C 对应，直接写出点 D 的坐标； (2)若三角形的面积不大于，求a的取值范围； (3)将线段向右平移n个单位长度，再向下平移若干个单位长度得到线段，使点A的对应点E落在x 轴上． 若点C在直线上，请直接写出n的值． 23．（本小题满分10分）在平面直角坐标系中，如图所示，是边长为2的等边三角形，将绕着点B按顺时针方向旋转得到，使得点D落在x轴的正半轴上，连接OC，AD． (1)求证：； (2)求OC的长； (3)求A、D两点的坐标． 24．（本小题满分12分）如图1，以直角的直角顶点O为原点，以所在直线为x轴和y轴建立平面直角坐标系，点，并且满足． (1)的值为？ (2)如图1，坐标轴上有两动点P，Q同时出发，点P从点C出发沿x轴负方向以每秒2个单位长度的速度匀速运动，点Q从点O出发沿y轴正方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，当点P到达点O整个运动随之结束；线段的中点D的坐标是，设运动时间为t秒．是否存在t，使得与的面积相等？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D D C D B D C C A 1．D 【分析】根据有序数对表示位置即可得． 【详解】解：A、某电影院1号厅3排4座，能确定具体位置，选项说法错误，不符合题意； B、人民东路号，能确定具体位置，选项说法错误，不符合题意； C、东经，北纬，能确定具体位置，选项说法错误，不符合题意； D、某灯塔南偏西，不能确定具体位置，选项说法正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了有序数对表示位置，解题的关键是理解有序数对表示位置． 2．D 【详解】试题分析：根据点P位于y轴的右侧，距y轴5个单位长度，位于x轴上方，距x轴6个单位长度，可以得到点P的坐标，从而可以解答本题． 解：∵点P位于y轴的右侧，距y轴5个单位长度，位于x轴上方，距x轴6个单位长度， ∴点P的坐标是（5，6）． 故选D． 3．D 【分析】本题考查了点的坐标，熟练掌握平面直角坐标系内点的坐标特征是解题的关键；根据点在第二象限可得，即可求解． 【详解】由题意得： ∴ ∴点在第四象限 故选：D． 4．C 【分析】利用平移中点的变化规律得到，再根据各象限内点的坐标规律得到关于的不等式组，解之即可． 【详解】解：点先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到点， ， 点位于第四象限， ， 解得． 故选：C． 【点睛】本题考查了坐标与图形变化—平移，掌握平移中点的变化规律“上加下减，右加下减”是解题关键． 5．D 【分析】根据点位置分类讨论求解． 【详解】解：已知轴，点的纵坐标与点的纵坐标相同，都是2； 在直线上，过点向左5单位得，过点向右5单位得． 满足条件的点有两个：，． 故选：D． 【点睛】本题主要是对坐标系平行线的性质，同时考查了数形结合思想，解题的关键是利用分类讨论的思想求解． 6．B 【分析】由即可得出，再根据角平分线的定义以及三角形内角和定理即可求出的度数． 【详解】解：， ， 平分， ， 平分， ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，解题的关键是找出，本题属于基础题，难度不大，解决该题目时，熟练运用三角形内角和解决问题是关键． 7．D 【分析】本题考查的是坐标与图形，三角形面积的计算，掌握坐标系内三角形面积的计算方法是解本题的关键．如图，分别过点A、B作y轴的垂线，垂足分别为点E、点F，利用求出面积，再根据面积可得答案． 【详解】解：如图，分别过点A、B作y轴的垂线，垂足分别为点E、点F， ∵，，，， ∴； ， ， ， 故选：D． 8．C 【分析】根据题意，结合图形，分两种情况讨论：①为等腰三角形底边；②为等腰三角形一条腰． 【详解】如图： ①为等腰三角形底边，符合条件的动点P有一个； ②为等腰三角形一条腰，符合条件的动点P有三个． 综上所述，符合条件的点P的个数共4个． 故选：C． 9．C 【分析】过点作，垂足为，根据含30度的直角三角形和勾股定理求出和，得到点坐标，根据的长度结合旋转的性质即可得出第3秒时，点的对应点的坐标，再由三角板每秒旋转，可得出点的位置6秒一循环，由此即可得出第2019秒时，点的对应点的坐标与第3秒时相同，此题得解．本题考查了坐标与图形的变化中的旋转以及规律型中点的坐标，根据每秒旋转的角度，找出点的位置6秒一循环是解题的关键． 【详解】解：过点作，垂足为， ，， ， ， ， 将三角板绕原点逆时针旋转，每秒旋转， 第3秒时，旋转了， 则与关于原点对称，的坐标为， 三角板每秒旋转， 点的位置6秒一循环． ， 第2019秒时，点的对应点的坐标为． 故选：C． 10．A 【分析】根据折叠的性质可得，，再求出，可得，然后在中，由勾股定理，即可求解． 【详解】解：根据题意得：，， ∵点A的坐标是，点B的坐标是， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴点． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形，图形的折叠，勾股定理，熟练掌握折叠的性质，勾股定理是解题的关键． 11． 【分析】本题考查了根据点的位置求点的坐标．根据已知两点的坐标可以画出坐标轴，进而可用有序数对表示“兵”的位置． 【详解】解：根据已知两点的坐标画出坐标轴， ∴“兵”的位置可用有序数对表示为， 故答案为：． 12． 【分析】根据第四象限内点得横坐标是正数，纵坐标是负数，点到轴的距离是纵坐标的绝对值，到轴的距离是横坐标的绝对值解答即可． 【详解】解：∵点在第四象限，且到轴的距离是3，到轴的距离是2， ∴点横坐标是2，纵坐标是-3， ∴点的坐标为． 故答案为：． 【点睛】本题考查平面直角坐标系中各象限内坐标的符号，点到轴的距离是纵坐标的绝对值，到轴的距离是横坐标的绝对值是解题关键． 13．（0，5）或（0，6） 【分析】腰长OP＝5，点Q位于y轴正半轴上,分OP=O Q与OP=P Q两种情况讨论可得答案. 【详解】解：如图 OP==5, 腰长OP＝5，点Q位于y轴正半轴上, 由两种情况 当OP=OQ时，Q为（0，5）， 当OP=PQ时，Q为（0，6） 故答案为(0,5)或(0,6) 【点睛】本题考查等腰三角形的性质、坐标与图像的性质等知识，解题的关键是学会分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型. 14．2 【分析】本题考查坐标与图形，求一个数的立方根，根据题意，得到点的纵坐标为0，求出的值，再求立方根即可． 【详解】∵点，、 ∴轴， ∵在直线上， ∴， ∴， ∴； 故答案为：2． 15． 【分析】本题主要考查坐标与图形，过点C作轴，垂足为E，过点B作轴，交于点D，根据列出方程即可得到结论． 【详解】解：过点C作轴，垂足为E，过点B作轴，交于点D，如图， 则有， ∵ ∴ ∵点在第四象限， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴， ∴ 解得， 故答案为： 16．（9，0） 【分析】作AD⊥x轴，垂足为C，在Rt△AOD中，AO＝6，∠AOC＝60°，解直角三角形可得OD，即得BD，由等腰三角形的性质“三线合一”再证明CD=BD，即可求出点C的坐标． 【详解】   解：如图，过点A作AD⊥x轴，垂足为D， 在Rt△AOD中， ∵∠AOC＝60°，AO＝6， ∴OD＝＝3， ∵点B的坐标为（－3，0）， ∴OB＝3， 则BD＝OB+OD=6， ∵AB＝AC，AD⊥x轴， ∴DC＝BD＝6， ∴OC＝OD+DC＝9， ∴点C的坐标为（9，0）． 故答案为：（9，0）． 【点睛】本题考查了点的坐标的求法，同时考查了根据特殊三角形的性质求线段长并求三角形的顶点坐标的综合运用能力． 17． 【分析】此题主要考查了点的坐标变化规律．过点向x轴作垂线，根据的坐标，求出的坐标，根据以上规律即可得到答案． 【详解】解：过点向x轴作垂线，垂足为C， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴点坐标为， ∵坐标为， ∴，， ∵轴，， ∴点坐标为， 同理可得点坐标为， 点坐标为， ……， 按照以上规律，我们可得： 点横坐标为，纵坐标为， 故答案为：； 18． 【分析】根据题意可直接求出点的“4属派生点”的坐标； 由点P在x轴的正半轴上，则有点的“k属派生点”为，且线段的长度为线段OP长度的3倍，可得， 然后求解即可． 【详解】解：由题意得： 点的“4属派生点”的坐标为，即； 由点P在x轴的正半轴上，则有点的“k属派生点”为，且线段的长度为线段OP长度的3倍，可得： ， 解得：； 故答案为，． 【点睛】本题主要考查坐标与图形，关键是根据题中所给定义进行求解，利用两点距离公式． 19．(1)见解析 (2)D点离坐标原点更远 【分析】本题考查平面直角坐标系和勾股定理． （1）根据点A和点B的坐标即可解答； （2）根据勾股定理计算和，再进行比较即可． 【详解】（1）解：平面直角坐标系如图所示． （2）解：根据勾股定理可得：， ， ∵， ∴D点离坐标原点更远． 20．(1) (2)2 (3)或 【分析】（1）由点A在x轴上可得其纵坐标为0，求出a即可得到答案； （2）根据三角形的面积公式求解即可； （3）根据题意可求出，再分两种情况：①当点P在y轴正半轴时，②当点P在y轴负半轴时，结合图形解答即可． 【详解】（1）∵点，且点A在x轴上， ∴， ∴， ∴， ∴点A的坐标为， 故答案为：； （2）由（1）可知，点A的坐标为， ∴， ∵点C坐标为， ∴， ∵， ∴的面积； （3）∵的面积为5， ∴，即， 解得：， 分两种情况： ①当点P在y轴正半轴时，如图1， 则， ∴点P的坐标为； ②当点P在y轴负半轴时，如图2， 则， ∴点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或． 【点睛】本题考查了坐标与图形以及三角形的面积，正确分类、得出相应点的坐标是解题关键． 21．(1) (2)证明见解析 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，坐标与图形等等： （1）根据轴对称的性质可得轴，，进而证明是等腰直角三角形，得到，则； （2）先求出，再由轴对称的性质得到，，则，证明，得到，即可证明． 【详解】（1）解：设于y轴交于C， ∵点A，B关于轴对称，， ∴轴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴； （2）证明：∵，点， ∴， ∵点A，B关于轴对称， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 22．(1) (2) (3) 【分析】本题考查了线段的平移，确定对应点，找到平移规律是解题关键． （1）设 ，由平移的规律得：，据此即可求解； （2）分别过点A、B、C向坐标轴作平行线，构造梯形，可得，根据可得；结合点在第二象限，即可求解； （3）过C作交x轴于E，则点E即为点A的对应点，设，由可求得，根据平移规律即可求解； 【详解】（1）解：设 ∵，， 由平移的规律得：， ∴， ∴D （2）解：分别过点A、B、C向坐标轴作平行线，构造梯形，如图所示： ∵，，， ∴， ∴ ， 依题意， 解得：. ∵点在第二象限内， ∴， ∴ （3）解：过C作交x轴于E，则点E即为点A的对应点，设 由(1)得点D在直线上，连. ∵，D 由得， 解得 ∴ ∴ 23．(1)见解析 (2) (3) 【分析】对于（1），根据等边三角形的性质和旋转的性质可得，，，进而得出，接下来根据“边角边”证明，最后根据全等三角形对应边相等得出答案； 对于（2），作，可知，再根据勾股定理求得，然后在中根据勾股定理得出答案； 对于（3），作，可得，，即可得出A点的坐标，再根据，得出答案． 【详解】（1）证明：∵是边长为2的等边三角形， ∴，． 又是由绕着点B按顺时针方向旋转得到的， ∴也是边长为2的等边三角形， ∴，，， 又， ∴， ∴； （2）解：作交x轴于点F，则F为BD的中点， ∴， 在中，，， 由勾股定理得：， ∴， 在中，. 由勾股定理得：， ∴； （3）解：作交x轴于点E，则E为OB的中点， ∴，， ∴A点的坐标是． 又 故D点的坐标是． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理，旋转的性质，证明两个三角形全等是解题的关键． 24．(1)20 (2)2.4 【分析】此题主要考查了非负性的性质，三角形的面积公式，解一元一次方程，熟练掌握知识点，正确理解题意是解题的关键． （1）利用非负性即可求出，即可得出结论； （2）先表示出，，利用面积相等，建立方程求解即可得出结论． 【详解】（1）解： ， ，， ，， ∴； （2）解：由（1）可知，， ，， 由运动知，，， ， ， ， ， 与的面积相等， ， ， 存在时，使得与的面积相等． 1 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