精品解析：云南省昆明市第一中学2025届高三第三次联考数学试卷

昆明市第一中学2025届高三年级第三次联考 数学试卷 命题人：昆一中数学命题小组 审题人：杨昆华 张波 张兴虎 杨仕华 江明 李春宣 吕文芬 蔺书琴 陈泳序 崔锦 本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列说法错误的是（ ） A. 若随机变量，则当较小时，对应的正态曲线“瘦高”，随机变量X的分布比较集中 B. 在做回归分析时，可以用决定系数刻画模型的回归效果，若越大，则说明模型拟合的效果越好 C. 在一元线性回归模型中，如果相关系数，表明两个变量的相关程度很强 D. 对于一组数据，，…，，若所有数据均变成原来的2倍，则变为原来的2倍 【答案】D 【解析】 【分析】根据正态分布曲线的性质，可得判定A正确；根据决定系数和相关系数的性质，可得判定B正确，C正确；根据方差的性质，可判定D错误. 【详解】对于A中，若随机变量，则当较小时，对应的正态曲线“瘦高”，随机变量X的分布比较集中，所以A正确； 对于B中，在做回归分析时，可以用决定系数刻画模型回归效果，越大，说明模型拟合的效果越好，所以B正确； 对于C中，一元线性回归模型中，相关系数的绝对值越接近1，表明两个变量的相关性越强， 所以如果相关系数，表明两个变量的相关程度很强，所以C正确； 对于D，若所有数据均变成原来的2倍，则变为原来的4倍，所以D正确. 故选：D． 2. 若的展开式中第2项与第8项的系数相等，则展开式中系数最大的项为（ ） A. 第3项 B. 第4项 C. 第5项 D. 第6项 【答案】C 【解析】 【分析】由的展开式的二项式系数和项的系数相等，因此由题意可得，求出，即可求得展开式中系数最大的项. 【详解】由的展开式中第2项与第8项的系数相等， 由的展开式的二项式系数和项的系数相等， 所以，所以， 则展开式中共有9项，系数最大的项为第5项， 故选：C． 3. 函数的部分图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的定义域，特殊值，奇偶性，即可判断选项. 【详解】的定义域为，排除D； 因为，所以排除C； 因为，是奇函数，图象关于原点对称，排除B. 故选:A 4. 已知长方体的体积为，且，则长方体外接球体积的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，结合题意可得，进而结合长方体外接球半径及基本不等式求得，再根据球的体积公式计算即可. 【详解】在长方体中，设， 因为长方体的体积为，， 所以，即， 所以， 当且仅当时取到等号，所以， 所以长方体外接球体积的最小值为. 故选：C. 5. 在平面内，设是直线的法向量（直线的法向量：直线的方向向量为，若向量，则向量叫做直线l的法向量），是平面内的两个定点，，，若动点P满足.则动点P的轨迹为（ ） A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线 【答案】D 【解析】 【分析】由抛物线的定义求解． 【详解】表示动点到直线的距离， 表示动点到定点的距离， 因为，所以动点的轨迹为抛物线， 故选：D． 6. 已知，，，是方程的两个根，则（ ） A. B. C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】借助韦达定理可得、，再结合、所处象限即可得范围，再利用两角和的正切公式计算即可得解. 【详解】因为，是方程的两个根， 所以，，所以， 因为，，所以，， 因为，所以. 故选：B. 7. 已知曲线的方程为，若经过点的直线l与曲线有四个交点，则直线l的斜率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】易得曲线表示以，为圆心，为半径的两个圆，计算可得两圆外切，设过点且与圆相切的直线方程并借助点到直线的距离公式计算，可得两切线斜率，再排除直线的斜率即可得解. 【详解】如图，曲线表示以，为圆心，为半径的两个圆， 由，故此时两圆位置为外切， 设过点且与圆相切的直线方程为， 则点到该直线的距离，解得，， 即图中直线的斜率为1，直线的斜率为，又直线的斜率为， 所以直线斜率的取值范围为. 故选：A． 8. 将1，2，3，4，5，6，7这七个数随机地排成一个数列、记第i项为，若，，，则这样的数列共有（ ） A. 70个 B. 71个 C. 80个 D. 81个 【答案】B 【解析】 【分析】先分类，再分步，根据加法原理以及乘法原理、组合数即可求解. 【详解】若，则这样的数列有个； 若，则这样的数列有个； 若，则这样的数列有个， 所以满足条件的数列共有个， 故选：B． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数不为0，其共轭复数为，下列说法正确的是（ ） A. B. 复平面内，与所对应的点关于实轴对称 C. 与都是实数 D. 若，则在复平面内所对应的点的轨迹为圆 【答案】BD 【解析】 【分析】根据复数的运算，几何意义，定义，即可判断选项． 【详解】设，，，故A错误； ，对应的点为，，对应的点为，对应的点关于实轴对称，故B正确； ，，，为实数，，只有当的时候才是实数，，为实数，故C错误； 若，即，即，所以在复平面内所对应的点的轨迹为圆，故D正确． 故选：BD． 10. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，.若三角形有两解，则边c的取值可以是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】BC 【解析】 【分析】由余弦定理以及方程有两个正根，，从而列出关于的不等式即可求解. 【详解】由余弦定理得，即. 因为三角形有两解， 所以方程有两个正根，， 由，，得， 故选：BC. 11. 已知双曲线，过原点的直线AC，BD分别交双曲线于A，C和B，D四点（A，B，C，D四点逆时针排列），且两直线斜率之积为，则的可能值为（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】分点位于第一象限时，点位于第二象限，和点位于第四象限，点位于第一象限两种情况结合双曲线的对称性和性质以及对勾函数的单调性求解即可. 【详解】如图，当点位于第一象限时，点位于第二象限，设直线的斜率为， 则直线的斜率为， 因为渐近线方程为，所以，， 所以，因为， 因为函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 而时，；时，；时，， 所以的取值范围为； 当点位于第四象限，点位于第一象限，同理可得的取值范围为． 综上所述，的取值范围为. 故选：AC. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于结合双曲线的对称性和性质得到，，进而求得的取值范围，从而结合对勾函数的单调性确定的取值范围. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知数列是公差不为0的等差数列，现从中随机删除两项，得到一个新的数列.这两组数据的极差相同的概率为______. 【答案】##0.4 【解析】 【分析】根据古典概型概率计算公式即可求解. 【详解】不妨设，则，其极差为． 若随机删除两项后极差不变，则删除的两项必存在于第2项至第5项， 则有种删除方法，所以． 故答案为：. 13. 若函数在处有极小值，则______. 【答案】 【解析】 【分析】首先求函数的导数，根据，求的取值，再代入验证，即可求解. 【详解】，因为在处有极小值，所以， 即，解得或； 当时，， 当或时，，当时，， 函数在处取得极大值；故不成立， 当时，， 当或时，，当时，， 函数在处取得极小值，所以. 故答案为：3 14. 已知函数（，），为的零点，为图象的对称轴，且在上不单调，则的最小值为______. 【答案】2 【解析】 【分析】首先根据对称轴和对称中心间的距离，得到关于的关系式，再验证，即可求解. 【详解】设函数的最小正周期为，因为为的零点，为图象的对称轴， 所以，即， 所以. 因为，所以在上不单调， 当时，由为的零点可得，， 因为，所以. 因为在上不单调，所以的最小值为. 故答案为：2 四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 体育运动是强身健体的重要途径，随着“中国儿童青少年体育健康促进行动方案（2020-2030）”的发布，体育运动受到各地中小学的高度重视，众多青少年的体质健康得到很大的改善.我们把每周体育锻炼时间超过8小时的学生称为“运动达人”，为了了解“运动达人”与性别是否有关系，我们对随机抽取的80名学生的性别进行了统计，其中女生与男生的人数之比为，男生中“运动达人”占，女生中“运动达人”占. （1）根据所给数据完成下面的列联表，并判断能否有90％的把握认为“运动达人”与性别有关？ 女生 男生 合计 运动达人 非运动达人 合计 （2）现从抽取的“运动达人”中，按性别采用分层抽样抽取3人参加体育知识闯关比赛，已知其中男、女生独立闯关成功的概率分别为与，在恰有两人闯关成功的条件下，求有女生闯关成功的概率. 附：，. 0.100 0.050 0.025 0.010 k 2.706 3.841 5.024 6.635 【答案】（1）列联表如下图所示： 女生 男生 合计 运动达人 15 30 45 非运动达人 5 30 35 合计 20 60 80 有90％的把握认为“运动达人”和性别有关； （2）. 【解析】 【分析】（1）完善列联表，计算的观测值并作答. （2）利用独立重复试验的概率公式求出概率，再利用条件概率公式计算即得. 【小问1详解】 抽取的80人中，女生与男生的人数比为，则女生有20人，男生有60人， 男生中“运动达人”占，女生中“运动达人”占，则得如下列联表： 女生 男生 合计 运动达人 15 30 45 非运动达人 5 30 35 合计 20 60 80 显然， 所以有90％的把握认为“运动达人”和性别有关. 【小问2详解】 由分层抽样，得抽取的男生人数为2，女生人数为1， 记“恰有两人闯关成功”为事件A，“有女生闯关成功”为事件B， 则，， 于是， 所以恰有两人闯关成功的条件下，有女生闯关成功的概率为. 16. 已知数列满足，，数列满足. （1）求，的值； （2）证明：数列是等差数列； （3）求数列的前项和. 【答案】（1）， （2） 证明：因为，， 所以， 而，所以是以为首项，为公差的等差数列. （3） 【解析】 【分析】（1）根据的定义即可计算求解； （2）根据等差数列的定义证明即可； （3）由分组求和法以及等差数列求和公式即可求解. 【小问1详解】 由已知得：， . 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ， 因为，，，由（2）得， 所以. 17. 如图，在四棱锥中，平面平面，是等边三角形，四边形是梯形，且，，，点是的重心，与交于点. （1）证明：平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】（1）连接并延长，交于点，连接， 因为点是的重心，所以是的中点，且 ， 在梯形中，因为，且， 所以∽,则， 所以，所以， 又因为平面，平面， 所以平面； （2） 【解析】 【分析】（1）连接并延长，交于点，首先根据题中的条件证明，得到，再利用线面平行的判定定理即可证明； （2）以为坐标原点，，所在直线为轴， 轴，过点且与平行的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法求面面角. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取的中点，连接，在中，， 所以且， 又因为平面平面， 平面平面， 平面，所以平面， 在，，，所以， 所以， 则以为坐标原点，，所在直线为轴，轴， 过点且与平行的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 由题知，，，，， 所以，， 设平面的法向量为， 则，所以，令，则，故， 又为平面的一个法向量， 设平面与平面的夹角为，所以， 所以平面与平面的夹角的余弦值为. 18. 已知F为抛物线的焦点，点M在抛物线C上，O为坐标原点，的外接圆与抛物线C的准线相切，且该圆面积为. （1）求抛物线C的方程； （2）设，B是抛物线C上异于A的一点，直线AB与直线交于点P，过点P作x轴的垂线交抛物线C于点N，求点F到直线的距离的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意知圆心必在直线上，由相切即可知，结合已知圆的面积即可求出，进而可求出抛物线的方程. （2）设，写出直线的方程与联立，求出的横坐标，即可知的横坐标，进而可求出的坐标，由直线的点斜式可写出直线的方程，从而可求出所过定点；则当直线过点时，直线与直线垂直时，分别求得最小值和最大值，即可求得点F到直线的距离的取值范围. 【小问1详解】 设外接圆的半径为，图象如图所示： 由图象可知，圆心必在直线上， 故， 所以，解得， 所以抛物线的方程为：. 【小问2详解】 由（1）知，抛物线的方程为：，则， 设，又，则直线的方程为：， 化简得：， 与联立得：，把代入得： ，即， 则直线的方程：， 化简得， 当，时恒成立，所以直线恒过定点. 当直线过点时，点到直线BN的距离d取得最小值，即； 当直线与直线垂直时， ， 即点到直线的距离d取得最大值， 所以，点到直线的距离的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是联立直线和直线求出的横坐标，写出的坐标后，写出直线的方程，判断出直线恒过定点. 19. 已知函数，. （1）当时，求函数在区间上的最小值； （2）若函数在区间上单调递减，求a的取值范围； （3）若函数的图象上存在两点，，且，使得，则称为“拉格朗日中值函数”，并称线段的中点为函数的一个“拉格朗日平均值点”.试判断函数是否为“拉格朗日中值函数”，若是，判断函数的“拉格朗日平均值点”的个数；若不是，说明理由. 【答案】（1） （2） （3）当时，函数是 “拉格朗日中值函数”，且“拉格朗日平均值点”有无数个； 当时，不是“拉格朗日中值函数”；理由如下： 假设函数是“拉格朗日中值函数”， 设，是上不同的两点，且， 由题意可得，， 则， 函数在拉格朗日平均值点处的切线斜率， 由整理可得， 当时，恒成立， 则函数是 “拉格朗日中值函数”，且“拉格朗日平均值点”有无数个； 当时，即， 令，上式化为，即， 令，则， 因为，所以恒成立，所以在上单调递增，恒成立， 所以在上不存在使得，即不存在这样的两点使得； 综上所述，当时，函数是 “拉格朗日中值函数”，且“拉格朗日平均值点”有无数个；当时，不是“拉格朗日中值函数”. 【解析】 【分析】（1）利用导数得出函数的单调性，进而得函数的最小值； （2）利用导数的几何意义可得在上恒成立，参变分离可得即可，求在上的最小值即可得解； （3）假设函数是“拉格朗日中值函数”， 设，是上不同的两点，且，代入，当时，整理得，设，上式化为，然后构造函数，根据导数研究此方程是否成立，从而可确定假设是否成立. 【小问1详解】 由题意可知当时，，，且 所以，在区间上为增函数， 所以函数的最小值为 ； 【小问2详解】 由题意可得， 若函数在区间上单调递减，则在恒成立， 即在恒成立，只需即可， 又因为当时，所以. 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：第三问的关键在于得到：当时，，设，上式化为，然后构造函数，利用导数研究方程的根，由此即可顺利得解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 昆明市第一中学2025届高三年级第三次联考 数学试卷 命题人：昆一中数学命题小组 审题人：杨昆华 张波 张兴虎 杨仕华 江明 李春宣 吕文芬 蔺书琴 陈泳序 崔锦 本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列说法错误的是（ ） A. 若随机变量，则当较小时，对应的正态曲线“瘦高”，随机变量X的分布比较集中 B. 在做回归分析时，可以用决定系数刻画模型的回归效果，若越大，则说明模型拟合的效果越好 C. 在一元线性回归模型中，如果相关系数，表明两个变量的相关程度很强 D. 对于一组数据，，…，，若所有数据均变成原来的2倍，则变为原来的2倍 2. 若的展开式中第2项与第8项的系数相等，则展开式中系数最大的项为（ ） A. 第3项 B. 第4项 C. 第5项 D. 第6项 3. 函数的部分图象大致为（ ） A. B. C. D. 4. 已知长方体的体积为，且，则长方体外接球体积的最小值为（ ） A. B. C. D. 5. 在平面内，设是直线的法向量（直线的法向量：直线的方向向量为，若向量，则向量叫做直线l的法向量），是平面内的两个定点，，，若动点P满足.则动点P的轨迹为（ ） A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线 6. 已知，，，是方程的两个根，则（ ） A. B. C. D. 或 7. 已知曲线的方程为，若经过点的直线l与曲线有四个交点，则直线l的斜率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 将1，2，3，4，5，6，7这七个数随机地排成一个数列、记第i项为，若，，，则这样的数列共有（ ） A. 70个 B. 71个 C. 80个 D. 81个 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数不为0，其共轭复数为，下列说法正确的是（ ） A. B. 复平面内，与所对应的点关于实轴对称 C. 与都是实数 D. 若，则在复平面内所对应的点的轨迹为圆 10. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，.若三角形有两解，则边c的取值可以是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 11. 已知双曲线，过原点的直线AC，BD分别交双曲线于A，C和B，D四点（A，B，C，D四点逆时针排列），且两直线斜率之积为，则的可能值为（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知数列是公差不为0的等差数列，现从中随机删除两项，得到一个新的数列.这两组数据的极差相同的概率为______. 13. 若函数在处有极小值，则______. 14. 已知函数（，），为的零点，为图象的对称轴，且在上不单调，则的最小值为______. 四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 体育运动是强身健体的重要途径，随着“中国儿童青少年体育健康促进行动方案（2020-2030）”的发布，体育运动受到各地中小学的高度重视，众多青少年的体质健康得到很大的改善.我们把每周体育锻炼时间超过8小时的学生称为“运动达人”，为了了解“运动达人”与性别是否有关系，我们对随机抽取的80名学生的性别进行了统计，其中女生与男生的人数之比为，男生中“运动达人”占，女生中“运动达人”占. （1）根据所给数据完成下面的列联表，并判断能否有90％的把握认为“运动达人”与性别有关？ 女生 男生 合计 运动达人 非运动达人 合计 （2）现从抽取的“运动达人”中，按性别采用分层抽样抽取3人参加体育知识闯关比赛，已知其中男、女生独立闯关成功的概率分别为与，在恰有两人闯关成功的条件下，求有女生闯关成功的概率. 附：，. 0.100 0.050 0.025 0.010 k 2.706 3.841 5.024 6.635 16. 已知数列满足，，数列满足. （1）求，的值； （2）证明：数列是等差数列； （3）求数列的前项和. 17. 如图，在四棱锥中，平面平面，是等边三角形，四边形是梯形，且，，，点是的重心，与交于点. （1）证明：平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值. 18. 已知F为抛物线的焦点，点M在抛物线C上，O为坐标原点，的外接圆与抛物线C的准线相切，且该圆面积为. （1）求抛物线C的方程； （2）设，B是抛物线C上异于A的一点，直线AB与直线交于点P，过点P作x轴的垂线交抛物线C于点N，求点F到直线的距离的取值范围. 19. 已知函数，. （1）当时，求函数在区间上的最小值； （2）若函数在区间上单调递减，求a的取值范围； （3）若函数的图象上存在两点，，且，使得，则称为“拉格朗日中值函数”，并称线段的中点为函数的一个“拉格朗日平均值点”.试判断函数是否为“拉格朗日中值函数”，若是，判断函数的“拉格朗日平均值点”的个数；若不是，说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $